Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Понятие о зонной теории твердых тел

В рамках зонной теории многоэлектронная задача сводится к задаче о движении одного электрона во внешнем периодическом поле -- усредненном и согласованном поле всех ядер и электронов.

Рассмотрим «процесс образования» твердого тела из изолированных атомов.

Пока атомы изолированы, т. е. находятся друг от друга на макроскопических расстояниях, они имеют совпадающие схемы энергетических уровней (рис. 1).

Рисунок 1 Энергетические уровни изолированных атомов

По мере «сжатия» модели до кристаллической решетки, т. е. когда расстояния между атомами станут равными межатомным расстояниям в твердых телах, взаимодействие между атомами приводит к тому, что энергетические уровни атомов смещаются, расщепляются и расширяются в зоны, образуется зонный энергетический спектр.

Заметно расщепляются и расширяются лишь уровни внешних, валентных электронов, наиболее слабо связанных с ядром и имеющих наибольшую энергию, а также более высокие уровни, которые в основном состоянии атома вообще электронами не заняты. Уровни же внутренних электронов либо совсем не расщепляются, либо расщепляются слабо.

Таким образом, в твердых телах внутренние электроны ведут себя так же, как в изолированных атомах, валентные же электроны «коллективизированы» -- принадлежат всему твердому телу.

Энергия внешних электронов может принимать значения в пределах закрашенных на рис. 1 областей, называемых разрешенными энергетическими зонами. Каждая разрешенная зона «вмещает» в себя столько близлежащих дискретных уровней, сколько атомов содержит кристалл: чем больше в кристалле атомов, тем теснее расположены уровни в зоне. Расстояние между соседними энергетическими уровнями в зоне составляет приблизительно 10 -22 эВ. Так как оно столь ничтожно, то зоны можно считать практически непрерывными, однако факт конечного числа уровней в зоне играет важную роль для распределения электронов по состояниям.

Разрешенные энергетические зоны разделены зонами запрещенных значений энергии, называемыми запрещенными энергетическими зонами. В них электроны находиться не могут. Ширина зон (разрешенных и запрещенных) не зависит от размера кристалла. Разрешенные зоны тем шире, чем слабее связь валентных электронов с ядрами.

Металлы, диэлектрики и полупроводники по зонной теории

Зонная теория твердых тел позволила с единой точки зрения истолковать существование металлов, диэлектриков и полупроводников, объясняя различие в их электрических свойствах, во-первых, неодинаковым заполнением электронами разрешенных зон и, во-вторых, шириной запрещенных зон.

Степень заполнения электронами энергетических уровней в зоне определяется заполнением соответствующих атомных уровней. Если при этом какой-то энергетический уровень полностью заполнен, то образующаяся энергетическая зона также заполнена целиком.

Валентная зона полностью заполнена электронами и образована из энергетических уровней внутренних электронов свободных атомов.

З о на проводимости (свободн ая зон а) либо частично заполнена электронами, либо свободна и образована из энергетических уровней внешних «коллективизированных» электронов изолированных атомов.

В зависимости от степени заполнения зон электронами и ширины запрещенной зоны возможны четыре случая (рис. 2).

Рисунок 2 Энергетические зоны

На рис. 2, а самая верхняя зона, содержащая электроны, заполнена лишь частично, т. е. в ней имеются вакантные уровни. В данном случае электрон, получив сколь угодно малую энергетическую «добавку» (например, за счет теплового движения или электрического поля), сможет перейти на более высокий энергетический уровень той же зоны, т. е. стать свободным и участвовать в проводимости. Внутризонный переход вполне возможен, так как, например, при 1 К энергия теплового движения kT 10 -4 эВ, т. е. гораздо больше разности энергий между соседними уровнями зоны (примерно 10 -22 эВ). Таким образом, если в твердом теле имеется зона, лишь частично заполненная электронами, то это тело всегда будет проводником электрического тока. Именно это свойственно металлам.

Твердое тело является проводником электрического тока и в том случае, когда валентная зона перекрывается свободной зоной, что в конечном счете приводит к не полностью заполненной зоне (рис. 2, б). Это имеет место для щелочно-земельных элементов, образующих II группу таблицы Менделеева (Be, Mg, Ca, Zn,...). В данном случае образуется так называемая «гибридная» зона, которая заполняется валентными электронами лишь частично. Следовательно, в данном случае металлические свойства щелочно-земельных элементов обусловлены перекрытием валентной и свободной зон.

Твердые тела, у которых энергетический спектр электронных состояний состоит только из валентной зоны и зоны проводимости, являются диэлектриками или полупроводниками в зависимости от ширины запрещенной зоны E.

Если ширина запрещенной зоны кристалла порядка нескольких электрон-вольт, то тепловое движение не может перебросить электроны из валентной зоны в зону проводимости и кристалл является диэлектриком , оставаясь им при всех реальных температурах (рис. 2, в).

Если запрещенная зона достаточно узка (Е порядка 1 эВ), то переброс электронов из валентной зоны в зону проводимости может быть осуществлен сравнительно легко либо путем теплового возбуждения, либо за счет внешнего источника, способного передать электронам энергию Е, и кристалл является полупроводником (рис. 2, г).

Различие между металлами и диэлектриками с точки зрения зонной теории состоит в том, что при 0 К в зоне проводимости металлов имеются электроны, а в зоне проводимости диэлектриков они отсутствуют. Различие же между диэлектриками и полупроводниками определяется шириной запрещенных зон: для диэлектриков она довольно широка (например, для NaCl Е = 6 эВ), для полупроводников -- достаточно узка (например, для германия E = 0,72 эВ). При температурах, близких к 0 К, полупроводники ведут себя как диэлектрики, так как переброса электронов в зону проводимости не происходит. С повышением температуры у полупроводников растет число электронов, которые вследствие теплового возбуждения переходят в зону проводимости, т. е. электрическая проводимость проводников в этом случае увеличивается.

Собственная проводимость полупроводников

зонный твердый энергетичекий электрон

Полупроводниками являются твердые тела, которые при Т = 0 характеризуются полностью занятой электронами валентной зоной, отделенной от зоны проводимости сравнительно узкой (Е порядка 1 эВ) запрещенной зоной. Электропроводность полупроводников меньше электропроводности металлов и больше электропроводности диэлектриков.

В природе полупроводники существуют в виде элементов (элементы IV, V и VI групп таблицы Менделеева), например Si, Ge, As, Se, Те, и химических соединений, например оксиды, сульфиды, селениды, сплавы элементов различных групп.

Различают собственные и примесные полупроводники.

Собственными полупроводниками являются химически чистые полупроводники, а их проводимость называется собственной проводимостью (химически чистые Ge, Se, многие химические соединения: InSb, GaAs, CdS и др.)

При 0 К и отсутствии других внешних факторов собственные полупроводники ведут себя как диэлектрики. При повышении же температуры электроны с верхних уровней валентной зоны I могут быть переброшены на нижние уровни зоны проводимости II (рис. 3,а). При наложении на кристалл электрического поля они перемещаются против поля и создают электрический ток. Таким образом, зона II из-за ее частичного «укомплектования» электронами становится зоной проводимости. Проводимость собственных полупроводников, обусловленная электронами, называется электронной проводимостью или проводимостью n-т и па (от лат. negative -- отрицательный).

Рисунок 3 Собственная проводимость полупроводников

В результате тепловых забросов электронов из зоны I в зону II в валентной зоне возникают вакантные состояния, получившие название дырок. Во внешнем электрическом поле на освободившееся от электрона место -- дырку -- может переместиться электрон с соседнего уровня, а дырка появится в том месте, откуда ушел электрон, и т. д. Такой процесс заполнения дырок электронами равносилен перемещению дырки в направлении, противоположном движению электрона, так, как если бы дырка обладала положительным зарядом, равным по величине заряду электрона. Проводимость собственных полупроводников, обусловленная квазичастицами -- дырками, называется дырочной проводимостью или проводимостью р-типа (от лат. positive -- положительный).

Таким образом, в собственных полупроводниках наблюдаются два механизма проводимости: электронный и дырочный. Число электронов в зоне проводимости равно числу дырок в валентной зоне, так как последние соответствуют электронам, возбужденным в зону проводимости. Следовательно, если концентрации электронов проводимости и дырок обозначить соответственно n е и n р , то

n е = n р . (1)

Проводимость полупроводников всегда является возбужденной, т. е. появляется только под действием внешних факторов (температуры, облучения, сильных электрических полей и т. д.).

В собственном полупроводнике уровень Ферми находится в середине запрещенной зоны (рис. 3,б). Для переброса электрона с верхнего уровня валентной зоны на нижний уровень зоны проводимости затрачивается энергия активации, равная ширине запрещенной зоны E. При появлении же электрона в зоне проводимости в валентной зоне обязательно возникает дырка. Следовательно, энергия, затраченная на образование пары носителей тока, должна делиться на две равные части. Так как энергия, соответствующая половине ширины запрещенной зоны, идет на переброс электрона и такая же энергия затрачивается на образование дырки, то начало отсчета для каждого из этих процессов должно находиться в середине запрещенной зоны. Энергия Ферми в собственном полупроводнике представляет собой энергию, от которой происходит возбуждение электронов и дырок.

Удельная проводимость собственных полупроводников

где 0 -- постоянная, характерная для данного полупроводника.

Увеличение проводимости полупроводников с повышением температуры является их характерной особенностью (у металлов с повышением температуры проводимость уменьшается). С точки зрения зонной теории с повышением температуры растет число электронов, которые вследствие теплового возбуждения переходят в зону проводимости и участвуют в проводимости. Поэтому удельная проводимость собственных полупроводников с повышением температуры растет.

Наиболее распространенным из полупроводниковых элементов является германий, имеющий решетку типа алмаза, в которой каждый атом связан ковалентными связями с четырьмя ближайшими соседями. Упрощенная плоская схема расположения атомов в кристалле Ge дана на рис. 4, где каждая черточка обозначает связь, осуществляемую одним электроном. В идеальном кристалле при 0 К такая структура представляет собой диэлектрик, так как все валентные электроны участвуют в образовании связей и, следовательно, не участвуют в проводимости. При повышении температуры (или под действием других внешних факторов) тепловые колебания решетки могут привести к разрыву некоторых валентных связей, в результате чего часть электронов отщепляется и они становятся свободными. В покинутом электроном месте возникает дырка (она изображена белым кружком), заполнить которую могут электроны из соседней пары. В результате дырка, так же как и освободившийся электрон, будет двигаться по кристаллу. Движение электронов проводимости и дырок в отсутствие электрического поля является хаотическим. Если же на кристалл наложить электрическое поле, то электроны начнут двигаться против поля, дырки -- по полю, что приведет к возникновению собственной проводимости германия, обусловленной как электронами, так и дырками.

Рисунок 4 Кристаллическая решетка германия

В полупроводниках наряду с процессом генерации электронов и дырок идет процесс рекомбинация: электроны переходят из зоны проводимости в валентную зону, отдавая энергию решетке и испуская кванты электромагнитного излучения. В результате для каждой температуры устанавливается определенная равновесная концентрация электронов и дырок.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Объединение изолированных атомов в кристалл. Схема локальных энергетических уровней электронов. Основные элементы зонной теории. Особенность состояний электронов в кристаллах. Уменьшение сопротивления металлов. Физические основы квантовой электроники.

контрольная работа , добавлен 09.01.2012


Описание зонной теории твердого тела. Трансляционная симметрия в кристаллах. Потенциальная яма. Освобождение электрона. Обобществление валентных электронов в кристалле. Потенциальные ямы в кристалле. Зонная структура кристалла. Свободный электронный газ.

презентация , добавлен 03.04.2019


Главные приближения, лежащие в основе зонной теории. Кристаллическая решетка полупроводника, его энергетические уровни. Наличие электронов в зоне проводимости или наличие вакантных мест в валентной зоне, необходимое для возникновения электропроводности.

реферат , добавлен 30.06.2015


курсовая работа , добавлен 09.06.2015


Особенности определения зонной структуры по заданным направлениям в зоне Брюллюэна. Определение на ней положения примесных акцепторных состояний EA и значений эффективных масс. Составление блока численных значений для основных параметров полупроводников.

контрольная работа , добавлен 23.12.2009


Электронное строение атомов переходных элементов. Физические свойства редкоземельных металлов, их применение. Решение уравнения Шредингера для кристалла. Современные методы расчета зонной структуры. Расчет электрона энергетического спектра неодима.

дипломная работа , добавлен 27.08.2012


Эволюция представлений о строении атомов на примере моделей Эрнеста Резерфорда и Нильса Бора. Стационарные орбиты и энергетические уровни. Объяснение происхождения линейчатых спектров излучения и поглощения. Достоинства и недостатки теории Н. Бора.

реферат , добавлен 19.11.2014


Электрофизические свойства полупроводников. Структура полупроводниковых кристаллов. Элементы зонной теории твердого тела. Микроструктурные исследования влияния электронного облучения на электрофизические характеристики полупроводниковых приборов.

курсовая работа , добавлен 18.09.2015


Особенности электростатического взаимодействия между электронами в атомах. Уравнение полной потенциальной энергии электрона. Понятие и примеры электронных конфигураций атома. Расчет энергии состояний. Последовательность заполнения электронных оболочек.

презентация , добавлен 19.02.2014


Поиск эффективных методов преподавания теории вращательного движения в профильных классах с углубленным изучением физики. Изучение движения материальной точки по окружности. Понятие динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Зонная теория является основой современных представлений о механизмах различных физических явлений, происходящих в твердом кристаллическом веществе при воздействии на него электромагнитного поля. Зонная теория твердого тела – это теория валентных электронов, движущихся в периодическом потенциальном поле, кристаллической решетки.

Как отмечалось, отдельные атомы имеют дискретный энергетический спектр, т. е. электроны могут занимать лишь вполне определенные энергетические уровни.

Часть этих уровней заполнена при нормальном, невозбужденном состоянии атома, на других уровнях электроны могут находиться толь­ко тогда, когда атом подвергнется внешнему энергетическому воздей­ствию, т. е. когда он возбужден. Стремясь к устойчивому состоянию, атом излучает избыток энергии в момент перехода электронов с возбужденных уровней на уровни, на которых его энергия минимальна. Сказанное характеризуется энергетической диаграммой атома, приведенной на рис. 1.11,а .

Рис. 1.11. Схема расположения энергетических уровней:

а – уединенного атома; б – неметаллического твердого тела

Если имеется система из N одинаковых атомов, достаточно удаленных друг от друга (например, газообразное вещество), то взаимодействие между атомами практически отсутствует и энергетические уровни электронов остаются без изменений.

Обменное взаимодействие . При конденсации газообразного вещества в жидкость, а затем при образовании кристаллической решетки твердого тела все имеющиеся у атомов данного типа электронные уровни (как заполненные электронами, так и незаполненные) несколько смещаются вследствие действия соседних атомов друг на друга. В частности, притяжение электронов одного атома ядром соседнего снижает высоту потенциального барьера, разделяющего электроны в уединенных атомах. Главное состоит в том, что при сближении атомов происходит перекрытие электронных оболочек, а это, в свою очередь, существенно изменяет характер движения электронов. Благодаря перекрытию оболочек, электроны могут без изменения энергии посредством обмена переходить от одного атома к другому, т. е. перемещаться по кристаллу. Обменное взаимодействие имеет чисто квантовую природу и является следствием неразличимости электронов. В этом случае уже нельзя говорить о принадлежности того или иного электрона определенному атому – каждый валентный электрон принадлежит всем атомам кристаллической решетки одновременно. Иными словами, при перекрытии электронных оболочек происходит обобществление электронов.

Энергетические зоны. Вследствие обменного взаимодействия дискретные энергетические уровни изолированного атома расщепляются в энергетические зоны, как это показано для неметаллического твердого тела на рис. 1.11, б . Размещенные энергетические зоны разделены запрещенными интервалами энергии. Ширина разрешенных энергетических зон не зависит от размеров кристалла, а определяется лишь природой атомов, образующих твердое тело, и симметрией кристаллической решетки. Обозначим через Э А энергию обменного взаимодействия между двумя соседними атомами. Тогда для кристаллов с простой кубической решеткой, где каждый атом имеет 6 ближайших соседей, расщепление уровней в зоны составит 12 Э А ; для гранецентрированной решетки (первая координационная сфера состоит из 12 атомов) ширина энергетической разрешенной зоны составит 24 Э А , а в объемноцентрированной (у каждого атома 8 соседей) – 16 Э А . Поскольку обменная энергия Э А зависит от степени перекрытия электронных оболочек, то уровни энергии внутренних оболочек, которые сильнее локализованы вблизи ядра, расщепляются меньше, чем уровни валентных электронов. Расщеплению в зону подвержены не только нормальные (стационарные), но и возбужденные энергетические уровни. Ширина разрешенных зон при перемещении вверх по энергетической шкале возрастает, а величина запрещенных энергетических зазоров соответственно уменьшается.

Каждая зона состоит из множества энергетических уровней. Очевидно, их количество определяется числом атомов, составляющих твердое тело. Это значит, что в кристалле конечных размеров расстояние между уровнями обратно пропорционально числу атомов. В кристалле объемом в 1 см 3 содержится 10 22 – 10 23 атомов. Экспериментальные данные показывают, что энергетическая протяженность зоны валентных электронов не превышает единиц электронвольт. Отсюда можно сделать вывод, что уровни в зоне отстоят друг от друга по энергии на 10 -22 – 10 -23 эВ, т. е. энергетическая зона характеризуется квазинепрерывным спектром. Достаточно ничтожно малого энергетического воздействия, чтобы вызвать переход электронов с одного уровня на другой, если там имеются свободные состояния.

Распределение электронов . В соответствии с принципом Паули на каждом энергетическом уровне может находиться не более двух электронов, причем с противоположным направлением спинового магнитного момента. Поэтому число электронных состояний в зоне оказывается конечным и равным числу соответствующих атомных состояний. Конечным оказывается и число электронов, заполняющих данную энергетическую зону, что играет важную роль в формировании энергетического спектра кристалла.

Подобно энергетическим уровням в изолированных атомах энергетические зоны могут быть полностью заполненными, частично заполненными и свободными. Внутренние оболочки в изолированных атомах заполнены, поэтому соответствующие им зоны также оказываются заполненными.

Самую верхнюю из заполненных электронами зон называют валентной. Эта зона соответствует энергетическим уровням электронов внешней оболочки в изолированных атомах. Ближайшую к ней свободную, незаполненную электронами зону называют зоной проводимости. Взаимное положение этих двух зон определяет большинство процессов, происходящих в твердом теле.

Выводы зонной теории . Характер энергетического спектра у металлических проводников, полупроводников и диэлектриков существенно различен. В металлических проводниках валентная зона заполнена не полностью или перекрывается с зоной проводимости. В полупроводниках и диэлектриках зона проводимости и валентная зона разделены некоторым энергетическим зазором, называемым запрещенной зоной. Формально к полупроводникам относят вещества, у которых запрещенная зона меньше 3 эВ. Вещества с более широкой запрещенной зоной относят к диэлектрикам. У реальных диэлектриков ширина запрещенной зоны может достигать 10 эВ. Различие в положении энергетических зон у диэлектриков, полупроводников и металлических проводников показано на рис. 1.12.

Рис. 1.12. Энергетическое отличие диэлектриков от полупроводников

и металлических проводников с точки зрения зонной теории твердого

тела: 1 – заполненная электронами зона; 2 – зона свободных

Согласно зонной теории, электроны валентной зоны имеют практически одинаковую свободу движения во всех твердых телах независимо от того, являются ли они металлами или диэлектриками. Движение осуществляется путем туннельного перехода электронов от атома к атому. Для объяснения различий в электрических свойствах материалов надо принять во внимание различную реакцию на внешнее электрическое поле электронов заполненной и незаполненной зон. Внешнее электрическое поле стремится нарушить симметрию в распределении электронов по скоростям, ускоряя электроны, движущиеся в направлении действующих электрических сил, и замедляя частицы с противоположно направленным импульсом. Однако подобное ускорение и замедление связано с изменением энергии электронов, что должно сопровождаться переходом их в новые квантовые состояния. Очевидно, такие переходы могут осуществляться лишь в том случае, если в энергетической зоне имеются свободные уровни. В типичных случаях добавочная энергия, приобретаемая электронами на длине свободного пробега под действием электрического поля, составляет 10 -3 – 10 -4 эВ, т. е. намного превосходит расстояние между подуровнями в зоне.

В металлах, где зона не полностью укомплектована электронами, даже слабое поле способно сообщить электронам достаточный импульс, чтобы вызвать их переход на близлежащие свободные уровни. По этой причине металлы являются хорошими проводниками электрического тока.

В полупроводниках и диэлектриках при температуре 0 К все электроны находятся в валентной зоне, а зона проводимости абсолютно свободна. Электроны полностью заполненной зоны не могут принимать участия в создании электрического тока. Для появления электропроводности необходимо часть электронов перевести из валентной зоны в зону проводимости. Энергии электрического поля недостаточно для осуществления такого перехода, требуется более сильное энергетическое воздействие, например нагревание твердого тела.

Cредняя кинетическая энергия тепловых колебаний атомов в кристаллической решетке приблизительно равна (3/2) kT . При комнатной температуре эта величина составляет приблизительно 0,04 эВ, что в общем случае существенно меньше ширины запрещенной зоны ΔЭ. Однако следует иметь в виду, что тепловая энергия неравномерно распределяется между частицами. В каждый момент времени имеется небольшое число атомов, у которых амплитуда и энергия тепловых колебаний значительно превышают среднее значение. В процессе тепловых колебаний атомы взаимодействуют не только друг с другом, но и с электронами, передавая им часть тепловой энергии. Именно за счет таких тепловых флуктуаций некоторые из электронов могут перейти из валентной зоны в зону проводимости. Очевидно, чем выше температура и меньше запрещенная зона, тем выше интенсивность межзонных переходов. У диэлектриков запрещенная зона может быть настолько велика, что электронная электропроводность не играет определенной роли.

При каждом акте возбуждения и перехода электронов в зону проводимости появляются энергетические вакансии в распределении электронов по состояниям валентной зоны, называемые «дырками». При наличии дырок электроны валентной зоны могут совершать эстафетные переходы с уровня на уровень. Во внешнем электрическом поле дырка движется противоположно движению электрона, т. е. ведет себя как некоторый положительный заряд с отрицательной эффективной массой. Таким образом, дырки обеспечивают участие валентных электронов в процессе электропроводности.

Процесс перехода электронов в свободное состояние сопровождается и обратным явлением, т. е. возвратом электронов в нормальное состояние. В результате в веществе при любой температуре наступает динамическое равновесие т. е количество электронов, переходящих в свободную зону, становится равным количеству электронов, возвращающихся обратно в нормальное состояние. С повышением температуры число свободных электронов в полупроводнике возрастает, а с понижением температуры до абсолютного нуля – убывает вплоть до нуля.

Значит, вещество, представляющее собой при одних температурах диэлектрик, при других более высоких приобретает проводимость, т. е. наступает новое качественное состояние вещества. Различие между проводимостями двух типов материалов – металлов и неметаллов – наиболее значительно при температурах, приближающихся к абсолютному нулю; различие же между двумя классами неметаллов – полупроводниками и диэлектриками – исчезает по мере приближения температуры к абсолютному нулю.

Рис. 1.13. Распределение плотности состояний в энергетической зоне

Электроны, находящиеся в зоне проводимости, нельзя считать абсолютно свободными. Такие электроны неизбежно будут взаимодействовать с периодическим потенциальным полем кристаллической решетки. При математическом описании поведения электронов в зоне проводимости пользуются понятием эффективной массы . Эффективная масса не определяет ни инерционных, ни гравитационных свойств электрона, однако вводя понятие эффективной массы, можно движение реального электрона в кристалле с массой т 0 описывать как движение абсолютно свободного электрона, т. е. эффективная масса учитывает сложный характер взаимодействия электрона с кристаллической решеткой при его движении под действием силы внешнего электрического поля. Эффективная масса может во много раз отличаться от массы свободного электрона.

Упрощенная диаграмма, изображенная на рис. 1.11,б , не учитывает то обстоятельство, что состояния внутри энергетической зоны распределены неравномерно. С помощью квантовой механики можно показать, что плотность состояний N (Э) будет наибольшей в середине энергетической зоны (рис. 1.13). Кроме того, плотность состояний, т. е. их число на единичный интервал энергии, вблизи краев зоны с увеличением энергии возрастает по параболическому закону:

, (1.1)

где - эффективная масса электрона.

Ширина запрещенной зоны меняется с изменением температуры. Это происходит по двум основным причинам: из-за изменения амплитуды тепловых колебаний атомов решетки и из-за изменения междуатомных расстояний, т. е. объема тела. С ростом температуры возрастает амплитуда тепловых колебаний атомов, увеличивается степень их взаимодействия и степень расщепления энергетических уровней. Поэтому разрешенные зоны становятся шире, а запрещенные – соответственно уже.

При изменении межатомных расстояний в зависимости от характе­ра расщепления уровней ширина запрещенной зоны может как увеличиваться, так и уменьшаться (рис. 1.11). Аналогичные изменения ширины зоны происходят под действием давления на кристалл, поскольку при этом изменяются межатомные расстояния.

Энергию, необходимую для перевода электрона в свободное состоя­ние или для образования дырки, может дать не только тепловое движение, но и другие источники энергии, например поглощенная ма­териалом энергия света, энергия потока электронов и ядерных частиц, энергия электрических и магнитных полей, механическая энергия т. д. Увеличение же числа свободных электронов или дырок под воздействием какого-либо вида энергии способствует повышению электропроводности, увеличению тока, появлению электродвижущих сил.

Электрические свойства определяются условиями взаимодействия и расстояниями между атомами вещества и не являются непременной особенностью данного атома. Как было показано, углерод в виде алмаза является диэлектриком, а в виде графита он обладает большой проводимостью.

Примеси и точечные дефекты, нарушающие строгую периодичность структуры, создают особые энергетические уровни, которые располагаются в запрещенной зоне идеального кристалла. Если примесные атомы или дефекты расположены достаточно далеко друг от друга, то взаимодействие между ними отсутствует, а соответствующие им энергетические уровни оказываются дискретными. Поскольку туннельные переходы электронов между удаленными примесными атомами практически невозможны, то дополнительные электронные состояния локализованы в определенном месте решетки, т. е. на дефекте структуры. При достаточно высокой концентрации примесных атомов расстояния между ними сравнимы с размерами атомов, благодаря чему возможно перекрытие электронных оболочек ближайших атомов примеси. В этом случае дискретные энергетические уровни примесей расщепляются в энергетическую зону примесных состояний, способную обеспечить проводимость, если не все уровни в этой зоне заполнены электронами. Таким образом, электрические свойства всех твердых тел определяют теоретически с единой точки зрения – энергия возбуждения носителей заряда или энергия активации электропроводности равна нулю у металлов и непрерывно возрастает в ряду полупроводников, условно переходящих при увеличении этой энергии в ряд диэлектриков; хорошо проводящие металлы и хорошо изолирующие диэлектрики представляют собой крайние члены того непрерывного ряда, в котором можно расположить твердые тела по этому признаку. Подводя итог сказанному, следует подчеркнуть, что зонная теория строго применима к твердым телам с ковалентными и металлическими связями.

Разделение твердых тел на полупроводники и диэлектрики носит в значительной мере условный характер. По мере того как в качестве полупроводников начинают использоваться материалы со все более широкой запрещенной зоной, деление тел на полупроводники и диэлектрики постепенно утрачивает свой изначальный смысл.

Вопросы для самопроверки

1. Приведите общую классификацию материалов, используемых в электронной технике.

2. Каковы основные виды химической связи в материалах и чем они обусловлены?

3. В чем различия между монокристаллами, поликристаллическими и аморфными веществами?

4. Приведите примеры точечных и протяженных дефектов структуры в реальных кристаллах.

5. Охарактеризуйте явление полиморфизма. Приведите примеры полиморфных веществ.

6. Почему при образовании твердого тела энергетические уровни атомов расщепляются в энергетические зоны?

7. От чего зависит ширина разрешенной зоны и число уровней в ней?

8. Чем различаются зонные структуры проводника, полупроводника и диэлектрика?

9. В чем различие между электронами проводимости и свободными электронами?

Материалы используемые в этой части лекции были взяты из книги А.М. Хадыкина «Радиоматериалы и радиокомпоненты».

Металлы, диэлектрики и полупроводники по зонной теории

Зонная теория твердых тел позволила с единой точки зрения истолковать существова­ние металлов, диэлектриков и полупроводников, объясняя различие в их электрических свойствах, во-первых, неодинаковым заполнением электронами разрешенных зон и, во-вторых, шириной запрещенных зон.

Рис. 313

Степень заполнения электронами энергетических уровней в зоне определяется заполнением соответствующих атомных уровней. Если при этом какой-то энергетический уровень полностью заполнен, то образующаяся энергетическая зона также заполнена целиком. В общем случае можно говорить овалентной зоне, которая полностью заполнена электронами и образована из энергетических уровней внутренних электро­нов свободных атомов, и озоне проводимости (свободной зоне), которая либо частично заполнена электронами, либо свободна и образована из энергетических уровней внеш­них «коллективизированных» электронов изолированных атомов.

В зависимости от степени заполнения зон электронами и ширины запрещенной зоны возможны четыре случая, изображенные на рис. 314. На рис. 314, а самая верхняя зона, содержащая электроны, заполнена лишь частично, т. е. в ней имеются вакантные уровни. В данном случае электрон, получив сколь угодно малую энергетическую «добавку» (например, за счет теплового движения или электрического поля), сможет перейти на более высокий энергетический уровень той же зоны, т. е. стать свободным и участвовать в проводимости. Внутризонный переход вполне возможен, так как, например, при 1К энергия теплового движения kT≈10 -4 эВ, т. е. гораздо больше разности энергий между соседними уровнями зоны (примерно 10 -22 эВ). Таким об­разом, если в твердом теле имеется зона, лишь частично заполненная электронами, то это тело всегда будет проводником электрического тока. Именно это свойственно металлам.

Твердое тело является проводником электрического тока и в том случае, когда валентная зона перекрывается свободной зоной, что в конечном счете приводит к не полностью заполненной зоне (рис. 314, б). Это имеет место для щелочно-земельных элементов, образующих П группу таблицы Менделеева (Ве, Мg, Са, Zn, ...). В данном случае образуется так называемая «гибридная» зона, которая заполняется валентными электронами лишь частично. Следовательно» в данном случае металлические свойства щелочно-земельных элементов обусловлены перекрытием валентной и свободной зон.

Помимо рассмотренного выше перекрытия зон возможно также перераспределение электронов между зонами, возникающими из уровней различных атомов, которое может привести к тому, что вместо двух частично заполненных зон в кристалле окажутся одна полностью заполненная (валентная) зона и одна свободная зона (зона проводимости). Твердые тела, у которых энергетический спектр электронных состоя­ний состоит только из валентной зоны и зоны проводимости, являются диэлектриками или полупроводниками в зависимости от ширины запрещенной зоны ДД.

Если ширина запрещенной зоны кристалла порядка нескольких электрон-вольт, то тепловое движение не может перебросить электроны из валентной зоны в зону прово­димости и кристалл является диэлектриком, оставаясьим при всех реальных тем­пературах (рис. 314, в). Если запрещенная зона достаточно узка (ΔЕ порядка 1 эВ), то переброс электронов из валентной зоны в зону проводимости может быть осуществлен сравнительно легко либо путем теплового возбуждения, либо за счет внешнего источника, способного передать электронам энергию, и кристалл является полупровод­ником (рис. 314, г).

Различие между металлами и диэлектриками с точки зрения зонной теории состоит в том, что при О К в зоне проводимости металлов имеются электроны, а в зоне проводимости диэлектриков они отсутствуют. Различие же между диэлектриками и полупроводниками определяется шириной запрещенных зон: для диэлектриков она довольно широка (например, для NaCl ∆E = 6эВ) , для полупроводников - достаточно узка (например, для германия

∆E =0,72 эВ). При температурах, близких к О К, полупроводники ведут себякак диэлектрики, так как переброса электронов в зону проводимости не происходит. С повышением температуры у полупроводников растет число электронов, которые вследствие теплового возбуждения переходят в зону проводимости, т. е. электрическая проводимость проводников в этом случае увеличи­вается.

Откуда

Т.е. уровень Ферми в собственном полупроводнике действительно расположен в середине запрещёной зоны. Т.к. для собственных полупроводников ∆E>>kT, то распределение Ферми – Дирака (235,2) переходит в распределение Максвелла – Больцмана. Положив в (236,2)

Е - E F ≈∆E/2, получим

(242.4)

и повышении температуры (или под действием других внешних факторов) тепловые колебания решетки могут привести к разрыву некоторых валентных связей, в результате чего часть электронов отщепляется и они становятся свободными. В поки­нутом электроном месте возникает дырка (она изображена белым кружком), заполнить которую могут электроны из соседней пары. В результате дырка, так жекак и освобо­дившийся электрон, будет двигаться по кристаллу. Движение электронов проводимо­сти и дырок в отсутствие электрического поля является хаотическим. Если же на кристалл наложить электрическое поле, то электроны начнут двигаться против поля, дырки - по полю, что приведет к возникновению собственной проводимости герма­ния, обусловленнойкак электронами, так и дырками.

В полупроводниках наряду с процессом генерации электронов и дырок идет процесс рекомбинации: электроны переходят из зоны проводимости в валентную зову, отдавая энергию решетке и испуская кванты электромагнитного излучения. В результате для каждой температуры устанавливается определенная равновесная концентрация элект­ронов и дырок, изменяющаяся с температурой согласно выражению (242.4).

Рис. 318

мости; образующиеся при этом положительные заряды локализуются ва неподвижных атомах мышьяка и в проводимости не участвуют.

Таким образом, в полупроводниках с примесью, валентность которой на единицу больше валентности основных атомов, носителями тока являются электроны, воз­никает электронная примесная проводимость (проводимость n-типа). Полупроводники с такой проводимостью называются электронными (или полупроводниками n-типа). Примеси, являющиеся источником электронов, называются донорными, а энергетические уровни этих примесей - донорными уровнями.

Предположим, что в решетку кремния введен примесный атом с тремя валентными электронами, например бор (рис. 320, а). Для образования связей с четырьмя ближай­шими соседями у атома бора не хватает одного электрона, одна из связей остается неукомплектованной и четвертый электрон может быть захвачен от соседнего атома основного вещества, где соответственно образуется дырка. Последовательное заполне­ние образующихся дырок электронами эквивалентно движению дырок в полупровод­нике, т. е. дырки не остаются локализованными, а перемещаются в решетке кремния как свободные положительные заряды. Избыточный же отрицательный заряд, возникающий вблизи атома примеси, связан с атомом примеси и по решетке перемещаться не может.

По зонной теории, введение трехвалентной примеси в решетку кремния приводит к возникновению в запрещенной зоне примесного энергетического уровня А, не занятого электронами. В случае кремния с примесью бора этот уровень располагается выше верхнего края валентной зоны на расстоянии ΔЕ А =0,08 эВ (рис. 320, б). Близость этих уровней к валентной зоне приводит к тому, что уже при сравнительно низких тем­пературах электроны из валентной зоны переходят на примесные уровни и, связываясь с атомами бора, теряют способность перемещаться по решетке кремния, т. е. в прово­димости не участвуют. Носителями тока являются лишь дырки, возникающие в ва­лентной зоне.

Таким образом, в полупроводниках с примесью, валентность которой на единицу меньше валентности основных атомов, носителями тока являются дырки; возникает дырочная проводимость (промодимость р-типа).Полупроводники с такой проводимостью называютсядырочными (илиполупроводниками- р - типа). Примеси, захватывающие электроны из валентной зоны полупроводника, называютсяакцепторами, а энергетические уровни этих примесей -акцепторными уровнями.

В отличие от собственной проводимости, осуществляющейся одновременно электронами и дырками, примесная проводимость полупроводников обусловлена в основ­ном носителями одного знака: электронами - в случае донорной примеси, дырками - в случае акцепторной. Эти носители тока называются основными. Кроме основных носителей в полупроводнике имеются и неосновные носители: в полупроводниках n-типа - дырки, в полупроводниках

р-типа - электроны.

Наличие примесных уровней в полупроводниках существенно изменяет положение уровня Ферми E F . Расчеты показывают, что в случае полупроводников n-типа уровень

Ферми E Fo при 0 К расположен посередине между дном зоны проводимости и донорным уровнем (рис. 321). С повышением температуры все большее число электронов переходит из донорных состояний в зону проводимости, но, помимо этого, возрастает и число тепловых флуктуации, способных возбуждать электроны из валентной зоны и перебрасыватьих через запрещенную зону энергий. Поэтому при высоких температурах уровень Ферми имеет тенденцию смещаться вниз (сплошная кривая) к своему предельному положению в центре запрещенной зоны, характерному для собственного полупроводника.

Уровень Ферми в полупроводниках р-типа при 0 К E Fo располагается посередине

между потолком валентной зоны и акцепторным уровнем (рис. 322). Сплошная кривая опять-таки показывает его смещение с температурой. При температурах, при которых, примесные атомы оказываются полностью истощенными и увеличение концентрации носителей происходит за счет возбуждения собственных носителей, уровень Ферми располагается посередине запрещенной зоны, как в собственном полупроводнике.

Проводимость примесного полупроводника, как и проводимость любого проводника, определяется концентрацией носителей и их подвижностью. С изменением температуры подвижность носителей меняется по сравнительно слабому степенному закону, а концентрация носителей - по очень сильному экспоненциальному закону, поэтому проводимость примесных полупроводников от температуры определяется в основном температурной зависимостью концентрации носителей тока в нем. На рис. 323 дан

Рис. 321

Рис. 322

примерный график зависимости 1п у от 1/Т для примесных полупроводников. Участок АВ описывает примесную проводимость полупроводника. Рост примесной проводимо­сти полупроводника с повышением температуры обусловлен в основном ростом концентрации примесных носителей. Участок ВС соответствует области истощения примесей (это подтверждают и эксперименты), участок СВ описывает собственную проводимость полупроводника.

Рис. 323

Учитывая значения ΔЕ и ΔE n, для конкретных полупроводников, можно показать, что красная гранила фотопроводимости для собственных полупроводников приходится на видимую область спектра, для примесных же полупроводников - на инфрак­расную.

На рис. 325 представлена типичная зависимость фотопроводимости j и коэффициен­та поглощения с от длины волны Л падающего на полупроводник света. Из рисунка следует, что при λ>λ о фотопроводимость действительно не возбуждается. Спад фото­проводимости в коротковолновой части полосы поглощения объясняется большой скоростью рекомбинации в условиях сального поглощения в тонком поверхностном слое толщиной х«1 мкм (коэффициент поглощения ≈10 6 м -1).

Наряду с поглощением, приводящим к появлению фотопроводимости, может иметь место экситонный механизм поглощения. Эксиотоны представляют собой квазичастицы - электрически нейтральные связанные состояния электрона и дырки, образующиеся в случае возбуждения с энергией, меньшей ширины запрещенной зоны. Уровни энергии экситонов располагаются у дна зоны проводимости. Так как экситоны электрически нейтральны, то их возникновение в полупроводнике не приводит к появлению дополнительных носителей тока, вследствие чего экситонное поглощение света не сопровождается увеличением фотопроводимости.

Люминесценция твёрдых тел

В природе давно известно излучение, отличное по своему характеру от всех известных видов излучения (теплового излучения, отражения, рассеяния света и т. д.). Этим излучением является люминесцентное излучение, примерами которого может служить свечение тел при облучении их видимым, ультрафиолетовым и рентгеновским излучением, γ-излучением и т. д. Вещества, способные под действием различного рода возбуждений светиться, получили название люминофоров.

Люминесценция - неравновесное излучение, избыточное при данной температуре над тепловым излучением тела и имеющее длительность, большую периода световых колебаний. Первая часть этого определения приводит к выводу, что люминесценция не является тепловым излучением (см. § 197), поскольку любое тело при температуре выше О К излучает электромагнитные волны, а такое излучение является тепловым. Вторая часть показывает, что люминесценция не является таким видом свечения, как отражение и рассеяние света, тормозное излучение заряженных частиц и т. д. Период световых колебаний составляет примерно 10 - 15 с, поэтому длительность, по которой свечение можно отнести к люминесценции, больше-примерно 10 -10 с. Признак длительности свечения дает возможность отличить люминесценцию от других неравновесных процессов. Так, по этому признаку удалось установить, что излучение Вавилова - Черенкова (см. § 189) нельзя отнести к люминесценции.

В зависимости от способов возбуждения различают: фотолюминесценцию (под действием света), рентгенолюминесценцию (под действием рентгеновского излучения),

Рис. 324

катодолюминесценцию (под действием электронов), злектролюминесценцию (под действием электрического поля), раднолюминесценцию (при возбуждении ядерным излучением, например γ-излучением, нейтронами, протонами), хемилюминесценцию (при химических превращениях), -триболюминесценцию (при растирании и раскалывании некоторых кристаллов, например сахара). По длительности свечения условно различают: флоуресценцию (t≤10 -8 с) и фосфорсенцию - свечение, продолжающееся заметный промежуток времени после прекращения возбуждения.

Первое количественное исследование люминесценции проведано более ста лет назад Дж. Стоксом*, сформулировавшим в 1852 г. следующее правило: длина волны люминесцентного излучения всегда больше длины волны света, возбудившего его (рис. 326). Согласно квантовой теории, правило Стокса означает, что энергия hνпадающего фотона частично расходуется на какие-то неоптические процессы, т. е.

откуда ν люм < ν илиλ люм > λ что и следует из сформулированного правила.

Основной энергетической характеристикой люминесценции является энергетический выход, введенный С. И. Вавиловым в 1924 г., - отношение энергии, излученной люминофором при полном высвечивании, к энергии, поглощенной им. Типичная для органических люминофоров (на примере раствора флуоресцина) зависимость энергетического выхода η от длины волны λ возбуждающего света представлена на рис. 327. Из рисунка следует, что вначале η растет пропорционально λ, а затем, достигая максимального значения, быстро спадает до нуля при дальнейшем увеличении λ (закон Вавилова). Величина энергетического выхода для различных лю­минофоров колеблется в довольно широких пределах, максимальное ее значение может достигать примерно 80%.

Твердые тела, представляющие собой эффективно люминесцирующие искусственно приготовленные кристаллы с чужеродными примесями, получили названиекристаллофосфоров. На примере кристаллофосфоров рассмотрим механизмы возникновения люминесценции с точки зрения зонной теории твердых тел. Между валентной зоной и зоной проводимости кристаллофосфора располагаются примесные уровни активатора (рис. 328). При поглощении атомом активатора фотона с энергией hν электрон с примесного уровня переводится в зону проводимости, свободно перемещается по кристаллу до тех пор, пока не встретится с ионом активатора и не рекомбинирует с ним, перейдя вновь на примесный уровень. Рекомбинация сопровождается излучением кванта люминесцентного свечения. Время высвечивания люминофора определяется

Спектр поглощения Спектр (возбуждения) люминесценции

Рис. 326

временем жизни возбужденного состояния атомов активатора, которое обычно не превышает миллиардных долей секунды. Поэтому свечение является кратковременным и исчезает почти вслед за прекращением облучения.

Для возникновения длительного свечения (фосфоресценции) кристаллофосфор должен содержать также центры захвата, или ловушки для электронов, представляющие собой незаполненные локальные уровни (например, Л 1 и Л 2), лежащие вблизи дна зоны проводимости (рис. 329). Они могут быть образованы атомами примесей, атомами в междоузлиях и т. д. Под действием света атомы активатора возбуждаются, т. е. электроны с примесного уровня переходят в зону проводимости и становятся, свободными. Однако они захватываются ловушками, в результате чего теряют свою подвижность, а следовательно, и способность рекомбинировать с ионом активатора. Освобождение электрона из ловушки требует затраты определенной энергии, которую электроны могут получить, например, от тепловых колебаний решетки. Освобожденный из ловушки электрон попадает в зону проводимости и движется по кристаллу до тех пор, пока или не будет снова захвачен ловушкой, или не рекомбинирует с ионом активатора. В последнем случае возникает квант люминесцентного излучения. Длительность этого процесса определяется временем пребывания электронов в ловушках.

Явление люминесценции получило широкое применение в практике, например люминесцентный шик - метод определения состава вещества по характерному его свечению. Этот метод, являясь весьма чувствительным (примерно 10 - 10 г/см 3), позволяет обнаруживать наличие ничтожных примесей и применяется при тончайших исследованиях в биологии, медицине, пищевой промышленности и т. д. Люминесцентная дефектоскопия позволяет обнаружить тончайшие трещины на поверхности деталей машин и других изделий (исследуемая поверхность покрывается для этого люминес­центным раствором, который после удаления остается в трещинах).

Люминофоры используются в люминесцентных лампах, являются активной средой оптических квантовых генераторов (см. § 233) и сцинтилляторов (будут рассмотрены ниже), применяются в электронно-оптических преобразователях (см. § 169), для созда­ния аварийного и маскировочного освещения и для изготовления светящихся указа­телей различных приборов.

Рис. 336

Область перехода

лько тысяч градусов, т. е. при обычных температурах равновесный контактный слой является запирающим (характеризуется повышенным сопротивлением).

Сопротивление запирающего слоя можно изменить с помощью внешнего электрического поля. Если приложенное p-n-переходу внешнее электрическое поле направлено от n-полупроводника к p-полупроводнику (рис. 337, а), т. с. совпадает с полем контактного слоя, то оно вызывает движение электронов в n-полупроводнике и дырок в p-полупроводнике от границы p-n-перехода в противоположные стороны. В результате запирающий слой расширится и его сопротивление возрастет. Направление внешнего поля, расширяющего запирающий слой, называется запирающим (обратным). В этом направлении электрический ток через p-n -переход практически не проходит. Ток в запирающем слое в запирающем направлении образуется лишь за счет неосновных носителей тока (электронов в р-полупроводнике и дырок в n-полупроводнике).

Если приложенное к p-n -переходу внешнее электрическое поле направлено проти­воположно полю контактного слоя (рис. 337, 6), то оно вызывает движение электронов в n-полупроводнике и дырок в p-полупроводнике к границе p-n -перехода навстречу друг другу. В этой области они рекомбинируют, толщина контактного слоя и его сопротив­ление уменьшаются. Следовательно, в этом направлении электрический ток проходит сквозь p-n переход в направлении от р-полупроводника к n-полупроводнику; оно называется пропускным (прямым).

Таким образом, р-n-переход, (подобно на контакте металл - полупроводник) об­ладает одаосторонним (вентильной) проводимостью.

На рис. 338 представлена вольт-амперная характеристика p-n -перехода. Как уже указывалось, при пропускном (прямом) напряжении внешнее электрическое поле спо­собствует движению основных носителей тока к границе p-n -перехода (см. рис. 337, б).В результате толщина контактного слоя уменьшается. Соответственно уменьшается и сопротивление перехода (тем сильнее, чем больше напряжение), а сила тока становится большой (правая ветвь на рис. 338). Это направление тока называетсяпрямым.

При запирающем (обратном) напряжении внешнее электрическое поле препятствует движению основных носителей тока к границе p-n -перехода (см. рис. 337, а) и способствует движению неосновных носителей тока, концентрация которых в полупроводниках невелика. Это приводит к увеличению толщины контактного слоя, обедненного основными носителями тока. Соответственно увеличивается и сопротивление перехода. Поэтому в данном случае через p-n -переход протекает только небольшой ток (он называетсяобратным), полностью обусловленный неосновными носителями тока (ле­вая ветвь рис. 338). Быстрое возрастание этого тока означает пробой контактного слоя и его разрушение. При включении в цепь переменного тока p-n -переходы действуют как выпрямители.

п тип

р-тип

п тип

р-яип

Рис. 337

Рис. 338

(первый транзистор создан в 1949 г. американскими физиками Д. Бардином, У. Браттейном и У. Шокли; Нобелевская премия 1956 г.).

Для изготовления транзисторов используются германий и кремний, так как они характеризуются большой механической прочностью, химической устойчивостью и большей, чем в других полупроводниках, подвижностью носителей тока. Полупрово­дниковые триоды делятся на точечные и плоскостные. Первые значительно усиливают напряжение, но их выходные мощности малы из-за опасности перегрева (например, верхний предел рабочей температуры точечного германиевого триода лежит в пределах 50-80°С). Плоскостные триоды являются более мощными. Они могут быть типа p-n-pи типа n-p-n в зависимости от чередования областей с различной проводимостью.

Для примера рассмотрим принцип работы плоскостного триода p-n-pт. е. триода на основе n-полупроводника (рис. 341). Рабочие «электроды» триода, которыми являются база (средняя часть транзистора), эмиттер и коллектор (прилегающие к базе с обеих сторон области с иным типом проводимости), включаются в схему с помощью невыпрямляющих контактов - металлических проводников. Между эмиттером и баой прикладывается постоянное смещающее напряжение в прямом направлении, а между базой и коллектором - постоянное смещающее напряжение в обратном направле­нии. Усиливаемое переменное напряжение подается на входное сопротивление R вх, а усиленное - снимается с выходного сопротивления R вых.

Протекание тока в цепи эмиттера обусловлено в основном движением дырок (они являются основными носителями тока) и сопровождается их «впрыскиванием» инжекцией - в область базы. Проникшие в базу дырки диффундируют по направлению к коллектору, причем при небольшой толщине базы значительная часть инжектированных дырок достигает коллектора. Здесь дырки захватываются полем, действующим внутри перехода (притягиваются к отрицательно заряженному коллектору), вследствие чего изменяется ток коллектора. Следовательно, всякое изменение тока в цепи эмиттера вызывает изменение тока в цепи коллектора.

Прикладывая между эмиттером и базой переменное напряжение, получим в цепи коллектора переменный ток, а на выходном сопротивлении - переменное напряжение. Величина усиления зависит от свойств p-n-переходов, нагрузочных сопротивлений и напряжения батареиБ к. Обычно R вых >> R вх поэтому (U вых значительно превышает входное напряжение U вх (усиление может достигать 10 000). Так как мощность переменного тока, выделяемая в R вых, может быть больше, чем расходуемая в цепи эмиттера, то транзистор дает и усиление мощности. Эта усиленная мощность появляется за счет источника тока, включенного в цепь коллектора.

Из рассмотренного следует, что транзистор, подобно электронной лампе, дает усиление и напряжения и мощности. Если в лампе анодный ток управляется напряжением на сетке, то в транзисторе ток коллектора, соответствующий анодному току лампы, управляется напряжением на базе.

Принцип работы транзистора n-р-n-типа. аналогичен рассмотренному выше, во роль дырок играют электроны. Существуют и другие типы транзисторов, так же как

Рис. 339 Рис. 340

и другие схемы их включения. Благодаря своим преимуществам перед электронными лампами (малые габаритные размеры, большие к.п.д. и срок службы, отсутствие накаливаемого катода (поэтому потребление меньшей мощности), отсутствие необ­ходимости в вакууме и т. д.) транзистор совершил революцию в области электронных средств связи и обеспечил создание быстродействующих ЭВМ с большим объемом памяти.

Эмиттер База

Понятие о зонной теории твёрдых тел

Используя уравнение Шредингера - основное уравнение динамики в нерелятивистской квантовой механике, - в принципе можно рассмотреть задачу о кристалле, например найти возможные значения его энергии, а также соответствующие энергетические состояния. Однакокак в классической, так и в квантовой механике отсутствуют методы точного решения динамической задачи для системы многих частиц. Поэтому эта задача решается приближенно сведением задачи многих частиц к одноэлектронной задаче об одном электроне, движущемся в заданном внешнем поле. Подобный путь приводит к зонной теории твердого тела.

В основе зонной теории лежит так называемое адиабатическое приближение. Квантово-механическая система разделяется на тяжелые и легкие частицы - ядра и элект­роны. Поскольку массы и скорости этих частиц значительно различаются, можно считать, что движение электронов происходит в поле неподвижных ядер, а медленно движущиеся ядра находятся в усредненном поле всех электронов. Принимая, что ядра в узлах кристаллической решетки неподвижны, движение электрона рассматривается в постоянном периодическом поле ядер.

Далее используется приближение самосогласованного шин. Взаимодействие данного электрона со всеми другими электронами заменяется действием на вето стаци­онарного электрического поля, обладающего периодичностью кристаллической решетки. Это поле создается усредненным в пространстве зарядом всех других электронов и всех ядер. Таким образом, в рамках зонной теории многоэлектронная задача сводится к задаче о движении одного электрона во внешнем периодическом поле - усредненном и согласованном поле всех ядер и электронов.

Рассмотрим мысленно «процесс образования» твердого тела из изолированных атомов. Пока атомы изолированы, т. е. находятся друг от друга на макроскопических расстояниях, они имеют совпадающие схемы энергетических уровней (рис. 313). По мере «сжатия» нашей модели до кристаллической решетки, т. е. когда расстояния между атомами станут равными межатомным расстояниям в твердых телах, взаимодействие между атомами приводит к тому, что энергетические уровни атомов смещаются, расщепляются и расширяются а зоны, образуется зонный энергетический спектр.

Из рис. 313, на котором показано расщепление энергетических уровней в зависимо­сти от расстояния г между атомами, видно, что заметно расщепляются и расширяются лишь уровни внешних, валентных электронов, наиболее слабо связанных с ядром и имеющих наибольшую энергию, а так же более высокие уровни, которые в основном состоянии атома вообще электронами не заняты. Уровни не внутренних электронов либо совсем не расщепляются, либо расщепляются слабо. Таким образом, в твердых телах внутренние электроны ведут себя так же, как в изолированных атомах, валентные же электроны «коллективизированы» - принадлежат всему твердому телу.

Образование зонного энергетического спектра в кристалле является квантово-механическим эффектом и вытекает из соотношения неопределенностей. В кристалле ва­лентные электроны атомов, связанные слабее с ядрами, чем внутренние электроны, могут переходить от атома к атому сквозь потенциальные барьеры, разделяющие атомы, т. е. перемещаться без изменений полной энергии (туннельный эффект, см. § 221). Это приводит к тому, что среднее время жизни т валентного электрона в данном атоме по сравнению с изолированным атомом существенно уменьшается и составляет примерно 10 -15 с (для изолированного атома оно примерно 10 - 8 с). Время же жизни электрона в каком-либо состоянии связано с неопределенностью его энергии (шириной уровня) соотношением неопределенностей ΔЕ~h/τ (см. (215.5)). Следовательно, если естественная ширина спектральных линий составляет примерно 10 -7 эВ, то в кристал­лах

ΔЕ ≈1÷10 эВ, т. е. энергетические уровни валентных электронов расширяются в зону дозволенных значений энергии.

Энергия внешних электронов может принимать значения в пределах закрашенных на рис. 313 областей, называемых разрешенными энергетическими зонами. Каждая разрешенная зона «вмещает» в себя столько близлежащих дискретных уровней, сколь­ко атомов содержит кристалл: чем больше в кристалле атомов, тем теснее рас­положены уровни в зоне. Расстояние между соседними энергетическими уровнями в зоне составляет приблизительно 10 -22 эВ. Так как оно столь ничтожно, то зоны можно считать практически непрерывными, однако факт конечного числа уровней в зоне играет важную роль для распределения электронов по состояниям.

Разрешенные энергетические зоны разделены зонами запрещенных значений энер­гии, называемыми запрещенными энергетическими зонами, В них электроны находиться не могут. Ширина зон (разрешенных и запрещенных) не зависит от размера кристалла. Разрешенные зоны тем шире, чем слабее связь валентных электронов с ядрами.

Все вещества в зависимости от их электрических свойств делятся на диэлектрики , проводники или полупроводники. Различие между ними наиболее наглядно можно показать с помощью энергетических диаграмм зонной теории твердых тел .

Спектральный анализ отдельных атомов показывает, что для атома каждого вещества характерны вполне определенные спектральные линии Это говорит о наличии определенных энергетических состояний (уровней) для разных атомов.

Часть этих уровней заполнена электронами в нормальном, невозбужденном состоянии атома. На других уровнях электроны могут находиться только после того, как атом подвергается внешнему энергетическому воздействию и становится возбужденным. Стремясь снова вернуться к устойчивому состоянию, атом излучает избыток энергии и электроны возвращаются на свои прежние уровни, при которых энергия атома минимальна. Сказанное иллюстрируется энергетической диаграммой атома, показанной на рис.1.2.

Рис.1.2 Схема расположения энергетических уровней уединенного атома (слева) и твердого кристаллического тела - диэлектрика (справа).

Когда из отдельных атомов образуются молекулы, а из молекул образуется вещество, все имеющиеся у данного типа атома электронные уровни (как заполненные электронами, так и незаполненные) несколько смещаются вследствие действия соседних атомов друг на друга. Таким образом, из отдельных энергетических уровней уединенных атомов в твердом теле образуются целые полосы - зоны энергетических уровней (рис.1.2). Нормальные энергетические уровни 1 образуют заполненную электронами зону 2. Уровни возбужденного состояния атома 3 образуют свободную зону 4. Между заполненной зоной и свободной зоной располагается запрещенная зона 5.

На рис.1.3 показаны энергетические диаграммы диэлектрика (а), полупроводника (б) и проводника (в). Обозначения те же, что и на рис.1.2.

Диэлектриками являются такие материалы, у которых запрещенная зона (а следовательно и необходимая для ее преодоления энергия) настолько велика, что в обычных условиях электроны не могут переходить в свободную зону и электронной электропроводности не наблюдается. Таким образом, диэлектрики не проводят электрический ток, они являются изоляторами. Однако такими свойствами диэлектрик обладает до определенного предела. При воздействии очень высоких температур или сильных электрических полей связанные электроны могут переходить в свободную зону. В этом случае диэлектрик теряет свои изоляционные свойства, он перестает быть изолятором и становится проводником.

Рис.1.3. Энергетические диаграммы твердых тел: диэлектрика (а)\, полупроводника (б) и проводника (в) с точки зрения зонной теории твердого тела.

Полупроводники имеют более узкую запрещенную зону, которая может быть преодолена за счет небольших внешних энергетических воздействий, например температуры, света или других источников энергии. Если подведенная извне энергия будет достаточна для переброса электронов через запрещенную зону, то, став свободным, электроны могут перемещаться и под действием электрического поля, создавать электронную электропроводность полупроводника. При низких температурах полупроводники имеют мало свободных электронов, они плохо проводят электрический ток и практически являются изоляторами. С повышением температуры число носителей заряда растет и сопротивление полупроводников сильно уменьшается.

Проводниками являются материалы, у которых заполненная электронами зона вплотную прилегает к зоне свободных энергетических уровней или даже перекрывается ею. Вследствие этого электроны в металле могут переходить из заполненной зоны в свободную зону даже при слабых напряженностях электрического поля .

Диэлектрики. Виды поляризации. Электропроводность диэлектриков. Виды диэлектрических потерь в электроизаляционных материалах

Диэлектрики в электрическом поле

Основной процесс, который возникает в диэлектрике при воздействии на него электрического поля это поляризация диэлектрика. Что же представляет собой поляризация?

Поляризация - это ограниченное смещение связанных зарядов или ориентация дипольных молекул диэлектрика при воздействии на него электрического поля. Если процесс поляризации происходит без потерь энергии, то его характеризуют значением относительной диэлектрической проницаемости . Если же поляризация сопровождается рассеиванием энергии, вызывающим нагрев диэлектрика, то ее дополнительно характеризуют и так называемым углом диэлектрических потерь .

Поляризация диэлектрика и относительная диэлектрическая проницаемость

Представим себе конденсатор , образованный двумя обкладками, между которыми находится вакуум (рис.2.1,а). Если к такому конденсатору подвести постоянное напряжение U, то постоянный ток через конденсатор не пойдет, так как между его обкладками находится диэлектрик - вакуум. На обкладках конденсатора образуются заряды противоположных знаков +Q 0 и -Q 0 . Величина этих зарядов связана с емкостью конденсатора соотношением:

,

где - емкость конденсатора, когда между его пластинами находится вакуум; - электрическая постоянная; S - площадь пластин конденсатора; в квадратных метрах, d - расстояние между обкладками конденсатора в метрах.

Между обкладками конденсатора будет действовать электрическое поле. Линии напряженности электрического поля будут начинаться на положительных зарядах и заканчиваться на отрицательных. Величина напряженности будет равна: .

Заряд на обкладках конденсатора можно выразить через напряженность электрического поля следующим образом: .

Поверхностная плотность зарядов будет равна: .

Рис. 2.1 Электрическое поле в конденсаторе без диэлектрика (а) и с диэлектриком (б).

Если теперь между обкладками конденсатора поместить диэлектрик (рис.2.1,б), то имеющиеся в диэлектрике связанные заряды смещаются в направлении действующих на них сил электрического поля. При снятии электрического поля заряды вернутся в свое прежнее состояние. Расстояние между обкладками конденсатора и диэлектриком будем считать ничтожно малым. Что представляют собой связанные заряды в диэлектрике, мы рассмотрим подробнее несколько ниже. Сейчас же проанализируем только воздействие этих зарядов на заряды, находящиеся на обкладках конденсатора.

Связанные заряды диэлектрика смещаются таким образом, что на поверхности, обращенной к положительному электроду образуется отрицательный заряд, а на поверхности, обращенной к отрицательному электроду - положительный заряд. Поскольку заряды связанные, то разойтись, т.е. покинуть диэлектрик и перейти на электроды они не могут. Наличие связанных зарядов на поверхностях диэлектрика приводит к тому, что на обкладках конденсатора появляется дополнительный заряд , равный заряду на поверхности диэлектрика. Таким образом, суммарный заряд на обкладках конденсатора будет равен: .

Отношение зарядов является одной из важных электрических характеристик диэлектрика и называется относительной диэлектрической проницаемостью . Величина относительной диэлектрической проницаемости не зависит от выбора системы единиц. Итак,

. (2-1)

Из выражения (2-1) следует, что относительная диэлектрическая проницаемость любого вещества больше единицы и равна единице только в случае вакуума. Отметим, что иногда слово «относительная» в названии опускают и называют ее просто диэлектрической проницаемостью

Увеличение заряда на обкладках конденсатора связано с увеличением электрической емкости конденсатора. Можно записать, что , где - емкость конденсатора с диэлектриком. Следовательно, можно записать:

. (2-2)

Таким образом, относительная диэлектрическая проницаемость есть отношение емкости конденсатора с данным диэлектриком к емкости конденсатора тех же размеров, если бы между обкладками находился вакуум. Емкость конденсатора с диэлектриком можно выразить:

.

В табл. 2.1 приведены значения для некоторых изоляционных материалов.

Таблица 2.1.

Значения для некоторых изоляционных материалов

Материал

Гетинакс 6-4

Фторопласт 1,9-2,1

Лакоткани 3-4

Полиэтилен 2,3-2,4

Полистирол 2,4-2,6

Электрокартон 1,4-2,5

Масло трансформаторное 2,1-2,4

Оргстекло 4

Поливинилхлорид 3-5

Вода дистиллированная 40

Титанат кальция 150

Титанат бария 2000

Титанат бария с добавками 9000

Основные виды поляризации диэлектриков

В зависимости от строения диэлектрика различают два основных вида поляризации. К первому виду относится поляризация, совершающаяся практически мгновенно, вполне упруго, без рассеяния энергии, т.е. без выделения тепла. Второй вид поляризации совершается замедленно и сопровождается рассеянием энергии в диэлектрике, т.е. его нагреванием. Такой вид поляризации называют релаксационной поляризацией. Рассмотрим подробнее эти два вида поляризации.

К первому виду поляризации относятся электронная и ионная поляризации.

Рис.2.2. Электронная поляризация диэлектрика. Положение орбит электронов при отсутствии электрического поля (а) и при наличии электрического поля.

Рис.2.3. Схема замещения диэлектрика без потерь (а) и с потерями (б).

Электронная поляризация представляет собой упругое смещение и деформацию электронных оболочек атомов и ионов (рис.2.2). Время установления электронной поляризации ничтожно мало и составляет около 10 -15 с. Смещение и деформация электронных орбит атомов или ионов не зависит от температуры, но сама величина при электронной поляризации несколько уменьшается при повышении температуры в связи с тепловым расширением диэлектрика и уменьшением частиц в единице объема, т. е. уменьшением плотности вещества. Электронная поляризация наблюдается у всех видов диэлектриков и не связана с потерей энергии.

Ионная поляризация характерна для твердых тел с ионным строением и обусловлена смещением упруго связанных ионов. С повышением температуры она несколько усиливается в результате ослабления упругих сил, действующих между ионами из-за увеличения расстояния между ними при тепловом расширении. Время установления ионной поляризации больше, чем электронной, но оно также очень мало и имеет порядок 10 -13 с. Относительная диэлектрическая проницаемость при электронной и ионной поляризации не зависит от частоты, поскольку время установления ее, как указывалось выше, очень мало.

Диэлектрик, обладающий электронной или ионной поляризацией, может быть представлен идеальным конденсатором без потерь. В таком конденсаторе ток опережает напряжение на 90 градусов (рис.2.3,а).

Рис.2.4. Расположение диполей в неполяризованном (а) и поляризованном (б) диэлектрике

Дипольно-релаксационная поляризация или более кратко дипольная поляризация отличается от электронной и ионной тем, что она связана с потерями энергии при поляризации, т.е. с нагреванием диэлектрика. Этот вид поляризации наблюдается в полярных веществах. В таких веществах молекулы или радикалы. являются диполями даже при отсутствии электрического поля. Они находятся в хаотическом тепловом движении и результирующий электрический момент всех этих диполей равен нулю (рис.2.4,а). Под действием сил электрического поля диполи поворачиваются, ориентируясь вдоль линий электрического поля (рис.2.4,б).

Дипольная поляризация возможна, если молекулярные силы не мешают диполям ориентироваться вдоль поля. С увеличением температуры молекулярные силы ослабляются, вязкость вещества понижается, что усиливает дипольную поляризацию. При дальнейшем увеличении температуры возрастает энергия теплового движения молекул, что уменьшает ориентирующее влияние поля. В связи с этим относительная диэлектрическая проницаемость при дипольной поляризации с увеличением температуры сначала возрастает, а затем начинает падать (рис.2.5,а). Диэлектрическая проницаемость полярных веществ тем больше, чем больше электрический момент диполей и число молекул в единице объема.

Рис.2.5. Зависимость относительной диэлектрической проницаемости от температуры (а) и частоты (б) для полярной жидкости - совола.

Поворот диполей в направлении поля в вязкой среде требует преодоления некоторого сопротивления. Поэтому дипольная поляризация связана с потерями энергии. Эта энергия затрачивается на преодоление сил внутреннего трения. В вязких жидкостях сопротивление поворотам молекул настолько велико, что при повышенных частотах приложенного к диэлектрику напряжения диполи не успевают ориентироваться в направлении поля и дипольная поляризация может полностью исключаться. (рис.2.5,б). Примером вещества с дипольно-релаксационной поляризацией является целлюлоза. В схеме замещения диэлектрик с дипольной поляризацией может быть представлен в виде последовательно или параллельно включенных идеального конденсатора и активного сопротивления (рис.2.3,б).

В такой схеме ток опережает напряжение на угол меньший 90 градусов. Угол, дополняющий угол до 90 градусов обозначается и называется углом диэлектрических потерь. В технике принято использовать не сам угол , а безразмерную относительную величину- тангенс этого угла (тангенс дельта).

Кроме рассмотренных выше основных видов поляризации наблюдаются следующие виды поляризации, связанные с потерей электрической энергии.

Ионно-релаксационная поляризация наблюдается в некоторых ионных кристаллических неорганических веществах с неплотной упаковкой ионов.

Электронно-релаксационная поляризация возникает за счет возбуждения тепловой энергией избыточных электронов.

Миграционная поляризация наблюдается в технических диэлектриках неоднородной структуры, слои которой обладают различной проводимостью.

Самопроизвольная или спонтанная поляризация наблюдается у сегнетоэлектриков. В веществах с самопроизвольной поляризацией имеются отдельные области (домены), обладающие электрическим моментом еще в отсутствии внешнего поля. Однако ориентация электрических моментов в разных доменах различная и результирующий момент равен нулю. Наложение внешнего поля способствует преимущественной ориентации электрических моментов отдельных доменов в направлении поля, что дает эффект очень сильной поляризации. При некотором значении напряженности внешнего поля наступает насыщение и дальнейшее увеличение поля уже не вызывает возрастания относительной диэлектрической проницаемости.

Рис.2.6. Эквивалентная схема технического диэлектрика.

Технические диэлектрики обладают, как правило, не одним, а одновременно несколькими видами поляризации. Следовательно, емкость конденсатора с диэлектриком обусловливается суммой различных механизмов поляризации. На рис. 2.6 показана схема замещения технического диэлектрика, обладающего различными механизмами поляризации в электрическом поле. Схема состоит из параллельно включенных емкостных и активно-емкостных цепочек.

Емкость соответствует собственной емкости электродов, если между ними нет диэлектрика, т.е. емкости электродов в вакууме. Емкости и соответствуют электронной и ионной поляризациям. Емкость и сопротивление соответствуют дипольно-релаксационной поляризации. Емкость и сопротивление соответствуют ионно-релаксационной поляризации, а и - электронно-релаксационной поляризации.

Емкость и сопротивление соответствуют миграционной поляризации, а и - спонтанной поляризации. Все емкости эквивалентной схемы на рис. зашунтированы сопротивлением , представляющим собой сопротивление изоляции сквозному току утечки через диэлектрик. Как правило, ток утечки в диэлектриках очень мал и сопротивление изоляции составляет десятки и сотни МОм.

Диэлектрическая проницаемость газообразных, жидких и твердых диэлектриков

Газообразные вещества характеризуются весьма малой плотностью вследствие больших расстояний между молекулами. Поэтому поляризация всех газов незначительная, и относительная диэлектрическая проницаемость их близка к единице. Поляризация газа может быть чисто электронной или же дипольной, если молекулы газа полярны. Но даже и для полярных газов основное значение имеет электронная поляризация. Относительная диэлектрическая проницаемость газов тем выше, чем больше радиус молекулы.

Зависимость диэлектрической проницаемости от температуры и давления определяется изменением числа молекул в единице объема газа. Это число пропорционально давлению и обратно пропорционально абсолютной температуре. При повышении влажности воздуха при нормальных температуре и давлении относительная диэлектрическая проницаемость незначительно увеличивается. При повышенной температуре это увеличение становится более заметным. Температурная зависимость относительной диэлектрической проницаемости обычно характеризуется выражением:

.

Формула дает возможность вычислить относительное изменение диэлектрической проницаемости при повышении температуры на один градус. Эта величина носит наименование температурного коэффициента диэлектрической проницаемости. Температурный коэффициент диэлектрической проницаемости имеет единицу измерения . Поскольку температура чаще всего рассчитывается по градусам Кельвина, то размерность записывают как = 5. Температурная зависимость для совола показана на рис. 2.5,а, из которого видно, что для полярных жидкостей эта зависимость имеет более сложный характер, чем для неполярных. Сильно полярные жидкости характеризуются очень высоким значением относительной диэлектрической проницаемости. Например, дистиллированная вода имеет =40. Однако практического применения в качестве диэлектрика вода не находит вследствие ее большой проводимости. При переходе воды из жидкого состояния в твердое относительная диэлектрическая проницаемость уменьшается от значения 40 до значения 2,45.

Значительное влияние на дипольной жидкости имеет частота (рис. 2.5,б). Пока частота мала и диполи успевают следовать за полем, близка к значению, измеренному при постоянном напряжении. Когда же частота становится настолько большой, что диполи уже не успевают следовать за изменением поля, диэлектрическая проницаемость уменьшается, стремясь к значению, обусловленному электронной поляризацией, т. е. к значению, близкому к единице.

Рис.2.7. Зависимость диэлектрической проницаемости от температуры для неполярного диэлектрика - парафина.

В твердых телах в зависимости от структуры диэлектрика возможны все виды поляризации. Поэтому твердых тел может принимать самые различные численные значения. Для твердых неполярных диэлектриков характерны те же зависимости, что и для неполярных жидкостей и газов. На рис. 2.7 показана температурная зависимость для парафина. При переходе парафина из твердого состояние в жидкое (температура плавления составляет 54 0 С) происходит резкое уменьшение вследствие сильного понижения плотности вещества.

Твердые диэлектрики, представляющие собой ионные кристаллы с неплотной упаковкой частиц, в которых наблюдается помимо электронной и ионной также и ионно-релаксационная поляризация, характеризуются в большинстве случаев большим положительным температурным коэффициентом диэлектрической проницаемости. Примером может служить электротехнический фарфор, которого в зависимости от температуры приведена на рис. 2.8.

Рис.2.8. Температурная зависимость диэлектрической проницаемости электротехнического фарфора.

Полярные органические диэлектрики характеризуются дипольной поляризацией. К таким диэлектрикам относятся целлюлоза и продукты ее переработки. Диэлектрическая проницаемость указанных материалов в большой степени зависит от частоты приложенного напряжения, подчиняясь тем же закономерностям, какие наблюдаются для полярных жидкостей.

Зонная теория твердых тел

1. Металлы, хорошо проводят электрический ток.

Диэлектрики (изоляторы) плохо проводят ток.

Электропроводность металлов 10 6 – 10 4 (Ом×см) -1

Электропроводность диэлектриков менее 10 -10 (Ом×см) -1

Твердые тела с промежуточной электропроводностью называются полупроводниками.

2. Различие полупроводников и металлов проявляется в характере зависимости электропроводности от температуры.

С понижением температуры проводимость металлов возрастает, и для чистых металлов стремится к бесконечности при приближении к абсолютному нулю. У полупроводников, напротив, с понижением температуры проводимость убывает, а вблизи абсолютного нуля полупроводник становится изолятором.

3. Ни классическая электронная теория электропроводности, ни квантовая теория, основанная на модели свободных фермианов, не может дать ответа на вопрос, почему одни тела являются полупроводниками, а другие проводниками или диэлектриками.

4. Для ответа на вопрос необходимо методами квантовой механики рассмотреть вопрос взаимодействия валентных электронов с атомами кристаллической решетки.

5. Решить уравнение Шредингера с числом переменных порядка 10 23 – это математическая задача безнадежной трудности.

Поэтому современная квантовая теория твердого тела основывается на ряде упрощений. Такой теорией является теория твердого тела. Название связано с характерной группировкой энергетических уровней электронов в кристаллах в зоны уровней.

В основе зонной теории лежат следующие предположения:

1) При изучении движения валентных электронов положительные ионы кристаллической решетки, ввиду их большой массы, рассматриваются как неподвижные источники поля, действующего на электроны.

2) Расположение положительных ионов в пространстве считается строго периодическим: они размещаются в узлах идеальной кристаллической решетки данного кристалла.

3) Взаимодействие электронов друг с другом заменяется некоторым эффективным силовым полем.

Задача сводится к рассмотрению движения электрона в периодическом силовом поле кристалла.

Потенциальная энергия электрона U(r) периодически изменяется.

§2. Простейшая модель кристаллического тела

Это модель одномерная Кронига - Пенни, периодическое электрическое поле положительных ионов кристалла апроксимируется потенциалом типа «зубчатой стенки».

На рисунке изображено чередование потенциальных ям и барьеров.

Решение уравнения Шредингера для потенциальной ямы:

Решение для потенциального барьера:

где ;

, .

X n – координата отсчитывается от начала n го участка. Записывают для каждой ямы и барьера, потом «сшивают» решения и получают основное уравнение для определения энергетических уровней в периодическом поле кристалла.

(3)

где -площадь зубца.

Графическое изображение решения уравнения Шредингера по Кронигу – Пенни.

Cos k′a может меняться в пределах от –1 до +1.

Провели параллельные прямые оси абсцисс и находим точки пересечения этих прямых с графиком, опускаем перпендикуляры и находим корни уравнения (3). Эти участки обозначены жирными линиями. Таким образом допустимые значения Е(к) имеют дискретный характер (зонный). Если ось (Ка) перевернуть в вертикальное положение, то получим картину расположения энергетических зон, разрешенных и запрещенных.

На рис.4 энергетический спектр электронов в кристалле имеет зонную структуру.

L – длина кольца цепочки.

Значения волновых векторов . α - постоянная решетки.

Зону, произошедшую от валентных уровней атомов, образующих кристалл, называют валентной зоной.

Зоны, произошедшие от внутренних уровней, всегда полностью заполнены электронами.

Частично заполненной или незаполненной может быть внешний валентный уровень (зона проводимости).

Рис.5 Рис.6

Наиболее слабо связаны 3S-электроны. При образовании твердого тела из отдельных атомов происходит перекрытие волновых функций этих электронов.

Пространственная протяженность электронных волновых функций зависит от квантовых чисел. Для больших квантовых чисел электронные волновые функции простираются на большие расстояния от ядра, для этих уровней взаимное влияние атомов будет проявляться при больших расстояниях между атомами. Что хорошо видно на рис.7, на примере уровней атомов натрия. На уровнях 1S, 2S, 2P практически не сказывается влияние соседних атомов, тогда как для уровней 3S, 3P и более высоких уровней это влияние существенно и эти уровни превращаются в энергетические зоны. Для 3S – электронов имеется энергетический минимум, обеспечивающий устойчивую твердотельную конфигурацию атомов натрия при средней межатомной расстоянии R~ 3А. В атоме натрия на энергии 3S – электрона сказывается влияние соседних атомов, означает также заметное перекрытие волновых функций этих электронов. Поэтому уже нельзя говорить о том, что конкретный 3S – электрон связан с каким-то конкретным атомом. Когда присутствие других атомов изменяет потенциальную яму отдельного атома (рис.5, рис.6), результирующий кулоновский потенциал уже не будет удерживать 3S – электроны около конкретных атомов, так что они могут находиться в твердом теле где угодно в результате перекрытия волновых функций 3S – электронов. Но 3S – электроны не могут свободно покидать твердое тело, так как их волновые функции не «выходят» за пределы вещества. Энергия связи электронов в твердом теле равна работе выхода φ.

Твердое тело из четырех атомов будет иметь всего четыре уровня, распределенные по некоторому энергетическому интервалу.

Рис.8

Например: в основном состоянии атома водорода электрон может находиться в одном из двух состояний – со спином вверх или вниз. В системе четырех протонов имеется восемь возможных состояний. Но если добавить еще три электрона, чтобы получить четыре атома водорода, то занятыми окажутся четыре состояния и на каждый электрон будет приходиться по два состояния. Эффект сближения атомов проявляется в изменении энергии отдельных состояний

где - энергия изолированного атома, - изменения энергии, связанные с влиянием соответствующих протонов 2, 3, 4. R – расстояние между атомами.

Эффект сближения атомов проявляется в увеличении общего числа уровней. В реальном теле содержится порядка 10 23 отдельных уровней, которые непрерывно распределяются внутри некоторого интервала, образуя зону разрешенных значений энергии (рис.9). Такая же ситуация в основном имеет место для валентных электронов любого атома.

В твердом натрии зона 3S – электронов является внешней, наполовину заполненной. Верхняя граница заполненных уровней приходится на середину зоны. Электрон может перейти на более высокий свободный уровень в этой зоне за счет теплового или электрического возбуждения. Следовательно, твердый натрий обладает хорошей электропроводностью и теплопроводностью. На рис.10 зонная структура проводников (натрия). Верхняя зона – частично заполненная зона. Нижние зоны - заполненные электронами.

Если число энергетических уровней в зоне больше числа электронов в ней, то электроны легко возбуждаются, обеспечивая тем самым проводимость, если же все уровни в зоне заполнены, то проводимость невозможна или затруднена.

Например: в кремнии, германии, углероде (алмаз) на P – оболочке имеются два электрона и возникает смешанная конфигурация S и P – орбиталей (орбиталь – волновая функция, описывающая данное квантовое состояние), которая делает особенно благоприятной конфигурацию из четырех атомов, изображенную на рис.11 (энергия кулоновского отталкивания электронов минимальна).

Рис.11

Волновые функции S и P – электронов образуют одну совершенно пустую гибридную SP – зону и одну заполненную гибридную SP – зону. Заполненная и пустая зоны разделены довольно значительным энергетическим интервалом или зоной запрещенных значений энергии. Для изоляторов типичное значение ширины запрещенной зоны ~ 5 эв и больше. Ширина запрещенной зоны для полупроводников (германия 0,67 эв, кремния 1,12 эв) находится в пределах 0,1 ¸ 3 эв.

Полупроводники и изоляторы отличаются друг от друга только шириной запрещенной зоны.

§ Теорема Блоха

Теорема Блоха утверждает, что собственные функции волнового уравнения с периодическим потенциалом имеют вид произведения функции плоской волны

На функцию , которая является периодической функцией в кристаллической решетке:

Индекс в указывает, что эта функция зависит от волнового вектора .

Волновую функцию называют функцией Блоха. Решения уравнения Шредингера такого вида состоят из бегущих волн, из таких решений можно составить волновой пакет, который будет представлять электрон, свободно распространяющийся в периодическом потенциальном поле, созданном ионными остовами.

Рис.13

Форма волнового пакета при t=0 для дебройлевских волн . Амплитуда указана штриховой линией, волна – сплошной. Движение монохроматической плоской волны вдоль оси Х можно описать функцией

(1)

Скорость распространения волны может быть найдена как скорость перемещения постоянной фазы.

(2)

Если время изменится на величину ∆t, то для того, чтобы соблюдалось условие (2), координата должна измениться на величину ∆х, которая может быть найдена из равенства

т.е. (3)

Отсюда скорость распространения постоянной фазы, получившей название фазовой скорости:

(4)

Фазовая скорость фотонов (m 0 = 0) равна скорости света

(5)

Фазовая скорость электрона, движущегося со скоростью V, можно написать

(7)

, (7)

т.е. она становится больше скорости света, поскольку V< с. Это говорит о том, что фазовая скорость не может соответствовать движению частицы или же переносу какой-либо энергии.

Реальный процесс не может быть чисто монохроматическим (k = const). Он всегда обладает определенной шириной, т.е. состоит из набора волн, обладающих близкими волновыми числами, а вместе с тем и частотами.

С помощью набора волн можно построить волновой пакет, амплитуда которого отлична от нуля лишь в небольшой области пространства, которую связывают с местоположением частицы. Максимум амплитуды волнового пакета распространятся со скоростью, которая получила название групповой скорости.

Амплитуда В волнового пакета

где A – амплитуда постоянная каждой из этих волн.

В распространяется со скоростью

Для фотонов (m 0 = 0)

Для дебройлевских волн

т.е. групповая скорость совпадает со скоростью движения частицы.

В точках и т.д.

Квадрат амплитуды обращается в нуль.

Область локализации волнового пакета

,

где - ширина волнового пакета.

где - время расплывания волнового пакета.

Соотношения неопределенностей Гейзенберга. Чем меньше , тем шире . Для монохроматической волны

где амплитуда во всем пространстве имеет одно и то же значение, т.е. наложение частицы (одномерный случай) во всем пространстве равновероятно. Это обобщается и на трехмерный случай.

Для нерелятивистского случая (m = m 0) время расплывания волнового пакета

если m = 1г, ,то

время расплывания чрезвычайно велико. В случае электрона m 0 ~ 10 -27 г (размеры атома),

т.е. для описания электрона в атоме мы должны использовать волновое уравнение, т.к. волновой пакет расплывается практически мгновенно.

Волновое уравнение фотона содержит вторую производную по времени, т.к. фотон всегда релятивистская частица.

Движение электрона в кристалле

Закон движения, сравнивая с

где

где m* - эффективная масса, она учитывает совместное действие потенциального поля и внешней силы на электрон в кристалле.

В зоне проводимости,

В валентной зоне

В валентной зоне, но в зоне германия и кремния имеются тяжелые и легкие дырки. Эффективные массы всегда выражаются в долях истинной массы m 0 = 9·10 -28 г

Эффективная масса – тензорная величина, в различных направлениях она различна, что является следствием анизотропных свойств кристаллов.

Е к – уравнение эллипсоида вращения и описывается двумя значениями масс и

Энергетический спектр электронов и дырок в координатах Е и K

Е(К) – функция квазиимпульса. Энергия электрона в идеальной решетке есть периодическая функция квазиимпульса.

Импульс электрона

Дырки – квазичастицы с меньшей энергией располагаются у потолка валентной зоны и увеличивают свою энергию, перемещаясь по шкале энергии вглубь валентной зоны. Для дырок и электронов отсчет энергий в противоположных направлениях.

Электроны и дырки, обладающие волновым вектором , могут сталкиваться с другими частицами или полями, как если бы они имели импульс

Называется квазиимпульсом.

На фононах рассеиваются рентгеновские лучи, нейтроны.

Импульсу в квантовой механике отвечает оператор .

т.е. плоская волна Ψ к является собственной функцией оператора импульса , причем собственными значениями оператора импульса служат

Энергия Ферми определяется как энергия электронов на высшем заполненном уровне

где n F – квантовое число наивысшего занятого энергетического уровня.

где N – число электронов в объеме

Энергия - квадратичная функция квантового числа n F .

Волновые функции, удовлетворяющие уравнения Шредингера, для свободной частицы в периодическом поле представляют собой бегущие плоские волны:

при условии, что компоненты волнового вектора принимают значения

аналогичные наборы для K y и K z . Любая компонента вектора имеет вид

n – целое положительное или отрицательное число. Компоненты являются квантовыми числами наряду с квантовыми числами

задающим направление спина.

т.е. собственные значения энергии состояний с волновым вектором

В основном состоянии (1S) системы из N свободных электронов занятые состояния можно описывать точками внутри сферы в К – пространстве. Энергия, соответствующая поверхности этой сферы, является энергией Ферми. Волновые векторы, «упирающиеся» в поверхность этой сферы, имеют длины, равные K F , а сама поверхность называется поверхностью Ферми (в данном состоянии она является сферой). K F - радиус этой сферы

где – энергия электрона с волновым вектором , оканчивающимся на поверхности сферы.

Каждой тройке квантовых чисел K x , K y , K z отвечает элемент объема в К – пространстве величиной . поэтому в сфере объемом число точек, описывающих разрешенные состояния, равно числу ячеек объемом , и поэтому число разрешенных состояний равно

где множитель 2 в левой части учитывает два допустимых значения спинового квантового числа

для каждого разрешенного значения

Полное число состояний равно числу электронов N.

Радиус сферы Ферми K F зависит лишь от концентрации частиц и не зависит от массы m

Энергию Ферми можно определять как энергию таких квантовых состояний, вероятность заполнения которых частицей равна 1/2.

если Е=Е F , то

значение ее можно рассчитать при Т=0 по формуле

Но абсолютный нуль температуры понимается как предел

имея в виду, что абсолютный нуль не достижим и плюс принцип Паули.

Обычно рассматриваются системы не только при Т = 0, но и при любой температуре, если граничная энергий , это условие вырождения, функция распределения таких частиц близка к «ступеньке»

Для таких систем, где можно пренебречь зависимостью Е F от температуры и считать

Существуют таблицы параметров поверхности Ферми для ряда металлов, вычисленных для модели свободных электронов для комнатной температуры (Т = 300 0 К).

Концентрация электронов определяется произведением валентности металла на число электронов в 1 см 3 .

то получим:

Или, если ,

Например: Li

Валентность – 1,

*r 0 – радиус сферы, содержащей один электрон.

L н – боровский радиус 0,53×10 -8 см.

* безразмерный параметр

Волновой вектор К F = 1,11×10 8 см -1 ;

Скорость Ферми V F = 1,29×10 8 см/с;

Энергия Ферми .

Температура Ферми

Т F не имеет никакого отношения к температуре электронного газа.

Определим – число состояний на единичный энергетический интервал, части называемый плотностью состояний при

;

Плотность состояний равна:

Вариант 5 № 2. Число электронов с кинетической энергией от Е F /2 до Е F определяется соотношением

По аналогии:

Этот же результат можно получить из

в более простой форме:

С точностью порядка единицы число состояний на единичный энергетический интервал вблизи энергии Ферми равно отношению числа электронов проводимости к энергии Ферми.

Выводы

1. Эффективные массы: германий

кремний

т.е. в валентной зоне германия и кремния имеются тяжелые и легкие дырки. Валентные зоны состоят из трех подзон.

2. Поверхность Ферми есть поверхность постоянной энергии в пространстве. Поверхность Ферми при абсолютном нуле отделяет заполненные электронами состояния от незаполненных состояний. Сфера Ферми. Все состояния с К<К F являются занятыми.

3. Разнообразие свойств твердых тел и есть свидетельство разнообразия квазичастиц.

4. До последнего времени считалось, что электроны похожи друг на друга. Когда хотят подчеркнуть отличие электронов железа от электронов меди, то говорят, что они обладают различными поверхностями Ферми.

На всемирной выставке в Брюсселе здание отдает дань веку физики. Представляет правильную систему связанных между собой сфер, внутри которых выставочные помещения. Каждая из которых (сфера) представляет ион железа, потерявший одни электрон. Это поверхность уровня Ферми.

У каждого металла только своя ему присущая форма поверхности Ферми, она ограничивает область импульсного пространства, занятого электронами проводимости при абсолютном нуле. Это визитные карточки различных металлов.

... ій зоні. Для тіл, у яких ширина забороненої зони не перевищує 1 еВ, уже при кімнатній температурі в зоні провідності виявляється достатнє число електронів, а у валентній зоні – вакансій, щоб обумовити відносно високу електропровідність. Такі тіла звичайно називають напівпровідниками. Звідси стає ясним, що розподіл твердих тіл другої групи, на діелектрики й напівпровідників є чисто умовним. У...

По миру. Если в 1900 г. в год получали около 8 тысяч тонн легкого металла, то через сто лет объем его производства достиг 24 миллионов тонн. 2. Металлические проводниковые и полупроводниковые материалы, магнитные материалы 2.1 Классификация электротехнических материалов Электротехнические материалы представляют собой совокупность проводниковых, электроизоляционных, магнитных и...

Видам обработки при изготовлении из них необходимых изделий. Поэтому для различных случаев применения приходится выбирать и разные материалы. Электроизоляционные материалы образуют наиболее многочис­ленный раздел электротехнических материалов вообще; количество отдельных видов конкретных электроизоляционных материалов, применяемых в современной электропромышленности, исчисляется многими тысячами...