সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ একটি সমীকরণ বলা হয় যা একটি স্বাধীন চলক, এই ভেরিয়েবলের একটি অজানা ফাংশন এবং এর বিভিন্ন অর্ডারের ডেরিভেটিভ (বা ডিফারেনশিয়াল) সংযোগ করে।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্রম এটির মধ্যে থাকা সর্বোচ্চ ডেরিভেটিভের ক্রম।

সাধারণের পাশাপাশি, আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিও অধ্যয়ন করা হয়। এগুলি হল স্বাধীন ভেরিয়েবলের সাথে সম্পর্কিত সমীকরণ, এই ভেরিয়েবলগুলির একটি অজানা ফাংশন এবং একই ভেরিয়েবলের সাথে এর আংশিক ডেরিভেটিভ। তবে আমরা কেবল বিবেচনা করব সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং তাই আমরা সংক্ষিপ্ততার জন্য "সাধারণ" শব্দটি বাদ দেব।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের উদাহরণ:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

সমীকরণ (1) চতুর্থ ক্রম, সমীকরণ (2) তৃতীয় ক্রম, সমীকরণ (3) এবং (4) দ্বিতীয় ক্রম, সমীকরণ (5) প্রথম ক্রম।

আঙ্গক nঅর্ডারে স্পষ্টভাবে একটি ফাংশন ধারণ করতে হবে না, প্রথম থেকে এর সমস্ত ডেরিভেটিভ nতম আদেশ এবং একটি স্বাধীন পরিবর্তনশীল। এতে স্পষ্টভাবে কিছু অর্ডার, একটি ফাংশন, একটি স্বাধীন পরিবর্তনশীলের ডেরিভেটিভ নাও থাকতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণে (1) স্পষ্টতই তৃতীয় এবং দ্বিতীয় আদেশের পাশাপাশি ফাংশনগুলির কোনও ডেরিভেটিভ নেই; সমীকরণে (2) - দ্বিতীয় ক্রম ডেরিভেটিভ এবং ফাংশন; সমীকরণে (4) - স্বাধীন পরিবর্তনশীল; সমীকরণে (5) - ফাংশন। শুধুমাত্র সমীকরণ (3) স্পষ্টভাবে সমস্ত ডেরিভেটিভ, ফাংশন এবং স্বাধীন পরিবর্তনশীল ধারণ করে।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করে যে কোন ফাংশন বলা হয় y = f(x), যাকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে, এটি একটি পরিচয়ে পরিণত হয়।

একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান খুঁজে বের করার প্রক্রিয়াটিকে বলা হয় মিশ্রণ.

উদাহরণ 1ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সমাধান খুঁজুন।

সমাধান। আমরা এই সমীকরণটি আকারে লিখি। সমাধান হল এর ডেরিভেটিভ দ্বারা ফাংশন খুঁজে বের করা। মূল ফাংশন, যেমনটি ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস থেকে জানা যায়, এর জন্য অ্যান্টিডেরিভেটিভ, অর্থাৎ

ওইটাই সেটা প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান . এর মধ্যে পরিবর্তন গ, আমরা বিভিন্ন সমাধান পেতে হবে. আমরা খুঁজে পেয়েছি যে একটি প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান nতম ক্রম হল এর সমাধান যা অজানা ফাংশন এবং ধারণকারী সম্পর্কে স্পষ্টভাবে প্রকাশ করা হয় nস্বাধীন নির্বিচারে ধ্রুবক, যেমন

উদাহরণ 1-এ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান সাধারণ।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের আংশিক সমাধান এর সমাধানকে বলা হয়, যেখানে নির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক মান নির্বিচারে ধ্রুবককে দেওয়া হয়।

উদাহরণ 2ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান এবং এর জন্য একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজুন .

সমাধান। আমরা সমীকরণের উভয় দিককে এমন অনেকবার একীভূত করি যে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্রম সমান হয়।

,

.

ফলস্বরূপ, আমরা সাধারণ সমাধান পেয়েছি -

প্রদত্ত তৃতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।

এখন আমরা নির্দিষ্ট শর্তের অধীনে একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে পাই। এটি করার জন্য, আমরা নির্বিচারে সহগগুলির পরিবর্তে তাদের মানগুলি প্রতিস্থাপন করি এবং প্রাপ্ত করি

.

যদি, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ছাড়াও, প্রাথমিক শর্তটি আকারে দেওয়া হয়, তাহলে এই ধরনের সমস্যা বলা হয় কচি সমস্যা . মানগুলি এবং সমীকরণের সাধারণ সমাধানে প্রতিস্থাপিত হয় এবং একটি নির্বিচারী ধ্রুবকের মান পাওয়া যায় গ, এবং তারপর পাওয়া মানের জন্য সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান গ. এটি কচি সমস্যার সমাধান।

উদাহরণ 3শর্তের অধীনে উদাহরণ 1 থেকে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য কচি সমস্যাটি সমাধান করুন।

সমাধান। আমরা প্রাথমিক অবস্থা থেকে মানগুলিকে সাধারণ সমাধানে প্রতিস্থাপন করি y = 3, এক্স= 1. আমরা পাই

আমরা প্রথম অর্ডারের প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য কচি সমস্যার সমাধান লিখি:

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, এমনকি সবচেয়ে সহজ সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য, জটিল ফাংশন সহ ডেরিভেটিভগুলিকে একীভূতকরণ এবং গ্রহণে ভাল দক্ষতার প্রয়োজন। এটি নিম্নলিখিত উদাহরণে দেখা যেতে পারে।

উদাহরণ 4ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন।

সমাধান। সমীকরণটি এমন আকারে লেখা হয়েছে যাতে উভয় পক্ষই অবিলম্বে একত্রিত হতে পারে।

.

আমরা পরিবর্তনশীল (প্রতিস্থাপন) পরিবর্তন করে একীকরণের পদ্ধতি প্রয়োগ করি। যাক, তাহলে.

নিতে হবে dxএবং এখন - মনোযোগ - আমরা এটি একটি জটিল ফাংশনের পার্থক্যের নিয়ম অনুসারে করি, যেহেতু এক্সএবং একটি জটিল ফাংশন আছে ("আপেল" - বর্গমূল বের করা বা, যা একই - শক্তি "এক সেকেন্ড", এবং "মাংসের কিমা" - মূলের নীচে অভিব্যক্তি)

আমরা অবিচ্ছেদ্য খুঁজে পাই:

ভেরিয়েবলে ফিরে আসা এক্স, আমরা পেতে:

.

এটি প্রথম ডিগ্রির এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের জন্য উচ্চতর গণিতের পূর্ববর্তী বিভাগগুলির দক্ষতাই নয়, প্রাথমিক, অর্থাৎ স্কুল গণিতের দক্ষতাও প্রয়োজন। ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, যে কোনও আদেশের একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে একটি স্বাধীন চলক নাও থাকতে পারে, অর্থাৎ একটি পরিবর্তনশীল এক্স. বিদ্যালয়ের বেঞ্চ থেকে অনুপাত সম্পর্কে জ্ঞান যা ভুলে যায়নি (তবে, কারও কাছে এটি আছে) এই সমস্যাটি সমাধান করতে সহায়তা করবে। এটি পরবর্তী উদাহরণ।

উচ্চতর অর্ডারগুলির সাধারণ ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের (DE) প্রধান প্রকারগুলি যা সমাধান করা যেতে পারে তা তালিকাভুক্ত করা হয়েছে। তাদের সমাধানের পদ্ধতিগুলো সংক্ষেপে বর্ণনা করা হয়েছে। সমাধান পদ্ধতি এবং উদাহরণগুলির একটি বিশদ বিবরণ সহ পৃষ্ঠাগুলির লিঙ্কগুলি প্রদান করা হয়েছে৷

আরো দেখুন: ফার্স্ট অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ
প্রথম অর্ডারের রৈখিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

উচ্চ ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ আদেশ হ্রাস স্বীকার

সরাসরি ইন্টিগ্রেশন দ্বারা সমাধান করা সমীকরণ

নিম্নলিখিত ফর্মের একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিবেচনা করুন:
.
আমরা n বার সংহত.
;
;
এবং তাই আপনি সূত্রটিও ব্যবহার করতে পারেন:
.
সরাসরি সমাধান করা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দেখুন ইন্টিগ্রেশন >>>

যে সমীকরণগুলি স্পষ্টভাবে নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল y ধারণ করে না

প্রতিস্থাপনের ফলে সমীকরণের ক্রম এক দ্বারা হ্রাস পায়। এখানে একটি ফাংশন আছে.
উচ্চ-ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি দেখুন যাতে কোনও স্পষ্ট ফাংশন নেই >>>

যে সমীকরণগুলি স্পষ্টভাবে স্বাধীন পরিবর্তনশীল x ধারণ করে না

.
আমরা অনুমান করি যে এটি একটি ফাংশন। তারপর
.
একইভাবে অন্যান্য ডেরিভেটিভের জন্য। ফলস্বরূপ, সমীকরণের ক্রম এক দ্বারা হ্রাস করা হয়।
উচ্চ-ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি দেখুন যেখানে একটি স্পষ্ট পরিবর্তনশীল >>> নেই

y, y′, y′, ... সাপেক্ষে একজাতীয় সমীকরণ

এই সমীকরণটি সমাধান করার জন্য, আমরা একটি প্রতিস্থাপন করি
,
যেখানে একটি ফাংশন. তারপর
.
একইভাবে, আমরা ডেরিভেটিভ ইত্যাদি রূপান্তর করি। ফলস্বরূপ, সমীকরণের ক্রম এক দ্বারা হ্রাস করা হয়।
একটি ফাংশন এবং এর ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রে সমজাতীয় উচ্চ ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি দেখুন >>>

উচ্চতর আদেশের রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

বিবেচনা nম ক্রমের রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ:
(1) ,
যেখানে স্বাধীন ভেরিয়েবলের ফাংশন আছে। এই সমীকরণের n রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান হতে দিন। তারপর সমীকরণ (1) এর সাধারণ সমাধানটির ফর্ম রয়েছে:
(2) ,
যেখানে নির্বিচারে ধ্রুবক আছে। ফাংশন নিজেই সমাধানের একটি মৌলিক সিস্টেম গঠন করে।
মৌলিক সিদ্ধান্ত ব্যবস্থা nম ক্রমের রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণগুলি এই সমীকরণের n রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান।

বিবেচনা nম ক্রমের রৈখিক অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ:
.
এই সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট (যেকোনো) সমাধান হতে দিন। তারপর সাধারণ সমাধান এর মত দেখায়:
,
সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান কোথায় (1)।

ধ্রুবক সহগ এবং তাদের হ্রাস সহ লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

ধ্রুবক সহগ সহ রৈখিক একজাতীয় সমীকরণ

এগুলি ফর্মের সমীকরণ:
(3) .
এখানে বাস্তব সংখ্যা আছে. এই সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজতে, আমাদের n রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধানগুলি খুঁজে বের করতে হবে যা সমাধানগুলির একটি মৌলিক ব্যবস্থা গঠন করে। তারপর সাধারণ সমাধান সূত্র (2) দ্বারা নির্ধারিত হয়:
(2) .

ফর্মে সমাধান খুঁজছি। আমরা পেতে চরিত্রগত সমীকরণ:
(4) .

যদি এই সমীকরণ থাকে বিভিন্ন শিকড়, তারপর সমাধানের মৌলিক সিস্টেমের ফর্ম আছে:
.

যদি পাওয়া যায় জটিল মূল
,
তারপর একটি জটিল সংযোজিত মূলও আছে। এই দুটি শিকড় সমাধানের সাথে মিলে যায় এবং , যা আমরা জটিল সমাধানের পরিবর্তে মৌলিক সিস্টেমে অন্তর্ভুক্ত করি এবং

একাধিক শিকড়বহুগুণগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধানগুলির সাথে মিলে যায়:

একাধিক জটিল শিকড়বহুগুণ এবং তাদের জটিল সংযোজিত মানগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধানগুলির সাথে মিলে যায়:
.

একটি বিশেষ অসঙ্গতিপূর্ণ অংশ সহ রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণ

ফর্মের একটি সমীকরণ বিবেচনা করুন
,
ডিগ্রী s এর বহুপদ কোথায় 1 এবং এস 2 ; - স্থায়ী।

প্রথমত, আমরা সমজাতীয় সমীকরণ (3) এর একটি সাধারণ সমাধান খুঁজছি। যদি চরিত্রগত সমীকরণ (4) একটি মূল ধারণ করে না, তারপরে আমরা ফর্মটিতে একটি নির্দিষ্ট সমাধান সন্ধান করি:
,
কোথায়
;
;
s - s এর মধ্যে বৃহত্তম 1 এবং এস 2 .

যদি চরিত্রগত সমীকরণ (4) একটি মূল আছে multiplicity , তারপর আমরা ফর্মটিতে একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজছি:
.

এর পরে, আমরা সাধারণ সমাধান পাই:
.

ধ্রুবক সহগ সহ রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণ

এখানে তিনটি সম্ভাব্য সমাধান আছে।

1) বার্নোলি পদ্ধতি.
প্রথমত, আমরা সমজাতীয় সমীকরণের যেকোনো অ-শূন্য সমাধান খুঁজে পাই
.
তারপর আমরা একটি প্রতিস্থাপন করা
,
যেখানে x ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন। আমরা u এর জন্য একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ পাই যেটিতে x এর সাপেক্ষে শুধুমাত্র u এর ডেরিভেটিভ রয়েছে। প্রতিস্থাপন করে, আমরা n সমীকরণ পাই - 1 -ম আদেশ।

2) রৈখিক প্রতিস্থাপন পদ্ধতি.
এর একটি প্রতিস্থাপন করা যাক
,
চরিত্রগত সমীকরণের মূলগুলির মধ্যে একটি কোথায় (4)। ফলস্বরূপ, আমরা ধ্রুবক ক্রম সহগ সহ একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণ পাই। ধারাবাহিকভাবে এই প্রতিস্থাপন প্রয়োগ করে, আমরা মূল সমীকরণটিকে প্রথম-ক্রম সমীকরণে কমিয়ে দিই।

3) Lagrange ধ্রুবকগুলির পরিবর্তনের পদ্ধতি.
এই পদ্ধতিতে, আমরা প্রথমে সমজাতীয় সমীকরণ (3) সমাধান করি। তার সমাধান এর মত দেখায়:
(2) .
নিম্নলিখিতটিতে, আমরা ধরে নিই যে ধ্রুবকগুলি x চলকের ফাংশন। তারপরে মূল সমীকরণের সমাধানটির ফর্ম রয়েছে:
,
যেখানে অজানা ফাংশন আছে. মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে এবং কিছু বিধিনিষেধ আরোপ করে, আমরা এমন সমীকরণ পাই যেখান থেকে আমরা ফাংশনের ফর্ম খুঁজে পেতে পারি।

অয়লার সমীকরণ

এটি প্রতিস্থাপন দ্বারা ধ্রুবক সহগ সহ একটি রৈখিক সমীকরণে হ্রাস করা হয়:
.
যাইহোক, অয়লার সমীকরণ সমাধান করার জন্য, এই ধরনের প্রতিস্থাপন করার প্রয়োজন নেই। কেউ অবিলম্বে ফর্মে একটি সমজাতীয় সমীকরণের সমাধান খুঁজতে পারে
.
ফলস্বরূপ, আমরা ধ্রুবক সহগ সহ একটি সমীকরণের মতো একই নিয়ম পাই, যেখানে একটি পরিবর্তনশীলের পরিবর্তে আমাদের প্রতিস্থাপন করতে হবে।

তথ্যসূত্র:
ভি.ভি. স্টেপানোভ, ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের কোর্স, এলকেআই, 2015।
এন.এম. গুন্থার, আর.ও. কুজমিন, উচ্চতর গণিতে সমস্যার সংগ্রহ, ল্যান, 2003।

উচ্চ ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

উচ্চ ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের মৌলিক পরিভাষা (DE VP)।

ফর্মের একটি সমীকরণ, যেখানে n >1 (2)

একটি উচ্চ ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলা হয়, যেমন n-ম আদেশ।

রিমোট কন্ট্রোলের সংজ্ঞার ডোমেন, nতম ক্রম হল এলাকা।

এই কোর্সটি নিম্নলিখিত ধরণের আকাশসীমা নিয়ন্ত্রণ নিয়ে কাজ করবে:

ভিপির জন্য কচি সমস্যা:

ঢাবি দেওয়া যাক,
এবং প্রাথমিক শর্ত n/a: সংখ্যা।

এটি একটি অবিচ্ছিন্ন এবং n বার পার্থক্যযোগ্য ফাংশন খুঁজে বের করতে হবে
:

1)
প্রদত্ত DE এর সমাধান হল, অর্থাৎ
;

2) প্রদত্ত প্রাথমিক শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে: .

দ্বিতীয়-ক্রম DE-এর জন্য, সমস্যার সমাধানের জ্যামিতিক ব্যাখ্যাটি নিম্নরূপ: একটি অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখা চাওয়া হয়েছে যা বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় (এক্স 0 , y 0 ) এবং একটি ঢাল সহ একটি রেখার স্পর্শক k = y 0 ́ .

অস্তিত্ব এবং অনন্যতা উপপাদ্য(DE (2) এর জন্য কচি সমস্যার সমাধান):

যদি 1)
অবিচ্ছিন্ন (সমষ্টিগতভাবে (n+1) যুক্তি) এলাকায়
; 2)
অবিচ্ছিন্ন (আর্গুমেন্টের সেট দ্বারা
) তারপর এ ! DE এর জন্য Cauchy সমস্যার সমাধান যা প্রদত্ত প্রাথমিক শর্তগুলি n/s সন্তুষ্ট করে: .

অঞ্চলটিকে DE এর স্বতন্ত্রতার অঞ্চল বলা হয়।

ডিপি ভিপির সাধারণ সমাধান (2) – n - প্যারামেট্রিকফাংশন,
, কোথায়
- নির্বিচারে ধ্রুবক, নিম্নলিখিত প্রয়োজনীয়তাগুলি সন্তুষ্ট করে:

1)

- DE (2) এর সমাধান;

2) n/a অনন্যতার অঞ্চল থেকে!
:
প্রদত্ত প্রাথমিক শর্ত পূরণ করে।

মন্তব্য করুন.

দেখুন অনুপাত
, যা পরোক্ষভাবে DE (2) এর সাধারণ সমাধান নির্ধারণ করে বলা হয় সাধারণ অবিচ্ছেদ্যঢাবি।

ব্যক্তিগত সমাধান DE (2) একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য তার সাধারণ সমাধান থেকে প্রাপ্ত হয় .

ডিপি ভিপির ইন্টিগ্রেশন।

উচ্চ ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, একটি নিয়ম হিসাবে, সঠিক বিশ্লেষণী পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা হয় না।

আসুন আমরা একটি নির্দিষ্ট ধরণের DSW বের করি যা অর্ডার হ্রাস স্বীকার করে এবং চতুর্ভুজে হ্রাস করে। আমরা এই ধরনের সমীকরণ এবং একটি টেবিলে তাদের ক্রম হ্রাস করার উপায়গুলি সংক্ষিপ্ত করি।

ডিপি ভিপি, অর্ডার কমানোর অনুমতি দেয়

একটি সমজাতীয় ফাংশনের সংজ্ঞা:

ফাংশন
ভেরিয়েবলে সমজাতীয় বলা হয়
, যদি


ফাংশনের সুযোগের যে কোনো সময়ে
;

একজাতীয়তার ক্রম।

উদাহরণস্বরূপ, সাপেক্ষে ২য় ক্রমটির একটি সমজাতীয় ফাংশন
, অর্থাৎ .

উদাহরণ 1:

DE এর একটি সাধারণ সমাধান খুঁজুন
.

3য় আদেশের DE, অসম্পূর্ণ, স্পষ্টভাবে ধারণ করে না
. পরপর তিনবার সমীকরণটি সংহত করুন।

,

DE এর সাধারণ সমাধান।

উদাহরণ 2:

DE এর জন্য Cauchy সমস্যার সমাধান করুন
এ

.

দ্বিতীয় আদেশের DE, অসম্পূর্ণ, স্পষ্টভাবে ধারণ করে না .

প্রতিস্থাপন
এবং এর ডেরিভেটিভ
এক দ্বারা DE এর ক্রম কমিয়ে দেয়।

. প্রথম অর্ডারের DE প্রাপ্তি - বার্নোলি সমীকরণ। এই সমীকরণটি সমাধান করতে, আমরা বার্নোলি প্রতিস্থাপন প্রয়োগ করি:

,

এবং এটি সমীকরণে প্লাগ করুন।

এই পর্যায়ে, আমরা সমীকরণের জন্য কচি সমস্যা সমাধান করি
:
.

বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ একটি প্রথম-ক্রম সমীকরণ।

আমরা শেষ সমতায় প্রাথমিক শর্ত প্রতিস্থাপন করি:

উত্তর:
কচি সমস্যার সমাধান যা প্রাথমিক শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে।

উদাহরণ 3:

DU সমাধান করুন।

- ২য় অর্ডারের DE, অসম্পূর্ণ, স্পষ্টভাবে ভেরিয়েবল ধারণ করে না, এবং তাই প্রতিস্থাপন বা ব্যবহার করে অর্ডার কমানোর অনুমতি দেয়
.

আমরা সমীকরণ পেতে
(দিন
).

– আলাদা ভেরিয়েবল সহ ১ম ক্রমটির DE। তাদের শেয়ার করা যাক.

DE এর সাধারণ অবিচ্ছেদ্য অংশ।

উদাহরণ 4:

DU সমাধান করুন।

সমীকরণটি
একটি সঠিক ডেরিভেটিভ সমীকরণ। সত্যিই,
.

আসুন বাম এবং ডান অংশগুলিকে সাপেক্ষে একীভূত করি, অর্থাৎ
অথবা বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ 1ম ক্রমটির DE প্রাপ্ত হয়েছে, যেমন
DE এর সাধারণ অবিচ্ছেদ্য অংশ।

উদাহরণ5:

জন্য Cauchy সমস্যা সমাধান
এ

4র্থ আদেশের DE, অসম্পূর্ণ, স্পষ্টভাবে ধারণ করে না
. উল্লেখ্য যে এই সমীকরণটি সঠিক ডেরিভেটিভসে, আমরা পাই
বা
,
. আমরা এই সমীকরণে প্রাথমিক শর্তগুলি প্রতিস্থাপন করি:
. চলুন রিমোট কন্ট্রোল পেতে
প্রথম প্রকারের 3য় ক্রম (টেবিল দেখুন)। আসুন আমরা এটিকে তিনবার সংহত করি, এবং প্রতিটি একীকরণের পরে আমরা প্রাথমিক শর্তগুলিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করব:

উত্তর:
- মূল DE এর কচি সমস্যার সমাধান।

উদাহরণ 6:

সমীকরণটি সমাধান করুন।

- 2য় ক্রমটির DE, সম্পূর্ণ, এর ক্ষেত্রে অভিন্নতা রয়েছে
. প্রতিস্থাপন
সমীকরণের ক্রম কমিয়ে দেবে। এটি করার জন্য, আমরা ফর্মে সমীকরণ কমিয়ে দিই
, মূল সমীকরণের উভয় পক্ষকে দ্বারা বিভক্ত . এবং আমরা ফাংশন পার্থক্য পি:

.

বিকল্প
এবং
ঢাবিতে:
. এটি একটি ১ম ক্রম বিভাজ্য পরিবর্তনশীল সমীকরণ।

দেত্তয়া আছে
, আমরা DE পেতে বা
মূল DE এর সাধারণ সমাধান।

উচ্চ ক্রমে লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্ব।

মৌলিক পরিভাষা।

- এনএলডিইউ অর্ডার, যেখানে কিছু বিরতিতে একটানা ফাংশন আছে।

একে DE ধারাবাহিকতা ব্যবধান (3) বলা হয়।

আসুন আমরা তম ক্রমটির একটি (শর্তসাপেক্ষ) ডিফারেনশিয়াল অপারেটর প্রবর্তন করি

যখন এটি ফাংশনে কাজ করে, আমরা পাই

অর্থাৎ, -th ক্রমটির একটি রৈখিক DE এর বাম দিকে।

ফলে LDE লেখা যাবে

লিনিয়ার অপারেটর বৈশিষ্ট্য
:

1) - সংযোজন বৈশিষ্ট্য

2)
- সংখ্যা - একজাতীয়তা সম্পত্তি

বৈশিষ্ট্যগুলি সহজেই যাচাই করা যায়, যেহেতু এই ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলির একই বৈশিষ্ট্য রয়েছে (ডেরিভেটিভগুলির চূড়ান্ত যোগফল একটি সসীম সংখ্যক ডেরিভেটিভের যোগফলের সমান; ধ্রুবক ফ্যাক্টরটি ডেরিভেটিভের চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে)।

যে.
একটি লিনিয়ার অপারেটর।

এলডিই-এর জন্য কচি সমস্যার সমাধানের অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতার প্রশ্নটি বিবেচনা করুন
.

আসুন আমরা LDE এর সাপেক্ষে সমাধান করি
: ,
, হল ধারাবাহিকতার ব্যবধান।

ফাংশন ডোমেইন ক্রমাগত হয়, ডেরিভেটিভস
অঞ্চলে ক্রমাগত

অতএব, স্বতন্ত্রতার ডোমেন, যেখানে Cauchy সমস্যা LDE (3) এর একটি অনন্য সমাধান রয়েছে এবং এটি শুধুমাত্র বিন্দুর পছন্দের উপর নির্ভর করে
, আর্গুমেন্টের অন্য সব মান
ফাংশন
নির্বিচারে নেওয়া যেতে পারে।

OLDU এর সাধারণ তত্ত্ব.

ধারাবাহিকতার ব্যবধান।

OLDDE সমাধানের প্রধান বৈশিষ্ট্য:

1. সংযোজন বৈশিষ্ট্য

(
- OLDDE সমাধান (4) চালু)
(
OLDDE (4) অন) এর সমাধান।

প্রমাণ:

OLDDE (4) এর সমাধান হল

OLDDE (4) এর সমাধান হল

তারপর

2. একজাতীয়তার সম্পত্তি

( হল OLDDE (4) এর সমাধান ) (
(- সংখ্যাসূচক ক্ষেত্র))

OLDDE (4) এর সমাধান হল।

এটি একইভাবে প্রমাণিত হয়।

সংযোজন এবং একজাতীয়তার বৈশিষ্ট্যগুলিকে OLDE (4) এর রৈখিক বৈশিষ্ট্য বলা হয়।

পরিণতি:

(
- OLDDE এর সমাধান (4) অন )(

OLDDE (4) অন) এর সমাধান।

3. ( হল OLDDE (4) এর একটি জটিল-মূল্যবান সমাধান )(
OLDDE (4) এর বাস্তব-মূল্যবান সমাধান।

প্রমাণ:

যদি OLDDE (4) এর সমাধান অন হয়, তাহলে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করার সময় এটিকে একটি পরিচয়ে পরিণত করে, যেমন
.

অপারেটরের রৈখিকতার কারণে, শেষ সমতার বাম দিকটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:
.

এর মানে হল, অর্থাৎ, হল OLDDE (4) এর বাস্তব-মূল্যবান সমাধান।

OLDDE সমাধানগুলির নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি ধারণার সাথে সম্পর্কিত " রৈখিক নির্ভরতা”.

ফাংশনের একটি সসীম সিস্টেমের রৈখিক নির্ভরতা নির্ধারণ করা

ফাংশনের একটি সিস্টেমকে বলা হয় রৈখিকভাবে নির্ভরশীল যদি থাকে অ তুচ্ছসংখ্যার সেট
যেমন রৈখিক সংমিশ্রণ
ফাংশন
এই সংখ্যাগুলির সাথে সমানভাবে শূন্যের সমান, অর্থাৎ
.n, যা ভুল। উপপাদ্য প্রমাণিত হয় সমীকরণঊর্ধ্বতনআদেশ(4 ঘণ্টা...

এই সমীকরণের জন্য আমাদের আছে:

; (5.22)

. (5.23)

শেষ নির্ণায়ক শর্ত দেয় একটি 3 > 0। শর্ত Δ 2 > 0, যখন একটি 0 > 0, একটি 1 > 0 এবং একটি 3 > 0, শুধুমাত্র তখনই সন্তুষ্ট হতে পারে যখন একটি 2 > 0।

ফলস্বরূপ, একটি তৃতীয়-ক্রম সমীকরণের জন্য, বৈশিষ্ট্যযুক্ত সমীকরণের সমস্ত সহগ ইতিবাচক হওয়া আর যথেষ্ট নয়। 1 a 2 > a 0 a 3 সহগগুলির মধ্যে একটি নির্দিষ্ট অনুপাত পূরণ করতেও এটি প্রয়োজনীয়।

4. চতুর্থ ক্রম সমীকরণ

একইভাবে উপরে যা করা হয়েছিল, এটি পাওয়া যেতে পারে যে একটি চতুর্থ ক্রম সমীকরণের জন্য, সমস্ত সহগগুলির ইতিবাচকতা ছাড়াও, শর্তটি

Hurwitz মানদণ্ড সহ বীজগণিতের মানদণ্ডের একটি উল্লেখযোগ্য ত্রুটি হল যে উচ্চ-ক্রম সমীকরণের জন্য, সর্বোত্তমভাবে, আপনি স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা স্থিতিশীল কিনা সে সম্পর্কে একটি উত্তর পেতে পারেন। একই সময়ে, একটি অস্থিতিশীল সিস্টেমের ক্ষেত্রে, মানদণ্ডটি স্থিতিশীল করার জন্য সিস্টেমের পরামিতিগুলি কীভাবে পরিবর্তন করা উচিত তার উত্তর দেয় না। এই পরিস্থিতিতে ইঞ্জিনিয়ারিং অনুশীলনে আরও সুবিধাজনক হবে এমন অন্যান্য মানদণ্ডের অনুসন্ধানের দিকে পরিচালিত করে।

5.3। মিখাইলভ স্থিতিশীলতার মানদণ্ড

বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ (5.7) এর বাম দিকটি আলাদাভাবে বিবেচনা করুন, যা বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদ

এই বহুপদে বিশুদ্ধভাবে কাল্পনিক মান p = j প্রতিস্থাপন করুন, যেখানে  হল বৈশিষ্ট্যগত সমাধানের সম্পূর্ণ কাল্পনিক মূলের সাথে সম্পর্কিত দোলনের কৌণিক কম্পাঙ্ক। এই ক্ষেত্রে, আমরা চরিত্রগত জটিল প্রাপ্ত

যেখানে আসল অংশে কম্পাঙ্কের জোড় শক্তি থাকবে

এবং কাল্পনিক - ফ্রিকোয়েন্সির বিজোড় শক্তি

ই

ভাত। 5.4। মিখাইলভের হোডোগ্রাফ

অনুশীলনে, মিখাইলভ বক্ররেখা বিন্দু বিন্দুতে তৈরি করা হয়, এবং ফ্রিকোয়েন্সি  এর বিভিন্ন মান নির্দিষ্ট করা হয়, এবং U() এবং V() সূত্র (5.28), (5.29) ব্যবহার করে গণনা করা হয়। গণনার ফলাফলগুলি সারণীতে সংক্ষিপ্ত করা হয়েছে। 5.1।

সারণি 5.1

মিখাইলভ বক্ররেখা নির্মাণ

এই টেবিল অনুযায়ী, বক্ররেখা নিজেই নির্মিত হয় (চিত্র 5.4)।

আসুন আমরা নির্ধারণ করি যে ভেক্টর D(j) এর ঘূর্ণনের কোণটি কি সমান হওয়া উচিত যখন কম্পাঙ্ক  শূন্য থেকে অসীমে পরিবর্তিত হয়। এটি করার জন্য, আমরা গুণনীয়কগুলির গুণফল হিসাবে বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদ লিখি

যেখানে  1 – n হল চরিত্রগত সমীকরণের মূল।

চরিত্রগত ভেক্টর তারপর নিম্নলিখিত আকারে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে:

বন্ধনীগুলির প্রতিটি একটি জটিল সংখ্যা। অতএব, D(j) হল n জটিল সংখ্যার গুণফল। গুণ করার সময়, জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট যোগ করা হয়। অতএব, ভেক্টর D(j) এর ঘূর্ণনের ফলস্বরূপ কোণ পৃথক ফ্যাক্টরগুলির ঘূর্ণনের কোণের সমষ্টির সমান হবে (5.31) যখন কম্পাঙ্ক  শূন্য থেকে অসীমে পরিবর্তিত হয়

আসুন (5.31) প্রতিটি পদকে আলাদাভাবে সংজ্ঞায়িত করি। সমস্যাটি সাধারণ করতে, বিভিন্ন ধরণের শিকড় বিবেচনা করুন।

1. যেকোন রুট, যেমন  1, হতে দিন বাস্তব এবং নেতিবাচক , যেমন  1 = – 1। অভিব্যক্তিতে ফ্যাক্টর (5.31), এই মূল দ্বারা নির্ধারিত, দেখতে ( 1 + j) এর মতো হবে। চলুন জটিল সমতলে এই ভেক্টরের একটি হোডোগ্রাফ তৈরি করি যখন কম্পাঙ্ক  শূন্য থেকে অসীমে পরিবর্তিত হয় (চিত্র 5.5, ক) যখন = 0, বাস্তব অংশটি হল U= 1, এবং কাল্পনিক অংশটি হল V= 0। এটি বিন্দু A-এর সাথে মিলে যায়, যা বাস্তব অক্ষের উপর অবস্থিত। 0 এ, ভেক্টরটি এমনভাবে পরিবর্তিত হবে যে এর বাস্তব অংশটি এখনও  এর সমান হবে এবং কাল্পনিক V = (গ্রাফের বিন্দু বি)। ফ্রিকোয়েন্সি যখন অসীম পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়, ভেক্টরটি অসীমে চলে যায়, এবং ভেক্টরের শেষ সবসময় একটি বিন্দু A এর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি উল্লম্ব রেখায় থাকে এবং ভেক্টরটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরে।

ভাত। 5.5। আসল শিকড়

ভেক্টরের ঘূর্ণনের ফলে কোণ  1 = +( / 2)।

2. এখন মূল  1 হতে দিন বাস্তব এবং ইতিবাচক , অর্থাৎ  1 = + 1. তারপর এই মূল দ্বারা নির্ধারিত (5.31) এর ফ্যাক্টরটি (- 1 + j) এর মত দেখাবে। অনুরূপ নির্মাণ (চিত্র 5.5, খ) দেখান যে ঘূর্ণনের ফলে কোণ হবে  1 = –( / 2)। বিয়োগ চিহ্নটি নির্দেশ করে যে ভেক্টরটি ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরানো হয়েছে।

3. দুটি সংযোজিত মূল, উদাহরণস্বরূপ  2 এবং 3, হতে দিন নেতিবাচক বাস্তব অংশ সঙ্গে জটিল , যেমন  2;3 = –±j। একইভাবে, এই শিকড় দ্বারা নির্ধারিত অভিব্যক্তির উপাদান (5.31), আকারের হবে (–j + j)( + j + j)।

যখন = 0, তখন দুটি ভেক্টরের প্রাথমিক অবস্থান A 1 এবং A 2 বিন্দু দ্বারা নির্ধারিত হয় (চিত্র 5.6, ক) প্রথম ভেক্টরটি বাস্তব অক্ষের কাছাকাছি arctg( / ) এর সমান কোণ দ্বারা ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরানো হয় এবং দ্বিতীয় ভেক্টরটি একই কোণ দ্বারা ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরানো হয়।  শূন্য থেকে অসীম পর্যন্ত ধীরে ধীরে বৃদ্ধির সাথে, উভয় ভেক্টরের প্রান্ত অসীম পর্যন্ত যায় এবং উভয় ভেক্টরই সীমার মধ্যে কাল্পনিক অক্ষের সাথে মিলিত হয়।

প্রথম ভেক্টরের ঘূর্ণনের ফলে কোণ  2 = ( / 2) + । দ্বিতীয় ভেক্টরের ঘূর্ণনের ফলে কোণ  3 = ( / 2) –। গুণফলের সাথে সম্পর্কিত ভেক্টর (–j + j)( + j + j) কোণ 2 +  3 = 2 / 2 =  দিয়ে ঘুরবে।

ভাত। 5.6। জটিল শিকড়

4. একই যাক জটিল শিকড় একটি ইতিবাচক বাস্তব অংশ আছে , যেমন  2;3 = +±j।

পূর্বে বিবেচনা করা মামলার মতো একইভাবে নির্মাণ করা হচ্ছে (চিত্র 5.6, খ), আমরা ঘূর্ণনের ফলে কোণ পাই  2 +  3 = –2 / 2 = –।

এইভাবে, যদি চরিত্রগত সমীকরণের একটি ধনাত্মক বাস্তব অংশ সহ f শিকড় থাকে, তাহলে, এই মূলগুলি যাই হোক না কেন (বাস্তব বা জটিল), তারা –f ( / 2) এর সমান ঘূর্ণন কোণের যোগফলের সাথে মিলিত হবে। চরিত্রগত সমীকরণের অন্যান্য সমস্ত (n - f) শিকড়, যার নেতিবাচক বাস্তব অংশ রয়েছে, + (n - f) ( / 2) এর সমান ঘূর্ণন কোণের যোগফলের সাথে মিলে যাবে। ফলস্বরূপ, ভেক্টরের ঘূর্ণনের মোট কোণ D(j) যখন কম্পাঙ্ক  সূত্র অনুসারে শূন্য থেকে অসীমে পরিবর্তিত হয় (5.32) কেমন হবে

 = (n - f)(/2)-f(/2) = n (/2)-f . (5.33)

এই অভিব্যক্তিটি মিখাইলভ বক্ররেখার আকৃতি এবং চরিত্রগত সমীকরণের শিকড়ের প্রকৃত অংশগুলির লক্ষণগুলির মধ্যে পছন্দসই সংযোগ নির্ধারণ করে। 1936 সালে A.V. মিখাইলভ যেকোন অর্ডারের রৈখিক সিস্টেমের জন্য নিম্নলিখিত স্থিতিশীলতার মানদণ্ড তৈরি করেছেন।

nth অর্ডার সিস্টেমের স্থিতিশীলতার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে ভেক্টর D(j  ), যা মিখাইলভ বক্ররেখা বর্ণনা করে, একটি পরিবর্তন সহ  শূন্য থেকে অসীম পর্যন্ত একটি ঘূর্ণন কোণ ছিল  = n (  / 2).

এই সূত্রটি সরাসরি (5.33) থেকে অনুসরণ করে। সিস্টেমের স্থিতিশীলতার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় যে সমস্ত শিকড় বাম অর্ধ-বিমানে থাকা। এখান থেকে, ভেক্টরের ঘূর্ণনের প্রয়োজনীয় ফলাফল কোণ নির্ধারণ করা হয়।

মিখাইলভ স্থিতিশীলতার মানদণ্ড নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়েছে: একটি রৈখিক ACS-এর স্থায়িত্বের জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে মিখাইলভ হোডোগ্রাফ, যখন কম্পাঙ্ক শূন্য থেকে অসীমে পরিবর্তিত হয়, ধনাত্মক অর্ধ-বিমান থেকে শুরু করে এবং উৎপত্তি অতিক্রম না করে, ক্রমাগত জটিল সমতলের যতগুলি চতুর্ভুজ অতিক্রম করে সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের বহুপদীর ক্রম।

ও

ভাত। ৫.৭। প্রতিরোধী ATS

একটি স্থিতিশীল ব্যবস্থার জন্য, মিখাইলভ বক্ররেখা ক্রমাগত জটিল সমতলের চতুর্ভুজ অতিক্রম করে।

নিম্নরূপ মিখাইলভ বক্ররেখা থেকে তিনটি প্রকারের স্থিতিশীলতার সীমানার উপস্থিতি নির্ধারণ করা যেতে পারে।

যদি স্থিতিশীলতার সীমা থাকে প্রথম প্রকার (শূন্যমূল) চরিত্রগত বহুপদী a n = 0 এর কোন মুক্ত পদ নেই এবং মিখাইলভ বক্ররেখাটি মূল থেকে বেরিয়ে যায় (চিত্র 5.9, বক্ররেখা 1)

স্থিতিশীলতার সীমায় দ্বিতীয় প্রকার (দোলক স্থায়িত্বের সীমা) চরিত্রগত সমীকরণের বাম দিকে, অর্থাৎ, চরিত্রগত বহুপদী, অদৃশ্য হয়ে যায় যখন p = j 0 প্রতিস্থাপিত হয়

D(j 0) = X( 0) + Y( 0) = 0. (5.34)

যেখান থেকে দুটি সমতা অনুসরণ করে: X( 0) = 0; Y( 0) = 0. এর মানে হল মিখাইলভ বক্ররেখার বিন্দু  =  0 উৎপত্তিস্থলে পড়ে (চিত্র 5.9, বক্ররেখা 2)। এই ক্ষেত্রে, মান  0 হল সিস্টেমের অনাবৃত দোলনের ফ্রিকোয়েন্সি।

স্থিতিশীলতার সীমানার জন্য তৃতীয় প্রকার (অসীম মূল) মিখাইলভ বক্ররেখার শেষটি নিক্ষিপ্ত হয় (চিত্র 5.9, বক্ররেখা 3) অনন্তের মাধ্যমে এক চতুর্ভুজ থেকে অন্যটিতে। এই ক্ষেত্রে, বৈশিষ্ট্যগত বহুপদীর (5.7) সহগ a 0 শূন্য মানের মধ্য দিয়ে যাবে, যোগ থেকে বিয়োগ চিহ্ন পরিবর্তন করবে।

তৃতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সমজাতীয় সিস্টেম বিবেচনা করুন

এখানে x(t), y(t), z(t) হল ইন্টারভালের কাঙ্খিত ফাংশন (a, b), a ij (i, j =1, 2, 3) হল বাস্তব সংখ্যা।

আমরা ম্যাট্রিক্স আকারে মূল সিস্টেম লিখি
,
কোথায়

আমরা ফর্মে মূল পদ্ধতির সমাধান চাইব
,
কোথায় , C 1 , C 2 , C 3 হল নির্বিচারে ধ্রুবক।

সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থা খুঁজে পেতে, তথাকথিত বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণটি সমাধান করা প্রয়োজন

এই সমীকরণটি একটি তৃতীয় ক্রম বীজগণিতীয় সমীকরণ, তাই এর 3টি মূল রয়েছে। এই ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে সম্ভব:

1. মূল (eigenvalues) বাস্তব এবং স্বতন্ত্র।

2. মূলের মধ্যে (eigenvalues) জটিল কনজুগেট আছে, যাক
- প্রকৃত মূল
=

3. মূল (eigenvalues) বাস্তব। একটি শিকড় একাধিক।

এই প্রতিটি ক্ষেত্রে কীভাবে কাজ করা যায় তা নির্ধারণ করতে, আমাদের প্রয়োজন:
উপপাদ্য ঘ.
ম্যাট্রিক্স A-এর যুগলভিত্তিক স্বতন্ত্র ইজেনভ্যালু হতে দিন এবং তাদের সাথে সম্পর্কিত ইজেনভেক্টর হোন। তারপর

মূল সিস্টেমের সমাধানের একটি মৌলিক সিস্টেম গঠন করে।

মন্তব্য করুন .
ধরা যাক - ম্যাট্রিক্স A (বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের আসল মূল) এর আসল eigenvalue, - সংশ্লিষ্ট eigenvector.
= - ম্যাট্রিক্স A এর জটিল eigenvalues, - সংশ্লিষ্ট - eigenvector. তারপর

(পুনরায় - বাস্তব অংশ, আমি - কাল্পনিক)
মূল সিস্টেমের সমাধানের একটি মৌলিক সিস্টেম গঠন করে। (যেমন এবং = একসাথে বিবেচনা করা হয়)

উপপাদ্য 3.
গুণিতক 2 এর বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল হতে দিন। তারপর মূল সিস্টেমে ফর্মের 2টি রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান রয়েছে
,
যেখানে , - ভেক্টর ধ্রুবক। যদি গুণগুলি 3 হয়, তাহলে ফর্মটির 3টি রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান রয়েছে
.
মূল সিস্টেমে সমাধান (*) এবং (**) প্রতিস্থাপন করে ভেক্টরগুলি পাওয়া যায়।
ফর্ম (*) এবং (**) এর সমাধান খোঁজার পদ্ধতিটি আরও ভালভাবে বুঝতে, নীচে আলোচিত সাধারণ উদাহরণগুলি দেখুন।

এখন উপরের প্রতিটি ক্ষেত্রে ঘনিষ্ঠভাবে নজর দেওয়া যাক।

1. চরিত্রগত সমীকরণের বিভিন্ন বাস্তব মূলের ক্ষেত্রে তৃতীয় ক্রমে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমজাতীয় সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম।
প্রদত্ত সিস্টেম

1) চরিত্রগত সমীকরণ রচনা করুন

বাস্তব এবং স্বতন্ত্র eigenvalues ​​(এই সমীকরণের মূল)।
2) আমরা যেখানে নির্মাণ

3) আমরা যেখানে নির্মাণ করি
- ম্যাট্রিক্স A এর eigenvector অনুরূপ, i.e. - কোন সিস্টেম সমাধান

4) আমরা যেখানে নির্মাণ
- ম্যাট্রিক্স A এর eigenvector অনুরূপ, i.e. - কোন সিস্টেম সমাধান

5)

সিদ্ধান্তের মৌলিক ব্যবস্থা গঠন করে। এর পরে, আমরা ফর্মটিতে মূল সিস্টেমের সাধারণ সমাধান লিখি
,
এখানে C 1, C 2, C 3 হল নির্বিচারে ধ্রুবক,
,
অথবা সমন্বিত আকারে

আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি:
উদাহরণ 1




2) খুঁজুন


3) খুঁজুন


4) ভেক্টর ফাংশন



অথবা সমন্বিত স্বরলিপিতে

উদাহরণ 2

1) আমরা চরিত্রগত সমীকরণ রচনা এবং সমাধান করি:

2) খুঁজুন


3) খুঁজুন


4) খুঁজুন


5) ভেক্টর ফাংশন

একটি মৌলিক সিস্টেম গঠন। সাধারণ সমাধান ফর্ম আছে

অথবা সমন্বিত স্বরলিপিতে

2. চরিত্রগত সমীকরণের জটিল সংযোজিত মূলের ক্ষেত্রে তৃতীয় ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমজাতীয় সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম।


- প্রকৃত মূল

2) আমরা যেখানে নির্মাণ

3) বিল্ডিং

- ম্যাট্রিক্স A এর eigenvector অনুরূপ, i.e. সিস্টেমকে সন্তুষ্ট করে

এখানে Re হল আসল অংশ
আমি কাল্পনিক অংশ
4) সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থা গঠন করুন। এর পরে, আমরা মূল সিস্টেমের সাধারণ সমাধান লিখি:
, কোথায়
С 1, С 2, С 3 হল নির্বিচারে ধ্রুবক।

উদাহরণ 1

1) আমরা চরিত্রগত সমীকরণ রচনা এবং সমাধান করি

2) বিল্ডিং

3) বিল্ডিং
, কোথায়

আমরা প্রথম সমীকরণটি 2 দ্বারা কমিয়ে ফেলি। তারপর আমরা দ্বিতীয় সমীকরণে 2i দ্বারা গুণিত প্রথম সমীকরণটি যোগ করি এবং তৃতীয় সমীকরণ থেকে 2 দ্বারা গুণিত কলমটি বিয়োগ করি।

আরও

অতএব,

4) - সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থা। আমরা মূল সিস্টেমের সাধারণ সমাধান লিখি:

উদাহরণ 2

1) আমরা চরিত্রগত সমীকরণ রচনা এবং সমাধান করি


2) বিল্ডিং

(অর্থাৎ, এবং একসাথে বিবেচনা করা হয়), যেখানে

দ্বিতীয় সমীকরণটি (1-i) দ্বারা গুণ করুন এবং 2 দ্বারা হ্রাস করুন।


অতএব,

3)
মূল সিস্টেমের সাধারণ সমাধান

বা

2. চরিত্রগত সমীকরণের একাধিক মূলের ক্ষেত্রে তৃতীয় ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমজাতীয় সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম।
চরিত্রগত সমীকরণ রচনা করুন এবং সমাধান করুন

দুটি ক্ষেত্রে সম্ভব:

কেস বিবেচনা করুন ক) 1), কোথায়

- ম্যাট্রিক্স A এর eigenvector অনুরূপ, অর্থাৎ সিস্টেমকে সন্তুষ্ট করে

2) আসুন আমরা উপপাদ্য 3 উল্লেখ করি, যা থেকে এটি অনুসরণ করে যে ফর্মটির দুটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান রয়েছে
,
যেখানে, ধ্রুবক ভেক্টর। আসুন তাদের নিয়ে যাই।
3) - সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থা। এর পরে, আমরা মূল সিস্টেমের সাধারণ সমাধান লিখি:

কেস খ বিবেচনা করুন):
1) আসুন উপপাদ্য 3 দেখুন, যা থেকে এটি অনুসরণ করে যে ফর্মটির তিনটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান রয়েছে
,
যেখানে , , স্থির ভেক্টর। আসুন তাদের নিয়ে যাই।
2) - সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থা। এর পরে, আমরা মূল সিস্টেমের সাধারণ সমাধান লিখি।

ফর্ম (*) এর সমাধানগুলি কীভাবে খুঁজে পেতে হয় তা আরও ভালভাবে বোঝার জন্য কয়েকটি সাধারণ উদাহরণ বিবেচনা করুন।

উদাহরণ 1

আমরা চরিত্রগত সমীকরণ রচনা এবং সমাধান করি:

আমাদের কেস আছে ক)
1) বিল্ডিং
, কোথায়

দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে প্রথম সমীকরণ বিয়োগ করুন:

? তৃতীয় লাইনটি দ্বিতীয়টির মতো, আমরা এটি অতিক্রম করি। প্রথম সমীকরণ থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করুন:

2) = 1 (2 গুণ)
T.3 অনুসারে, এই মূলটিকে অবশ্যই ফর্মের দুটি রৈখিক স্বাধীন সমাধানের সাথে মিল থাকতে হবে।
আসুন সমস্ত রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান খুঁজে বের করার চেষ্টা করি যার জন্য, যেমন ফর্মের সমাধান
.
এই ধরনের একটি ভেক্টর একটি সমাধান হবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি eigenvector হয় =1, অর্থাৎ
, বা
, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় লাইন প্রথম অনুরূপ, আমরা তাদের নিক্ষেপ.

সিস্টেমটি একটি সমীকরণে হ্রাস করা হয়েছিল। অতএব, দুটি বিনামূল্যে অজানা আছে, উদাহরণস্বরূপ, এবং . প্রথমে তাদের মান 1, 0 দেওয়া যাক; তারপর মান 0, 1. আমরা নিম্নলিখিত সমাধান পেতে পারি:
.
অতএব, .
3) - সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থা। এটি মূল সিস্টেমের সাধারণ সমাধান লিখতে অবশেষ:
. .. সুতরাং, এই সিস্টেমে বিকল্প X 3 ফর্মের একটি মাত্র সমাধান রয়েছে: তৃতীয় লাইনটি অতিক্রম করুন (এটি দ্বিতীয়টির মতো)। সিস্টেমটি যেকোনো s-এর জন্য সামঞ্জস্যপূর্ণ (একটি সমাধান আছে)। ধরা যাক c=1.
বা