Drejtkëndëshe

trekëndëshat

Gjeometria, klasa e 7-të

Tek libri shkollor nga L.S

mësues i matematikës i kategorisë më të lartë

Institucioni arsimor komunal "Shkolla e mesme bazë Upshinskaya"

Rrethi Orsha i Republikës së Mari El

AC, BC - këmbët

AB - hipotenuzë

Prona 1 0 . Shuma e këndeve akute të një trekëndëshi kënddrejtë është 90 0.

Detyra 1. Gjeni këndin A të trekëndëshit kënddrejtë ABC me kënd të drejtë C nëse: a) ے B = 32 0; b) ے B është 2 herë më i vogël se këndi A; c) ے B është 20 0 më pak se këndi A.

Detyra 2.

Detyra 3.

Këndi A:

BC – këmba e shtrirë në këndin e kundërt A

AC - këmba ngjitur me këndin A

Këndi B:

AC - këmbë, ...

BC - këmbë, ...

Emërtoni këmbët këndet e kundërta N dhe K

Emërtoni këmbët ngjitur me këndet N dhe K

0

Detyrë. Vërtetoni këtë 0 , është e barabartë me gjysmën e hipotenuzës.

Prona 2 0 . Një këmbë e një trekëndëshi kënddrejtë e shtrirë përballë një këndi 30 0 , është e barabartë me gjysmën e hipotenuzës.

Trekëndësh kënddrejtë me një kënd prej 30 0

Detyrë. Vërtetoni këtë 0 .

Prona 3 0 . Nëse një këmbë e një trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me gjysmën e hipotenuzës, atëherë këndi përballë kësaj kate është 30 0 .

Trekëndësh kënddrejtë me kënd 30 0

Problemi 4 .

AB = 12 cm Gjeni pes

Detyra 5.

BC = 7,5 cm Gjeni AB

Detyra 6.

AB + BC = 15 cm.

Gjeni AB dhe BC

Trekëndësh kënddrejtë me kënd 30 0

Detyra 7.

AC = 4 cm Gjeni AB

Detyra 8.

AB - AC = 15 cm.

Gjeni AB dhe AC

Trekëndësh kënddrejtë me kënd 30 0

Problemi 9 .

Gjeni këndet akute të trekëndëshit kënddrejtë ABC nëse AB = 12 cm, BC = 6 cm.

Trekëndësh kënddrejtë me kënd 30 0

Problemi 10 .

Gjeni këndet akute të një trekëndëshi kënddrejtë nëse këndi midis përgjysmuesit dhe lartësisë së tërhequr nga kulmi kënd i drejtë, është e barabartë me 15 0.

SC - përgjysmues

CM - lartësia

Trekëndësh kënddrejtë me kënd 30 0

Problemi 11 .

Në një trekëndësh dykëndësh, njëri nga këndet është 120 0 dhe baza është 4 cm.

AM - lartësia

Trekëndësh kënddrejtë me kënd 30 0

Problemi 12 .

Lartësia e tërhequr në anën anësore të një trekëndëshi dykëndësh dyshon këndin midis bazës dhe përgjysmuesit. Gjeni këndet e një trekëndëshi dykëndësh.

AK – përgjysmues i këndit A

AM - lartësia

Trekëndësh kënddrejtë me kënd 30 0

Problemi 14 .

Vërtetoni se nëse trekëndëshi është kënddrejtë, atëherë medianaja e tërhequr nga kulmi i këndit të drejtë është e barabartë me gjysmën e hipotenuzës.

Prona 4 0 .

ДАВС - drejtkëndëshe

SM – mesatare

Kemi një kontradiktë!

Trekëndësh kënddrejtë me kënd 30 0

Problemi 13 .

Vërtetoni se nëse mediana e një trekëndëshi është e barabartë me gjysmën e brinjës në të cilën është tërhequr, atëherë trekëndëshi është kënddrejtë.

VM - mesatare

Vërtetoni: ΔABC - drejtkëndëshe

Prona 5 0 .

Disa veti të trekëndëshave kënddrejtë

Prona 1 0 . Shuma e këndeve akute të një trekëndëshi kënddrejtë është 90 0 .

Prona 2 0 . Një këmbë e një trekëndëshi kënddrejtë e shtrirë përballë një këndi 30 0 , e barabartë me gjysmën e hipotenuzës .

Prona 3 0 . Nëse një këmbë e një trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me gjysmën e hipotenuzës, atëherë këndi përballë kësaj kate është 30 0 .

Prona 4 0 . Në një trekëndësh kënddrejtë, medianaja e tërhequr nga kulmi i këndit të drejtë është e barabartë me gjysmën e hipotenuzës.

Prona 5 0 . Nëse mediana e një trekëndëshi është e barabartë me gjysmën e brinjës në të cilën është tërhequr, atëherë ky trekëndësh është kënddrejtë.

Përkufizimi.trekëndësh kënddrejtë - një trekëndësh, njëri prej këndeve të të cilit është i drejtë (i barabartë me ).

Një trekëndësh kënddrejtë është një rast i veçantë i një trekëndëshi të zakonshëm. Prandaj, ruhen të gjitha vetitë e trekëndëshave të zakonshëm për trekëndëshat kënddrejtë. Por ka edhe disa veti të veçanta për shkak të pranisë së një këndi të drejtë.

Emërtimet e zakonshme (Fig. 1):

- kënd i drejtë;

- hipotenuzë;

- këmbët;

Oriz. 1.

MEvetitë e një trekëndëshi kënddrejtë.

Prona 1. Shuma e këndeve dhe e një trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me .

Dëshmi. Kujtojmë se shuma e këndeve të çdo trekëndëshi është e barabartë me . Duke marrë parasysh faktin se, ne gjejmë se shuma e dy këndeve të mbetura është e barabartë me Dmth.

Prona 2. Në një trekëndësh kënddrejtë hipotenuzë më shumë se çdo këmbët(është ana më e madhe).

Dëshmi. Kujtoni se në një trekëndësh, ana më e madhe shtrihet përballë këndit më të madh (dhe anasjelltas). Nga Vetia 1 e provuar më sipër rrjedh se shuma e këndeve dhe e një trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me . Meqenëse këndi i një trekëndëshi nuk mund të jetë i barabartë me 0, atëherë secili prej tyre është më i vogël se . Kjo do të thotë se është më i madhi, që do të thotë se ana më e madhe e trekëndëshit shtrihet përballë tij. Kjo do të thotë se hipotenuza është brinja më e gjatë e një trekëndëshi kënddrejtë, domethënë: .

Prona 3. Në një trekëndësh kënddrejtë, hipotenuza është më e vogël se shuma e këmbëve.

Dëshmi. Kjo pronë bëhet e dukshme nëse kujtojmë pabarazia e trekëndëshit.

Pabarazia e trekëndëshit

Në çdo trekëndësh, shuma e çdo dy brinjësh është më e madhe se brinja e tretë.

Vetia 3 rrjedh menjëherë nga kjo pabarazi.

Shënim: pavarësisht se secila nga këmbët individualisht është më e vogël se hipotenuza, shuma e tyre rezulton të jetë më e madhe. Në një shembull numerik duket kështu: , por .

V:

Shenja e parë (në 2 anët dhe këndi midis tyre): Nëse trekëndëshat kanë dy brinjë të barabarta dhe këndin ndërmjet tyre, atëherë trekëndëshat e tillë janë kongruentë.

Shenja e dytë (në krah dhe dy kënde ngjitur): nëse trekëndëshat kanë brinjë të barabarta dhe dy kënde ngjitur me një brinjë të caktuar, atëherë trekëndëshat e tillë janë kongruentë. Shënim: Duke përdorur faktin se shuma e këndeve të një trekëndëshi është konstante dhe e barabartë me , është e lehtë të vërtetohet se kushti i "përputhjes" së këndeve nuk është i nevojshëm, domethënë, shenja do të jetë e vërtetë në formulimin e mëposhtëm: "... brinja dhe dy kënde janë të barabarta, atëherë...".

Shenja e tretë (në 3 anët): Nëse trekëndëshat i kanë të tre brinjët të barabarta, atëherë trekëndëshat e tillë janë kongruentë.

Natyrisht, të gjitha këto shenja mbeten të vërteta për trekëndëshat kënddrejtë. Sidoqoftë, trekëndëshat kënddrejtë kanë një veçori domethënëse - ata gjithmonë kanë një palë kënde të drejta të barabarta. Prandaj, këto shenja janë thjeshtuar për ta. Pra, le të formulojmë shenjat e barazisë së trekëndëshave kënddrejtë:

Shenja e parë (në dy anët): nëse trekëndëshat kënddrejtë kanë këmbë të barabarta në çift, atëherë trekëndëshat e tillë janë të barabartë me njëri-tjetrin (Fig. 2).

E dhënë:

Oriz. 2. Ilustrimi i shenjës së parë të barazisë së trekëndëshave kënddrejtë

Provoni:

Dëshmi: në trekëndëshat kënddrejtë: . Kjo do të thotë se mund të përdorim shenjën e parë të barazisë së trekëndëshave (në 2 brinjë dhe këndin ndërmjet tyre) dhe të marrim: .

2Shenja e -të (sipas këmbës dhe këndit): nëse kemba dhe këndi i mprehtë i një trekëndëshi kënddrejtë janë të barabartë me këmbën dhe këndin akut të një trekëndëshi tjetër kënddrejtë, atëherë trekëndëshat e tillë janë kongruentë (Fig. 3).

E dhënë:

Oriz. 3. Ilustrimi i shenjës së dytë të barazisë së trekëndëshave kënddrejtë

Provoni:

Dëshmi: Le të vërejmë menjëherë se fakti që këndet ngjitur me këmbët e barabarta janë të barabarta nuk është thelbësor. Në të vërtetë, shuma e këndeve akute të një trekëndëshi kënddrejtë (nga vetia 1) është e barabartë me . Kjo do të thotë se nëse një palë e këtyre këndeve është e barabartë, atëherë tjetra është e barabartë (pasi shumat e tyre janë të njëjta).

Prova e kësaj karakteristike vjen deri te përdorimi Shenja e dytë e barazisë së trekëndëshave(në 2 kënde dhe një anë). Në të vërtetë, sipas kushteve, këmbët dhe një palë kënde ngjitur janë të barabarta. Por çifti i dytë i këndeve ngjitur përbëhet nga kënde . Kjo do të thotë se mund të përdorim kriterin e dytë për barazinë e trekëndëshave dhe të marrim: .

Shenja e tretë (nga hipotenuza dhe këndi): nëse hipotenuza dhe këndi i mprehtë i një trekëndëshi kënddrejtë janë të barabartë me hipotenuzën dhe këndin akut të një trekëndëshi tjetër kënddrejtë, atëherë trekëndëshat e tillë janë kongruentë (Fig. 4).

E dhënë:

Oriz. 4. Ilustrimi i shenjës së tretë të barazisë së trekëndëshave kënddrejtë

Provoni:

Dëshmi: për të vërtetuar këtë shenjë mund ta përdorni menjëherë Shenja e dytë e barazisë së trekëndëshave- në një anë dhe dy kënde (më saktë, një përfundim, i cili thotë se këndet nuk duhet të jenë ngjitur me anën). Në të vërtetë, sipas kushtit: , , dhe nga vetitë e trekëndëshave kënddrejtë del se . Kjo do të thotë se mund të përdorim kriterin e dytë për barazinë e trekëndëshave dhe të marrim: .

Shenja e 4-të (nga hipotenuza dhe këmba): nëse hipotenuza dhe këmbëza e një trekëndëshi kënddrejtë janë të barabarta, përkatësisht, me hipotenuzën dhe këmbën e një trekëndëshi tjetër kënddrejtë, atëherë trekëndëshat e tillë janë të barabartë me njëri-tjetrin (Fig. 5).

E dhënë:

Oriz. 5. Ilustrimi i shenjës së katërt të barazisë së trekëndëshave kënddrejtë

Provoni:

Dëshmi: Për të vërtetuar këtë kriter, do të përdorim kriterin e barazisë së trekëndëshave, të cilin e formuluam dhe vërtetuam në mësimin e kaluar, përkatësisht: nëse trekëndëshat kanë dy brinjë të barabarta dhe një kënd më të madh, atëherë trekëndëshat e tillë janë të barabartë. Në të vërtetë, sipas kushtit kemi dy anë të barabarta. Përveç kësaj, sipas vetive të trekëndëshave kënddrejtë: . Mbetet të vërtetohet se këndi i drejtë është më i madhi në trekëndësh. Le të supozojmë se nuk është kështu, që do të thotë se duhet të ketë të paktën një kënd më shumë që është më i madh se . Por atëherë shuma e këndeve të trekëndëshit do të jetë tashmë më e madhe. Por kjo është e pamundur, që do të thotë se një kënd i tillë nuk mund të ekzistojë në një trekëndësh. Kjo do të thotë se këndi i drejtë është më i madhi në një trekëndësh kënddrejtë. Kjo do të thotë që ju mund të përdorni veçorinë e formuluar më sipër dhe të merrni: .

Le të formulojmë tani një veti tjetër që është karakteristikë vetëm për trekëndëshat kënddrejtë.

Pronës

Këmba e shtrirë përballë këndit në është 2 herë më e vogël se hipotenuza(Fig. 6).

E dhënë:

Oriz. 6.

Provoni:AB

Dëshmi: Le të bëjmë një ndërtim shtesë: zgjasim vijën e drejtë përtej pikës në një segment të barabartë me . Le të marrim një pikë. Meqenëse këndet dhe janë ngjitur, shuma e tyre është e barabartë me . Që atëherë këndi .

Kjo do të thotë se trekëndëshat kënddrejtë (në dy brinjë: - të përgjithshme, - sipas konstruksionit) janë shenja e parë e barazisë së trekëndëshave kënddrejtë.

Nga barazia e trekëndëshave del se të gjithë elementët përkatës janë të barabartë. Mjetet,. Ku:. Përveç kësaj, (nga barazia e trekëndëshave të njëjtë). Kjo do të thotë se trekëndëshi është dykëndësh (pasi këndet e bazës së tij janë të barabarta), por një trekëndësh dykëndësh, njëri prej këndeve të të cilit është i barabartë me , është barabrinjës. Nga kjo rrjedh, në veçanti, se .

Vetia e një këmbe të shtrirë përballë një këndi në

Vlen të përmendet se pohimi i kundërt është gjithashtu i vërtetë: nëse në një trekëndësh kënddrejtë hipotenuza është dyfishi i madhësisë së njërës prej këmbëve, atëherë këndi akut përballë kësaj këmbë është i barabartë me .

Shënim: shenjë do të thotë se nëse ndonjë pohim është i vërtetë, atëherë trekëndëshi është kënddrejtë. Kjo do të thotë, funksioni ju lejon të identifikoni një trekëndësh kënddrejtë.

Është e rëndësishme të mos ngatërroni një shenjë me prone- pra, nëse trekëndëshi është kënddrejtë, atëherë ai ka këto veti... Shpesh shenjat dhe vetitë janë reciproke të anasjellta, por jo gjithmonë. Për shembull, vetia e një trekëndëshi barabrinjës: një trekëndësh barabrinjës ka një kënd. Por kjo nuk do të jetë një shenjë e një trekëndëshi barabrinjës, pasi jo çdo trekëndësh që ka një kënd, është barabrinjës.

Niveli mesatar

Trekëndësh kënddrejtë. Udhëzuesi i plotë i ilustruar (2019)

TREKËNDËSH DREJKËNDËSH. NIVELI HYRËS.

Në problemet, këndi i duhur nuk është aspak i nevojshëm - majtas poshtë, kështu që ju duhet të mësoni të njihni një trekëndësh të drejtë në këtë formë,

dhe në këtë

dhe në këtë

Çfarë është e mirë për një trekëndësh kënddrejtë? Epo... para së gjithash, ka të veçanta emra të bukur për anët e tij.

Kujdes për vizatimin!

Mbani mend dhe mos e ngatërroni: ka dy këmbë, dhe ka vetëm një hipotenuzë(e vetmja dhe e vetmja, unike dhe me e gjata)!

Epo, ne kemi diskutuar emrat, tani gjëja më e rëndësishme: Teorema e Pitagorës.

Teorema e Pitagorës.

Kjo teoremë është çelësi për zgjidhjen e shumë problemeve që përfshijnë një trekëndësh kënddrejtë. Ajo u vërtetua nga Pitagora në kohë krejtësisht të lashta, dhe që atëherë u ka sjellë shumë përfitime atyre që e njohin. Dhe gjëja më e mirë për këtë është se është e thjeshtë.

Pra, Teorema e Pitagorës:

A ju kujtohet shakaja: “Pantallonat e Pitagorës janë të barabarta nga të gjitha anët!”?

Le të vizatojmë të njëjtat pantallona të Pitagorës dhe t'i shikojmë ato.

A nuk duket si një lloj pantallonash të shkurtra? Epo, në cilat anë dhe ku janë të barabartë? Pse dhe nga erdhi shakaja? Dhe kjo shaka lidhet pikërisht me teoremën e Pitagorës, ose më saktë me mënyrën sesi vetë Pitagora e formuloi teoremën e tij. Dhe ai e formuloi kështu:

"Shuma zonat e katrorëve, e ndërtuar në këmbë, është e barabartë me sipërfaqe katrore, e ndërtuar mbi hipotenuzën."

A tingëllon vërtet pak më ndryshe? Dhe kështu, kur Pitagora vizatoi deklaratën e teoremës së tij, kjo është pikërisht fotografia që doli.

Në këtë foto, shuma e sipërfaqeve të katrorëve të vegjël është e barabartë me sipërfaqen e katrorit të madh. Dhe në mënyrë që fëmijët të kujtojnë më mirë se shuma e katrorëve të këmbëve është e barabartë me katrorin e hipotenuzës, dikush i zgjuar doli me këtë shaka për pantallonat e Pitagorës.

Pse po formulojmë tani teoremën e Pitagorës?

A vuajti Pitagora dhe foli për sheshe?

E shihni, në kohët e lashta nuk kishte... algjebër! Nuk kishte shenja e kështu me radhë. Nuk kishte mbishkrime. A mund ta imagjinoni sa e tmerrshme ishte për studentët e varfër të lashtë të kujtonin gjithçka me fjalë??! Dhe ne mund të gëzohemi që kemi një formulim të thjeshtë të teoremës së Pitagorës. Le ta përsërisim përsëri për ta kujtuar më mirë:

Tani duhet të jetë e lehtë:

Epo, është diskutuar teorema më e rëndësishme për trekëndëshat kënddrejtë. Nëse jeni të interesuar se si vërtetohet, lexoni nivelet e mëposhtme të teorisë, dhe tani le të shkojmë më tej... në pyllin e errët... trigonometri! Tek fjalët e tmerrshme sinus, kosinus, tangent dhe kotangjent.

Sinus, kosinus, tangent, kotangjent në një trekëndësh kënddrejtë.

Në fakt, gjithçka nuk është aspak aq e frikshme. Sigurisht, përkufizimi "i vërtetë" i sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës duhet të shikohet në artikull. Por vërtet nuk dua, apo jo? Ne mund të gëzohemi: për të zgjidhur problemet rreth një trekëndëshi kënddrejtë, thjesht mund të plotësoni gjërat e mëposhtme të thjeshta:

Pse gjithçka është vetëm në qoshe? Ku është këndi? Për ta kuptuar këtë, duhet të dini se si shkruhen me fjalë pohimet 1 - 4. Shikoni, kuptoni dhe mbani mend!

1.
Në fakt tingëllon kështu:

Po këndi? A ka një këmbë që është përballë këndit, domethënë një këmbë e kundërt (për një kënd)? Sigurisht që ka! Kjo është një këmbë!

Po këndi? Shikoni me kujdes. Cila këmbë është ngjitur me këndin? Sigurisht, këmbën. Kjo do të thotë që për këndin këmba është ngjitur, dhe

Tani, kushtojini vëmendje! Shikoni çfarë kemi:

Shihni sa bukur është:

Tani le të kalojmë te tangjentja dhe kotangjentja.

Si mund ta shkruaj këtë me fjalë tani? Çfarë është këmba në raport me këndin? Përballë, natyrisht - "shtrihet" përballë qoshes. Po këmbën? Ngjitur në qoshe. Pra, çfarë kemi ne?

Shihni se si numëruesi dhe emëruesi kanë ndërruar vendet?

Dhe tani qoshet përsëri dhe bënë një shkëmbim:

Rezyme

Le të shkruajmë shkurtimisht gjithçka që kemi mësuar.

Teorema e Pitagorës:

Teorema kryesore për trekëndëshat kënddrejtë është teorema e Pitagorës.

Teorema e Pitagorës

Meqë ra fjala, a ju kujtohet mirë se çfarë janë këmbët dhe hipotenuza? Nëse jo shumë mirë, atëherë shikoni foton - rifreskoni njohuritë tuaja

Është shumë e mundur që ju ta keni përdorur tashmë shumë herë teoremën e Pitagorës, por a keni menduar ndonjëherë pse një teoremë e tillë është e vërtetë? Si mund ta vërtetoj? Le të bëjmë si grekët e lashtë. Le të vizatojmë një katror me një anë.

Shihni sa me zgjuarsi i kemi ndarë anët e tij në segmente gjatësish dhe!

Tani le të lidhim pikat e shënuara

Këtu, megjithatë, vumë re diçka tjetër, por ju vetë shikoni vizatimin dhe mendoni pse është kështu.

Sa është sipërfaqja e sheshit më të madh? E drejta,. Po për një zonë më të vogël? Sigurisht,. Sipërfaqja totale e katër qosheve mbetet. Imagjinoni që i kemi marrë dy nga një dhe i kemi mbështetur njëri-tjetrin me hipotenuset e tyre. Çfarë ndodhi? Dy drejtkëndësha. Kjo do të thotë që zona e "prerjeve" është e barabartë.

Le t'i bashkojmë të gjitha tani.

Le të transformojmë:

Kështu që ne vizituam Pitagorën - ne vërtetuam teoremën e tij në një mënyrë të lashtë.

Trekëndëshi kënddrejtë dhe trigonometria

Për një trekëndësh kënddrejtë vlejnë marrëdhëniet e mëposhtme:

Sinus kënd akut e barabartë me raportin e anës së kundërt me hipotenuzën

Kosinusi i një këndi akut është i barabartë me raportin e këmbës ngjitur me hipotenuzën.

Tangjenti i një këndi akut është i barabartë me raportin e anës së kundërt me anën ngjitur.

Kotangjenti i një këndi akut është i barabartë me raportin e anës ngjitur me anën e kundërt.

Dhe përsëri e gjithë kjo në formën e një tablete:

Është shumë i përshtatshëm!

Shenjat e barazisë së trekëndëshave kënddrejtë

I. Nga dy anët

II. Me këmbë dhe hipotenuzë

III. Nga hipotenuza dhe këndi akut

IV. Përgjatë këmbës dhe këndit akut

a)

b)

Kujdes! Është shumë e rëndësishme këtu që këmbët të jenë "të përshtatshme". Për shembull, nëse shkon kështu:

PASTAJ TREKËNDËSHT NUK JANË TË BARABARË, përkundër faktit se ato kanë një kënd identik akut.

Është e nevojshme që në të dy trekëndëshat këmba ishte ngjitur, ose në të dy ishte përballë.

A e keni vënë re se si ndryshojnë shenjat e barazisë së trekëndëshave kënddrejtë nga shenjat e zakonshme të barazisë së trekëndëshave? Shikoni temën "dhe kushtojini vëmendje faktit që për barazinë e trekëndëshave "të zakonshëm", tre elementë të tyre duhet të jenë të barabartë: dy brinjë dhe këndi ndërmjet tyre, dy kënde dhe brinja midis tyre, ose tre brinjë. Por për barazinë e trekëndëshave kënddrejtë mjaftojnë vetëm dy elementë përkatës. E shkëlqyeshme, apo jo?

Situata është afërsisht e njëjtë me shenjat e ngjashmërisë së trekëndëshave kënddrejtë.

Shenjat e ngjashmërisë së trekëndëshave kënddrejtë

I. Përgjatë një këndi akut

II. Në dy anë

III. Me këmbë dhe hipotenuzë

Mediana në një trekëndësh kënddrejtë

Pse është kështu?

Në vend të një trekëndëshi kënddrejtë, merrni parasysh një drejtkëndësh të tërë.

Le të vizatojmë një diagonale dhe të shqyrtojmë një pikë - pikën e kryqëzimit të diagonaleve. Çfarë dihet për diagonalet e një drejtkëndëshi?

Dhe çfarë rrjedh nga kjo?

Kështu doli që

1. - mesatare:

Mbani mend këtë fakt! Ndihmon shumë!

Ajo që është edhe më e habitshme është se e kundërta është gjithashtu e vërtetë.

Çfarë dobie mund të përfitohet nga fakti që medianaja e tërhequr në hipotenuzë është e barabartë me gjysmën e hipotenuzës? Le të shohim foton

Shikoni me kujdes. Kemi: , domethënë distancat nga pika në të tre kulmet e trekëndëshit rezultuan të barabarta. Por ka vetëm një pikë në trekëndësh, largësitë nga e cila nga të tre kulmet e trekëndëshit janë të barabarta, dhe kjo është QENDRA E RRETHIT. Pra, çfarë ndodhi?

Le të fillojmë me këtë "përveç...".

Le të shohim dhe.

Por trekëndëshat e ngjashëm kanë të gjithë këndet e barabarta!

E njëjta gjë mund të thuhet për dhe

Tani le ta vizatojmë së bashku:

Çfarë përfitimi mund të nxirret nga kjo ngjashmëri "e trefishtë"?

Epo, për shembull - dy formula për lartësinë e një trekëndëshi kënddrejtë.

Le të shkruajmë marrëdhëniet e palëve përkatëse:

Për të gjetur lartësinë, zgjidhim proporcionin dhe marrim formula e parë "lartësia në një trekëndësh kënddrejtë":

Pra, le të zbatojmë ngjashmërinë: .

Çfarë do të ndodhë tani?

Përsëri zgjidhim proporcionin dhe marrim formulën e dytë:

Duhet t'i mbani mend shumë mirë të dyja këto formula dhe të përdorni atë që është më e përshtatshme. Le t'i shkruajmë përsëri

Teorema e Pitagorës:

Në një trekëndësh kënddrejtë, katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve: .

Shenjat e barazisë së trekëndëshave kënddrejtë:

• në dy anë:
• nga këmba dhe hipotenuza: ose
• përgjatë këmbës dhe këndit akut ngjitur: ose
• përgjatë këmbës dhe këndit të kundërt akut: ose
• nga hipotenuza dhe këndi akut: ose.

Shenjat e ngjashmërisë së trekëndëshave kënddrejtë:

• një kënd akut: ose
• nga proporcionaliteti i dy këmbëve:
• nga proporcionaliteti i këmbës dhe hipotenuzës: ose.

Sinus, kosinus, tangent, kotangjent në një trekëndësh kënddrejtë

• Sinusi i një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë është raporti i anës së kundërt me hipotenuzën:
• Kosinusi i një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën:
• Tangjenti i një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë është raporti i anës së kundërt me anën ngjitur:
• Kotangjentja e një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë është raporti i brinjës ngjitur me anën e kundërt: .

Lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë: ose.

Në një trekëndësh kënddrejtë, mediana e tërhequr nga kulmi i këndit të drejtë është e barabartë me gjysmën e hipotenuzës: .

Sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë:

• me anë të këmbëve:

Niveli mesatar

Trekëndësh kënddrejtë. Udhëzuesi i plotë i ilustruar (2019)

TREKËNDËSH DREJKËNDËSH. NIVELI HYRËS.

Në problemet, këndi i duhur nuk është aspak i nevojshëm - majtas poshtë, kështu që ju duhet të mësoni të njihni një trekëndësh të drejtë në këtë formë,

dhe në këtë

dhe në këtë

Çfarë është e mirë për një trekëndësh kënddrejtë? Epo..., së pari, ka emra të veçantë të bukur për anët e saj.

Kujdes për vizatimin!

Mbani mend dhe mos e ngatërroni: ka dy këmbë, dhe ka vetëm një hipotenuzë(e vetmja dhe e vetmja, unike dhe me e gjata)!

Epo, ne kemi diskutuar emrat, tani gjëja më e rëndësishme: Teorema e Pitagorës.

Teorema e Pitagorës.

Kjo teoremë është çelësi për zgjidhjen e shumë problemeve që përfshijnë një trekëndësh kënddrejtë. Ajo u vërtetua nga Pitagora në kohë krejtësisht të lashta, dhe që atëherë u ka sjellë shumë përfitime atyre që e njohin. Dhe gjëja më e mirë për këtë është se është e thjeshtë.

Pra, Teorema e Pitagorës:

A ju kujtohet shakaja: “Pantallonat e Pitagorës janë të barabarta nga të gjitha anët!”?

Le të vizatojmë të njëjtat pantallona të Pitagorës dhe t'i shikojmë ato.

A nuk duket si një lloj pantallonash të shkurtra? Epo, në cilat anë dhe ku janë të barabartë? Pse dhe nga erdhi shakaja? Dhe kjo shaka lidhet pikërisht me teoremën e Pitagorës, ose më saktë me mënyrën sesi vetë Pitagora e formuloi teoremën e tij. Dhe ai e formuloi kështu:

"Shuma zonat e katrorëve, e ndërtuar në këmbë, është e barabartë me sipërfaqe katrore, e ndërtuar mbi hipotenuzën."

A tingëllon vërtet pak më ndryshe? Dhe kështu, kur Pitagora vizatoi deklaratën e teoremës së tij, kjo është pikërisht fotografia që doli.

Në këtë foto, shuma e sipërfaqeve të katrorëve të vegjël është e barabartë me sipërfaqen e katrorit të madh. Dhe në mënyrë që fëmijët të kujtojnë më mirë se shuma e katrorëve të këmbëve është e barabartë me katrorin e hipotenuzës, dikush i zgjuar doli me këtë shaka për pantallonat e Pitagorës.

Pse po formulojmë tani teoremën e Pitagorës?

A vuajti Pitagora dhe foli për sheshe?

E shihni, në kohët e lashta nuk kishte... algjebër! Nuk kishte shenja e kështu me radhë. Nuk kishte mbishkrime. A mund ta imagjinoni sa e tmerrshme ishte për studentët e varfër të lashtë të kujtonin gjithçka me fjalë??! Dhe ne mund të gëzohemi që kemi një formulim të thjeshtë të teoremës së Pitagorës. Le ta përsërisim përsëri për ta kujtuar më mirë:

Tani duhet të jetë e lehtë:

Epo, është diskutuar teorema më e rëndësishme për trekëndëshat kënddrejtë. Nëse jeni të interesuar se si vërtetohet, lexoni nivelet e mëposhtme të teorisë, dhe tani le të shkojmë më tej... në pyllin e errët... trigonometri! Tek fjalët e tmerrshme sinus, kosinus, tangent dhe kotangjent.

Sinus, kosinus, tangent, kotangjent në një trekëndësh kënddrejtë.

Në fakt, gjithçka nuk është aspak aq e frikshme. Sigurisht, përkufizimi "i vërtetë" i sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës duhet të shikohet në artikull. Por vërtet nuk dua, apo jo? Ne mund të gëzohemi: për të zgjidhur problemet rreth një trekëndëshi kënddrejtë, thjesht mund të plotësoni gjërat e mëposhtme të thjeshta:

Pse gjithçka është vetëm në qoshe? Ku është këndi? Për ta kuptuar këtë, duhet të dini se si shkruhen me fjalë pohimet 1 - 4. Shikoni, kuptoni dhe mbani mend!

1.
Në fakt tingëllon kështu:

Po këndi? A ka një këmbë që është përballë këndit, domethënë një këmbë e kundërt (për një kënd)? Sigurisht që ka! Kjo është një këmbë!

Po këndi? Shikoni me kujdes. Cila këmbë është ngjitur me këndin? Sigurisht, këmbën. Kjo do të thotë që për këndin këmba është ngjitur, dhe

Tani, kushtojini vëmendje! Shikoni çfarë kemi:

Shihni sa bukur është:

Tani le të kalojmë te tangjentja dhe kotangjentja.

Si mund ta shkruaj këtë me fjalë tani? Çfarë është këmba në raport me këndin? Përballë, natyrisht - "shtrihet" përballë qoshes. Po këmbën? Ngjitur në qoshe. Pra, çfarë kemi ne?

Shihni se si numëruesi dhe emëruesi kanë ndërruar vendet?

Dhe tani qoshet përsëri dhe bënë një shkëmbim:

Rezyme

Le të shkruajmë shkurtimisht gjithçka që kemi mësuar.

Teorema e Pitagorës:

Teorema kryesore për trekëndëshat kënddrejtë është teorema e Pitagorës.

Teorema e Pitagorës

Meqë ra fjala, a ju kujtohet mirë se çfarë janë këmbët dhe hipotenuza? Nëse jo shumë mirë, atëherë shikoni foton - rifreskoni njohuritë tuaja

Është shumë e mundur që ju ta keni përdorur tashmë shumë herë teoremën e Pitagorës, por a keni menduar ndonjëherë pse një teoremë e tillë është e vërtetë? Si mund ta vërtetoj? Le të bëjmë si grekët e lashtë. Le të vizatojmë një katror me një anë.

Shihni sa me zgjuarsi i kemi ndarë anët e tij në segmente gjatësish dhe!

Tani le të lidhim pikat e shënuara

Këtu, megjithatë, vumë re diçka tjetër, por ju vetë shikoni vizatimin dhe mendoni pse është kështu.

Sa është sipërfaqja e sheshit më të madh? E drejta,. Po për një zonë më të vogël? Sigurisht,. Sipërfaqja totale e katër qosheve mbetet. Imagjinoni që i kemi marrë dy nga një dhe i kemi mbështetur njëri-tjetrin me hipotenuset e tyre. Çfarë ndodhi? Dy drejtkëndësha. Kjo do të thotë që zona e "prerjeve" është e barabartë.

Le t'i bashkojmë të gjitha tani.

Le të transformojmë:

Kështu që ne vizituam Pitagorën - ne vërtetuam teoremën e tij në një mënyrë të lashtë.

Trekëndëshi kënddrejtë dhe trigonometria

Për një trekëndësh kënddrejtë vlejnë marrëdhëniet e mëposhtme:

Sinusi i një këndi akut është i barabartë me raportin e anës së kundërt me hipotenuzën

Kosinusi i një këndi akut është i barabartë me raportin e këmbës ngjitur me hipotenuzën.

Tangjenti i një këndi akut është i barabartë me raportin e anës së kundërt me anën ngjitur.

Kotangjenti i një këndi akut është i barabartë me raportin e anës ngjitur me anën e kundërt.

Dhe përsëri e gjithë kjo në formën e një tablete:

Është shumë i përshtatshëm!

Shenjat e barazisë së trekëndëshave kënddrejtë

I. Nga dy anët

II. Me këmbë dhe hipotenuzë

III. Nga hipotenuza dhe këndi akut

IV. Përgjatë këmbës dhe këndit akut

a)

b)

Kujdes! Është shumë e rëndësishme këtu që këmbët të jenë "të përshtatshme". Për shembull, nëse shkon kështu:

PASTAJ TREKËNDËSHT NUK JANË TË BARABARË, përkundër faktit se ato kanë një kënd identik akut.

Është e nevojshme që në të dy trekëndëshat këmba ishte ngjitur, ose në të dy ishte përballë.

A e keni vënë re se si ndryshojnë shenjat e barazisë së trekëndëshave kënddrejtë nga shenjat e zakonshme të barazisë së trekëndëshave? Shikoni temën "dhe kushtojini vëmendje faktit që për barazinë e trekëndëshave "të zakonshëm", tre elementë të tyre duhet të jenë të barabartë: dy brinjë dhe këndi ndërmjet tyre, dy kënde dhe brinja midis tyre, ose tre brinjë. Por për barazinë e trekëndëshave kënddrejtë mjaftojnë vetëm dy elementë përkatës. E shkëlqyeshme, apo jo?

Situata është afërsisht e njëjtë me shenjat e ngjashmërisë së trekëndëshave kënddrejtë.

Shenjat e ngjashmërisë së trekëndëshave kënddrejtë

I. Përgjatë një këndi akut

II. Në dy anë

III. Me këmbë dhe hipotenuzë

Mediana në një trekëndësh kënddrejtë

Pse është kështu?

Në vend të një trekëndëshi kënddrejtë, merrni parasysh një drejtkëndësh të tërë.

Le të vizatojmë një diagonale dhe të shqyrtojmë një pikë - pikën e kryqëzimit të diagonaleve. Çfarë dihet për diagonalet e një drejtkëndëshi?

Dhe çfarë rrjedh nga kjo?

Kështu doli që

1. - mesatare:

Mbani mend këtë fakt! Ndihmon shumë!

Ajo që është edhe më e habitshme është se e kundërta është gjithashtu e vërtetë.

Çfarë dobie mund të përfitohet nga fakti që medianaja e tërhequr në hipotenuzë është e barabartë me gjysmën e hipotenuzës? Le të shohim foton

Shikoni me kujdes. Kemi: , domethënë distancat nga pika në të tre kulmet e trekëndëshit rezultuan të barabarta. Por ka vetëm një pikë në trekëndësh, largësitë nga e cila nga të tre kulmet e trekëndëshit janë të barabarta, dhe kjo është QENDRA E RRETHIT. Pra, çfarë ndodhi?

Le të fillojmë me këtë "përveç...".

Le të shohim dhe.

Por trekëndëshat e ngjashëm kanë të gjithë këndet e barabarta!

E njëjta gjë mund të thuhet për dhe

Tani le ta vizatojmë së bashku:

Çfarë përfitimi mund të nxirret nga kjo ngjashmëri "e trefishtë"?

Epo, për shembull - dy formula për lartësinë e një trekëndëshi kënddrejtë.

Le të shkruajmë marrëdhëniet e palëve përkatëse:

Për të gjetur lartësinë, zgjidhim proporcionin dhe marrim formula e parë "lartësia në një trekëndësh kënddrejtë":

Pra, le të zbatojmë ngjashmërinë: .

Çfarë do të ndodhë tani?

Përsëri zgjidhim proporcionin dhe marrim formulën e dytë:

Duhet t'i mbani mend shumë mirë të dyja këto formula dhe të përdorni atë që është më e përshtatshme. Le t'i shkruajmë përsëri

Teorema e Pitagorës:

Në një trekëndësh kënddrejtë, katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve: .

Shenjat e barazisë së trekëndëshave kënddrejtë:

• në dy anë:
• nga këmba dhe hipotenuza: ose
• përgjatë këmbës dhe këndit akut ngjitur: ose
• përgjatë këmbës dhe këndit të kundërt akut: ose
• nga hipotenuza dhe këndi akut: ose.

Shenjat e ngjashmërisë së trekëndëshave kënddrejtë:

• një kënd akut: ose
• nga proporcionaliteti i dy këmbëve:
• nga proporcionaliteti i këmbës dhe hipotenuzës: ose.

Sinus, kosinus, tangent, kotangjent në një trekëndësh kënddrejtë

• Sinusi i një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë është raporti i anës së kundërt me hipotenuzën:
• Kosinusi i një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën:
• Tangjenti i një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë është raporti i anës së kundërt me anën ngjitur:
• Kotangjentja e një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë është raporti i brinjës ngjitur me anën e kundërt: .

Lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë: ose.

Në një trekëndësh kënddrejtë, mediana e tërhequr nga kulmi i këndit të drejtë është e barabartë me gjysmën e hipotenuzës: .

Sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë:

• me anë të këmbëve: