Divdimensiju telpā divas taisnes krustojas tikai vienā punktā, ko nosaka koordinātas (x,y). Tā kā abas taisnes iet caur to krustpunktu, koordinātām (x, y) ir jāatbilst abiem vienādojumiem, kas apraksta šīs līnijas. Izmantojot dažas papildu prasmes, jūs varat atrast parabolu un citu kvadrātisko līkņu krustošanās punktus.

Soļi

Divu līniju krustošanās punkts

Uzrakstiet katras rindas vienādojumu, vienādojuma kreisajā pusē izolējot mainīgo “y”. Jāievieto citi vienādojuma nosacījumi labā puse vienādojumi Iespējams, ka jums dotais vienādojums satur mainīgo f(x) vai g(x), nevis “y”; šajā gadījumā izolējiet šādu mainīgo. Lai izolētu mainīgo, veiciet atbilstošo matemātiku abās vienādojuma pusēs.

• Ja līniju vienādojumi jums nav doti, pamatojoties uz jums zināmo informāciju.
• Piemērs. Dotas taisnes, kas aprakstītas ar vienādojumiem un y - 12 = - 2 x (\displeja stils y-12 = - 2x). Lai izolētu “y” otrajā vienādojumā, pievienojiet skaitli 12 abām vienādojuma pusēm:

1. Jūs meklējat abu taisnes krustpunktu, tas ir, punktu, kura koordinātas (x, y) apmierina abus vienādojumus. Tā kā mainīgais “y” atrodas katra vienādojuma kreisajā pusē, izteiksmes, kas atrodas katra vienādojuma labajā pusē, var pielīdzināt. Pierakstiet jaunu vienādojumu.

   • Piemērs. Jo y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) Un y = 12–2 x (\displaystyle y=12-2x), tad varam uzrakstīt šādu vienādību: .

2. Atrodiet mainīgā "x" vērtību. Jaunajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais "x". Lai atrastu "x", izolējiet šo mainīgo vienādojuma kreisajā pusē, veicot atbilstošu matemātiku abās vienādojuma pusēs. Jums vajadzētu iegūt vienādojumu formā x = __ (ja nevarat to izdarīt, skatiet šo sadaļu).

   • Piemērs. x + 3 = 12 - 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Pievienot 2 x (\displaystyle 2x) katrā vienādojuma pusē:
   • 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Atņemiet 3 no katras vienādojuma puses:
   • 3 x = 9 (\displaystyle 3x=9)
   • Sadaliet katru vienādojuma pusi ar 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Izmantojiet atrasto mainīgā "x" vērtību, lai aprēķinātu mainīgā "y" vērtību. Lai to izdarītu, aizvietojiet atrasto vērtību “x” taisnes vienādojumā (jebkurā).

   • Piemērs. x = 3 (\displaystyle x=3) Un y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)

4. Pārbaudiet atbildi. Lai to izdarītu, aizstājiet “x” vērtību ar citu līnijas vienādojumu un atrodiet “y” vērtību. Ja saņemat atšķirīga nozīme"y", pārbaudiet aprēķinu pareizību.

   • Piemērs: x = 3 (\displaystyle x=3) Un y = 12–2 x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12–2 (3) (\displaystyle y=12-2 (3))
   • y = 12–6 (\displaystyle y=12-6)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Jums ir tāda pati vērtība y, tāpēc aprēķinos nav kļūdu.

5. Pierakstiet koordinātas (x,y). Aprēķinot “x” un “y” vērtības, esat atradis divu līniju krustošanās punkta koordinātas. Pierakstiet krustojuma punkta koordinātas (x,y) formā.

   • Piemērs. x = 3 (\displaystyle x=3) Un y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Tādējādi divas taisnes krustojas punktā ar koordinātām (3,6).

6. Aprēķini īpašos gadījumos. Dažos gadījumos mainīgā "x" vērtību nevar atrast. Bet tas nenozīmē, ka esat pieļāvis kļūdu. Īpašs gadījums rodas, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:

   • Ja divas taisnes ir paralēlas, tās nekrustojas. Šajā gadījumā mainīgais “x” vienkārši tiks samazināts, un jūsu vienādojums pārvērtīsies par bezjēdzīgu vienādību (piemēram, 0 = 1 (\displaystyle 0 = 1)). Šādā gadījumā savā atbildē pierakstiet, ka līnijas nekrustojas vai nav risinājuma.
   • Ja abi vienādojumi apraksta vienu taisni, tad būs bezgalīgi daudz krustošanās punktu. Šajā gadījumā mainīgais “x” vienkārši tiks atcelts, un jūsu vienādojums pārvērtīsies par stingru vienādību (piemēram, 3 = 3 (\displaystyle 3 = 3)). Šādā gadījumā savā atbildē pierakstiet, ka abas rindiņas sakrīt.

   Problēmas ar kvadrātiskām funkcijām

   1. Kvadrātfunkcijas definīcija. Kvadrātiskajā funkcijā vienam vai vairākiem mainīgajiem ir otrā pakāpe (bet ne augstāka), piemēram, x 2 (\displaystyle x^(2)) vai y 2 (\displaystyle y^(2)). Kvadrātfunkciju grafiki ir līknes, kas nedrīkst krustoties vai var krustoties vienā vai divos punktos. Šajā sadaļā mēs jums pateiksim, kā atrast kvadrātveida līkņu krustpunktu vai punktus.

   2. Pārrakstiet katru vienādojumu, vienādojuma kreisajā pusē izolējot mainīgo “y”. Pārējie vienādojuma nosacījumi jānovieto vienādojuma labajā pusē.

      • Piemērs. Atrodiet grafiku krustošanās punktu(-us). x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) Un
      • Izolējiet mainīgo "y" vienādojuma kreisajā pusē:
      • Un y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • Šajā piemērā jums ir dota viena kvadrātiskā funkcija un viena lineāra funkcija. Atcerieties, ka, ja jums ir doti divi kvadrātiskās funkcijas, aprēķini ir līdzīgi tālāk aprakstītajām darbībām.

   3. Pielīdziniet izteiksmes katra vienādojuma labajā pusē. Tā kā mainīgais “y” atrodas katra vienādojuma kreisajā pusē, izteiksmes, kas atrodas katra vienādojuma labajā pusē, var pielīdzināt.

      • Piemērs. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) Un y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Pārnes visus iegūtā vienādojuma nosacījumus uz to kreisā puse, un labajā pusē ierakstiet 0. Lai to izdarītu, veiciet pamata matemātiku. Tas ļaus jums atrisināt iegūto vienādojumu.

      • Piemērs. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Atņemiet "x" no abām vienādojuma pusēm:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Atņemiet 7 no abām vienādojuma pusēm:

   5. Atrisiniet kvadrātvienādojumu. Pārvietojot visus vienādojuma nosacījumus uz kreiso pusi, jūs iegūstat kvadrātvienādojumu. To var atrisināt trīs veidos: izmantojot īpašu formulu un.

      • Piemērs. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Kad faktors vienādojumu, jūs saņemat divus binomiālus, kas, reizinot, iegūst sākotnējo vienādojumu. Mūsu piemērā pirmais termins x 2 (\displaystyle x^(2)) var sadalīt uz x * x. Pierakstiet šo: (x) (x) = 0
      • Mūsu piemērā brīvo terminu -6 var iedalīt šādos faktoros: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displeja stils -1*6).
      • Mūsu piemērā otrais termins ir x (vai 1x). Pievienojiet katru fiktīva vārda faktoru pāri (mūsu piemērā -6), līdz iegūstat 1. Mūsu piemērā atbilstošais fiktīvais termina faktoru pāris ir skaitļi -2 un 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), jo − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Aizpildiet tukšās vietas ar atrasto skaitļu pāri: .

   6. Neaizmirstiet par abu grafiku otro krustošanās punktu. Ja problēmu atrisināsiet ātri un ne pārāk rūpīgi, varat aizmirst par otro krustošanās punktu. Lūk, kā atrast divu krustošanās punktu x koordinātas:

      • Piemērs (faktorizācija). Ja vienād. (x - 2) (x + 3) = 0 (\displeja stils (x-2) (x+3) = 0) viena no izteiksmēm iekavās būs vienāda ar 0, tad viss vienādojums būs vienāds ar 0. Tāpēc mēs to varam rakstīt šādi: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) Un x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = – 3 (\displaystyle x=-3) (tas ir, jūs atradāt divas vienādojuma saknes).
      • Piemērs (izmantojot formulu vai aizpildot perfektu kvadrātu). Izmantojot kādu no šīm metodēm, tiks parādīts risinājums Kvadrātsakne. Piemēram, vienādojumam no mūsu piemēra būs šāda forma x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Atcerieties, ka, ņemot kvadrātsakni, jūs iegūsit divus risinājumus. Mūsu gadījumā: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25)) = 5*5), Un 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25)) = (-5)*(-5)). Tātad uzrakstiet divus vienādojumus un atrodiet divas x vērtības.

   7. Grafiki krustojas vienā punktā vai nekrustojas vispār.Šādas situācijas rodas, ja ir izpildīti šādi nosacījumi:

      • Ja grafiki krustojas vienā punktā, kvadrātvienādojums tiek sadalīts identiskos faktoros, piemēram, (x-1) (x-1) = 0, un kvadrātsakne no 0 parādās formulā ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))). Šajā gadījumā vienādojumam ir tikai viens risinājums.
      • Ja grafiki nemaz nekrustojas, tad vienādojums netiek faktorizēts, un formulā parādās negatīva skaitļa kvadrātsakne (piemēram, − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). Šādā gadījumā atbildē ierakstiet, ka risinājuma nav.

Krustojoties uz x ass, ir jāatrisina vienādojums y₁=y2, tas ir, k₁x+b₁=k₂x+b2.

Pārveidojiet šo nevienādību, lai iegūtu k₁x-k₂x=b2-b₁. Tagad izsaka x: x=(b2-b₁)/(k₁-k2). Tādā veidā jūs atradīsiet grafiku krustošanās punktu, kas atrodas uz OX ass. Atrodiet krustošanās punktu uz ordinātu ass. Vienkārši aizstājiet iepriekš atrasto x vērtību jebkurā no funkcijām.

Iepriekšējā opcija ir piemērota grafikiem. Ja funkcija ir , izmantojiet tālāk sniegtos norādījumus. Tādā pašā veidā kā ar lineāro funkciju, atrodiet x vērtību. Lai to izdarītu, atrisiniet kvadrātvienādojumu. Atrodiet vienādojumā 2x² + 2x - 4=0 (vienādojums dots kā piemērs). Lai to izdarītu, izmantojiet formulu: D= b² – 4ac, kur b ir vērtība pirms X, un c ir skaitliskā vērtība.

Aizstājot skaitliskās vērtības, iegūst izteiksmi formā D= 4 + 4*4= 4+16= 20. Vienādojumi ir atkarīgi no diskriminanta vērtības. Tagad mainīgā b vērtībai ar "-" zīmi pievienojiet vai atņemiet (savukārt) iegūtā diskriminanta sakni un daliet ar divkāršu koeficienta a reizinājumu. Tādā veidā jūs atradīsiet vienādojuma saknes, tas ir, krustošanās punktu koordinātas.

Funkciju grafikiem ir īpatnība: OX ass krustosies divas reizes, tas ir, jūs atradīsit divas x ass koordinātas. Ja iegūstat periodisku vērtību X pret Y, tad ziniet, ka grafiks krustojas ar x asi bezgalīgā skaitā punktu. Pārbaudiet, vai esat atradis krustojuma punktus. Lai to izdarītu, aizstājiet X vērtības vienādojumā f(x)=0.

Avoti:

• Līniju krustošanās punktu atrašana

Ja jūs zināt a vērtību, tad varat teikt, ka esat atrisinājis kvadrātvienādojumu, jo tā saknes būs atrodamas ļoti viegli.

Jums būs nepieciešams

• -diskriminējoša formula kvadrātvienādojumam;
• -zināšanas par reizināšanas tabulām

Instrukcijas

Video par tēmu

Noderīgs padoms

Kvadrātvienādojuma diskriminants var būt pozitīvs, negatīvs vai vienāds ar 0.

Avoti:

• Risinājums kvadrātvienādojumi
• pat diskriminējoši

3. padoms. Kā atrast funkcijas grafika krustošanās punktu koordinātas

Funkcijas y = f (x) grafiks ir visu plaknes punktu kopa, koordinātas x, kas apmierina sakarību y = f (x). Funkciju grafiks skaidri ilustrē funkcijas uzvedību un īpašības. Lai izveidotu grafiku, parasti tiek atlasītas vairākas argumenta x vērtības un tām tiek aprēķinātas atbilstošās funkcijas y=f(x) vērtības. Lai grafu izveidotu precīzāk un vizuāli, ir lietderīgi atrast tā krustošanās punktus ar koordinātu asīm.

Instrukcijas

Šķērsojot abscisu asi (X ass), funkcijas vērtība ir 0, t.i. y=f(x)=0. Lai aprēķinātu x, jāatrisina vienādojums f(x)=0. Funkcijas gadījumā iegūstam vienādojumu ax+b=0 un atrodam x=-b/a.

Tādējādi X ass krustojas punktā (-b/a,0).

Sarežģītākos gadījumos, piemēram, y kvadrātiskās atkarības gadījumā no x vienādojumam f(x) = 0 ir divas saknes, tāpēc x ass krustojas divas reizes. Ja y ir atkarīgs no x, piemēram, y=sin(x), tam ir bezgalīgs skaits krustošanās punktu ar X asi.

Lai pārbaudītu funkcijas grafika krustošanās punktu koordinātu atrašanas pareizību ar X asi, ir jāaizstāj atrastās x vērtības f(x). Izteiksmes vērtībai jebkuram no aprēķinātajiem x ir jābūt vienādai ar 0.

Instrukcijas

Pirmkārt, ir jāapspriež problēmas risināšanai ērtas koordinātu sistēmas izvēle. Parasti šāda veida uzdevumos viens no trīsstūriem tiek novietots uz 0X ass tā, lai viens punkts sakristu ar izcelsmi. Tāpēc nevajadzētu novirzīties no vispārpieņemtajiem risinājuma kanoniem un rīkoties tāpat (sk. 1. att.). Pati trīsstūra noteikšanas metodei nav būtiskas nozīmes, jo jūs vienmēr varat pāriet no viena no tiem uz (kā to varēsit pārbaudīt vēlāk).

Nepieciešamo trīsstūri norāda attiecīgi ar diviem tā malu AC un AB vektoriem a(x1, y1) un b(x2, y2). Turklāt pēc konstrukcijas y1=0. BC trešā puse atbilst c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2), saskaņā ar šo ilustrāciju. Punkts A ir novietots koordinātu sākumā, tas ir, tas koordinātas A(0, 0). To ir arī viegli pamanīt koordinātas B (x2, y2), a C (x1, 0). No tā mēs varam secināt, ka trijstūra definēšana ar diviem vektoriem automātiski sakrita ar tā definēšanu ar trim punktiem.

Tālāk jums vajadzētu aizpildīt nepieciešamo trīsstūri līdz atbilstošajam paralelogramam ABDC izmēram. Turklāt, ka punktā krustojumos paralelograma diagonāles tās sadala tā, lai AQ ir trijstūra ABC mediāna, kas nolaižas no A uz malu BC. Diagonālais vektors s satur šo un saskaņā ar paralelograma likumu ir a un b ģeometriskā summa. Tad s = a + b, un tā koordinātas s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Tas pats koordinātas būs arī punktā D(x1+x2, y2).

Tagad varat turpināt sastādīt taisnas līnijas vienādojumu, kas satur s, vidējo AQ un, pats galvenais, vēlamo punktu krustojumos mediāna H. Tā kā vektors s pats par sevi ir ceļvedis noteiktai taisnei, un ir zināms arī tam piederošais punkts A(0, 0), visvienkāršākais ir izmantot plaknes taisnes vienādojumu kanoniskā formā: (x -x0)/m =(y-y0)/n.Šeit (x0, y0) koordinātas patvaļīgs līnijas punkts (punkts A(0, 0)) un (m, n) – koordinātas s (vektors (x1+x2, y2). Tātad vēlamā taisne l1 izskatīsies šādi: x/(x1+x2)=y/ y2.

Labākais veids, kā to atrast, ir krustojumā. Tāpēc jums vajadzētu atrast citu taisnu līniju, kas satur tā saukto N. Lai to izdarītu, attēlā. 1 cita paralelograma APBC konstrukcija, kura diagonāle g=a+c =g(2x1-x2, -y2) satur otro mediānu CW, nolaista no C uz pusi AB. Šajā diagonālē ir punkts C(x1, 0), koordinātas kas spēlēs (x0, y0) lomu, un virziena vektors šeit būs g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). Tādējādi l2 ir iegūts ar vienādojumu: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).

1. Lai atrastu funkciju grafiku krustošanās punkta koordinātas, abas funkcijas jāpielīdzina viena otrai, jāpārnes uz kreisā puse visi termini, kas satur $ x $, un pa labi pārējie un atrodiet iegūtā vienādojuma saknes.
2. Otrā metode ir izveidot vienādojumu sistēmu un atrisināt to, aizstājot vienu funkciju ar citu
3. Trešā metode ietver funkciju grafisku konstruēšanu un vizuālā definīcija krustojuma punkti.

Divu lineāru funkciju gadījums

Apsveriet divas lineāras funkcijas $ f(x) = k_1 x+m_1 $ un $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Šīs funkcijas sauc par tiešajām. Tos ir diezgan viegli izveidot, jums ir jāņem jebkuras divas vērtības $ x_1 $ un $ x_2 $ un jāatrod $ f(x_1) $ un $ (x_2) $. Pēc tam atkārtojiet to pašu ar funkciju $ g(x) $. Tālāk vizuāli atrodiet funkciju grafiku krustošanās punkta koordinātas.

Jums jāzina, ka lineārām funkcijām ir tikai viens krustošanās punkts un tikai tad, ja $ k_1 \neq k_2 $. Pretējā gadījumā $ k_1=k_2 $ gadījumā funkcijas ir paralēlas viena otrai, jo $ k $ ir slīpuma koeficients. Ja $ k_1 \neq k_2 $, bet $ m_1=m_2 $, tad krustojuma punkts būs $ M(0;m) $. Šo noteikumu ieteicams atcerēties, lai ātri atrisinātu problēmas.

Divu nelineāru funkciju gadījums

Dotas divas līnijas, un jums jāatrod to krustošanās punkts. Tā kā šis punkts pieder katrai no divām dotajām taisnēm, tā koordinātām jāatbilst gan pirmās, gan otrās līnijas vienādojumam.

Tātad, lai atrastu divu taisnu krustpunkta koordinātas, jāatrisina vienādojumu sistēma

Piemērs 1. Atrodiet līniju krustpunktu un

Risinājums. Atrisinot vienādojumu sistēmu, atradīsim vēlamā krustojuma punkta koordinātas

Krustojuma punktam M ir koordinātas

Parādīsim, kā izveidot taisnu līniju, izmantojot tās vienādojumu. Lai izveidotu taisnu līniju, pietiek zināt tās divus punktus. Lai izveidotu katru no šiem punktiem, mēs norādām patvaļīgu vērtību vienai no tās koordinātām, un pēc tam no vienādojuma atrodam atbilstošo vērtību otrai koordinātei.

Ja taisnes vispārīgajā vienādojumā abi koeficienti pie pašreizējām koordinātām nav vienādi ar nulli, tad šīs taisnes konstruēšanai vislabāk ir atrast tās krustošanās punktus ar koordinātu asīm.

Piemērs 2. Izveidojiet taisnu līniju.

Risinājums. Mēs atrodam šīs līnijas krustošanās punktu ar abscisu asi. Lai to izdarītu, mēs kopā atrisinām to vienādojumus:

un mēs saņemam. Tādējādi ir atrasts šīs taisnes krustošanās punkts M (3; 0) ar abscisu asi (40. att.).

Pēc tam kopā atrisinot šīs taisnes vienādojumu un ordinātu ass vienādojumu

atrodam taisnes krustpunktu ar ordinātu asi. Visbeidzot, mēs izveidojam taisnu līniju no diviem tās punktiem M un

Risinot dažus ģeometriskus uzdevumus ar koordinātu metodi, jāatrod līniju krustošanās punkta koordinātas. Visbiežāk plaknē ir jāmeklē divu līniju krustošanās punkta koordinātas, bet dažkārt rodas nepieciešamība noteikt divu līniju krustošanās punkta koordinātas telpā. Šajā rakstā mēs aplūkosim tā punkta koordinātu atrašanu, kurā krustojas divas līnijas.

Lapas navigācija.

Divu līniju krustošanās punkts ir definīcija.

Vispirms definēsim divu līniju krustošanās punktu.

Tātad, lai atrastu divu taisnu līniju krustošanās punkta koordinātas, kas plaknē noteiktas ar vispārīgiem vienādojumiem, ir jāatrisina sistēma, kas sastāv no doto taisnu vienādojumiem.

Apskatīsim risinājuma piemēru.

Piemērs.

Atrodiet krustpunktu divām taisnstūrveida koordinātu sistēmā plaknē definētām taisnēm ar vienādojumu x-9y+14=0 un 5x-2y-16=0.

Risinājums.

Mums ir doti divi vispārīgi līniju vienādojumi, no tiem izveidosim sistēmu: . Iegūtās vienādojumu sistēmas risinājumus var viegli atrast, atrisinot tās pirmo vienādojumu attiecībā pret mainīgo x un aizstājot šo izteiksmi ar otro vienādojumu:

Atrastais vienādojumu sistēmas risinājums dod mums vēlamās divu taisnes krustošanās punkta koordinātas.

Atbilde:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 un 5x-2y-16=0 .

Tātad, atrodot divu taisnu līniju krustošanās punkta koordinātas, kuras plaknē definē ar vispārīgiem vienādojumiem, ir jāatrisina divu sistēmu lineārie vienādojumi ar diviem nezināmiem mainīgajiem. Bet ko darīt, ja plaknes taisnes tiek dotas nevis ar vispārīgiem vienādojumiem, bet gan ar cita veida vienādojumiem (skat. plaknes taisnes vienādojumu veidus)? Šādos gadījumos līniju vienādojumus vispirms var samazināt līdz vispārīgai formai un tikai pēc tam atrast krustojuma punkta koordinātas.

Piemērs.

Un .

Risinājums.

Pirms doto līniju krustošanās punkta koordināšu atrašanas mēs to vienādojumus reducējam uz vispārīgu formu. Pāreja no parametriskiem taisnes vienādojumiem šīs līnijas vispārīgajam vienādojumam izskatās šādi šādā veidā:

Tagad veiksim nepieciešamās darbības ar līnijas kanonisko vienādojumu:

Tādējādi vēlamās līniju krustošanās punkta koordinātas ir formas vienādojumu sistēmas risinājums . Lai to atrisinātu, mēs izmantojam:

Atbilde:

M 0 (-5, 1)

Ir vēl viens veids, kā atrast plaknes divu līniju krustošanās punkta koordinātas. Tas ir ērti lietojams, ja viena no rindām ir dota ar formas parametriskiem vienādojumiem , bet otrs ir cita veida taisnes vienādojums. Šajā gadījumā citā vienādojumā mainīgo x un y vietā varat aizstāt izteiksmes Un , no kurienes varēs iegūt vērtību, kas atbilst doto līniju krustpunktam. Šajā gadījumā līniju krustošanās punktam ir koordinātas.

Izmantojot šo metodi, noskaidrosim iepriekšējā piemēra līniju krustošanās punkta koordinātas.

Piemērs.

Nosakiet līniju krustošanās punkta koordinātas Un .

Risinājums.

Aizstāsim taisnās līnijas izteiksmi vienādojumā:

Atrisinot iegūto vienādojumu, mēs iegūstam . Šī vērtība atbilst līniju kopējam punktam Un . Mēs aprēķinām krustojuma punkta koordinātas, parametru vienādojumos aizstājot taisnu līniju:
.

Atbilde:

M 0 (-5, 1) .

Lai pabeigtu attēlu, jāapspriež vēl viens punkts.

Pirms divu taisnu krustpunkta koordināšu atrašanas plaknē ir lietderīgi pārliecināties, vai dotās taisnes tiešām krustojas. Ja izrādās, ka sākotnējās taisnes sakrīt vai ir paralēlas, tad nevar būt ne runas par šādu līniju krustošanās punkta koordinātu atrašanu.

Jūs, protams, varat iztikt bez šādas pārbaudes un nekavējoties izveidot formas vienādojumu sistēmu un atrisināt to. Ja vienādojumu sistēmai ir unikāls risinājums, tad tas dod tā punkta koordinātas, kurā sākotnējās līnijas krustojas. Ja vienādojumu sistēmai nav atrisinājumu, tad varam secināt, ka sākotnējās taisnes ir paralēlas (jo nav reālu skaitļu x un y pāra, kas vienlaikus apmierinātu abus doto taisnes vienādojumus). No bezgalīgi daudzu risinājumu klātbūtnes vienādojumu sistēmai izriet, ka sākotnējām taisnēm ir bezgalīgi daudz kopīgu punktu, tas ir, tās sakrīt.

Apskatīsim piemērus, kas atbilst šīm situācijām.

Piemērs.

Uzziniet, vai līnijas un krustojas, un, ja tās krustojas, tad atrodiet krustojuma punkta koordinātas.

Risinājums.

Dotie vienādojumi taisnas līnijas atbilst vienādojumiem Un . Atrisināsim sistēmu, kas sastāv no šiem vienādojumiem .

Acīmredzami, ka sistēmas vienādojumi ir lineāri izteikti viens caur otru (otrais sistēmas vienādojums tiek iegūts no pirmā, abas tā daļas reizinot ar 4), tāpēc vienādojumu sistēmai ir bezgalīgi daudz atrisinājumu. Tādējādi vienādojumi nosaka vienu un to pašu taisni, un mēs nevaram runāt par šo līniju krustošanās punkta koordinātu atrašanu.

Atbilde:

Vienādojumi un definē vienu un to pašu taisni taisnstūra koordinātu sistēmā Oxy, tāpēc nevar runāt par krustojuma punkta koordinātu atrašanu.

Piemērs.

Atrodiet līniju krustošanās punkta koordinātas Un , ja iespējams.

Risinājums.

Problēmas stāvoklis pieļauj, ka līnijas nedrīkst krustoties. Izveidosim sistēmu no šiem vienādojumiem. Pieteiksimies, lai to atrisinātu, jo tas ļauj mums noteikt vienādojumu sistēmas saderību vai nesaderību, un, ja tā ir saderīga, atrast risinājumu:

Pēdējais sistēmas vienādojums pēc Gausa metodes tiešās pārejas pārvērtās par nepareizu vienādību, tāpēc vienādojumu sistēmai nav atrisinājumu. No tā mēs varam secināt, ka sākotnējās taisnes ir paralēlas, un mēs nevaram runāt par šo līniju krustošanās punkta koordinātu atrašanu.

Otrais risinājums.

Noskaidrosim, vai dotās taisnes krustojas.

- parasto līniju vektors , un vektoru ir normāls līnijas vektors . Pārbaudīsim izpildi Un : vienlīdzība ir taisnība, jo līdz ar to doto līniju normālie vektori ir kolineāri. Tad šīs līnijas ir paralēlas vai sakrīt. Tādējādi mēs nevaram atrast sākotnējo līniju krustošanās punkta koordinātas.

Atbilde:

Doto līniju krustošanās punkta koordinātas nav iespējams atrast, jo šīs līnijas ir paralēlas.

Piemērs.

Atrodiet taisnes 2x-1=0 un, ja tās krustojas, krustošanās punkta koordinātas.

Risinājums.

Sastādām vienādojumu sistēmu, kas ir vispārīgi vienādojumi dotām taisnēm: . Šīs vienādojumu sistēmas galvenās matricas determinants nav nulle , tāpēc vienādojumu sistēmai ir unikāls risinājums, kas norāda doto taisnes krustpunktu.

Lai atrastu līniju krustošanās punkta koordinātas, mums jāatrisina sistēma:

Iegūtais risinājums dod mums līniju krustošanās punkta koordinātas, tas ir, 2x-1=0 un .

Atbilde:

Divu līniju krustošanās punkta koordināšu atrašana telpā.

Divu līniju krustošanās punkta koordinātas collā trīsdimensiju telpa tiek atrasti līdzīgi.

Apskatīsim piemēru risinājumus.

Piemērs.

Atrodiet divu taisnu krustpunkta koordinātes, kuras telpā dotas ar vienādojumiem Un .

Risinājums.

Sastādīsim vienādojumu sistēmu no doto līniju vienādojumiem: . Šīs sistēmas risinājums dos mums vajadzīgās līniju krustošanās punkta koordinātas telpā. Atradīsim rakstītās vienādojumu sistēmas risinājumu.

Sistēmas galvenajai matricai ir forma , un pagarināts - .

Definēsim A un matricas T rangs. Mēs izmantojam