Zgjerimi i fraksionit. Reduktimi i një fraksioni. Krahasimi i thyesave.
Reduktimi në një emërues të përbashkët. Mbledhja dhe zbritja e thyesave.
Shumëzimi i thyesave. Pjesëtimi i thyesave.
Zgjerimi i fraksionit. Vlera e një thyese nuk ndryshon nëse shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e saj me të njëjtin numër të ndryshëm nga zero. Ky transformim quhet zgjerim i fraksionit. Për shembull,

Reduktimi i një fraksioni. Vlera e një thyese nuk ndryshon nëse e pjesëtoni numëruesin dhe emëruesin e saj me të njëjtin numër përveç zeros. Ky transformim quhet reduktim fraksioni. Për shembull,

Krahasimi i thyesave. Nga dy thyesa me numërues të njëjtë, ajo që emëruesi i saj është më i vogël është më i madh:

Nga dy thyesa me emërues të njëjtë, ajo numëruesi i së cilës është më i madh është më i madh:

Për të krahasuar thyesat që kanë numërues dhe emërues të ndryshëm, duhet t'i zgjeroni për t'i sjellë në një emërues të përbashkët.
SHEMBULL Krahasoni dy thyesa:

Transformimi i përdorur këtu quhet reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët.
Mbledhja dhe zbritja e thyesave. Nëse emëruesit e thyesave janë të njëjtë, atëherë për të mbledhur thyesat, duhet të shtoni numëruesit e tyre, dhe për të zbritur thyesat, duhet të zbritni numëruesit e tyre (në të njëjtin rend). Shuma ose diferenca që rezulton do të jetë numëruesi i rezultatit; emëruesi do të mbetet i njëjtë. Nëse emëruesit e thyesave janë të ndryshëm, fillimisht duhet t'i reduktoni thyesat në një emërues të përbashkët. Gjatë mbledhjes së numrave të përzier, pjesët e tyre të plota dhe thyesore mblidhen veçmas. Kur zbritni numra të përzier, rekomandojmë fillimisht t'i konvertoni ato në thyesa të papërshtatshme, më pas të zbritni njërin nga tjetri dhe më pas ta ktheni rezultatin përsëri, nëse është e nevojshme, në formën e numrave të përzier.
SHEMBULL

Shumëzimi i thyesave. Të shumëzosh një numër me një thyesë do të thotë ta shumëzosh atë me numëruesin dhe të pjesëtosh prodhimin me emëruesin. Prandaj kemi rregull i përgjithshëm shumëzimi i thyesave: për të shumëzuar thyesat, duhet të shumëzoni numëruesit dhe emëruesit e tyre veçmas dhe të ndani produktin e parë me të dytin.
SHEMBULL

Pjesëtimi i thyesave. Për të pjesëtuar një numër me një thyesë, duhet ta shumëzoni këtë numër me thyesën reciproke. Ky rregull rrjedh nga përkufizimi i pjesëtimit (shih seksionin "Veprimet aritmetike").
SHEMBULL

Kritiku i madh rus V. G. Belinsky tha se detyra e poezisë është "të nxjerrë poezinë e jetës nga proza ​​e jetës dhe të tronditë shpirtrat me një përshkrim të vërtetë të jetës". N. V. Gogol është pikërisht një shkrimtar i tillë, një shkrimtar që trondit shpirtin me përshkrimin e tij të ndonjëherë fotove më të parëndësishme të ekzistencës njerëzore në botë. Shërbimi më i madh i Gogol për shoqërinë ruse, për mendimin tim.

Ky artikull është një përpjekje për të bashkuar informacione të ndryshme në lidhje me teleskopin më të zakonshëm midis entuziastëve të vëzhgimit diellor. Në një shkallë ose në një tjetër, ajo është mbledhur në forume astronomike ruse dhe të huaja në internet, dhe të gjitha fotografitë e postuara më poshtë janë mbledhur gjithashtu në internet. Parametrat teknikë, karakteristikat e projektimit, të mundshme.

Sistemi i numrave dhjetorë Sistemi i numrave dhjetorë është një sistem numrash pozicional i bazuar në bazën 10. Sistemi më i zakonshëm i numrave në botë. Simbolet më të përdorura për shkrimin e numrave janë 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, të quajtur numra arabë. Baza 10 besohet të jetë e lidhur me numrin e gishtërinjve që një person ka. .

Matematika. Klasat 1 - 4 Në këtë pjesë do të njiheni me koncepte dhe terma si mbledhja, zbritja, shumëzimi dhe pjesëtimi. Do të njiheni gjithashtu me veprimet matematikore dhe rendin e zbatimit të tyre, përrallat matematikore dhe shumë e shumë më tepër. .

for-schoolboy.ru

Shtimi i thyesave të zakonshme bëhet si kjo:

a) nëse emëruesit e thyesave janë të njëjtë, atëherë numëruesin e thyesës së dytë i shtojmë numëruesit të thyesës së parë dhe lëmë të njëjtin emërues, d.m.th.

b) nëse emëruesit e thyesave janë të ndryshëm, atëherë thyesat fillimisht reduktohen në një emërues të përbashkët, mundësisht në më të voglin dhe më pas zbatohet rregulli a).

Shembulli 1. Shtoni thyesat dhe Zgjidhjen. Ne kemi:

Bëhet zbritja e thyesave të zakonshme si më poshtë:

a) nëse emëruesit e thyesave janë të njëjtë, atëherë

b) nëse emëruesit janë të ndryshëm, atëherë fillimisht thyesat reduktohen në një emërues të përbashkët dhe më pas zbatohet rregulli a).

Shumëzimi i thyesave të zakonshme kryhet si më poshtë:

dmth shumëzojnë numëruesit veç e veç dhe emërtuesit veç e veç, duke e bërë prodhimin e parë numërues, të dytin emërues.

Për shembull,

Ndarja e fraksioneve të zakonshme kryhet si më poshtë:

dmth dividenti shumëzohet me thyesën reciproke ndaj pjesëtuesit

Për shembull,.

Shembulli 2: Gjeni vlerën e një shprehjeje numerike

Zgjidhje. 1) Duke reduktuar numëruesin dhe emëruesin me 3 (kjo është e dobishme për të bërë përpara se të kryeni veprime të shumëzimit në numërues dhe emërues), marrim d.m.th.

3) Gjatë gjetjes së vlerës së një shprehjeje, veprimet e mbledhjes dhe zbritjes mund të kryhen njëkohësisht. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave 15, 20, 30 është numri 60. Le t'i reduktojmë të tre thyesat në emëruesin 60, duke përdorur faktorë shtesë: për thyesën e parë 4, për të dytën - 3, për të tretën - 2. Ne merrni:

Shembulli 3. Ndiqni këto hapa: a)

Zgjidhja, a) Metoda e parë. Le ta kthejmë secilin nga këta numra të përzier në një thyesë të papërshtatshme dhe më pas të kryejmë mbledhjen:

Tani le ta shndërrojmë thyesën e gabuar në një numër të përzier:

Mënyra e dytë. ne kemi

b) Kur shumëzoni dhe pjesëtoni numra të përzier, shkoni gjithmonë te thyesat e gabuara:

Pra në 7

Veprimet me thyesat e zakonshme

Seksionet: Matematika

1) kontrolli dhe sistematizimi i njohurive të studentëve për këtë temë;

2) zhvillojnë aftësi llogaritëse, logjikë, vigjilencë matematikore;

3) kultivoni pavarësinë, interesin për temën dhe një qëndrim të ndërgjegjshëm ndaj punës edukative.

PAJISJET: klasë kompjuteri, PC - 9 copë.

1) të mësuarit me në qendër nxënësin;

2) diferencimi i nivelit;

3) teknologjia e lojrave;

2. VENDOSJA E QËLLIMIT TË MËSIMIT.

Sot, në prag të testit, do të kemi mundësinë të analizojmë aktivitetet tona edukative dhe të praktikojmë aftësitë llogaritëse në kryerjen e të gjitha veprimeve me thyesat e zakonshme në një simulator elektronik.

Nxënësit shkruajnë numrin dhe emrin e punës në fletë të përgatitura posaçërisht.

3. NJOHURI TË PËRDITËSUARA

Për të pasur akses në punën individuale, duhet t'u përgjigjeni pyetjeve me gojë (në tryezën e të gjithëve ka material didaktik nga A.P. Ershova, V.V. Goloborodko " Matematikë gojore»):

1. Formuloni vetinë kryesore të një thyese.

2. Rregulli për gjetjen e emëruesit më të ulët të përbashkët të dy thyesave.

3. Kryeni shtesë

4. Cilët numra quhen reciprokë?

5. Si pjesëtohet një thyesë me një thyesë?

Nxënësit përsërisin drejtpërdrejt rregullat për kryerjen e veprimeve me thyesat e zakonshme dhe plotësojnë detyrën me koment.

4. UDHËZIME për plotësimin e fazave të orës së mësimit

Sot keni mundësinë të provoni veten në 3 kategori: informatikë, matematikanë dhe analistë. Nxënësit ndahen në 3 grupe dhe marrin kartelat e vetëanalizës (Shtojca 1), sipas të cilave kalojnë të gjitha fazat. (Mësuesi regjistron notat e të tre fazave dhe vendos mesataren aritmetike në kartat e ekipit Shtojca 2)

Në kompjuter, në fletë testimi, duke përdorur karta korrigjimi ose detyra krijuese

5. Faza 1 SIMULATOR ELEKTRONIK (Shtojca 3) – shkenca kompjuterike

Para së gjithash, suksesi juaj në këtë fazë varet nga sa me kujdes ndiqni rregullat e lojës Biatlon.

Trajnimi përbëhet nga tre faza, të cilat ndryshojnë nga njëra-tjetra në kompleksitetin e detyrave. Çdo fazë përfshin një "garë skish" dhe një "poligon qitëse". Në modalitetin "gara e skive", duhet të përcaktoni nëse deklarata e propozuar është e vërtetë apo e rreme dhe klikoni në butonin përkatës në ekran.

Në modalitetin "në vijën e qitjes", duhet të kryeni katër (faza 1) ose tre (fazat 2 dhe 3) detyra për të llogaritur shumën, diferencën, produktin ose koeficientin e dy fraksioneve. Përgjigja juaj është një e shtënë në objektiv. Ju goditni syrin e demit nëse përgjigja juaj është një fraksion i pakalueshëm.

Mësuesi/ja regjistron notat e dhëna nga kompjuteri. Në kartën e ekipit.

Orale punë e pavarur duke studiuar.

Nxënësit u përgjigjen pyetjeve me gojë, kryejnë veprime dhe i regjistrojnë rezultatet në kompjuter. Dhe në kartën e vetë-analizës ata regjistrojnë gabimet e tyre.

(çdo student në grup është në një kompjuter)

Në fund të lojës, kompjuteri vlerëson nxënësin.

6. Faza 2 TEST TEORIK ( A.P. Ershova “Matematika me gojë”):- analistët

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Thyesat e zakonshme. Veprimet në thyesat e zakonshme

Nënshkruar për printim nga transparenca të përfunduara më 02/12/01. Formati 84x108/32. Kufje Baltika. Lloji i letrës Nr. 2. Printim ofset. E kushtëzuar furrë l. 25.1. Tirazhi 5000 kopje. Urdhri nr 106.

Përfitimi tatimor - klasifikues gjithë-rus produktet OK-005-093, vëllimi 2; 953000 - libra, broshura.

Shtypur nga transparenca të gatshme në GIPP “Uralsky Rabochiy”, 620219, Ekaterinburg, rr. Turgeneva, 13.

Tema nr 1.

Llogaritjet aritmetike. Interesi.

Thyesat e zakonshme. Veprimet në thyesat e zakonshme.

1º. Numrat natyrorë- Këta janë numra që përdoren në numërim. Bashkësia e të gjithë numrave natyrorë shënohet me N, d.m.th. N= .

Fraksioniështë një numër i përbërë nga disa thyesa të një njësie. Thyesë e zakonshmeështë një numër i formës , ku është një numër natyror n tregon në sa pjesë të barabarta ndahet një njësi dhe një numër natyror m tregon se sa pjesë të tilla të barabarta janë marrë. Numrat m Dhe n thirren në përputhje me rrethanat numërues Dhe emërues thyesat

Nëse numëruesi është më i vogël se emëruesi, atëherë thyesa quhet korrekte; nëse numëruesi është i barabartë ose më i madh se emëruesi, atëherë thyesa quhet gabim. Një numër i përbërë nga një numër i plotë dhe një pjesë thyesore quhet numër i përzier.

Për shembull, - thyesat e duhura të zakonshme, - thyesat e zakonshme jo të duhura, 1 - numri i përzier.

2º. Kur kryeni operacione me fraksione të zakonshme, duhet të mbani mend rregullat e mëposhtme:

1) Vetia kryesore e një thyese. Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër natyror, fitohet një thyesë e barabartë me atë të dhënë.

Për shembull, a) ; b) .

Pjesëtimi i numëruesit dhe emëruesit të një thyese me pjesëtuesin e tyre të përbashkët të ndryshëm nga një quhet duke reduktuar një fraksion.

2) Për të paraqitur një numër të përzier si një thyesë jo të duhur, duhet të shumëzoni pjesën e tij të plotë me emëruesin e pjesës thyesore dhe të shtoni numëruesin e pjesës thyesore në produktin që rezulton, të shkruani shumën që rezulton si numërues i thyesës, dhe e lemë emëruesin të njëjtë.

Në mënyrë të ngjashme, çdo numër natyror mund të shkruhet si një thyesë e papërshtatshme me çdo emërues.

Për shembull, a) sepse ; b) etj.

3) Për të shkruar një thyesë të pasaktë si një numër të përzier (d.m.th., të ndani një pjesë të plotë nga një thyesë e gabuar), duhet të ndani numëruesin me emëruesin, të merrni herësin e pjesëtimit si pjesë të plotë, pjesën e mbetur si numërues. , dhe lini emëruesin të njëjtë.

Për shembull, a) që nga viti 200: 7 = 28 (ka mbetur 4);
b) që nga 20: 5 = 4 (e mbetur 0).

4) Për të reduktuar thyesat në emëruesin më të ulët të përbashkët, duhet të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM) të emëruesve të këtyre thyesave (do të jetë emëruesi më i ulët i përbashkët i tyre), ndani emëruesin më të ulët të përbashkët me emëruesit e këtyre thyesave ( d.m.th. gjeni faktorë shtesë për thyesat), shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e secilës thyesë me faktorin shtesë të saj.

Për shembull, le t'i reduktojmë thyesat në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët:

630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.

Mjetet, ; ; .

5) Rregullat për veprimet aritmetike në thyesat e zakonshme:

a) Mbledhja dhe zbritja e thyesave me emërues të njëjtë kryhet sipas rregullit:

b) Mbledhja dhe zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm kryhet sipas rregullit a), pasi fillimisht t'i zvogëlohen thyesat në emëruesin më të ulët të përbashkët.

c) Kur mblidhni dhe zbritni numra të përzier, mund t'i ktheni në thyesa të pahijshme dhe më pas ndiqni rregullat a) dhe b),

d) Kur shumëzoni thyesat, përdorni rregullin e mëposhtëm:

e) Për të pjesëtuar një thyesë me një tjetër, duhet të shumëzoni dividentin me reciprocitetin e pjesëtuesit:

f) Gjatë shumëzimit dhe pjesëtimit të numrave të përzier, ata fillimisht shndërrohen në thyesa jo të duhura dhe më pas përdoren rregullat d) dhe e).

Prezantim me temën "Matematika" me temën: "Prezantimi për mësimin "Veprimet me thyesat e zakonshme" Kryer nga mësuesja e matematikës Evgenia Viktorovna Kolbina." Shkarkoni falas dhe pa regjistrim. - Transkripti:

1 Prezantim për mësimin "Veprimet me thyesat e zakonshme" Kryer nga mësuesja e matematikës Evgenia Viktorovna Kolbina

2 Objektivat e mësimit. Edukative: përsëritja e rregullave të krahasimit, mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit të thyesave të zakonshme; përgjithësimi dhe sistematizimi i njohurive për thyesat e zakonshme, konsolidimi dhe përmirësimi i aftësive për të punuar me thyesat e zakonshme; praktikimi i aftësive llogaritëse mendore dhe aftësia për të zbatuar rregullat kur zgjidhen më shumë shembuj kompleks. Zhvillimore: zhvillimi i aftësive në veprimtaritë edukative dhe njohëse; zhvillimin e gojës dhe shkrimi; zhvillimi i aftësive të vetëkontrollit dhe vetëvlerësimit të njohurive dhe aftësive të arritura. Edukative: nxitja e vëmendjes, aktivitetit, pavarësisë, përgjegjësisë.

3 Pa çfarë nuk mund të bëjnë matematikanët, bateristët dhe madje edhe gjuetarët?

4 Cili muaj është tani? Çfarë kohe të vitit? Çfarë ju pëlqen nga dimri?

5 Sot në mësim, unë dhe ti do të skalisim një burrë dëbore, por jo nga bora, por nga njohuritë tona

6 Fletë vlerësimi (emri i plotë i studentit) "Snowdrifts" "1 dhomë" "2 dhoma" "3 dhoma" "Atributet" Vlerësimi i përgjithshëm

7 1. Për të krahasuar (mbledhur, zbritur) thyesat me të ndryshme, duhet: 1) t'i zvogëloni thyesat e dhëna në; 2) krahasoni (shtoni, zbrisni) thyesat që rezultojnë. 2. Për të mbledhur (zbritur) numra të përzier, duhet: 1) t'i sjellësh pjesët thyesore në; 2) kryejnë veçmas mbledhje (zbritje) të pjesëve dhe pjesëve të pjesshme. 3. Për të shumëzuar një thyesë me një numër natyror, duhet ta shumëzoni me këtë numër dhe ta lini të pandryshuar. emëruesit LCD (emëruesi më i ulët i përbashkët) LCD numrat e plotë numëruesi emërues 4. Për të shumëzuar një thyesë me një thyesë, ju duhet të gjeni produktin dhe produktin. 5. Për të shumëzuar numrat e përzier, duhet t'i shkruani si thyesa dhe më pas të përdorni rregullin e thyesave. 6. Për të pjesëtuar një thyesë me një tjetër, ju duhet të shumëzoni me pjesëtuesin e numrit. numëruesit emëruesit e shumëzimit të pasaktë dividend i anasjelltë "DRIFTS" Për çdo rregull të saktë - 1 pikë

8 “1 com” Për çdo përgjigje të saktë – 1 pikë

10 I Opsioni 635(a) II Opsioni 635(b) “2 com” Për çdo veprim të saktë - 1 pikë

12 Bari është i vogël, i vogël. Pemët janë të larta, të gjata. Era tund pemët. Përkulet në të djathtë, pastaj në të majtë. Tani lart, pastaj kthehu. Përkulet. Zogjtë fluturojnë dhe fluturojnë larg. Studentët ulen të qetë në tavolinat e tyre. Fizminutka

13 Problem Turistët shkuan në një shëtitje. Ditën e parë kanë ecur km, që është km më shumë se ditën e dytë. Dhe në ditën e tretë ata ecën 2 herë më pak se në të parën. Sa kilometra kanë ecur turistët në këto tre ditë? "3 dhoma"

14 1) le të gjejmë sa kanë ecur turistët në ditën e dytë, për këtë zbresim nga 2) gjejmë sa kanë ecur turistët ditën e tretë, për këtë pjesëtojmë me 2 3) shtojmë rezultatin e veprimit të parë dhe rezultat i veprimit të dytë dhe gjeni sa kanë ecur në këto tri ditë. Përgjigje: Plani i zgjidhjes Për çdo veprim të saktë - 1 pikë + 1 pikë për përgjigjen e saktë

16 Test “Atributet” Për çdo përgjigje të saktë 1 pikë

18 27-30 pikë – “5” pikë – “4” pikë – “3” 0-14 pikë – “2”

19 Detyrë shtëpie: 635 (g), 643 Përgatitni një raport me temën: origjina e thyesave të zakonshme

20 Përmbledhja e mësimit Më pëlqeu gjithçka! E vështirë, por interesante! I lodhur!

21 Shkrimtari i madh rus L.N. Tolstoi besonte se një person është si një fraksion, emëruesi i së cilës është ajo që ai mendon për veten e tij, dhe numëruesi është ajo që ata mendojnë për të. Ju uroj që numëruesi në jetën tuaj të jetë më i madh se emëruesi.

Ky artikull shqyrton veprimet mbi thyesat. Do të formohen dhe justifikohen rregullat për mbledhjen, zbritjen, shumëzimin, pjesëtimin ose fuqizimin e thyesave të formës A B, ku A dhe B mund të jenë numra, shprehje numerike ose shprehje me ndryshore. Në përfundim, do të shqyrtohen shembuj të zgjidhjeve me përshkrime të hollësishme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rregullat për kryerjen e veprimeve me thyesa të përgjithshme numerike

Thyesat e përgjithshme kanë një numërues dhe një emërues që përmbajnë numrat natyrorë ose shprehjet numerike. Nëse marrim parasysh thyesat si 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 ln 3, atëherë është e qartë se numëruesi dhe emëruesi mund të kenë jo vetëm numra, por edhe shprehje të llojeve të ndryshme.

Përkufizimi 1

Ekzistojnë rregulla me të cilat kryhen operacionet me fraksione të zakonshme. Është gjithashtu i përshtatshëm për fraksionet e përgjithshme:

• Kur zbriten thyesat me emërues të ngjashëm, shtohen vetëm numëruesit dhe emëruesi mbetet i njëjtë, përkatësisht: a d ± c d = a ± c d, vlerat a, c dhe d ≠ 0 janë disa numra ose shprehje numerike.
• Kur mblidhni ose zbritni një thyesë me emërues të ndryshëm, është e nevojshme ta reduktoni atë në një emërues të përbashkët, dhe më pas të shtoni ose zbritni thyesat që rezultojnë me të njëjtët eksponentë. Fjalë për fjalë duket kështu: a b ± c d = a · p ± c · r s, ku vlerat a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 janë numra realë, dhe b · p = d · r = s . Kur p = d dhe r = b, atëherë a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• Gjatë shumëzimit të thyesave, veprimi kryhet me numërues, pas të cilit me emërues, atëherë fitojmë a b · c d = a · c b · d, ku a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 veprojnë si numra realë.
• Kur pjesëtojmë një thyesë me një thyesë, të parën e shumëzojmë me të kundërtën e dytë, domethënë, shkëmbejmë numëruesin dhe emëruesin: a b: c d = a b · d c.

Arsyetimi për rregullat

Ekzistojnë pikat e mëposhtme matematikore në të cilat duhet të mbështeteni kur llogaritni:

• pjerrësia nënkupton shenjën e ndarjes;
• pjesëtimi me një numër trajtohet si shumëzim me reciprocitetin e tij;
• aplikimi i vetive të veprimeve me numra realë;
• zbatimi i vetive themelore të thyesave dhe jobarazimeve numerike.

Me ndihmën e tyre, ju mund të kryeni transformime të formës:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s ; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Shembuj

Në paragrafin e mëparshëm u tha për veprimet me thyesa. Është pas kësaj që thyesa duhet të thjeshtohet. Kjo temë u diskutua në detaje në paragrafin për konvertimin e thyesave.

Së pari, le të shohim një shembull të mbledhjes dhe zbritjes së thyesave me emërues të njëjtë.

Shembulli 1

Duke pasur parasysh thyesat 8 2, 7 dhe 1 2, 7, atëherë sipas rregullit është e nevojshme të mblidhet numëruesi dhe të rishkruhet emëruesi.

Zgjidhje

Pastaj marrim një pjesë të formës 8 + 1 2, 7. Pas kryerjes së mbledhjes, marrim një pjesë të formës 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Pra, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Përgjigje: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Ka një zgjidhje tjetër. Për të filluar, ne kalojmë në formën e një fraksioni të zakonshëm, pas së cilës kryejmë një thjeshtim. Duket kështu:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Shembulli 2

Le të zbresim nga 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 një pjesë të formës 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Meqenëse janë dhënë emërues të barabartë, kjo do të thotë se ne jemi duke llogaritur një thyesë me emërues të njëjtë. Ne e kuptojmë atë

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Ka shembuj të llogaritjes së thyesave me emërues të ndryshëm. Një pikë e rëndësishme është reduktimi në një emërues të përbashkët. Pa këtë, ne nuk do të jemi në gjendje të kryejmë veprime të mëtejshme me fraksione.

Procesi në mënyrë të paqartë të kujton reduktimin në një emërues të përbashkët. Kjo do të thotë, kërkohet pjesëtuesi më i vogël i përbashkët në emërues, pas së cilës faktorët që mungojnë u shtohen thyesave.

Nëse fraksionet që shtohen nuk kanë faktorë të përbashkët, atëherë produkti i tyre mund të bëhet një.

Shembulli 3

Le të shohim shembullin e mbledhjes së thyesave 2 3 5 + 1 dhe 1 2.

Zgjidhje

Në këtë rast, emëruesi i përbashkët është prodhimi i emëruesve. Pastaj marrim atë 2 · 3 5 + 1. Pastaj, kur vendosim faktorë shtesë, kemi që për thyesën e parë është e barabartë me 2, dhe për të dytën është 3 5 + 1. Pas shumëzimit, thyesat reduktohen në formën 4 2 · 3 5 + 1. Reduktimi i përgjithshëm prej 1 2 do të jetë 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Shtojmë shprehjet thyesore që rezultojnë dhe e marrim atë

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Përgjigje: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Kur kemi të bëjmë me thyesa të përgjithshme, atëherë zakonisht nuk flasim për emëruesin e përbashkët më të ulët. Është e padobishme të merret prodhimi i numëruesve si emërues. Së pari ju duhet të kontrolloni nëse ka një numër që është më pak në vlerë se produkti i tyre.

Shembulli 4

Le të shqyrtojmë shembullin e 1 6 · 2 1 5 dhe 1 4 · 2 3 5, kur prodhimi i tyre është i barabartë me 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5. Pastaj marrim 12 · 2 3 5 si emërues të përbashkët.

Le të shohim shembuj të shumëzimit të thyesave të përgjithshme.

Shembulli 5

Për ta bërë këtë, duhet të shumëzoni 2 + 1 6 dhe 2 · 5 3 · 2 + 1.

Zgjidhje

Sipas rregullit, është e nevojshme të rishkruhet dhe të shkruhet prodhimi i numëruesve në formën e një emëruesi. Ne marrim se 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Pasi një pjesë të jetë shumëzuar, mund të bëni reduktime për ta thjeshtuar atë. Pastaj 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

Duke përdorur rregullin e kalimit nga pjesëtimi në shumëzim me një thyesë reciproke, marrim një thyesë që është reciproke e asaj të dhënë. Për ta bërë këtë, numëruesi dhe emëruesi ndërrohen. Le të shohim një shembull:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Pastaj ata duhet të shumëzojnë dhe thjeshtojnë fraksionin që rezulton. Nëse është e nevojshme, hiqni qafe irracionalitetin në emërues. Ne e kuptojmë atë

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Përgjigje: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Ky paragraf është i zbatueshëm kur një numër ose shprehje numerike mund të paraqitet si një thyesë me emërues të barabartë me 1, atëherë veprimi me një fraksion të tillë konsiderohet një paragraf i veçantë. Për shembull, shprehja 1 6 · 7 4 - 1 · 3 tregon se rrënja e 3 mund të zëvendësohet me një shprehje tjetër 3 1. Atëherë kjo hyrje do të duket si shumëzimi i dy thyesave të formës 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1.

Kryerja e veprimeve mbi thyesat që përmbajnë ndryshore

Rregullat e diskutuara në artikullin e parë janë të zbatueshme për operacionet me fraksione që përmbajnë variabla. Merrni parasysh rregullin e zbritjes kur emëruesit janë të njëjtë.

Është e nevojshme të vërtetohet se A, C dhe D (D jo e barabartë me zero) mund të jenë çdo shprehje, dhe barazia A D ± C D = A ± C D është ekuivalente me gamën e vlerave të lejuara të saj.

Është e nevojshme të merret një grup variablash ODZ. Pastaj A, C, D duhet të marrin vlerat përkatëse a 0 , c 0 dhe d 0. Zëvendësimi i formës A D ± C D rezulton në një ndryshim të formës a 0 d 0 ± c 0 d 0 , ku, duke përdorur rregullin e mbledhjes, marrim një formulë të formës a 0 ± c 0 d 0 . Nëse zëvendësojmë shprehjen A ± C D, atëherë marrim të njëjtën fraksion të formës a 0 ± c 0 d 0. Nga këtu konkludojmë se vlera e zgjedhur që plotëson ODZ, A ± C D dhe A D ± C D konsiderohen të barabarta.

Për çdo vlerë të variablave, këto shprehje do të jenë të barabarta, domethënë quhen identikisht të barabarta. Kjo do të thotë se kjo shprehje konsiderohet një barazi e provueshme e formës A D ± C D = A ± C D.

Shembuj të mbledhjes dhe zbritjes së thyesave me ndryshore

Kur keni të njëjtët emërues, ju duhet vetëm të shtoni ose zbritni numëruesit. Kjo pjesë mund të thjeshtohet. Ndonjëherë ju duhet të punoni me fraksione që janë identike të barabarta, por në shikim të parë kjo nuk vërehet, pasi duhet të kryhen disa transformime. Për shembull, x 2 3 x 1 3 + 1 dhe x 1 3 + 1 2 ose 1 2 sin 2 α dhe sin a cos a. Më shpesh, kërkohet një thjeshtim i shprehjes origjinale për të parë të njëjtët emërues.

Shembulli 6

Llogarit: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Zgjidhje

1. Për të bërë llogaritjen, duhet të zbritni thyesat që kanë të njëjtin emërues. Pastaj marrim se x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Pas së cilës mund të zgjeroni kllapat dhe të shtoni terma të ngjashëm. Ne marrim se x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Meqenëse emëruesit janë të njëjtë, mbetet vetëm të mblidhen numëruesit, duke lënë emëruesin: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Shtesa ka përfunduar. Mund të shihet se është e mundur të zvogëlohet fraksioni. Numëruesi i tij mund të paloset duke përdorur formulën për katrorin e shumës, atëherë marrim (l g x + 2) 2 nga formulat e shkurtuara të shumëzimit. Atëherë e marrim atë
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Jepen thyesat e trajtës x - 1 x - 1 + x x + 1 me emërues të ndryshëm. Pas transformimit, mund të kaloni në shtim.

Le të shqyrtojmë një zgjidhje të dyfishtë.

Metoda e parë është që emëruesi i thyesës së parë faktorizohet duke përdorur katrorë, me reduktimin e tij të mëvonshëm. Ne marrim një pjesë të formës

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Pra x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Në këtë rast, është e nevojshme të heqësh qafe irracionalitetin në emërues.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Metoda e dytë është të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e fraksionit të dytë me shprehjen x - 1. Kështu, ne heqim qafe irracionalitetin dhe kalojmë në mbledhjen e thyesave me emërues të njëjtë. Pastaj

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

Përgjigje: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

Në shembullin e fundit zbuluam se reduktimi në një emërues të përbashkët është i pashmangshëm. Për ta bërë këtë, ju duhet të thjeshtoni fraksionet. Kur mblidhni ose zbritni, gjithmonë duhet të kërkoni një emërues të përbashkët, i cili duket si prodhimi i emëruesve me faktorë shtesë të shtuar në numërues.

Shembulli 7

Llogaritni vlerat e thyesave: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Zgjidhje

1. Emëruesi nuk kërkon ndonjë llogaritje komplekse, kështu që ju duhet të zgjidhni produktin e tyre të formës 3 x 7 + 2 · 2, pastaj zgjidhni x 7 + 2 · 2 për fraksionin e parë si një faktor shtesë dhe 3 për të dytin. Kur shumëzojmë, marrim një pjesë të formës x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Mund të shihet se emëruesit paraqiten në formën e një produkti, që do të thotë se transformimet shtesë janë të panevojshme. Emëruesi i përbashkët do të konsiderohet si prodhim i formës x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Prandaj x 4 është një faktor shtesë për thyesën e parë, dhe ln(x + 1) tek e dyta. Pastaj zbresim dhe marrim:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1 ) · 2 x - 4 - mëkat x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - mëkat x · ln (x + 1 ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4)
3. Ky shembull ka kuptim kur punoni me emëruesit e thyesave. Është e nevojshme të zbatohen formulat për diferencën e katrorëve dhe katrorit të shumës, pasi ato do të bëjnë të mundur kalimin në një shprehje të formës 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2. Mund të shihet se thyesat reduktohen në një emërues të përbashkët. Ne marrim se cos x - x · cos x + x 2 .

Atëherë e marrim atë

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

Përgjigje:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - mëkat x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

Shembuj të shumëzimit të thyesave me ndryshore

Gjatë shumëzimit të thyesave, numëruesi shumëzohet me numëruesin dhe emëruesi me emëruesin. Pastaj mund të aplikoni vetinë e reduktimit.

Shembulli 8

Shumëzoni thyesat x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 dhe 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x.

Zgjidhje

Duhet të bëhet shumëzimi. Ne e kuptojmë atë

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 mëkat (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 mëkat (2 x - x)

Numri 3 zhvendoset në vendin e parë për lehtësinë e llogaritjeve, dhe ju mund ta zvogëloni thyesën me x 2, atëherë marrim një shprehje të formës

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 mëkat (2 x - x)

Përgjigje: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 mëkat (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · mëkat (2 · x - x) .

Divizioni

Ndarja e thyesave është e ngjashme me shumëzimin, pasi thyesa e parë shumëzohet me të dytin reciproke. Nëse marrim për shembull thyesën x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 dhe pjesëtojmë me 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, atëherë mund të shkruhet si

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , më pas zëvendëso me një produkt të formës x + 2 · x x 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 mëkat (2 x - x)

Përhapja

Le të kalojmë në shqyrtimin e veprimeve me thyesat e përgjithshme me fuqi. Nëse ka një fuqi me një eksponent natyror, atëherë veprimi konsiderohet si shumëzim i thyesave të barabarta. Por rekomandohet të përdoret një qasje e përgjithshme bazuar në vetitë e shkallëve. Çdo shprehje A dhe C, ku C nuk është identikisht e barabartë me zero, dhe çdo r real në ODZ për një shprehje të formës A Cr, barazia A Cr = A r Cr është e vlefshme. Rezultati është një fraksion i ngritur në një fuqi. Për shembull, merrni parasysh:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Procedura për kryerjen e veprimeve me fraksione

Operacionet në fraksione kryhen sipas rregullave të caktuara. Në praktikë, vërejmë se një shprehje mund të përmbajë disa thyesa ose shprehje thyesore. Atëherë është e nevojshme të kryhen të gjitha veprimet në rend të rreptë: ngrini në një fuqi, shumëzoni, ndani, pastaj shtoni dhe zbritni. Nëse ka kllapa, veprimi i parë kryhet në to.

Shembulli 9

Llogarit 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Zgjidhje

Meqenëse kemi të njëjtin emërues, atëherë 1 - x cos x dhe 1 c o s x, por zbritjet nuk mund të kryhen sipas rregullit, fillimisht kryhen veprimet në kllapa, pastaj shumëzimi dhe më pas mbledhja. Pastaj kur llogaritim e marrim atë

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Kur e zëvendësojmë shprehjen në atë origjinale, marrim se 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Gjatë shumëzimit të thyesave kemi: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. Pasi kemi bërë të gjitha zëvendësimet, marrim 1 - x cos x - x + 1 cos x · x. Tani ju duhet të punoni me thyesa që kanë emërues të ndryshëm. Ne marrim:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

Përgjigje: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x .

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Llogaritësi i fraksioneve projektuar për llogaritjen e shpejtë të veprimeve me thyesa, do t'ju ndihmojë të shtoni, shumëzoni, pjesëtoni ose zbritni me lehtësi thyesat.

Nxënësit modernë fillojnë të studiojnë fraksione tashmë në klasën e 5-të, dhe ushtrimet me to bëhen më të ndërlikuara çdo vit. Termat dhe sasitë matematikore që mësojmë në shkollë rrallë mund të jenë të dobishme për ne në jetën e të rriturve. Sidoqoftë, fraksionet, ndryshe nga logaritmet dhe fuqitë, gjenden mjaft shpesh në jetën e përditshme (matja e distancave, peshimi i mallrave, etj.). Llogaritësi ynë është krijuar për operacione të shpejta me fraksione.

Së pari, le të përcaktojmë se çfarë janë thyesat dhe çfarë janë ato. Thyesat janë raporti i një numri me tjetrin, ai është një numër i përbërë nga një numër i plotë i thyesave të një njësie.

Llojet e thyesave:

• E zakonshme
• dhjetore
• Të përziera

Shembull thyesat e zakonshme:

Vlera e sipërme është numëruesi, pjesa e poshtme është emëruesi. Viza na tregon se numri i sipërm është i pjesëtueshëm me numrin e poshtëm. Në vend të këtij formati shkrimi, kur viza është horizontale, mund të shkruani ndryshe. Ju mund të vendosni një vijë të prirur, për shembull:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Dhjetoret janë lloji më i popullarizuar i thyesave. Ato përbëhen nga një pjesë e plotë dhe një pjesë e pjesshme, të ndara me presje.

Shembull i thyesave dhjetore:

0.2 ose 6.71 ose 0.125

Përbëhet nga një numër i plotë dhe një pjesë thyesore. Për të zbuluar vlerën e kësaj thyese, duhet të shtoni numrin e plotë dhe thyesën.

Shembull i thyesave të përziera:

Llogaritësi i fraksioneve në faqen tonë të internetit është në gjendje të kryejë shpejt çdo operacion matematikor me fraksione në internet:

• Shtesa
• Zbritja
• Shumëzimi
• Divizioni

Për të kryer llogaritjen, duhet të futni numra në fusha dhe të zgjidhni një veprim. Për thyesat, duhet të plotësoni numëruesin dhe emëruesin, mund të mos shkruhet numri i plotë (nëse thyesa është e zakonshme). Mos harroni të klikoni në butonin "e barabartë".

Shtë e përshtatshme që kalkulatori të sigurojë menjëherë procesin për zgjidhjen e një shembulli me thyesa, dhe jo vetëm një përgjigje të gatshme. Falë zgjidhjes së detajuar mund ta përdorni këtë material për të zgjidhur problemet e shkollës dhe për të zotëruar më mirë materialin e mbuluar.

Ju duhet të kryeni llogaritjen e shembullit:

Pas futjes së treguesve në fushat e formularit, marrim:

Për të bërë llogaritjen tuaj, vendosni të dhënat në formular.

Llogaritësi i fraksioneve

Seksione të ngjashme.

Le të pajtohemi që "veprimet me thyesa" në mësimin tonë do të nënkuptojnë veprime me thyesa të zakonshme. Një thyesë e zakonshme është një thyesë që ka atribute të tilla si një numërues, një vijë thyese dhe një emërues. Kjo dallon një thyesë të zakonshme nga një dhjetore, e cila përftohet nga një thyesë e zakonshme duke reduktuar emëruesin në një shumëfish të 10. Dhjetorja shkruhet me presje që ndan të gjithë pjesën nga thyesa. Do të flasim për veprimet me thyesat e zakonshme, pasi janë ato që shkaktojnë vështirësitë më të mëdha për nxënësit që kanë harruar bazat e kësaj teme, të trajtuara në gjysmën e parë të lëndës së matematikës shkollore. Në të njëjtën kohë, gjatë transformimit të shprehjeve në matematikën e lartë, përdoren kryesisht veprime me thyesa të zakonshme. Vetëm shkurtesat e fraksioneve ia vlejnë! Thyesat dhjetore nuk shkaktojnë ndonjë vështirësi të veçantë. Pra, vazhdo!

Dy thyesa thuhet se janë të barabarta nëse .

Për shembull, që nga

Thyesat dhe (pasi), dhe (pasi) janë gjithashtu të barabarta.

Natyrisht, të dyja thyesat dhe janë të barabarta. Kjo do të thotë se nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese të caktuar shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër natyror, do të fitohet një thyesë e barabartë me atë të dhënë: .

Kjo veti quhet veti themelore e një thyese.

Vetia themelore e një thyese mund të përdoret për të ndryshuar shenjat e numëruesit dhe të emëruesit të një thyese. Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese shumëzohen me -1, marrim . Kjo do të thotë se vlera e një thyese nuk do të ndryshojë nëse shenjat e numëruesit dhe emëruesit ndryshojnë në të njëjtën kohë. Nëse ndryshoni shenjën vetëm të numëruesit ose vetëm të emëruesit, atëherë thyesa do të ndryshojë shenjën e saj:

Thyesat reduktuese

Duke përdorur vetinë bazë të një thyese, ju mund të zëvendësoni një thyesë të dhënë me një thyesë tjetër që është e barabartë me atë të dhënë, por me një numërues dhe emërues më të vogël. Ky zëvendësim quhet reduktim fraksioni.

Le të jepet, për shembull, një thyesë. Numrat 36 dhe 48 kanë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të 12. Atëherë

.

Në përgjithësi, zvogëlimi i një thyese është gjithmonë i mundur nëse numëruesi dhe emëruesi nuk janë numra të thjeshtë reciprokisht. Nëse numëruesi dhe emëruesi janë të ndërsjellë numrat e thjeshtë, atëherë thyesa quhet e pakalueshme.

Pra, të reduktosh një thyesë do të thotë të ndash numëruesin dhe emëruesin e thyesës me një faktor të përbashkët. E gjithë sa më sipër vlen edhe për shprehjet thyesore që përmbajnë variabla.

Shembulli 1. Zvogëloni një pjesë

Zgjidhje. Për të faktorizuar numëruesin, fillimisht duke paraqitur monomin - 5 xy si shumë - 2 xy - 3xy, marrim

Për të faktorizuar emëruesin, ne përdorim formulën e diferencës së katrorëve:

Si rezultat

.

Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët

Le të dy thyesa dhe . Ata kanë emërues të ndryshëm: 5 dhe 7. Duke përdorur veçorinë bazë të thyesave, mund t'i zëvendësoni këto thyesa me të tjera që janë të barabarta me to, dhe të tilla që thyesat që rezultojnë të kenë emërues të njëjtë. Duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin e thyesës me 7, marrim

Duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin e thyesës me 5, marrim

Pra, thyesat reduktohen në një emërues të përbashkët:

.

Por nuk është e vetmja zgjidhje detyrë e dhënë: për shembull, këto thyesa mund të reduktohen gjithashtu në një emërues të përbashkët prej 70:

,

dhe në përgjithësi me çdo emërues të pjesëtueshëm me 5 dhe 7.

Le të shqyrtojmë një shembull tjetër: le t'i sjellim thyesat dhe në një emërues të përbashkët. Duke argumentuar si në shembullin e mëparshëm, marrim

,

.

Por në këtë rast, është e mundur të reduktohen thyesat në një emërues të përbashkët që është më i vogël se produkti i emëruesve të këtyre thyesave. Le të gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 24 dhe 30: LCM(24, 30) = 120.

Meqenëse 120:4 = 5, për të shkruar një fraksion me emërues 120, duhet të shumëzoni si numëruesin ashtu edhe emëruesin me 5, ky numër quhet një faktor shtesë. Mjetet .

Më pas, marrim 120:30=4. Duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin e thyesës me një faktor shtesë prej 4, marrim .

Pra, këto thyesa reduktohen në një emërues të përbashkët.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i emëruesve të këtyre thyesave është emëruesi më i vogël i mundshëm i përbashkët.

Për shprehjet thyesore që përfshijnë variabla, emëruesi i përbashkët është një polinom që ndahet me emëruesin e secilës fraksion.

Shembulli 2. Gjeni emëruesin e përbashkët të thyesave dhe.

Zgjidhje. Emëruesi i përbashkët i këtyre thyesave është një polinom, pasi është i pjesëtueshëm me të dyja dhe. Megjithatë, ky polinom nuk është i vetmi që mund të jetë një emërues i përbashkët i këtyre thyesave. Mund të jetë gjithashtu një polinom , dhe polinom , dhe polinom etj. Zakonisht ata marrin një emërues të tillë të përbashkët sa që çdo emërues tjetër i përbashkët ndahet me atë të zgjedhur pa mbetje. Ky emërues quhet emëruesi më i ulët i përbashkët.

Në shembullin tonë, emëruesi më i ulët i përbashkët është . Marrë:

;

.

Ne ishim në gjendje t'i reduktonim thyesat në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët. Kjo ndodhi duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin e thyesës së parë me , dhe numëruesin dhe emëruesin e thyesës së dytë me . Polinome quhen faktorë shtesë, përkatësisht për thyesën e parë dhe të dytë.

Mbledhja dhe zbritja e thyesave

Mbledhja e thyesave përcaktohet si më poshtë:

.

Për shembull,

.

Nëse b = d, Kjo

.

Kjo do të thotë se për të mbledhur thyesa me emërues të njëjtë, mjafton të mblidhen numëruesit dhe të lihet emëruesi i njëjtë. Për shembull,

.

Nëse shtoni thyesa me emërues të ndryshëm, zakonisht i zvogëloni thyesat në emëruesin më të ulët të përbashkët dhe më pas shtoni numëruesit. Për shembull,

.

Tani le të shohim një shembull të shtimit të shprehjeve thyesore me ndryshore.

Shembulli 3. Shndërroni shprehjen në një thyesë

.

Zgjidhje. Le të gjejmë emëruesin më të ulët të përbashkët. Për ta bërë këtë, së pari faktorizojmë emëruesit.

Veprimet me thyesa.

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Pra, çfarë janë thyesat, llojet e thyesave, shndërrimet - kujtuam. Le të kalojmë te çështja kryesore.

Çfarë mund të bëni me thyesat? Po, gjithçka është njësoj si me numrat e zakonshëm. Shtoni, zbritni, shumëzoni, pjesëtoni.

Të gjitha këto veprime me dhjetore puna me thyesa nuk ndryshon nga puna me numra të plotë. Në fakt, kjo është ajo që është e mirë për ta, ato dhjetore. E vetmja gjë është që ju duhet të vendosni presjen saktë.

Numra të përzier, siç thashë tashmë, janë pak të dobishme për shumicën e veprimeve. Ata ende duhet të shndërrohen në fraksione të zakonshme.

Por veprimet me thyesat e zakonshme ata do të jenë më dinakë. Dhe shumë më e rëndësishme! Më lejoni t'ju kujtoj: të gjitha veprimet me shprehje thyesore me shkronja, sinus, të panjohura etj., etj., nuk ndryshojnë nga veprimet me thyesat e zakonshme.! Veprimet me thyesat e zakonshme janë baza për të gjithë algjebrën. Është për këtë arsye që ne do të analizojmë të gjithë këtë aritmetikë në detaje këtu.

Mbledhja dhe zbritja e thyesave.

Të gjithë mund të mbledhin (zbresin) thyesa me emërues të njëjtë (shpresoj vërtet!). Epo, më lejoni t'i kujtoj ata që harrojnë plotësisht: kur mbledhin (zbresin), emëruesi nuk ndryshon. Numëruesit shtohen (zbriten) për të dhënë numëruesin e rezultatit. Lloji:

Shkurtimisht, në terma të përgjithshëm:

Po sikur emëruesit të jenë të ndryshëm? Më pas, duke përdorur vetinë bazë të një thyese (këtu na vjen sërish në punë!), i bëjmë emëruesit të njëjtë! Për shembull:

Këtu duhej të bënim thyesën 4/10 nga thyesa 2/5. Me qëllimin e vetëm që emëruesit të jenë të njëjtë. Më lejoni të vërej, për çdo rast, se 2/5 dhe 4/10 janë e njëjta fraksion! Vetëm 2/5 janë të papërshtatshme për ne, dhe 4/10 janë vërtet në rregull.

Nga rruga, ky është thelbi i zgjidhjes së çdo problemi matematikor. Kur ne nga të pakëndshme ne bëjmë shprehje e njëjta gjë, por më e përshtatshme për zgjidhje.

Një shembull tjetër:

Situata është e ngjashme. Këtu bëjmë 48 nga 16. Me shumëzim të thjeshtë nga 3. Gjithçka është e qartë. Por ne hasëm diçka të tillë:

Si të jesh?! Është e vështirë të bësh një nëntë nga një shtatë! Por ne jemi të zgjuar, i dimë rregullat! Le të transformohemi çdo thyesë në mënyrë që emëruesit të jenë të njëjtë. Kjo quhet "zvogëlimi në një emërues të përbashkët":

Uau! Si e dija për 63? Shumë e thjeshtë! 63 është një numër që pjesëtohet me 7 dhe 9 në të njëjtën kohë. Një numër i tillë mund të merret gjithmonë duke shumëzuar emëruesit. Nëse shumëzojmë një numër me 7, për shembull, atëherë rezultati me siguri do të pjesëtohet me 7!

Nëse duhet të shtoni (zbrisni) disa thyesa, nuk është e nevojshme ta bëni atë në çifte, hap pas hapi. Ju vetëm duhet të gjeni emëruesin e përbashkët për të gjitha thyesat dhe të zvogëloni secilën thyesë në të njëjtin emërues. Për shembull:

Dhe cili do të jetë emëruesi i përbashkët? Sigurisht, ju mund të shumëzoni 2, 4, 8 dhe 16. Ne marrim 1024. Makth. Është më e lehtë të vlerësohet se numri 16 është plotësisht i pjesëtueshëm me 2, 4 dhe 8. Prandaj, nga këta numra është e lehtë të merret 16. Ky numër do të jetë emëruesi i përbashkët. Le ta kthejmë 1/2 në 8/16, 3/4 në 12/16, e kështu me radhë.

Nga rruga, nëse merrni 1024 si emërues të përbashkët, gjithçka do të funksionojë, në fund gjithçka do të reduktohet. Por jo të gjithë do të arrijnë në këtë qëllim, për shkak të llogaritjeve ...

Plotësoni vetë shembullin. Jo një lloj logaritmi... Duhet të rezultojë të jetë 29/16.

Pra, mbledhja (zbritja) e thyesave është e qartë, shpresoj? Sigurisht, është më e lehtë të punosh në një version të shkurtuar, me shumëzues shtesë. Por këtë kënaqësi e kanë ata që kanë punuar me ndershmëri në klasat e ulëta... Dhe nuk kanë harruar asgjë.

Dhe tani do të bëjmë të njëjtat veprime, por jo me thyesa, por me shprehjet thyesore. Rashe e re do të zbulohet këtu, po...

Pra, duhet të shtojmë dy shprehje thyesore:

Ne duhet t'i bëjmë emëruesit të njëjtë. Dhe vetëm me ndihmën shumëzimi! Kjo është ajo që dikton vetia kryesore e një thyese. Prandaj, unë nuk mund t'i shtoj një X në thyesën e parë në emërues. (kjo do të ishte mirë!). Por nëse shumëzoni emëruesit, shihni, gjithçka rritet së bashku! Pra, shkruajmë vijën e thyesës, lëmë një hapësirë ​​boshe në krye, pastaj e shtojmë atë dhe shkruajmë prodhimin e emëruesve më poshtë, në mënyrë që të mos harrojmë:

Dhe, sigurisht, nuk shumëzojmë asgjë në anën e djathtë, nuk hapim kllapa! Dhe tani, duke parë emëruesin e përbashkët në anën e djathtë, kuptojmë: për të marrë emëruesin x(x+1) në thyesën e parë, duhet të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e kësaj thyese me (x+1) . Dhe në fraksionin e dytë - në x. Kjo është ajo që ju merrni:

Kushtojini vëmendje! Këtu janë kllapat! Kjo është grabujë që shkelin shumë njerëz. Jo kllapa, sigurisht, por mungesa e tyre. Kllapat shfaqen sepse po shumëzojmë të gjitha numërues dhe të gjitha emërues! Dhe jo pjesët e tyre individuale...

Në numëruesin e anës së djathtë shkruajmë shumën e numëruesve, gjithçka është si në thyesat numerike, pastaj hapim kllapat në numëruesin e anës së djathtë, d.m.th. Ne shumëzojmë gjithçka dhe japim të ngjashme. Nuk ka nevojë të hapni kllapat në emërues ose të shumëzoni ndonjë gjë! Në përgjithësi, në emërues (çdo) produkti është gjithmonë më i këndshëm! Ne marrim:

Kështu që e morëm përgjigjen. Procesi duket i gjatë dhe i vështirë, por varet nga praktika. Pasi të zgjidhni shembujt, të mësoheni me të, gjithçka do të bëhet e thjeshtë. Ata që i kanë zotëruar thyesat në kohën e duhur, i bëjnë të gjitha këto veprime me njërën dorë të majtë, automatikisht!

Dhe një shënim më shumë. Shumë merren me zgjuarsi me thyesat, por ngecin në shembujt me të e tërë numrat. Si: 2 + 1/2 + 3/4= ? Ku të fiksoni dy pjesë? Nuk keni nevojë ta fiksoni askund, duhet të bëni një pjesë nga dy. Nuk është e lehtë, por shumë e thjeshtë! 2=2/1. Si kjo. Çdo numër i plotë mund të shkruhet si thyesë. Numëruesi është vetë numri, emëruesi është një. 7 është 7/1, 3 është 3/1 e kështu me radhë. Është e njëjta gjë me letrat. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, etj. Dhe pastaj ne punojmë me këto thyesa sipas të gjitha rregullave.

Epo, njohuritë e mbledhjes dhe zbritjes së thyesave u rifreskuan. Shndërrimi i thyesave nga një lloj në tjetrin u përsërit. Ju gjithashtu mund të kontrolloheni. A do ta rregullojmë pak?)

Llogaritni:

Përgjigjet (në rrëmujë):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Shumëzimi/pjestimi i thyesave - në orën e ardhshme. Ekzistojnë gjithashtu detyra për të gjitha veprimet me thyesa.

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.