Sistemin hərəkəti, təsir edən qüvvələrdən əlavə, onun ümumi kütləsindən və kütlələrin paylanmasından da asılıdır. Sistemin çəkisi sistemi təşkil edən bütün nöqtələrin və ya cisimlərin kütlələrinin arifmetik cəminə bərabərdir

Bədənin hər hansı bir hissəciyinin çəkisi onun kütləsinə mütənasib olacaq vahid cazibə sahəsində. Buna görə bədəndəki kütlələrin paylanması onun ağırlıq mərkəzinin mövqeyinə görə qiymətləndirilə bilər. Ağırlıq mərkəzinin koordinatlarını təyin edən düsturları çevirək:

, , . (1)

Yaranan bərabərliklərə yalnız cismi əmələ gətirən maddi nöqtələrin (hissəciklərin) kütlələri və bu nöqtələrin koordinatları daxildir. Buna görə də nöqtənin mövqeyi C(x C , y C , z C) həqiqətən cisimdə və ya hər hansı mexaniki sistemdə kütlələrin paylanmasını səciyyələndirir, əgər altındadırsa, biz müvafiq olaraq bu sistemin kütlələrini və nöqtələrinin koordinatlarını nəzərdə tuturuq.

həndəsi nöqtə İLƏ koordinatları göstərilən düsturlarla müəyyən edilən, kütlə mərkəzi adlanır və ya sistemin ətalət mərkəzi.

Kütlə mərkəzinin mövqeyi onun radius vektoru ilə müəyyən edilir

Harada - sistemi təşkil edən nöqtələrin radius vektorları.

Kütlə mərkəzinin mövqeyi vahid ağırlıq sahəsində cismin ağırlıq mərkəzinin mövqeyi ilə üst-üstə düşsə də, bu anlayışlar eyni deyil. Nəticə ağırlıq qüvvələrinin hərəkət xəttinin keçdiyi nöqtə kimi ağırlıq mərkəzi anlayışı mahiyyətcə yalnız vahid ağırlıq sahəsindəki sərt cisim üçün məna kəsb edir. Kütlə mərkəzi anlayışı kütlələrin sistemdə paylanmasının xarakterik xüsusiyyəti kimi istənilən maddi nöqtələr və ya cisimlər sistemi üçün məna kəsb edir və bu sistemin hər hansı qüvvə və ya qüvvənin təsiri altında olub-olmamasından asılı olmayaraq bu anlayış öz mənasını saxlayır. yox.

Bədənin ox ətrafında ətalət anı. Ətalət radiusu.

Kütlə mərkəzinin mövqeyi sistemin tam olmayan kütlə paylanmasını xarakterizə edir. Məsələn (şək. 32 ), məsafələr olsa h oxdan kənar Oz eyni topların hər biri A Və IN eyni miqdarda artar, onda sistemin kütlə mərkəzinin mövqeyi dəyişməyəcək və kütlələrin paylanması fərqli olacaq və bu sistemin hərəkətinə təsir edəcəkdir (ox ətrafında fırlanma Oz ceteris paribus daha yavaş olacaq).

Şəkil 32

Buna görə də, mexanikada kütlələrin paylanmasının daha bir xüsusiyyəti tətbiq olunur - ətalət anı. Bir cismin (sistemin) verilmiş ox ətrafında ətalət anı Oz (və ya oxlu ətalət anı) cismin (sistemin) bütün nöqtələrinin kütlələrinin məhsullarının kvadratları ilə cəminə bərabər olan skalyar qiymətdir. onların bu oxdan olan məsafələri

Tərifdən belə çıxır ki, cismin (və ya sistemin) hər hansı oxa görə ətalət anı müsbət kəmiyyətdir və sıfıra bərabər deyil.

Onu da qeyd edək ki, cismin ətalət anı onun hərəkətindən asılı olmayaraq onun həndəsi xarakteristikasıdır.

Eksenel ətalət anı bədənin fırlanma hərəkətində tərcümədəki kütlə ilə eyni rol oynayır, yəni. Nə eksenel ətalət anı cismin fırlanma hərəkəti zamanı ətalət ölçüsüdür.

Formula görə, cismin ətalət anı onun bütün hissələrinin eyni ox ətrafında ətalət momentlərinin cəminə bərabərdir. Məsafədə yerləşən bir maddi nöqtə üçün h oxdan, .

Tez-tez hesablamalar zamanı dönmə radiusu anlayışından istifadə olunur. Ətalət radiusu cisimlər ox ətrafında Oz bərabərliklə təyin olunan xətti kəmiyyət adlanır

Harada M- bədən kütləsi. Tərifdən belə çıxır ki, fırlanma radiusu həndəsi olaraq oxdan olan məsafəyə bərabərdir Oz bu bir nöqtənin ətalət anı bütün bədənin ətalət momentinə bərabər olması üçün bütün bədənin kütləsini cəmləşdirmək lazım olan nöqtə.

Bərk bir cismin elementar hissələrə bölünməsi halında, həddə bərabərlikdəki cəminin olduğunu görürük. , inteqrala çevrilir. Nəticədə, nəzərə alınmaqla, sıxlıq haradadır və V- həcmi, alırıq

Buradakı inteqral bütün həcmə qədər uzanır V cisimlər, lakin sıxlıq və məsafə h cismin nöqtələrinin koordinatlarından asılıdır.

Bəzi homojen cisimlərin ətalət anları:

1.Nazik vahid uzunluqlu çubuq l və kütlələr M. Onun ox ətrafında ətalət momentini hesablayın Az,çubuğa perpendikulyar və onun ucundan keçir A(Şəkil 33).

Şəkil 33

Birbaşa keçək AB koordinat oxu Oh. Sonra uzunluğun istənilən elementar seqmenti üçün dx böyüklük h=x, və kütlə , Harada - çubuq uzunluğunun vahidinə düşən kütlə. Nəticə olaraq

Burada dəyərini əvəz edərək, nəhayət tapırıq:

2. Nazik dəyirmi vahid radius halqası R və kütlələr M. Onun ox ətrafında ətalət momentini tapın cz, halqanın müstəvisinə perpendikulyar və onun mərkəzindən keçən (şək. 34, A).Çünki halqanın bütün nöqtələri oxdandır cz məsafədə hk =R, Bu

Buna görə də üzük üçün

Aydındır ki, eyni nəticə nazik silindrik kütlə qabığının ətalət anı üçün alınacaq. M və radius R onun oxu haqqında.

3. Dəyirmi vahid lövhə və ya radiuslu silindr R və kütlələr M. Dairəvi lövhənin ox ətrafında ətalət momentini hesablayın Сz, plitəsinə perpendikulyar və onun mərkəzindən keçən (bax. Şəkil 34, A). Bunun üçün radiusun elementar halqasını seçirik r və eni dr(şək.34, b).

Hər hansı bir cisim, məsələn, molekullar kimi qəbul edilə bilən maddi nöqtələr toplusu kimi qəbul edilə bilər. Cism kütlələri m1, m2, ...mn olan n maddi nöqtədən ibarət olsun.

bədənin kütlə mərkəzi, n maddi nöqtədən ibarət olan radius vektoru düsturla təyin olunan nöqtə (həndəsi mənada) adlanır.:

Burada R1 i ədədi (i = 1, 2, ... n) olan nöqtənin radius vektorudur.

Bu tərif qeyri-adi görünür, amma əslində bu, bizim intuitiv fikrimiz olan kütlə mərkəzinin mövqeyini verir. Məsələn, çubuğun kütlə mərkəzi onun ortasında olacaq. Yuxarıdakı düsturun məxrəcinə daxil olan bütün nöqtələrin kütlələrinin cəminə cismin kütləsi deyilir. Bədən çəkisiçağırdı onun bütün nöqtələrinin kütlələrinin cəmi: m = m1 + m2 + ... + mn .

Simmetrik homojen cisimlərdə CM həmişə simmetriyanın mərkəzində yerləşir və ya fiqurun simmetriya mərkəzi yoxdursa simmetriya oxunun üzərində yerləşir. Kütlənin mərkəzi həm gövdənin daxilində (disk, kvadrat, üçbucaq), həm də onun xaricində (halqa, çərçivə, kvadrat) yerləşə bilər.

Bir şəxs üçün CM-nin mövqeyi qəbul edilmiş duruşdan asılıdır. Bir çox idman növlərində uğurun vacib komponenti tarazlığı qorumaq bacarığıdır. Beləliklə, gimnastikada, akrobatikada

çoxlu sayda elementlərə müxtəlif balans növləri daxildir. Fiqurlu konkisürmədə, dəstəyin çox kiçik bir sahəsi olan konkisürmədə tarazlığı qorumaq bacarığı vacibdir.

Sükunətdə olan bir cismin tarazlıq şərtləri eyni vaxtda qüvvələrin cəminin və bədənə təsir edən qüvvələrin momentlərinin cəminin sıfıra bərabərliyidir.

Üzərində sabitlənmiş cismin cazibə qüvvəsinin təsiri altında tarazlıqda qalması üçün fırlanma oxunun hansı mövqeyi tutmalı olduğunu öyrənək. Bunun üçün bədəni bir çox kiçik hissələrə parçalayacağıq və onlara təsir edən cazibə qüvvələrini çəkəcəyik.

Momentlər qaydasına uyğun olaraq, tarazlıq üçün bütün bu qüvvələrin ox ətrafında momentlərinin cəminin sıfıra bərabər olması lazımdır.

Göstərilə bilər ki, hər bir cisim üçün bu nöqtədən keçən hər hansı ox ətrafında cazibə momentlərinin cəmi sıfıra bərabər olan unikal bir nöqtə var. Bu nöqtə ağırlıq mərkəzi adlanır (adətən kütlə mərkəzi ilə üst-üstə düşür).

Bədənin ağırlıq mərkəzi (CG)çağırdı bədənin bütün hissəciklərinə təsir edən cazibə momentlərinin cəminin sıfıra bərabər olduğu nöqtə.

Beləliklə, cazibə qüvvələri bədənin ağırlıq mərkəzi ətrafında fırlanmasına səbəb olmur. Buna görə də, bütün cazibə qüvvələri bu nöqtəyə tətbiq olunan və cazibə qüvvəsinə bərabər olan tək bir qüvvə ilə əvəz edilə bilər.

İdmançının bədəninin hərəkətlərini öyrənmək üçün tez-tez ümumi ağırlıq mərkəzi (CGG) termini tətbiq olunur. Ağırlıq mərkəzinin əsas xüsusiyyətləri:

Bədən ağırlıq mərkəzindən keçən bir ox üzərində sabitlənmişdirsə, çəkisi onun dönməsinə səbəb olmayacaq;

Ağırlıq mərkəzi ağırlıq qüvvəsinin tətbiqi nöqtəsidir;

Vahid bir sahədə ağırlıq mərkəzi kütlə mərkəzi ilə üst-üstə düşür.

Tarazlıq bədənin özbaşına uzun müddət istirahətdə qala biləcəyi mövqeyidir. Cism tarazlıq vəziyyətindən kənara çıxanda ona təsir edən qüvvələr dəyişir, qüvvələr balansı pozulur.

Müxtəlif növ tarazlıqlar var (şək. 9). Üç növ tarazlığı ayırmaq adətdir: sabit, qeyri-sabit və laqeyd.

Sabit tarazlıq (şək. 9, a) cismin əyildiyi zaman ilkin vəziyyətinə qayıtması ilə xarakterizə olunur. Bu vəziyyətdə, bədəni orijinal vəziyyətinə qaytarmağa meylli qüvvələr və ya qüvvələrin anları yaranır. Nümunə, bədənin hər hansı bir sapma ilə orijinal vəziyyətinə qayıtmağa meylli olduqda, yuxarı dəstəyi olan (məsələn, çarpazda asılmış) mövqeyidir.

Laqeyd tarazlıq (şək. 9, b) cismin mövqeyi dəyişdikdə cismi ilkin vəziyyətinə qaytarmağa və ya bədəni ondan daha da uzaqlaşdırmağa meylli qüvvələrin və ya qüvvələrin anlarının olmaması ilə xarakterizə olunur. Bu insanlarda nadir haldır. Buna misal olaraq kosmik gəmidəki çəkisizlik vəziyyətini göstərmək olar.

Qeyri-sabit tarazlıq (şək. 9, c) bədənin kiçik sapmaları ilə bədəni ilkin vəziyyətindən daha çox yayındırmağa meylli qüvvələr və ya qüvvələrin anları yarandıqda müşahidə olunur. Belə bir hal, çox kiçik bir sahənin dayağı üzərində dayanan (iki ayağının və ya hətta bir ayağının sahəsindən çox kiçik) bir şəxs yan tərəfə sapdıqda müşahidə edilə bilər.

Şəkil 9 Bədən balansı: sabit (a), laqeyd (b), qeyri-sabit (c)

Biomexanikada cisimlərin sadalanan tarazlıq növləri ilə yanaşı, daha bir tarazlıq növü nəzərə alınır - məhdud-sabit. Bu tip tarazlıq, məsələn, dəstək sahəsinin sərhədi ilə müəyyən edilmiş müəyyən bir həddə qədər kənara çıxdıqda, bədənin ilkin vəziyyətinə qayıda bilməsi ilə fərqlənir. Əgər sapma bu həddi aşarsa, tarazlıq qeyri-sabit olur.

İnsan bədəninin tarazlığının təmin edilməsində əsas vəzifə, bədənin GCM-nin proyeksiyasının dəstək sahəsi daxilində olmasını təmin etməkdir. Fəaliyyət növündən (statik vəziyyəti saxlamaq, yerimək, qaçmaq və s.) və sabitliyə olan tələblərdən asılı olaraq düzəldici hərəkətlərin tezliyi və sürəti dəyişir, lakin tarazlığın qorunması prosesləri eynidir.

İnsan bədənində kütlənin paylanması

Bədənin kütləsi və ayrı-ayrı seqmentlərin kütlələri biomexanikanın müxtəlif aspektləri üçün çox vacibdir. Bir çox idman növlərində məşqləri yerinə yetirmək üçün düzgün texnikanı inkişaf etdirmək üçün kütlənin paylanmasını bilmək lazımdır. İnsan bədəninin hərəkətlərini təhlil etmək üçün seqmentasiya üsulundan istifadə olunur: şərti olaraq müəyyən seqmentlərə bölünür. Hər bir seqment üçün onun kütləsi və kütlə mərkəzinin mövqeyi müəyyən edilir. Cədvəldə. 1 bədən hissələrinin kütlələrini nisbi vahidlərlə müəyyən edir.

Cədvəl 1. Nisbi vahidlərdə bədən hissələrinin kütlələri

Çox vaxt kütlə mərkəzi anlayışı əvəzinə başqa bir anlayışdan istifadə olunur - ağırlıq mərkəzi. Vahid ağırlıq sahəsində ağırlıq mərkəzi həmişə kütlə mərkəzi ilə üst-üstə düşür. Bağlantının ağırlıq mərkəzinin mövqeyi onun proksimal birləşmənin oxundan məsafəsi kimi göstərilir və vahid kimi qəbul edilən bağın uzunluğuna nisbətən ifadə edilir.

Cədvəldə. 2 bədənin müxtəlif hissələrinin ağırlıq mərkəzlərinin anatomik mövqeyini göstərir.

Cədvəl 2. Bədən hissələrinin ağırlıq mərkəzləri

Tərif

Klassik mexanikada maddi nöqtələr sisteminin kütlə mərkəzinin (ətalət mərkəzinin) mövqeyi aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

Davamlı kütlə paylanması halında:

Kütlə mərkəzi beləliklə kütlənin bədən və ya hissəciklər sistemi üzərində paylanmasını xarakterizə edir.

Homojen fiqurların kütlə mərkəzləri

• Seqmentin ortası var.
• Çoxbucaqlılar üçün (həm bərk düz fiqurlar, həm də tel çərçivələr):
  • Üçbucağın medianların kəsişmə nöqtəsi var ( mərkəz).
• Müntəzəm çoxbucaqlının fırlanma simmetriya mərkəzi var.

Mexanikada

Fizikada kütlə mərkəzi anlayışı geniş istifadə olunur.

Sərt cismin hərəkəti kütlə mərkəzinin hərəkətinin və onun kütlə mərkəzi ətrafında cismin fırlanma hərəkətinin superpozisiyası kimi qəbul edilə bilər. Bu halda, kütlə mərkəzi eyni kütləyə malik, lakin ölçüsündə sonsuz kiçik olan (maddi nöqtə) cismin hərəkət edəcəyi şəkildə hərəkət edir. Sonuncu, xüsusilə, Nyutonun bütün qanunlarının bu hərəkəti təsvir etmək üçün tətbiq oluna biləcəyini bildirir. Bir çox hallarda bədənin ölçülərini və formasını bütövlükdə nəzərə almamaq və yalnız onun kütlə mərkəzinin hərəkətini nəzərə almaq olar.

Çox vaxt qapalı sistemin hərəkətini kütlə mərkəzi ilə əlaqəli istinad çərçivəsində nəzərdən keçirmək rahatdır. Belə istinad sistemi kütlə mərkəzi sistemi (C-sistem) və ya ətalət mərkəzi sistemi adlanır. Burada qapalı sistemin ümumi impulsu həmişə sıfıra bərabər qalır, bu da onun hərəkət tənliklərini sadələşdirməyə imkan verir.

Relyativistik mexanikada kütlə mərkəzi

Yüksək sürətlər (işıq sürəti sırası ilə) vəziyyətində (məsələn, elementar hissəciklər fizikasında) sistemin dinamikasını təsvir etmək üçün SRT aparatı istifadə olunur. Relyativistik mexanikada (SRT) anlayışlar Qravitasiya mərkəzi Və kütlə sistemlərinin mərkəzi həm də ən vacib anlayışlardır, lakin konsepsiyanın tərifi dəyişir:

Səhvlərə yol verməmək üçün başa düşmək lazımdır ki, SRT-də kütlə mərkəzi kütlənin paylanması ilə deyil, enerjinin paylanması ilə xarakterizə olunur. Landau və Livşitsin nəzəri fizika kursunda “ətalət mərkəzi” termininə üstünlük verilir. Elementar zərrəciklər haqqında Qərb ədəbiyyatında “kütlə mərkəzi” (kütlə mərkəzi) terminindən istifadə olunur. Hər iki termin ekvivalentdir.

Relyativistik mexanikada kütlə mərkəzinin sürətini aşağıdakı düsturla tapmaq olar:

Qravitasiya mərkəzi

Bədənin kütlə mərkəzini ağırlıq mərkəzi ilə qarışdırmaq olmaz!

bədənin ağırlıq mərkəzi sistemə təsir edən cazibə qüvvələrinin ümumi momentinin sıfıra bərabər olduğu nöqtə adlanır. Məsələn, əyilməz çubuqla birləşdirilən və qeyri-bərabər cazibə sahəsinə yerləşdirilmiş iki eyni kütlədən ibarət sistemdə (məsələn, planetlər) kütlə mərkəzi çubuqun ortasında, ağırlıq mərkəzi isə çubuqun ortasında olacaq. sistem çubuqun planetə daha yaxın olan ucuna keçəcək (çünki kütlənin çəkisi P = m g qravitasiya sahəsinin parametrindən asılıdır g), və ümumiyyətlə, hətta çubuqdan kənarda yerləşir.

Daimi paralel (homogen) qravitasiya sahəsində ağırlıq mərkəzi həmişə kütlə mərkəzi ilə üst-üstə düşür. Buna görə də, praktikada bu iki mərkəz demək olar ki, üst-üstə düşür (çünki qeyri-kosmos problemlərində xarici qravitasiya sahəsi bədənin həcmi daxilində sabit hesab edilə bilər).

Eyni səbəbdən, anlayışlar Qravitasiya mərkəzi Və Qravitasiya mərkəzi bu terminlərin həndəsə, statika və oxşar sahələrdə istifadə edildiyi zaman üst-üstə düşür, burada fizika ilə müqayisədə tətbiqi metaforik adlandırıla bilər və onların ekvivalentlik vəziyyəti dolayısı ilə qəbul edilir (çünki həqiqi qravitasiya sahəsi yoxdur və bunun mənası yoxdur). qeyri-bərabərliyini nəzərə alın). Bu istifadələrdə bu iki termin ənənəvi olaraq sinonimdir və çox vaxt ikinciyə sadəcə daha köhnə olduğu üçün üstünlük verilir.

həmçinin bax

Wikimedia Fondu. 2010.

• Plazma
• Şite, Lüdviq

Digər lüğətlərdə "Kütləvi Mərkəzin" nə olduğuna baxın:

Qravitasiya mərkəzi- cismin (maddi nöqtələr sistemi) (ətalət mərkəzi), mövqeyi bədəndə və ya mexaniki sistemdə kütlələrin paylanmasını xarakterizə edən nöqtə. Bir cisim hərəkət edərkən, onun kütlə mərkəzi bütün bədənin kütləsinə bərabər kütləsi olan maddi bir nöqtə kimi, ... doğru hərəkət edir. ensiklopedik lüğət

KÜTƏLƏ MƏRKƏZİ- cismin (ətalət mərkəzi) (maddi nöqtələr sistemi) bədəndə və ya mexaniki sistemdə kütlələrin paylanmasını xarakterizə edən nöqtə. Bir cisim hərəkət edərkən, onun kütlə mərkəzi tətbiq olunan bütün bədənin kütləsinə bərabər kütləsi olan maddi bir nöqtə kimi hərəkət edir ... ... Böyük ensiklopedik lüğət

Qravitasiya mərkəzi- mexaniki sistem; kütlə mərkəzi; sənaye ətalət mərkəzi Mexanik sistemi təşkil edən bütün maddi nöqtələrin kütlələrinin məhsullarının və bu nöqtədən çəkilmiş radius vektorlarının cəminin sıfıra bərabər olduğu həndəsi nöqtə ... Politexnik terminoloji izahlı lüğət

KÜTƏLƏ MƏRKƏZİ- ətalət mərkəzi ilə eynidir. Fiziki ensiklopedik lüğət. Moskva: Sovet Ensiklopediyası. Baş redaktor A. M. Proxorov. 1983. KÜTLƏNİN MƏRKƏZİ ... Fiziki ensiklopediya

Qravitasiya mərkəzi- 3.1 kütlə mərkəzi: Fiziki cisimlə əlaqəli və elə bir xüsusiyyətə malik olan nöqtə ki, kütləsi bu fiziki cismin kütləsinə bərabər olan xəyali nöqtə obyekti, əgər bu nöqtədə yerləşdirilsəydi, ona nisbətən eyni ətalət anına sahib olar. ixtiyari ...... Normativ-texniki sənədlərin terminlərinin lüğət-aparat kitabı

Kütlə mərkəzi- ətalət mərkəzi, mövqeyi bədəndə və ya mexaniki sistemdə kütlələrin paylanmasını xarakterizə edən həndəsi nöqtə. C. m.-nin koordinatları düsturlarla və ya kütlələrin davamlı paylanması olan bir cisim üçün müəyyən edilir ... ... Böyük Sovet Ensiklopediyası

KÜTƏLƏ MƏRKƏZİ- mexaniki olaraq kütlələrin paylanmasını xarakterizə edən ətalət mərkəzi, C nöqtəsi. sistemi. Maddi nöqtələrdən ibarət sistemin C. m-nin radius vektoru, burada mi və ri kütlələr və i-ci nöqtənin radius vektoru, M isə bütün sistemin kütləsidir. Sistem hərəkət edərkən, C. m. hərəkət edir ... Böyük ensiklopedik politexnik lüğət

KÜTƏLƏ MƏRKƏZİ- (ətalət mərkəzi) cismin (maddi nöqtələr sistemi), nöqtəsi, sürüyə mövqeyi bədəndə və ya mexaniki kütlələrin paylanmasını xarakterizə edir. sistemi. Bədən hərəkət edərkən, onun C. m. kütləsi bütün bədənin kütləsinə bərabər olan maddi bir nöqtə kimi, bir sürüyə ... ... Təbiət elmi. ensiklopedik lüğət

Kütlənin mərkəzi bədənin daxilində yerləşən və bu cismin kütləsinin paylanmasını təyin edən həndəsi nöqtədir. İstənilən cisim müəyyən sayda maddi nöqtələrin cəmi kimi təmsil oluna bilər. Bu halda, kütlə mərkəzinin mövqeyi radius vektorunu təyin edir.

Formula 1 - Kütlə vektorunun mərkəzinin radiusu.

mi bu nöqtənin kütləsidir.

ri - bu nöqtənin radius vektoru.

Bütün maddi nöqtələrin kütlələrini cəmləsəniz, bütün bədənin kütləsini alırsınız. Kütlə mərkəzinin mövqeyinə kütlənin bədənin həcmi üzərində homojen paylanması təsir göstərir. Kütlənin mərkəzi həm bədənin daxilində, həm də onun xaricində yerləşə bilər. Deyək ki, halqanın kütlə mərkəzi dairənin mərkəzindədir. heç bir maddə olmayan yerdə. Ümumiyyətlə, vahid kütlə paylanması olan simmetrik cisimlər üçün kütlə mərkəzi həmişə simmetriyanın mərkəzində və ya onun oxunda yerləşir.

Şəkil 1 - Simmetrik cisimlərin kütlə mərkəzləri.

Bir cismə qüvvə tətbiq edilərsə, hərəkət edər. Masanın səthində uzanan bir üzük təsəvvür edin. Əgər ona güc tətbiq etsəniz və sadəcə itələməyə başlasanız, o, masanın səthi boyunca sürüşəcək. Amma hərəkət istiqaməti qüvvənin tətbiq olunduğu yerdən asılı olacaq.

Əgər qüvvə xarici kənardan mərkəzə, xarici səthə perpendikulyar yönəldilirsə, onda üzük qüvvənin tətbiqi istiqamətində masa səthi boyunca düz xətti hərəkət etməyə başlayacaq. Əgər halqanın xarici radiusuna tangensial qüvvə tətbiq edilərsə, o zaman kütlə mərkəzi ətrafında fırlanmağa başlayacaq. Beləliklə, belə nəticəyə gələ bilərik ki, cismin hərəkəti kütlə mərkəzinə nisbətən köçürmə hərəkəti və fırlanma hərəkətinin cəmindən ibarətdir. Yəni hər hansı bir cismin hərəkəti kütlənin mərkəzində yerləşən və bütün bədənin kütləsinə malik olan maddi nöqtənin hərəkəti ilə təsvir edilə bilər.

Şəkil 2 - Üzüyün tərcümə və fırlanma hərəkəti.

Ağırlıq mərkəzi anlayışı da var. Ümumiyyətlə, bu kütlə mərkəzi ilə eyni şey deyil. Ağırlıq mərkəzi ümumi ağırlıq anının sıfır olduğu nöqtədir. Bir çubuq təsəvvür etsək, deyək ki, 1 metr uzunluğunda, 1 sm diametrdə və kəsiyində vahiddir. Çubuğun uclarında eyni kütlənin metal topları sabitlənir. Sonra bu çubuğun kütlə mərkəzi ortada olacaq. Bu çubuq qeyri-bərabər qravitasiya sahəsinə yerləşdirilərsə, ağırlıq mərkəzi daha böyük sahə gücünə doğru sürüşəcək.

Şəkil 3 - Qeyri-bərabər və vahid qravitasiya sahəsində olan cisim.

Cazibə qüvvəsinin vahid olduğu yerin səthində kütlə mərkəzi praktiki olaraq ağırlıq mərkəzi ilə üst-üstə düşür. İstənilən sabit vahid cazibə sahəsi üçün ağırlıq mərkəzi həmişə kütlə mərkəzi ilə üst-üstə düşəcəkdir.

Sistemin hərəkətinin diferensial tənlikləri

$n$ maddi nöqtələrdən ibarət sistemi nəzərdən keçirək. Sistemin kütləsi $m_(k) olan bir nöqtəsini ayıraq.$ bütün daxili qüvvələri -- $\overline(F)_(k)^(l) $ vasitəsilə. Əgər nöqtənin $\overline(a_(k) )$ sürətlənməsi varsa, o zaman dinamikanın əsas qanununa görə:

İstənilən nöqtə üçün oxşar nəticə əldə edirik. Beləliklə, bütün sistem üçün:

Tənliklər (1) vektor formasında sistemin diferensial hərəkət tənlikləridir.

Bərabərlikləri (1) koordinat oxlarına proyeksiya edərək, sistemin bu oxlara proyeksiyalarda diferensial formada hərəkət tənliklərini əldə edirik.

Lakin bir çox konkret məsələlərin həlli zamanı sistemin hər bir nöqtəsinin hərəkət qanununu tapmaq zərurəti yaranmır, lakin bütövlükdə bütün sistemin hərəkətini təyin edən xüsusiyyətləri tapmaq kifayətdir.

Sistemin kütlə mərkəzinin hərəkəti haqqında teorem

Sistemin hərəkətinin xarakterini müəyyən etmək üçün onun kütlə mərkəzinin hərəkət qanununu bilmək lazımdır. Kütlə mərkəzi və ya sistemin ətalət mərkəzi elə bir xəyali nöqtədir ki, onun $R$ radius vektoru $r_(1) ,r_(2) ,...$ radius vektorları ilə ifadə olunur. düstura görə maddi nöqtələr:

$R=\frac(m_(1) r_(1) +m_(2) r_(2) +...+m_(n) r_(n) )(m) $, (2)

burada $m=m_(1) +m_(2) +...+m_(n) $ bütün sistemin ümumi kütləsidir.

Bu qanunu tapmaq üçün (1) sisteminin hərəkət tənliklərinə müraciət edək və onların sol və sağ hissələrini həd-həd əlavə edək. Sonra alırıq:

$\sum m_(k) \overline(a)_(k) =\sum \overline(F)_(k)^(e) +\sum \overline(F)_(k)^(l) $. (3)

Düsturdan (2) əldə edirik:

Zamana görə ikinci törəməni götürsək, alırıq:

$\sum m_(k) \overline(a)_(k) =M\overline(a)_(c) $, (4)

burada $\overline(a)_(c) $ sistemin kütlə mərkəzinin sürətlənməsidir.

Sistemdəki daxili qüvvələrin xassəsinə görə $\sum \overline(F)_(k)^(l) =0$, (4) nəzərə alaraq nəhayət (3) bərabərliyindən əldə edirik:

$M\overline(a)_(c) =\sum \overline(F)_(k)^(e) $. (5)

Tənlik (5) sistemin kütlə mərkəzinin hərəkəti haqqında teoremi ifadə edir: sistemin kütləsi ilə onun kütlə mərkəzinin sürətinin hasili sistemə təsir edən bütün xarici qüvvələrin həndəsi cəminə bərabərdir, yaxud sistemin kütlə mərkəzi kütləsi bütün sistemin kütləsinə bərabər olan və bütün xarici qüvvələrin tətbiq olunduğu maddi nöqtə kimi hərəkət edir.sistemə təsir edən qüvvələr.

Bərabərliyin (5) hər iki hissəsini koordinat oxlarına proyeksiya edərək əldə edirik:

$M\ddot(x)_(c) =\sum \overline(F)_(kx)^(e) $, $M\ddot(y)_(c) =\sum \overline(F)_( ky)^(e) $, $M\ddot(z)_(c) =\sum \overline(F)_(kz)^(e) $. (6)

Bu tənliklər Dekart koordinat sisteminin oxlarına proyeksiyalarda kütlə mərkəzinin hərəkətinin diferensial tənlikləridir.

Teoremin mənası belədir:

Teorem

• Tədricən hərəkət edən cismi həmişə kütləsi bədənin kütləsinə bərabər olan maddi nöqtə kimi qəbul etmək olar. Digər hallarda cismi yalnız o halda maddi nöqtə hesab etmək olar ki, praktikada cismin vəziyyətini müəyyən etmək üçün onun kütlə mərkəzinin mövqeyini bilmək kifayətdir və cismin şərtlərinə uyğun olaraq icazə verilir. problem, bədənin hərəkətinin fırlanma hissəsini nəzərə almamaq;
• Teorem bizə əvvəllər məlum olmayan bütün daxili qüvvələri nəzərdən keçirməyə imkan verir. Bu onun praktik dəyəridir.

Misal

Mərkəzdənqaçma maşınının oxundan sapla asılmış metal halqa $\omeqa $ bucaq sürəti ilə bərabər fırlanır. İp oxla $\alpha $ bucağı yaradır. Halqanın mərkəzindən fırlanma oxuna qədər olan məsafəni tapın.

\[\omeqa \] \[\alfa \]

Sistemimiz cazibə qüvvəsi $\overline(N)$ $\overline(N)$ $\alpha \alpha$, ipdəki gərginlik qüvvəsi və mərkəzdənqaçma sürətindən təsirlənir.

Sistemimiz üçün Nyutonun ikinci qanununu yazaq:

Hər iki hissəni x və y oxlarına proyeksiya edək:

\[\left\( \begin(massiv)(c) N\sin \alpha =ma; \\ N\cos \alpha =mg; \end(massiv) \sağ.(4)\]

Bir tənliyi digərinə bölmək, əldə edirik:

$a=\frac(v^(2) )(R) ;$$v=\omega R$ olduğundan tələb olunan məsafəni tapırıq:

Cavab: $R=\frac(gtg\alpha )(\omega ^(2) ) $