Sistēmas kustība papildus iedarbīgajiem spēkiem ir atkarīga arī no tās kopējās masas un masas sadalījuma. Sistēmas svars vienāda ar visu sistēmu veidojošo punktu vai ķermeņu masu aritmētisko summu

Vienmērīgā gravitācijas laukā, kuram , jebkuras ķermeņa daļiņas svars būs proporcionāls tās masai. Tāpēc masu sadalījumu ķermenī var spriest pēc tā smaguma centra stāvokļa. Pārveidosim formulas, kas nosaka smaguma centra koordinātas:

, , . (1)

Iegūtās vienādības ietver tikai ķermeni veidojošo materiālo punktu (daļiņu) masas un šo punktu koordinātas. Tāpēc punkta pozīcija C(x C, y C, z C) patiešām raksturo masu sadalījumu ķermenī vai jebkurā mehāniskā sistēmā, ja ar , mēs domājam attiecīgi šīs sistēmas punktu masas un koordinātas.

Ģeometriskais punkts AR, kuru koordinātas nosaka pēc norādītajām formulām, sauc par masas centru vai sistēmas inerces centrs.

Masas centra stāvokli nosaka tā rādiusa vektors

Kur - sistēmu veidojošo punktu rādiusu vektori.

Lai gan masas centra novietojums sakrīt ar ķermeņa smaguma centra stāvokli, kas atrodas vienotā smaguma laukā, šie jēdzieni nav identiski. Smaguma centra jēdziens kā punkts, caur kuru iet rezultējošo gravitācijas spēku darbības līnija, būtībā ir jēga tikai cietam ķermenim, kas atrodas vienmērīgā gravitācijas laukā. Masas centra jēdzienam kā masu sadalījuma pazīmei sistēmā ir nozīme jebkurai materiālu punktu vai ķermeņu sistēmai, un šis jēdziens saglabā savu nozīmi neatkarīgi no tā, vai šī sistēma atrodas kādu spēku vai spēku ietekmē. nē.

Ķermeņa inerces moments ap asi. Inerces rādiuss.

Masas centra novietojums pilnībā neraksturo sistēmas masas sadalījumu. Piemēram (32. att.). ), ja attālumi h no ass Oz katra no identiskajām bumbiņām A Un IN palielināsies par tādu pašu daudzumu, tad sistēmas masas centra pozīcija nemainīsies, bet masu sadalījums kļūs atšķirīgs, un tas ietekmēs sistēmas kustību (rotāciju ap asi Oz ceteris paribus notiks lēnāk).

32. att

Tāpēc mehānikā tiek ieviests vēl viens masas sadalījuma raksturlielums - inerces moments. Ķermeņa (sistēmas) inerces moments attiecībā pret doto asi Oz (vai aksiālais inerces moments) ir skalārs lielums, kas vienāds ar visu ķermeņa (sistēmas) punktu masu reizinājumu ar kvadrātiem. to attālumus no šīs ass

No definīcijas izriet, ka ķermeņa (vai sistēmas) inerces moments attiecībā pret jebkuru asi ir pozitīvs lielums un nav vienāds ar nulli.

Ņemiet vērā arī to, ka ķermeņa inerces moments ir ķermeņa ģeometriskais raksturlielums, kas nav atkarīgs no tā kustības.

Aksiālajam inerces momentam ķermeņa rotācijas kustības laikā ir tāda pati loma kā masai translācijas kustības laikā, t.i. Kas aksiālais inerces moments ir ķermeņa inerces mērs rotācijas kustības laikā.

Saskaņā ar formulu ķermeņa inerces moments ir vienāds ar visu tā daļu inerces momentu summu attiecībā pret vienu un to pašu asi. Vienam materiālam punktam, kas atrodas attālumā h no ass, .

Bieži aprēķinos tiek izmantots griešanās rādiusa jēdziens. Inerces rādiussķermenis attiecībā pret asi Oz sauc par lineāru lielumu, ko nosaka vienādība

Kur M- ķermeņa masa. No definīcijas izriet, ka griešanās rādiuss ir ģeometriski vienāds ar attālumu no ass Oz punkts, kurā jākoncentrējas visa ķermeņa masai, lai šī viena punkta inerces moments būtu vienāds ar visa ķermeņa inerces momentu.

Cieta ķermeņa gadījumā, sadalot to elementārās daļās, mēs atklājam, ka robežās summa vienādībā , pārvēršas par integrāli. Rezultātā, ņemot vērā, ka , kur ir blīvums un V- apjoms, mēs saņemam

Integrālis šeit attiecas uz visu apjomu Vķermeņi, blīvums un attālums h ir atkarīgi no ķermeņa punktu koordinātām.

Dažu viendabīgu ķermeņu inerces momenti:

1. Plāns vienāda garuma stienis l un masas M. Aprēķināsim tā inerces momentu attiecībā pret asi Az, perpendikulāri stienim un iet cauri tā galam A(33. att.).

33. att

Tiesimies līdzi AB koordinātu ass Ak. Tad jebkuram elementāram garuma segmentam dx lielums h=x, un masa , Kur - masa uz stieņa garuma vienību. Rezultātā

Aizstājot to ar tā vērtību šeit, mēs beidzot atrodam:

2. Plāns apaļš vienmērīgs rādiusa gredzens R un masas M. Atradīsim tā inerces momentu attiecībā pret asi Cz, perpendikulāri gredzena plaknei un iet caur tā centru (34. att., A). Tā kā visi gredzena punkti ir no ass Cz uz attālumu h k = R, Tas

Tāpēc gredzenam

Acīmredzot tāds pats rezultāts tiks iegūts plānas cilindriskas masas čaulas inerces momentā M un rādiuss R attiecībā pret savu asi.

3. Apaļa viendabīga plāksne vai cilindrs ar rādiusu R un masas M. Aprēķināsim apaļas plāksnes inerces momentu attiecībā pret asi Сz, perpendikulāri plāksnei un iet caur tās centru (sk. 34. att., A). Lai to izdarītu, mēs izvēlamies elementāru rādiusa gredzenu r un platums dr(34. att. b).

Jebkuru ķermeni var uzskatīt par materiālu punktu kopumu, ko, piemēram, var uzskatīt par molekulām. Lai ķermenis sastāv no n materiāliem punktiem ar masām m1, m2, ...mn.

Ķermeņa masas centrs, kuru sastāv no n materiāliem punktiem, sauc par punktu (ģeometriskā nozīmē), kura rādiusa vektoru nosaka formula:

Šeit R1 ir punkta skaitļa i (i = 1, 2, ... n) rādiusa vektors.

Šī definīcija izskatās neparasta, bet patiesībā tā sniedz paša masas centra pozīciju, par kuru mums ir intuitīvs priekšstats. Piemēram, stieņa masas centrs atradīsies tā vidū. Visu iepriekšminētās formulas saucējā iekļauto punktu masu summu sauc par ķermeņa masu. Ķermeņa masa sauca visu tā punktu masu summa: m = m1 + m2 + ... + mn.

Simetriskos viendabīgos ķermeņos CM vienmēr atrodas simetrijas centrā vai atrodas uz simetrijas ass, ja figūrai nav simetrijas centra. Masas centrs var atrasties gan korpusa iekšpusē (disks, kvadrāts, trīsstūris), gan ārpus tā (gredzens, rāmis, kvadrāts).

Cilvēkam COM pozīcija ir atkarīga no ieņemtās stājas. Daudzos sporta veidos svarīga veiksmes sastāvdaļa ir spēja saglabāt līdzsvaru. Tātad, vingrošanā, akrobātikā

tiks iekļauts liels skaits elementu dažādi veidi līdzsvaru. Svarīga ir spēja saglabāt līdzsvaru daiļslidošanā un ātrslidošanā, kur balstam ir ļoti mazs laukums.

Ķermeņa līdzsvara nosacījumi miera stāvoklī ir spēku summas un spēku momentu summas, kas iedarbojas uz ķermeni, vienlaicīga vienādība ar nulli.

Noskaidrosim, kādā stāvoklī jāieņem griešanās asij, lai tai piestiprinātais ķermenis gravitācijas ietekmē paliktu līdzsvarā. Lai to izdarītu, sadalīsim ķermeni daudzos mazos gabaliņos un uzzīmēsim gravitācijas spēkus, kas uz tiem iedarbojas.

Saskaņā ar momentu likumu līdzsvaram ir nepieciešams, lai visu šo spēku momentu summa ap asi būtu vienāda ar nulli.

Var parādīt, ka katram ķermenim ir viens punkts, kurā smaguma momentu summa ap jebkuru asi, kas iet caur šo punktu, ir vienāda ar nulli. Šo punktu sauc par smaguma centru (parasti tas sakrīt ar masas centru).

Ķermeņa smaguma centrs (CG) sauca punkts, attiecībā pret kuru gravitācijas momentu summa, kas iedarbojas uz visām ķermeņa daļiņām, ir vienāda ar nulli.

Tādējādi gravitācijas spēki neizraisa ķermeņa griešanos ap smaguma centru. Tāpēc visus gravitācijas spēkus varētu aizstāt ar vienu spēku, kas tiek pielikts šim punktam un ir vienāds ar gravitācijas spēku.

Lai pētītu sportista ķermeņa kustības, bieži tiek ieviests termins vispārējais smaguma centrs (GCG). Smaguma centra pamatīpašības:

Ja ķermenis ir fiksēts uz ass, kas iet caur smaguma centru, tad smaguma spēks neizraisīs tā griešanos;

Smaguma centrs ir smaguma pielietošanas punkts;

Viendabīgā laukā smaguma centrs sakrīt ar masas centru.

Līdzsvars ir ķermeņa stāvoklis, kurā tas var palikt miera stāvoklī tik ilgi, cik nepieciešams. Kad ķermenis novirzās no līdzsvara stāvokļa, mainās spēki, kas uz to iedarbojas, un tiek izjaukts spēku līdzsvars.

Pastāv Dažādi līdzsvars (9. att.). Ir pieņemts izšķirt trīs līdzsvara veidus: stabilu, nestabilu un vienaldzīgu.

Stabilu līdzsvaru (9. att., a) raksturo fakts, ka ķermenis atgriežas sākotnējā stāvoklī, kad tas tiek novirzīts. Šajā gadījumā rodas spēki vai spēka momenti, kuriem ir tendence atgriezt ķermeni sākotnējā stāvoklī. Kā piemēru var minēt ķermeņa stāvokli ar augšējo atbalstu (piemēram, karājoties uz šķērsstieņa), kad ar jebkādām novirzēm ķermenim ir tendence atgriezties sākotnējā stāvoklī.

Vienaldzīgajam līdzsvaram (9. att., b) raksturīgs tas, ka, mainoties ķermeņa stāvoklim, nerodas spēki vai spēka momenti, kas tiecas atgriezt ķermeni sākotnējā stāvoklī vai vēl vairāk noņemt ķermeni no tā. Tā ir reta parādība cilvēkiem. Piemērs ir bezsvara stāvoklis uz kosmosa kuģa.

Nestabils līdzsvars (9. att., c) tiek novērots, kad ar nelielām ķermeņa novirzēm rodas spēki vai spēka momenti, kas mēdz vēl vairāk novirzīt ķermeni no sākuma stāvokļa. Šādu gadījumu var novērot, kad cilvēks, stāvot uz ļoti maza laukuma (daudz mazāka par viņa divu kāju vai pat vienas kājas laukumu) balsta, noliecas uz sāniem.

9. attēls. Ķermeņa līdzsvars: stabils (a), vienaldzīgs (b), nestabils (c)

Līdzās uzskaitītajiem ķermeņu līdzsvara veidiem biomehānika uzskata arī citu līdzsvara veidu - ierobežotu-stabilu. Šis līdzsvara veids izceļas ar to, ka ķermenis var atgriezties sākotnējā stāvoklī, novirzoties no tā līdz noteiktai robežai, piemēram, ko nosaka atbalsta zonas robeža. Ja novirze pārsniedz šo robežu, līdzsvars kļūst nestabils.

Galvenais uzdevums cilvēka ķermeņa līdzsvara nodrošināšanā ir nodrošināt, lai ķermeņa GCM projekcija būtu atbalsta zonā. Atkarībā no aktivitātes veida (statiskā stāvokļa saglabāšana, iešana, skriešana u.c.) un stabilitātes prasībām mainās koriģējošu iedarbību biežums un ātrums, bet līdzsvara saglabāšanas procesi ir vienādi.

Masas sadalījums cilvēka ķermenī

Ķermeņa masa un atsevišķu segmentu masa ir ļoti svarīga dažādiem biomehānikas aspektiem. Daudzos sporta veidos ir jāzina ražošanas masas sadalījums pareiza tehnika veicot vingrinājumus. Lai analizētu cilvēka ķermeņa kustības, tiek izmantota segmentācijas metode: tā tiek nosacīti sadalīta noteiktos segmentos. Katram segmentam tiek noteikta tā masa un masas centra atrašanās vieta. Tabulā 1 ķermeņa daļu masas tiek noteiktas relatīvās vienībās.

1. tabula. Ķermeņa daļu masas relatīvās vienībās

Bieži vien masas centra jēdziena vietā tiek lietots cits jēdziens - smaguma centrs. Vienmērīgā smaguma laukā smaguma centrs vienmēr sakrīt ar masas centru. Saites smaguma centra pozīcija ir norādīta kā attālums no proksimālās locītavas ass un tiek izteikts attiecībā pret saites garumu, ņemot vērā vienību.

Tabulā 2. attēlā parādīts dažādu ķermeņa daļu smaguma centru anatomiskais stāvoklis.

2. tabula. Ķermeņa daļu smaguma centri

Definīcija

Klasiskajā mehānikā tiek noteikta materiāla punktu sistēmas masas centra (inerces centra) pozīcija. šādā veidā:

Nepārtrauktas masas sadales gadījumā:

Tādējādi masas centrs raksturo masas sadalījumu pa ķermeni vai daļiņu sistēmu.

Viendabīgu figūru masas centri

• Segmentam ir vidusdaļa.
• Daudzstūriem (gan cietām plakanām figūrām, gan rāmjiem):
  • Trijstūrim ir mediānu krustpunkts ( centroīds).
• Regulāram daudzstūrim ir rotācijas simetrijas centrs.

Mehānikā

Masas centra jēdziens fizikā tiek plaši izmantots.

Kustība ciets var uzskatīt par masas centra kustības superpozīciju un ķermeņa rotācijas kustību ap tā masas centru. Šajā gadījumā masas centrs kustas tāpat kā ķermenis ar tādu pašu masu, bet kustētos bezgalīgi mazi izmēri (materiālais punkts). Pēdējais jo īpaši nozīmē, ka šīs kustības aprakstīšanai ir piemērojami visi Ņūtona likumi. Daudzos gadījumos jūs varat pilnībā ignorēt ķermeņa izmēru un formu un ņemt vērā tikai tā masas centra kustību.

Bieži vien ir ērti apsvērt slēgtas sistēmas kustību atskaites sistēmā, kas saistīta ar masas centru. Šādu atskaites sistēmu sauc par masas centru (C-sistēmu) vai inerces centru. Tajā slēgtas sistēmas kopējais impulss vienmēr ir vienāds ar nulli, kas ļauj vienkāršot tās kustības vienādojumus.

Masas centrs relativistiskajā mehānikā

Liela ātruma gadījumā (gaismas ātruma secībā) (piemēram, daļiņu fizikā) sistēmas dinamikas raksturošanai izmanto SRT aparātu. Relativistiskajā mehānikā (SRT) jēdzieni masas centrs Un masu sistēmu centrs ir arī vissvarīgākie jēdzieni, tomēr jēdziena definīcija mainās:

Lai izvairītos no kļūdām, jāsaprot, ka STR masas centru raksturo nevis masas sadalījums, bet gan enerģijas sadalījums. Landau un Livšitsa teorētiskās fizikas gaitā priekšroka tiek dota terminam “inerces centrs”. Rietumu literatūrā par elementārdaļiņām tiek lietots termins “masas centrs”. Abi termini ir līdzvērtīgi.

Masas centra ātrumu relativistiskajā mehānikā var atrast pēc formulas:

Smaguma centrs

Ķermeņa masas centru nedrīkst jaukt ar smaguma centru!

Ķermeņa smaguma centrs ir punkts, attiecībā pret kuru kopējais gravitācijas moments, kas iedarbojas uz sistēmu, ir vienāds ar nulli. Piemēram, sistēmā, kas sastāv no divām identiskām masām, kas savienotas ar neelastīgu stieni un novietotas nevienmērīgā gravitācijas laukā (piemēram, planēta), masas centrs atradīsies stieņa vidū, bet masas centrs sistēmas gravitācija tiks novirzīta uz stieņa galu, kas ir tuvāk planētai (jo masas svars P = m g ir atkarīgs no gravitācijas lauka parametra g), un, vispārīgi runājot, atrodas pat ārpus stieņa.

Pastāvīgā paralēlā (viendabīgā) gravitācijas laukā smaguma centrs vienmēr sakrīt ar masas centru. Tāpēc praksē šie divi centri gandrīz sakrīt (jo ārējo gravitācijas lauku ārpustelpas problēmās var uzskatīt par nemainīgu ķermeņa tilpuma ietvaros).

Tā paša iemesla dēļ koncepcija masas centrs Un smaguma centrs sakrīt, ja šie termini tiek lietoti ģeometrijā, statikā un līdzīgās jomās, kur to lietojumu salīdzinājumā ar fiziku var saukt par metaforisku un kur netieši tiek pieņemta to līdzvērtības situācija (jo nav reāla gravitācijas lauka un ņemot vērā tā neviendabīgumu nav jēgas). Šajos lietojumos tradicionāli abi termini ir sinonīmi, un bieži vien priekšroka tiek dota otrajam, jo ​​tas ir vecāks.

Skatīt arī

Wikimedia fonds. 2010. gads.

• Plazma
• Šite, Ludvigs

Skatiet, kas ir “masas centrs” citās vārdnīcās:

masas centrs- (inerces centrs) ķermeņa (materiālo punktu sistēma), punkts, kura novietojums raksturo masu sadalījumu ķermenī vai mehāniskajā sistēmā. Kad ķermenis kustas, tā masas centrs pārvietojas kā materiāls punkts ar masu, kas vienāda ar visa ķermeņa masu, līdz... ... enciklopēdiskā vārdnīca

MASU CENTRS- ķermeņa (materiālo punktu sistēmas) (inerces centrs) punkts, kas raksturo masu sadalījumu ķermenī vai mehāniskajā sistēmā. Kad ķermenis pārvietojas, tā masas centrs pārvietojas kā materiāls punkts, kura masa ir vienāda ar visa ķermeņa masu, uz kuru... ... Lielā enciklopēdiskā vārdnīca

masas centrs- mehāniskā sistēma; masas centrs; nozare inerces centrs Ģeometrisks punkts, kuram visu mehānisko sistēmu veidojošo materiālu punktu masu un to rādiusu vektoru reizinājumu summa, kas novilkta no šī punkta, ir vienāda ar nulli... Politehnisko terminu skaidrojošā vārdnīca

MASU CENTRS- tāds pats kā inerces centrs. Fiziskā enciklopēdiskā vārdnīca. M.: Padomju enciklopēdija. Galvenais redaktors A. M. Prohorovs. 1983. MASU CENTRS... Fiziskā enciklopēdija

masas centrs- 3.1. masas centrs: punkts, kas saistīts ar fizisko ķermeni un kam ir tāda īpašība, ka iedomātam punktveida objektam, kura masa ir vienāda ar šī fiziskā ķermeņa masu, ja tas būtu novietots šajā punktā, būtu tāds pats inerces moments attiecībā pret patvaļīgs...... Normatīvās un tehniskās dokumentācijas terminu vārdnīca-uzziņu grāmata

Masas centrs- inerces centrs, ģeometrisks punkts, kura novietojums raksturo masu sadalījumu ķermenī vai mehāniskajā sistēmā. Centrālās masas koordinātas nosaka ar formulām vai ķermenim ar nepārtrauktu masu sadalījumu ... ... Lielā padomju enciklopēdija

MASU CENTRS- inerces centrs, punkts C, kas raksturo masu sadalījumu mehāniskajā. sistēma. Sistēmas, kas sastāv no materiāliem punktiem, centrālās masas rādiusa vektors, kur mi un ri ir i-tā punkta masas un rādiusa vektors, bet M ir visas sistēmas masa. Kad sistēma kustas, centrālais elements kustas... Lielā enciklopēdiskā politehniskā vārdnīca

MASU CENTRS- (inerces centrs) ķermeņa (materiālo punktu sistēma), punkts, bara novietojums raksturo masu sadalījumu ķermenī vai mehāniski. sistēma. Kad ķermenis kustas, tā centrālā masa kā materiāls punkts, kura masa ir vienāda ar visa ķermeņa masu, virzās uz spietu... ... Dabaszinātnes. enciklopēdiskā vārdnīca

Masas centrs ir ģeometrisks punkts, kas atrodas ķermeņa iekšpusē un nosaka šī ķermeņa masas sadalījumu. Jebkuru ķermeni var attēlot kā noteiktu skaitu materiālo punktu summu. Šajā gadījumā masas centra pozīcija nosaka rādiusa vektoru.

1. formula — masas vektora centra rādiuss.

mi ir šī punkta masa.

ri ir punkta rādiusa vektors.

Ja jūs summējat visu materiālo punktu masas, jūs iegūstat visa ķermeņa masu. Masas centra stāvokli ietekmē masas sadalījuma vienmērīgums pa ķermeņa tilpumu. Masas centrs var atrasties gan ķermeņa iekšpusē, gan ārpus tā. Pieņemsim, ka gredzenam masas centrs atrodas apļa centrā. Kur nav vielas. Parasti simetriskiem ķermeņiem ar vienmērīgu masas sadalījumu masas centrs vienmēr atrodas simetrijas centrā vai uz tā ass.

1. attēls – simetrisku ķermeņu masas centri.

Ja ķermenim tiek pielikts zināms spēks, tas sāks kustēties. Iedomājieties gredzenu, kas atrodas uz galda virsmas. Ja jūs pieliekat tam spēku un vienkārši sākat stumt, tas slīdēs gar galda virsmu. Bet kustības virziens būs atkarīgs no vietas, kur pielikts spēks.

Ja spēks tiek virzīts no ārējās malas uz centru, perpendikulāri ārējai virsmai, tad gredzens sāks taisni kustēties pa galda virsmu spēka pielikšanas virzienā. Ja spēks tiek pielikts tangenciāli gredzena ārējam rādiusam, tas sāks griezties attiecībā pret tā masas centru. Tādējādi mēs varam secināt, ka ķermeņa kustība sastāv no translācijas un rotācijas kustības summas attiecībā pret masas centru. Tas nozīmē, ka jebkura ķermeņa kustību var aprakstīt ar tāda materiāla punkta kustību, kas atrodas masas centrā un kuram ir visa ķermeņa masa.

2. attēls. Gredzena translācijas un rotācijas kustība.

Ir arī smaguma centra jēdziens. Kopumā tas nav tas pats, kas masas centrs. Smaguma centrs ir punkts, attiecībā pret kuru kopējais smaguma moments ir nulle. Ja iedomājaties stieni, teiksim, 1 metru garu, 1 cm diametru un vienādu šķērsgriezumu. Stieņa galos ir fiksētas vienādas masas metāla bumbiņas. Tad šī stieņa masas centrs būs vidū. Ja šo stieni novieto nevienmērīgā gravitācijas laukā, tad smaguma centrs tiks novirzīts uz lielāku lauka intensitāti.

3. attēls – ķermenis nevienmērīgā un vienmērīgā gravitācijas laukā.

Uz zemes virsmas, kur gravitācijas spēks ir vienmērīgs, masas centrs praktiski sakrīt ar smaguma centru. Jebkuram nemainīgam vienmērīgam gravitācijas laukam smaguma centrs vienmēr sakritīs ar masas centru.

Sistēmas kustības diferenciālvienādojumi

Apskatīsim sistēmu, kas sastāv no $n$ materiālajiem punktiem. Izvēlēsimies kādu sistēmas punktu ar masu $m_(k).$ Visu punktam pielikto ārējo spēku (gan aktīvo, gan ierobežojošo reakciju) rezultantu apzīmēsim ar $\overline(F)_(k)^(e ) $, un izrietošie visi iekšējie spēki - caur $\overline(F)_(k)^(l) $. Ja punktam ir paātrinājums $\overline(a_(k) )$, tad saskaņā ar dinamikas pamatlikumu:

Mēs iegūstam līdzīgu rezultātu jebkuram punktam. Tāpēc visai sistēmai tas būs:

Vienādojumi (1) ir diferenciālvienādojumi sistēmas kustība vektora formā.

Projicējot vienādības (1) uz koordinātu asīm, iegūstam sistēmas kustības vienādojumus diferenciālā formā projekcijās uz šīm asīm.

Taču, risinot daudzas specifiskas problēmas, nerodas nepieciešamība atrast kustības likumu katram no sistēmas punktiem, bet reizēm pietiek ar to raksturlielumu atrašanu, kas nosaka visas sistēmas kustību kopumā.

Teorēma par sistēmas masas centra kustību

Lai noteiktu sistēmas kustības raksturu, ir jāzina tās masas centra kustības likums. Sistēmas masas centrs jeb inerces centrs ir tāds iedomāts punkts, kura rādiusa vektors $R$ izteikts caur materiālo punktu rādiusu vektoriem $r_(1) ,r_(2) ,...$ uz formulu:

$R=\frac(m_(1) r_(1) +m_(2) r_(2) +...+m_(n) r_(n) )(m) $, (2)

kur $m=m_(1) +m_(2) +...+m_(n) $ ir visas sistēmas kopējā masa.

Lai atrastu šo likumu, pievērsīsimies sistēmas (1) kustības vienādojumiem un saskaitīsim to kreiso un labo pusi pa vārdam. Tad mēs iegūstam:

$\sum m_(k) \overline(a)_(k) =\sum \overline(F)_(k)^(e) +\sum \overline(F)_(k)^(l) $. (3)

No formulas (2) mums ir:

Ņemot otro atvasinājumu attiecībā pret laiku, mēs iegūstam:

$\sum m_(k) \overline(a)_(k) =M\overline(a)_(c) $, (4)

kur $\overline(a)_(c) $ ir sistēmas masas centra paātrinājums.

Tā kā pēc sistēmas iekšējo spēku īpašībām $\sum \overline(F)_(k)^(l) =0$, mēs beidzot iegūstam no vienādības (3), ņemot vērā (4):

$M\overline(a)_(c) =\sum \overline(F)_(k)^(e) $. (5)

Vienādojums (5) izsaka teorēmu par sistēmas masas centra kustību: sistēmas masas un tās masas centra paātrinājuma reizinājums ir vienāds ar visu uz sistēmu iedarbojošo ārējo spēku ģeometrisko summu, vai sistēmas masas centrs kustas kā materiāls punkts, kura masa ir vienāda ar visas sistēmas masu un kuram tiek pielikti visi ārējie spēki spēki, kas iedarbojas uz sistēmu.

Projicējot abas vienādības (5) puses uz koordinātu asīm, iegūstam:

$M\ddot(x)_(c) =\sum \overline(F)_(kx)^(e) $, $M\ddot(y)_(c) =\sum \overline(F)_( ky)^(e) $, $M\ddot(z)_(c) =\sum \overline(F)_(kz)^(e) $. (6)

Šie vienādojumi ir masas centra kustības diferenciālvienādojumi projekcijās uz Dekarta koordinātu sistēmas asīm.

Teorēmas nozīme ir šāda:

Teorēma

• Uz priekšu kustīgu ķermeni vienmēr var uzskatīt par materiālu punktu, kura masa ir vienāda ar ķermeņa masu. Citos gadījumos ķermeni par materiālu punktu var uzskatīt tikai tad, ja praksē ķermeņa stāvokļa noteikšanai pietiek zināt tā masas centra stāvokli un tas ir pieļaujams, atbilstoši problēmas apstākļiem. , neņemt vērā ķermeņa kustības rotācijas daļu;
• Teorēma ļauj izslēgt no izskatīšanas visus iepriekš nezināmos iekšējos spēkus. Tā ir tā praktiskā vērtība.

Piemērs

Metāla gredzens, kas piekārts uz vītnes pret centrbēdzes mašīnas asi, vienmērīgi griežas ar leņķisko ātrumu $\omega $. Vītne veido leņķi $\alpha $ ar asi. Atrodiet attālumu no gredzena centra līdz rotācijas asij.

\[\omega \] \[\alpha \]

Mūsu sistēmu ietekmē gravitācijas spēks $\overline(N)$ $\overline(N)$ $\alpha \alpha$, vītnes stiepes spēks un centripetālais paātrinājums.

Pierakstīsim Ņūtona otro likumu mūsu sistēmai:

Projicēsim abas daļas uz x un y asīm:

\[\left\( \begin(masīvs)(c) N\sin \alpha =ma; \\ N\cos \alpha =mg; \end(masīvs) \right.(4)\]

Sadalot vienu vienādojumu ar otru, iegūstam:

Tā kā $a=\frac(v^(2) )(R) ;$$v=\omega R$, mēs atrodam vajadzīgo attālumu:

Atbilde: $R=\frac(gtg\alpha )(\omega ^(2) ) $