Видеоурок «Измерительные работы» демонстрирует практическую ценность изученного материала. В состав видео входит демонстрация, каким образом можно измерить высоту предметов, применив имеющиеся знания их геометрии. Также знания геометрии помогут найти расстояние до недоступной точки. Практическое значение раздела математики о решении треугольников трудно переоценить. В строительстве, землемерных и других инженерных работах нередко применяются знания из этой области математики.

Применение теоретических знаний на практике демонстрируется при помощи иллюстраций, на которых легко изобразить реальную практическую задачу, возникшую в ходе инженерных работ. Анимированное представление построений дает возможность выявить знакомые задачи в ходе выполнения практического задания. При помощи сопровождения в виде формул и голосового объяснения дается развернутое объяснение метода решения подобных задач.

Видеоурок начинается с представления темы. Предлагается применить изученные материалы при решении практической задачи на местности - найти высоту некоторого предмета. На иллюстрации демонстрируется высокое дерево, высоту которого требуется измерить. Основание дерева отмечено как точка Н. Замечено, что при отметке некоторой точки А, до которой вычисляется высота, и некоторой точки В на расстоянии b от точки Н, образуется треугольник АНВ, значение некоторых элементов которого известно. Известны прямой угол при вершине треугольника Н, угол ∠АВН=α при вершине В, сторона а. Чтобы найти высоту АН необходимо вычислить произведение длины стороны а и тангенса угла ∠α.

Решение задачи возможно даже в случае, когда нет возможности измерить расстояние от основания дерева Н до точки В. В этом случае на прямой, которой принадлежит сторона НВ, отмечается еще одна точка С. Измеряется расстояние а между отмеченными точками В и С, а также углы при них ∠АВН=∠α и ∠АСВ=∠β. Данных элементов достаточно, чтобы определить оставшиеся неизвестными элементы треугольника АВС. Так как ∠α является внешним углом треугольника, его величина определяется по формуле ∠А=α-β. Для нахождения длины стороны АВ применяем теорему синусов, из которой АВ=a·sinβ/sin(α-β). После вычисления стороны АВ можно определить высоту АН=АВ·sinα. Вместо АВ подставляется полученное выше выражение. Получаем высоту АН= a· sinα·sinβ/ sin(α-β).

Еще один вид задач, решаемых на местности с применением знаний, полученных в данном разделе - измерений расстояний от некоторой точки до недоступной точки. На рисунке к задаче приведен пример, когда необходимо измерить расстояние от некоторой точки до удаленной недоступной точки. Отмечена некоторая точка А, удаленная точка С и искомое расстояние d. Отмечается, что аналогичная задача уже решалась учениками в ходе курса математики с использованием понятия подобия треугольников. В этот раз демонстрируется решение задачи, используя методы решения треугольников. Для этого на данной местности отмечается еще одна точка В, от которой расстояние до А равно с. С помощью астролябии можно измерить углы при вершинах образованного треугольника ∠А=α и ∠В=β. Имеющихся данных достаточно, чтобы определить искомое расстояние d=АС. Оставшийся неизвестным угол ∠С вычисляется по теореме суммы углов треугольника sinС=sin(180⁰-α-β)= sin(α+β). Далее для нахождения расстояния d=АС применяется теорема синусов, из которой следует АС/sinВ=АВ/sinС. Подставляя вместо неизвестных полученные из теоремы выражения, получаем d=с sinβ/sin(α+β). Также отмечается, что аналогично данному ходу решения определяются расстояния до небесных светил.

Видеоурок «Измерительные работы» может быть использован в ходе традиционного урока геометрии вместо объяснения учителя. Также данный материал можно рекомендовать ученикам для самостоятельного рассмотрения. Поможет данное наглядное пособие учителю представить практическое значение изученного материала и в ходе дистанционного обучения.

Учитель математики Саримова Наиля Рахимовна

МБОУ Малобугульминская общеобразовательная средняя школа

Бугульминского района Республики Татарстан

Тема урока: Измерительные работы на местности

(для учащихся 5-7 класса)

Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели. (А. Маркушевич)

Тем, кто хоть раз испытал радостное чувство от решения трудной задачи, познал радость пусть маленького, но открытия, а каждая задача в математике-это проблема, к решению которой человечество шло порою долгие годы, а дети будут, стремятся познавать ещё и ещё и использовать, применять полученные знания в жизни. Это вид работы - поможет учителю увлечь учеников, развивать начала математического и логического мышления, расширить кругозор учащегося, творческую работу, пробудить желание заниматься изучением одной из интереснейших наук. Желание это зависит не только от работы на уроке, но и от практических занятий.

Цель урока : Ознакомить учащихся с методами измерительных работ на местности, ознакомить учащихся такими инструментами, как: рулетка, вешка, отвес, земельный циркуль, экер, рассказать, как ими пользоваться.

Задачи:

- обучающие: научить пользоваться и применять эти инструменты при решении задач методом измерительных работ, совершенствовать навыки самостоятельной работы

-развивающие: развивать логическое мышление, память, внимание, умение составлять план решения и делать выводы, развивать познавательные интересы, навыки самоконтроля.

-воспитательные: воспитывать аккуратность, трудолюбие, усидчивость, стремление доводить начатое дело до конца, чувство взаимопомощи, взаимоподдержки.

Тип урока: урок изучения нового материала

Формы работы учащихся: работа в группах, в парах

При отборе содержания каждого урока по данной теме и форм деятельности учащихся используются принципы: взаимосвязи теории с практикой, научности, наглядности.

учёта возрастных и индивидуальных особенностей учащихся;

сочетания коллективной и индивидуальной деятельности участников;

дифференцированного подхода;

Критерии оценки достижения ожидаемых результатов:

активность учащихся;

самостоятельность учащихся в выполнении заданий;

практические применения математических знаний;

уровень творческих способностей участников.

Подготовка и проведение таких уроков позволяют в результате:

подключить, пробудить и развить потенциальные способности учащихся;

выявить наиболее активных и способных участников;

воспитывать нравственные качества личности: трудолюбие, упорство в достижении цели, ответственность и самостоятельность.

научить применять математические знания в повседневной практической жизни.

Структура урока

Перед проведением измерительных работ на местности ознакомить учащихся такими инструментами:

Рулетка - инструмент для измерения длины. Представляет собой металлическую или пластмассовую ленту с нанесёнными делениями, которая намотана на катушку, заключённую в корпус, снабжённый специальным механизмом для сматывания ленты. Механизм сматывания может быть одного из двух видов: с возвратной пружиной – тогда лента сматывается при отпускании, а вытравливается из корпуса рулетки с некоторым усилием; с выступающей наружу вращающейся рукояткой, связанной с катушкой ленты, – тогда лента сматывается при вращении рукоятки.

Вешка представляет собой прямой деревянный шест или легкую металлическую трубку длиной 1,5 - 3 м с заостренным концом для вытыкания в грунт. Вешки используются для вешения линий, обозначения точек и установки различных устройств при выполнении геодезических работ. Наиболее простые по конструкции вешки для вешения линий и обозначения точек. Они бывают временными и постоянными. Вехи (вешки) – колья, которые вбивают в землю.

Землемерный циркуль (полевой циркуль – сажень) – инструмент в виде буквы А высотой 1,37 м и шириной 2 м. для измерения расстояния на местности, для учащихся удобнее расстояние между ножками взять 1 метр.

Экер представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укреплённых на треножнике. На концах брусков вбиты гвозди так, что прямые, проходящие через них, взаимно перпендикулярны.

Отвес (шнуровой отвес) - приспособление, состоящее из тонкой нити и грузика на конце её, позволяющее судить о правильном вертикальном положении, служащее для вертикальной юстировки поверхностей (стен, простенков, кладки и т. д.) и стоек (столбов и т. д.). Под действием силы тяжести нить принимает постоянное направление (отвесная линия).

Оконечность грузика должна точно находиться на продолжении натянутой нити, для этой цели грузику придают вид опрокинутого конуса, поставленного на цилиндр; в основание цилиндра ввинчивается маленький цилиндрик так, чтобы центры их совпадали; в центральное отверстие последнего пропускается нить с узлом на конце.

Отвес применяется для установки реек в вертикальное положение для вертикальной юстировки при нивелировании неровного положения, в конструкциях мензулы, ватерпаса и в угломерных инструментах для установки центра лимба над точкой местности.

Повторить с учащимися такие понятия-прямая, отрезок, прямоугольник, длина, ширина, высота, объём, план, масштаб, площадь квадрата и прямоугольника, средняя длина шага, периметр, правила округления чисел.

Затем учащимся ставиться задачи:

Провести на земле прямую линию. Измерить длину отрезка на прямой.

Провести на земле участок прямоугольной формы и вычислить его площадь и периметр, округлить ответ до целых.

Определить площадь пришкольного участка. Сделать необходимые измерения и вычисления. Изобразить этот участок на плане, масштаб плана 1:50000. Ответ указать в гектарах.

Определите среднюю длину своего шага и с помощью этого найдите расстояние от школы до ближайшего магазина; ответ округлить до метров.

Класс разбивается на 4 группы, каждый получает набор необходимых инструментов. Каждая группа может выполнять работу, начиная с любого номера. Группы составляют-отчет описание о ходе работы, сдают на проверку. Учитель оценивает правильность хода работы, верность вычислений и эстетику оформления, ставит общую оценку всей группе.

Решение задач по измерению на местности

(примерное описание)

№1. Д ля того чтобы построить отрезок прямой линии на местности, нужно построить три вешки на предполагаемом отрезке.

Чтобы проверить правильность построения прямой, надо стать напротив крайней вешки и поглядеть на нее так, чтобы все вешки слились в одну. Если же хоть одна вешка будет выглядывать, надо её переместить так, чтобы её не было видно.

Измерения длины отрезка на местности выполняют с помощью мерной лентой или земляного циркуля, или рулетки, можно измерить приближённо своим шагом, если известно средняя длина шага.

Земельный циркуль используется для нахождения длины и ширины поля, расстояние между его концами АВ может быть различными, обычно это примерно 1,5м или 2м.

Для того чтобы измерить длину отрезка на земле с его помощью, надо пройти с ним вдоль отрезка, постоянно переворачивая в точке С. Сколько раз поместится его длина АВ, столько надо это число умножить на1,5м или на 2м. Получим длину искомого отрезка.

Например: l= 1,5*10=15(м) или l=2*10=20(м). (Затем можно проверить длину рулеткой).

№2. Чтобы построить на земле прямой угол, используют-экер. Это две взаимно перпендикулярные планки, на концах которых вертикально вбиты гвоздики. Всё это крепится на специальной треноге (штативе), и в центре есть отвес, для того чтобы прибор был строго перпендикулярен к поверхности земли. Нужно ещё две вешки.

В точке О устанавливаем экер, а в точке А и В- вешки. Надо стать в точке О и смотреть на планки экера так, чтобы два противоположных гвоздика на одной планке сливались с вешкой в точке. А и В. Если обе вешки слились, то угол ВОА=90 градусам, т.е. угол прямой. Если нет, то надо перемещать вешки до полного слияния.

Так можно построить на земле прямоугольник, квадрат. Затем можно найти длины их сторон. Вычисляем периметр и площадь. Ответ округляем до целого числа.

Например : а=12м6дм, в=34м8дм; 1) Р=2(126дм+348дм)=2*474дм= 948дм=94м 8дм. Р=95м. 2). S=АВ*ВС, S=126*348(дм) =3848(дм квадрате)=385 м квадрате.

Вычисление у квадрата подобные, только все стороны равны.

№3 . Выполним измерительные пришкольного участка рулеткой или земельным циркулем.

Например: Получим длина 450м, ширина100м. Если масштаб 1:5000, то переведем эти размеры для построения плана.

450м= 45000см;

45000:5000=9(см)- на плане;

100м=10000см-на местности;

10000:5000-2(см) - на плане. Получаем прямоугольник АВСД. S= 450*100м=45000кв м =450а=45га.

№4 Определение средней длины своего шага. Для этого строим на земле отрезок прямой линии. Ученик делает 10 шагов и измеряет длину получившегося отрезка. Затем эту длину делит на 10, проделав это несколько раз складывает получившийся результаты и делит на число попыток.

Например:

Расстояния от школы до ближайшего магазина каждый член группы определяет с помощью длины своего шага. Затем находят среднюю длину расстояния.

Например:

L= (310+293+292):3=895:3=298,3(м)=298м.

На первых этапах своего развития геометрия представляла собой набор полезных, но не связанных между собой правил и формул для решения задач, с которыми люди сталкивались в повседневной жизни. Лишь много веков спустя учеными Древней Греции была создана теоретическая основа геометрии.

В древнейшие времена египтяне, приступая к постройке пирамиды, дворца или обыкновенного дома, сначала отмечали направления сторон горизонта (это очень важно, так как освещенность в строении зависит от положения его окон и дверей по отношению к Солнцу). Действовали они так. Втыкали вертикально палку и следили за ее тенью. Когда эта тень становилась кратчайшей, тогда ее конец указывал точное направление на север.

Египетский треугольник

Для измерения площади древние египтяне использовали особый треугольник, у которого были фиксированные длины сторон. Занимались измерениями особые специалисты, которые назывались «натягивателями каната» (гарпедонаптай). Они брали длинную веревку, делили ее на 12 равных частей узелками, а концы веревки связывали. На направлении север – юг они устанавливали два кола на расстоянии четырех частей, отмеченных на веревке. Затем при помощи третьего кола натягивали связанную веревку так, чтобы образовался треугольник, у которого одна сторона имела три части, другая – четыре, а третья пять частей. Получался прямоугольный треугольник, площадь которого принимали за эталон.

Определение недоступных расстояний

История геометрии хранит немало приемов решения задач на нахождение расстояний. Одной из таких задач – это определение расстояний до кораблей находящихся в море.

Первый способ основан на одном из признаков равенства треугольников

Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется определить расстояние КА. Построив в точке А прямой угол, необходимо отложить на берегу два равных отрезка:

АВ = ВС. В точке С вновь построить прямой угол, причем наблюдатель должен идти по перпендикуляру до тех пор, пока не дойдет до точки D, из которой корабль К и точка В были бы видны лежащими на одной прямой. Прямоугольные треугольники ВСD и ВАК равны, следовательно, СD = АК, а отрезок СD можно непосредственно измерить.

Второй способ - триангуляции

С его помощью измерялись расстояния до небесных тел. Этот метод включает три этапа:

□ Измерить углы α, β и расстояние АВ;

□ Построить треугольник А1 В1К1 с углами α и β при вершинах А1 и В1 соответственно;

□ Учитывая подобие треугольников АВК и А1 В1К1 и равенство

АК: АВ = А1К1: А1 В1, по известным длинам отрезков АВ, А1К1 и, А1 В1 нетрудно найти длину отрезка АК.

Прием, которым пользовались в русской военной инструкции начала XVII в.

Задача. Найти расстояние от точки А до точки В.

В точке А нужно выбрать жезл примерно в человека. Верхний конец жезла следует совместить с вершиной прямого угла угольника так, чтобы продолжение одного из катетов проходило через точку В. Далее нужно отметить точку С пересечения продолжения другого катета с землей. Тогда, воспользовавшись пропорцией

АВ: АD = АD: АС, легко вычислить длину АВ; АВ = АD2 / АС. Для того, чтобы упростить расчеты и измерения, рекомендуется разделить жезл на 100 или 1000 равных частей.

Древнекитайский прием измерения высоты недоступного предмета.

Огромный вклад в развитие прикладной геометрии внес крупнейший китайский математик III века Лю Хуэй. Ему принадлежит трактат «Математика морского острова», в котором приведены решения различных задач на определение расстояний до предметов, расположенных на отдаленном острове, и вычисление недоступных высот. Эти задачи довольно сложны. Но они имеют практическую ценность, поэтому получили широкое применение не только в Китае, но и за ее пределами.

Наблюдают морской остров. Для этого установили пару шестов одинаковой высоты в 3 чжана на расстоянии 1000 бу. Основания обоих шестов находятся на одной прямой с островом. Если отойти по прямой от первого шеста на 123 бу, то глаз человека лежащего на земле, будет наблюдать верхний конец шеста совпадающим с вершиной острова. Такая же картина получится, если отойти от второго шеста на 127 бу.

Какова высота острова?

В привычных для нас обозначениях решение данной задачи, основанное на свойствах подобия.

Пусть EF = КD = 3 чжана = 5 бу, ЕD = 1000бу, ЕМ = 123 бу, СD = 127 бу.

Определить АВ и АЕ.

Треугольники АВМ и ЕFМ, АВС и DКС подобны. Следовательно, ЕF:АВ = ЕМ:АМ и КD:АВ = DС:АС. Получим: ЕМ:АМ = DС:АС, или ЕМ: (АЕ + ЕМ) = СD: (АЕ + ЕD + DС). В результате найдем АЕ = 123·1000: (127 – 123) = 30750 (бу). Подобны и треугольники А1ВF и ЕFМ, а АВ = А1В + А1А. Отсюда АВ = 5·1000(127 – 123) + 5 = 1255 (бу)

Как найти высоту острова?

□ Высоту шеста умножь на расстояние между шестами – это делимое.

□ Разность между отступлениями будет делителем, раздели на нее.

□ Что получится, прибавь высоту шеста.

□ Получим высоту острова.

Рецепт, который предлагал Лю Хуэй.

Расстояние до недоступной точки.

❖ Отступление от предыдущего шеста умножить на расстояние между шестами – это делимое.

❖ Разность между отходами будет делителем, раздели на нее.

❖ Получим расстояние, на которое остров отдален от шеста.

Прикладная геометрия была незаменима для землемерия, мореплавания и строительства. Таким образом геометрия сопровождало человечество на протяжении всей истории его существования. Решение отдельных старинных задач прикладного характера могут найти применение и в настоящее время, а поэтому заслуживают внимания и сегодня.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.

Подобные документы

Понятие и классификация углов, положительные и отрицательные углы. Измерение углов дугами окружности. Единицы их измерения при использовании градусной и радианной мер. Характеристики углов: между наклонной и плоскостью, двумя плоскостями, двугранного.

реферат , добавлен 18.08.2011


дипломная работа , добавлен 01.12.2007


Выдающийся деятель Средневековья, универсальный ученый-энциклопедист Абу Райхан Мухаммад ибн Ахмад аль-Беруни в своем труде "Гномоника" подробно останавливается на измерения расстояния на Земле и высоты гор задачах и приводит способы их решения.

реферат , добавлен 25.03.2008


Углы и их измерение, тригонометрические функции острого угла. Свойства и знаки тригонометрических функций. Четные и нечетные функции. Обратные тригонометрические функции. Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств с помощью формул.

учебное пособие , добавлен 30.12.2009


Использование разнообразных способов измерения расстояния в странах мира. Характеристика системы мер Древней Руси: вершок, пядь, пуд, аршин, сажень и верста. Разработка метрической системы. Меры площади и длины в Египте, Израиле, Великобритании и США.

презентация , добавлен 17.11.2011


Геометрические понятия точки, луча и угла. Виды углов: развернутые, острые, прямые, тупые, смежные и вертикальные. Способы построения смежных и вертикальных углов. Равенство вертикальных углов. Проверка знаний на уроке геометрии: определение вида углов.

презентация , добавлен 13.03.2010


Понятие числовой прямой. Типы числовых промежутков. Определение координатами положения точки на прямой, на плоскости, в пространстве, система координат. Единицы измерения для осей. Определение расстояния между двумя точками плоскости и в пространстве.

Читайте также по теме:

1. «Биологически я несу его гены, но это — не самое главное
2. Зонная теория твердого тела 1 основные законы зонной теории
3. Агрегатное состояние вещества
4. Рецепт сыр ярлсберг Рецепт сыра ярлсберг из козьего молока