Lëvizja e sistemit, përveç forcave vepruese, varet edhe nga masa totale dhe shpërndarja e masës së tij. Pesha e sistemit e barabartë me shumën aritmetike të masave të të gjitha pikave ose trupave që formojnë sistemin

Në një fushë gravitacionale uniforme, për të cilën , pesha e çdo grimce të trupit do të jetë proporcionale me masën e saj. Prandaj, shpërndarja e masave në një trup mund të gjykohet nga pozicioni i qendrës së tij të gravitetit. Le të transformojmë formulat që përcaktojnë koordinatat e qendrës së gravitetit:

, , . (1)

Barazitë që rezultojnë përfshijnë vetëm masat e pikave materiale (grimcat) që formojnë trupin dhe koordinatat e këtyre pikave. Prandaj, pozicioni i pikës C(x C, y C, z C) karakterizon realisht shpërndarjen e masave në një trup ose në ndonjë sistem mekanik, nëse me , nënkuptojmë, përkatësisht, masat dhe koordinatat e pikave të këtij sistemi.

Pika gjeometrike ME, koordinatat e të cilave përcaktohen nga formulat e treguara, quhet qendra e masës ose qendra e inercisë së sistemit.

Pozicioni i qendrës së masës përcaktohet nga vektori i rrezes së tij

Ku - vektorët e rrezeve të pikave që formojnë sistemin.

Megjithëse pozicioni i qendrës së masës përkon me pozicionin e qendrës së gravitetit të një trupi të vendosur në një fushë uniforme graviteti, këto koncepte nuk janë identike. Koncepti i qendrës së gravitetit, si pika përmes së cilës kalon linja e veprimit të forcave rezultante të gravitetit, në thelb ka kuptim vetëm për një trup të ngurtë të vendosur në një fushë uniforme graviteti. Koncepti i qendrës së masës, si karakteristikë e shpërndarjes së masave në një sistem, ka kuptim për çdo sistem pikash ose trupash materiale dhe ky koncept e ruan kuptimin e tij pavarësisht nëse ky sistem është nën ndikimin e ndonjë force apo jo.

Momenti i inercisë së një trupi rreth një boshti. Rrezja e inercisë.

Pozicioni i qendrës së masës nuk karakterizon plotësisht shpërndarjen e masës së sistemit. Për shembull (Fig. 32 ), nëse distancat h nga boshti Oz secili nga topat identikë A Dhe NË rritet me të njëjtën sasi, atëherë pozicioni i qendrës së masës së sistemit nuk do të ndryshojë, por shpërndarja e masave do të bëhet e ndryshme, dhe kjo do të ndikojë në lëvizjen e sistemit (rrotullimi rreth boshtit Oz ceteris paribus do të ndodhë më ngadalë).

Fig.32

Prandaj, një tjetër karakteristikë e shpërndarjes së masës futet në mekanikë - momenti i inercisë. Momenti i inercisë së një trupi (sistemi) në lidhje me një bosht të caktuar Oz (ose momenti boshtor i inercisë) është një sasi skalare e barabartë me shumën e produkteve të masave të të gjitha pikave të trupit (sistemit) me katrorët e distancat e tyre nga ky aks

Nga përkufizimi rezulton se momenti i inercisë së një trupi (ose sistemi) në lidhje me çdo bosht është një sasi pozitive dhe jo e barabartë me zero.

Vini re gjithashtu se momenti i inercisë së një trupi është një karakteristikë gjeometrike e një trupi që nuk varet nga lëvizja e tij.

Momenti boshtor i inercisë luan të njëjtin rol gjatë lëvizjes rrotulluese të një trupi siç luan masa gjatë lëvizjes përkthimore, d.m.th. Çfarë momenti boshtor i inercisë është një masë e inercisë së një trupi gjatë lëvizjes rrotulluese.

Sipas formulës, momenti i inercisë së një trupi është i barabartë me shumën e momenteve të inercisë së të gjitha pjesëve të tij në lidhje me të njëjtin bosht. Për një pikë materiale të vendosur në distancë h nga boshti,.

Shpesh gjatë llogaritjeve përdoret koncepti i rrezes së rrotullimit. Rrezja e inercisë trup në raport me boshtin Oz quhet një madhësi lineare e përcaktuar nga barazia

Ku M- masa trupore. Nga përkufizimi rezulton se rrezja e rrotullimit është gjeometrikisht e barabartë me distancën nga boshti Oz pika në të cilën masa e të gjithë trupit duhet të përqendrohet në mënyrë që momenti i inercisë së kësaj pike të jetë i barabartë me momentin e inercisë së të gjithë trupit.

Në rastin e një trupi të ngurtë, duke e ndarë atë në pjesë elementare, gjejmë se në kufi shuma në barazi , kthehet në një integral. Si rezultat, duke marrë parasysh se , ku është dendësia, dhe V- vëllim, marrim

Integrali këtu shtrihet në të gjithë vëllimin V trupat, dhe dendësia dhe largësia h varen nga koordinatat e pikave të trupit.

Momentet e inercisë së disa trupave homogjenë:

1. Shufra e hollë me gjatësi uniforme l dhe masat M. Le të llogarisim momentin e tij të inercisë në lidhje me boshtin Az, pingul me shufrën dhe duke kaluar nga fundi i saj A(Fig. 33).

Fig.33

Le të drejtojmë së bashku AB boshti koordinativ Oh. Pastaj për çdo segment elementar të gjatësisë dx magnitudë h=x, dhe masës , Ku - masë për njësi të gjatësisë së shufrës. Si rezultat

Duke e zëvendësuar me vlerën e tij këtu, më në fund gjejmë:

2. Unazë e hollë e rrumbullakët me rreze uniforme R dhe masat M. Le të gjejmë momentin e tij të inercisë në lidhje me boshtin Cz, pingul me rrafshin e unazës dhe kalon nëpër qendrën e saj (Fig. 34, A). Meqenëse të gjitha pikat e unazës janë nga boshti Cz në distancë h k =R, Se

Prandaj, për unazën

Natyrisht, i njëjti rezultat do të merret për momentin e inercisë së një guaskë të hollë cilindrike me masë M dhe rreze R në raport me boshtin e tij.

3. Pllakë e rrumbullakët uniforme ose cilindër me rreze R dhe masat M. Le të llogarisim momentin e inercisë së një pllake të rrumbullakët në lidhje me boshtin Сz, pingul me pllakën dhe duke kaluar nëpër qendrën e saj (shih Fig. 34, A). Për ta bërë këtë, ne zgjedhim një unazë elementare me rreze r dhe gjerësia dr(Fig. 34, b).

Çdo trup mund të konsiderohet si një koleksion pikash materiale, të cilat, për shembull, mund të merren si molekula. Trupi le të përbëhet nga n pika materiale me masa m1, m2, ...mn.

Qendra e masës së trupit, i përbërë nga n pika materiale quhet një pikë (në kuptimin gjeometrik), vektori i rrezes së së cilës përcaktohet nga formula:

Këtu R1 është vektori i rrezes së pikës numër i (i = 1, 2, ... n).

Ky përkufizim duket i pazakontë, por në fakt ai jep pozicionin e qendrës së masës, për të cilën kemi një ide intuitive. Për shembull, qendra e masës së shufrës do të jetë në mes të saj. Shuma e masave të të gjitha pikave të përfshira në emëruesin e formulës së mësipërme quhet masa e trupit. Pesha e trupit thirrur shuma e masave të të gjitha pikave të saj: m = m1 + m2 + ... + mn.

Në trupat homogjenë simetrikë, CM ndodhet gjithmonë në qendër të simetrisë ose shtrihet në boshtin e simetrisë nëse figura nuk ka një qendër simetrie. Qendra e masës mund të vendoset si brenda trupit (disk, katror, ​​trekëndësh) ashtu edhe jashtë tij (unazë, kornizë, katror).

Për një person, pozicioni i COM varet nga qëndrimi i miratuar. Në shumë sporte, një komponent i rëndësishëm i suksesit është aftësia për të ruajtur ekuilibrin. Pra, në gjimnastikë, akrobaci

një numër i madh elementësh do të përfshijnë lloje të ndryshme ekuilibri. Aftësia për të ruajtur ekuilibrin në patinazhin artistik dhe patinazhin me shpejtësi, ku mbështetja ka një sipërfaqe shumë të vogël, është e rëndësishme.

Kushtet për ekuilibrin e një trupi në qetësi janë barazia e njëkohshme me zero e shumës së forcave dhe shuma e momenteve të forcave që veprojnë në trup.

Le të zbulojmë se çfarë pozicioni duhet të zërë boshti i rrotullimit në mënyrë që trupi i fiksuar në të të mbetet në ekuilibër nën ndikimin e gravitetit. Për ta bërë këtë, le ta ndajmë trupin në shumë pjesë të vogla dhe të tërheqim forcat e gravitetit që veprojnë mbi to.

Në përputhje me rregullën e momenteve, për ekuilibër është e nevojshme që shuma e momenteve të të gjitha këtyre forcave rreth boshtit të jetë e barabartë me zero.

Mund të tregohet se për çdo trup ekziston një pikë e vetme ku shuma e momenteve të gravitetit rreth çdo boshti që kalon nga kjo pikë është e barabartë me zero. Kjo pikë quhet qendra e gravitetit (zakonisht përkon me qendrën e masës).

Qendra e gravitetit të trupit (CG) thirrur pika në lidhje me të cilën shuma e momenteve të gravitetit që veprojnë në të gjitha grimcat e trupit është e barabartë me zero.

Kështu, forcat e gravitetit nuk bëjnë që trupi të rrotullohet rreth qendrës së gravitetit. Prandaj, të gjitha forcat gravitacionale mund të zëvendësohen nga një forcë e vetme që zbatohet në këtë pikë dhe është e barabartë me forcën e gravitetit.

Për të studiuar lëvizjet e trupit të një atleti, shpesh futet termi qendra e përgjithshme e gravitetit (GCG). Karakteristikat themelore të qendrës së gravitetit:

Nëse trupi është i fiksuar në një bosht që kalon përmes qendrës së gravitetit, atëherë forca e gravitetit nuk do ta bëjë atë të rrotullohet;

Qendra e gravitetit është pika e aplikimit të gravitetit;

Në një fushë uniforme, qendra e gravitetit përkon me qendrën e masës.

Ekuilibri është një pozicion i trupit në të cilin ai mund të qëndrojë në qetësi për aq kohë sa të dëshirohet. Kur një trup devijon nga pozicioni i tij ekuilibër, forcat që veprojnë mbi të ndryshojnë dhe ekuilibri i forcave prishet.

Ekzistojnë lloje të ndryshme të ekuilibrit (Fig. 9). Është zakon të dallohen tre lloje të ekuilibrit: i qëndrueshëm, i paqëndrueshëm dhe indiferent.

Ekuilibri i qëndrueshëm (Fig. 9, a) karakterizohet nga fakti se trupi kthehet në pozicionin e tij origjinal kur devijohet. Në këtë rast, lindin forca ose momente të forcës, që tentojnë ta kthejnë trupin në pozicionin e tij origjinal. Një shembull është pozicioni i trupit me mbështetje të sipërme (për shembull, i varur në një shirit tërthor), kur, me çdo devijim, trupi tenton të kthehet në pozicionin fillestar.

Ekuilibri indiferent (Fig. 9, b) karakterizohet nga fakti se kur pozicioni i trupit ndryshon, nuk lindin forca ose momente force që tentojnë ta kthejnë trupin në pozicionin e tij fillestar ose ta largojnë më tej trupin prej tij. Kjo është një dukuri e rrallë tek njerëzit. Një shembull është gjendja e mungesës së peshës në një anije kozmike.

Ekuilibri i paqëndrueshëm (Fig. 9, c) vërehet kur, me devijime të vogla të trupit, lindin forca ose momente force që tentojnë ta devijojnë trupin edhe më shumë nga pozicioni fillestar. Një rast i tillë mund të vërehet kur një person, duke qëndruar në një mbështetëse të një zone shumë të vogël (shumë më e vogël se sipërfaqja e dy këmbëve të tij apo edhe njëra këmbë), mbështetet anash.

Figura 9. Bilanci i trupit: i qëndrueshëm (a), indiferent (b), i paqëndrueshëm (c)

Së bashku me llojet e listuara të ekuilibrit të trupave, biomekanika konsideron një lloj tjetër ekuilibri - të kufizuar-qëndrueshëm. Ky lloj ekuilibri dallohet nga fakti se trupi mund të kthehet në pozicionin e tij fillestar kur devijohet prej tij në një kufi të caktuar, për shembull, i përcaktuar nga kufiri i zonës mbështetëse. Nëse devijimi e kalon këtë kufi, ekuilibri bëhet i paqëndrueshëm.

Detyra kryesore për të siguruar ekuilibrin e trupit të njeriut është të sigurohet që projeksioni i GCM të trupit të jetë brenda zonës mbështetëse. Në varësi të llojit të aktivitetit (ruajtja e një pozicioni statik, ecja, vrapimi, etj.) dhe kërkesat për stabilitet, frekuenca dhe shpejtësia e ndikimeve korrigjuese ndryshojnë, por proceset e ruajtjes së ekuilibrit janë të njëjta.

Shpërndarja e masës në trupin e njeriut

Masa trupore dhe masat e segmenteve individuale janë shumë të rëndësishme për aspekte të ndryshme të biomekanikës. Në shumë sporte është e nevojshme të dihet shpërndarja e masës për të zhvilluar teknikën e duhur për kryerjen e ushtrimeve. Për të analizuar lëvizjet e trupit të njeriut, përdoret metoda e segmentimit: ajo ndahet me kusht në segmente të caktuara. Për secilin segment përcaktohet masa e tij dhe pozicioni i qendrës së masës. Në tabelë 1 masat e pjesëve të trupit përcaktohen në njësi relative.

Tabela 1. Masat e pjesëve të trupit në njësi relative

Shpesh, në vend të konceptit të qendrës së masës, përdoret një koncept tjetër - qendra e gravitetit. Në një fushë uniforme të gravitetit, qendra e gravitetit përkon gjithmonë me qendrën e masës. Pozicioni i qendrës së gravitetit të lidhjes tregohet si distanca e saj nga boshti i bashkimit proksimal dhe shprehet në lidhje me gjatësinë e lidhjes, marrë si njësi.

Në tabelë Figura 2 tregon pozicionin anatomik të qendrave të gravitetit të pjesëve të ndryshme të trupit.

Tabela 2. Qendrat e gravitetit të pjesëve të trupit

Përkufizimi

Pozicioni i qendrës së masës (qendra e inercisë) i një sistemi pikash materiale në mekanikën klasike përcaktohet si më poshtë:

Për rastin e shpërndarjes së vazhdueshme të masës:

Qendra e masës karakterizon kështu shpërndarjen e masës mbi një trup ose sistem grimcash.

Qendrat e masës së figurave homogjene

• Segmenti ka një mes.
• Për shumëkëndëshat (si figurat e sheshta ashtu edhe kornizat):
  • Një trekëndësh ka një pikë kryqëzimi të ndërmjetësve ( qendër).
• Një shumëkëndësh i rregullt ka një qendër simetrie rrotulluese.

Në mekanikë

Koncepti i qendrës së masës përdoret gjerësisht në fizikë.

Lëvizja e një trupi të ngurtë mund të konsiderohet si një mbivendosje e lëvizjes së qendrës së masës dhe lëvizjes rrotulluese të trupit rreth qendrës së masës së tij. Në këtë rast, qendra e masës lëviz në të njëjtën mënyrë si një trup me të njëjtën masë, por me dimensione pafundësisht të vogla (pika materiale). Kjo e fundit do të thotë, në veçanti, se të gjitha ligjet e Njutonit janë të zbatueshme për të përshkruar këtë lëvizje. Në shumë raste, ju mund të injoroni plotësisht madhësinë dhe formën e një trupi dhe të merrni parasysh vetëm lëvizjen e qendrës së tij të masës.

Shpesh është e përshtatshme të merret parasysh lëvizja e një sistemi të mbyllur në një sistem referimi të lidhur me qendrën e masës. Një sistem i tillë referimi quhet sistemi i qendrës së masës (sistemi C), ose sistemi qendror i inercisë. Në të, momenti total i një sistemi të mbyllur mbetet gjithmonë i barabartë me zero, gjë që bën të mundur thjeshtimin e ekuacioneve të lëvizjes së tij.

Qendra e masës në mekanikën relativiste

Në rastin e shpejtësive të larta (në rendin e shpejtësisë së dritës) (për shembull, në fizikën e grimcave), aparati SRT përdoret për të përshkruar dinamikën e sistemit. Në mekanikën relativiste (SRT), konceptet qendra e masës Dhe qendra e sistemeve masive janë gjithashtu konceptet më të rëndësishme, megjithatë, përkufizimi i konceptit ndryshon:

Për të shmangur gabimet, duhet kuptuar se në STR qendra e masës karakterizohet jo nga shpërndarja e masës, por nga shpërndarja e energjisë. Në kursin e fizikës teorike nga Landau dhe Livshits, përparësi i jepet termit "qendra e inercisë". Në literaturën perëndimore mbi grimcat elementare, përdoret termi "qendra e masës". Të dy termat janë ekuivalent.

Shpejtësia e qendrës së masës në mekanikën relativiste mund të gjendet me formulën:

Qendra e gravitetit

Qendra e masës së trupit nuk duhet të ngatërrohet me qendrën e gravitetit!

Qendra e gravitetit të trupitështë pika në lidhje me të cilën momenti total i gravitetit që vepron në sistem është i barabartë me zero. Për shembull, në një sistem të përbërë nga dy masa identike të lidhura me një shufër jofleksibile dhe të vendosur në një fushë gravitacionale jo uniforme (për shembull, një planet), qendra e masës do të jetë në mes të shufrës, ndërsa qendra e graviteti i sistemit do të zhvendoset në fundin e shufrës që është më afër planetit (për shkak të peshës së masës P = m g varet nga parametri i fushës gravitacionale g), dhe, në përgjithësi, ndodhet edhe jashtë shufrës.

Në një fushë gravitacionale konstante paralele (uniforme), qendra e gravitetit përkon gjithmonë me qendrën e masës. Prandaj, në praktikë, këto dy qendra pothuajse përkojnë (pasi fusha e jashtme gravitacionale në problemet johapësirë ​​mund të konsiderohet konstante brenda vëllimit të trupit).

Për të njëjtën arsye, koncepti qendra e masës Dhe qendra e gravitetit përkojnë kur këto terma përdoren në gjeometri, statikë dhe fusha të ngjashme, ku përdorimi i tij në krahasim me fizikën mund të quhet metaforik dhe ku situata e ekuivalencës së tyre supozohet në mënyrë implicite (pasi nuk ka fushë reale gravitacionale dhe duke marrë parasysh heterogjenitetin e saj po nuk ka kuptim). Në këto aplikacione, tradicionalisht të dy termat janë sinonime, dhe shpesh i dyti preferohet thjesht sepse është më i vjetër.

Shiko gjithashtu

Fondacioni Wikimedia. 2010.

• Plazma
• Schitte, Ludwig

Shihni se çfarë është "Qendra e masës" në fjalorë të tjerë:

qendra e masës- (qendra e inercisë) e një trupi (sistemi i pikave materiale), një pikë, pozicioni i së cilës karakterizon shpërndarjen e masave në një trup ose sistem mekanik. Kur një trup lëviz, qendra e masës së tij lëviz si një pikë materiale me masë të barabartë me masën e të gjithë trupit, për të... ... fjalor enciklopedik

QENDRA E MASËS- (qendra e inercisë) e një trupi (sistemi i pikave materiale) një pikë që karakterizon shpërndarjen e masave në një trup ose sistem mekanik. Kur një trup lëviz, qendra e tij e masës lëviz si një pikë materiale me një masë të barabartë me masën e të gjithë trupit në të cilin ... ... Fjalori i madh enciklopedik

qendra e masës- sistemi mekanik; qendra e masës; industrisë qendra e inercisë Një pikë gjeometrike për të cilën shuma e produkteve të masave të të gjitha pikave materiale që formojnë një sistem mekanik dhe vektorëve të rrezes së tyre të tërhequr nga kjo pikë është e barabartë me zero... Fjalor shpjegues terminologjik politeknik

QENDRA E MASËS- njësoj si qendra e inercisë. Fjalor enciklopedik fizik. M.: Enciklopedia Sovjetike. Kryeredaktori A. M. Prokhorov. 1983. QENDRA E MASAVE... Enciklopedi fizike

qendra e masës- 3.1 qendra e masës: Një pikë e lidhur me një trup fizik dhe që ka një veti të tillë që një objekt me pikë imagjinare me masë të barabartë me masën e këtij trupi fizik, nëse vendoset në këtë pikë, do të kishte të njëjtin moment inercie në lidhje me një arbitrar...... Fjalor-libër referues i termave të dokumentacionit normativ dhe teknik

Qendra e masës- qendra e inercisë, një pikë gjeometrike, pozicioni i së cilës karakterizon shpërndarjen e masave në një trup ose sistem mekanik. Koordinatat e masës qendrore përcaktohen nga formula, ose për një trup me një shpërndarje të vazhdueshme të masave ... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

QENDRA E MASËS- qendra e inercisë, pika C, që karakterizon shpërndarjen e masave në mekanike. sistemi. Vektori i rrezes së një mase qendrore të një sistemi të përbërë nga pika materiale, ku mi dhe ri janë vektori i masës dhe rrezes së pikës së i-të, dhe M është masa e të gjithë sistemit. Kur sistemi lëviz, pjesa qendrore lëviz... Fjalori i madh enciklopedik politeknik

QENDRA E MASËS- (qendra e inercisë) e një trupi (sistemi i pikave materiale), pika, pozicioni i tufës karakterizon shpërndarjen e masave në trup ose mekanike. sistemi. Kur një trup lëviz, masa e tij qendrore lëviz si një pikë materiale me masë të barabartë me masën e të gjithë trupit, drejt një tufeje... ... Shkenca natyrore. fjalor enciklopedik

Qendra e masës është një pikë gjeometrike e vendosur brenda një trupi që përcakton shpërndarjen e masës së këtij trupi. Çdo trup mund të paraqitet si shuma e një numri të caktuar pikash materiale. Në këtë rast, pozicioni i qendrës së masës përcakton vektorin e rrezes.

Formula 1 - Rrezja e qendrës së vektorit të masës.

mi është masa e kësaj pike.

ri është vektori i rrezes së pikës.

Nëse përmbledhni masat e të gjitha pikave materiale, ju merrni masën e të gjithë trupit. Pozicioni i qendrës së masës ndikohet nga uniformiteti i shpërndarjes së masës mbi vëllimin e trupit. Qendra e masës mund të vendoset si brenda trupit ashtu edhe jashtë tij. Le të themi për një unazë, qendra e masës është në qendër të rrethit. Aty ku nuk ka substancë. Në përgjithësi, për trupat simetrikë me një shpërndarje uniforme të masës, qendra e masës ndodhet gjithmonë në qendër të simetrisë ose në boshtin e saj.

Figura 1 - Qendrat e masës së trupave simetrikë.

Nëse trupi ushtrohet pak forcë, ai do të fillojë të lëvizë. Imagjinoni një unazë të shtrirë në sipërfaqen e një tavoline. Nëse aplikoni forcë në të dhe thjesht filloni të shtyni, atëherë ajo do të rrëshqasë përgjatë sipërfaqes së tryezës. Por drejtimi i lëvizjes do të varet nga vendi ku zbatohet forca.

Nëse forca drejtohet nga buza e jashtme në qendër, pingul me sipërfaqen e jashtme, atëherë unaza do të fillojë të lëvizë drejtvizor përgjatë sipërfaqes së tryezës në drejtim të aplikimit të forcës. Nëse një forcë zbatohet në mënyrë tangjenciale në rrezen e jashtme të unazës, atëherë ajo do të fillojë të rrotullohet në lidhje me qendrën e saj të masës. Kështu, mund të konkludojmë se lëvizja e një trupi përbëhet nga shuma e lëvizjes përkthimore dhe rrotulluese në lidhje me qendrën e masës. Kjo do të thotë, lëvizja e çdo trupi mund të përshkruhet nga lëvizja e një pike materiale të vendosur në qendër të masës dhe që ka masën e të gjithë trupit.

Figura 2 - Lëvizja përkthimore dhe rrotulluese e unazës.

Ekziston edhe koncepti i qendrës së gravitetit. Në përgjithësi, kjo nuk është e njëjta gjë me qendrën e masës. Qendra e gravitetit është pika në lidhje me të cilën momenti total i gravitetit është zero. Nëse imagjinoni një shufër, le të themi 1 metër të gjatë, 1 cm në diametër dhe uniforme në prerje tërthore. Në skajet e shufrës janë fiksuar topa metalikë me masë të barabartë. Atëherë qendra e masës së kësaj shufre do të jetë në mes. Nëse kjo shufër vendoset në një fushë gravitacionale jo uniforme, atëherë qendra e gravitetit do të zhvendoset drejt forcës më të madhe të fushës.

Figura 3 - Trupi në një fushë gravitacionale jo uniforme dhe uniforme.

Në sipërfaqen e tokës, ku forca e gravitetit është uniforme, qendra e masës praktikisht përkon me qendrën e gravitetit. Për çdo fushë gravitacionale uniforme konstante, qendra e gravitetit do të përkojë gjithmonë me qendrën e masës.

Ekuacionet diferenciale të lëvizjes së sistemit

Le të shqyrtojmë një sistem të përbërë nga $n$ pikë materiale. Le të zgjedhim një pikë të sistemit me masë $m_(k).$ Ne shënojmë rezultanten e të gjitha forcave të jashtme të aplikuara në pikë (si reagimet aktive ashtu edhe ato të kufizimit) me $\overline(F)_(k)^(e ) $, dhe rezultante të gjitha forcat e brendshme - përmes $\overline(F)_(k)^(l) $. Nëse pika ka një nxitim $\overline(a_(k))$, atëherë sipas ligjit bazë të dinamikës:

Ne marrim një rezultat të ngjashëm për çdo pikë. Prandaj, për të gjithë sistemin do të jetë:

Ekuacionet (1) janë ekuacione diferenciale të lëvizjes së sistemit në formë vektoriale.

Duke projektuar barazitë (1) në boshtet e koordinatave, marrim ekuacionet e lëvizjes së sistemit në formë diferenciale në projeksione mbi këto boshte.

Sidoqoftë, kur zgjidhen shumë probleme specifike, nuk lind nevoja për të gjetur ligjin e lëvizjes për secilën nga pikat e sistemit, por ndonjëherë mjafton të gjesh karakteristikat që përcaktojnë lëvizjen e të gjithë sistemit në tërësi.

Teorema mbi lëvizjen e qendrës së masës së sistemit

Për të përcaktuar natyrën e lëvizjes së një sistemi, është e nevojshme të njihet ligji i lëvizjes së qendrës së tij të masës. Qendra e masës ose qendra e inercisë së një sistemi është një pikë e tillë imagjinare, vektori i rrezes $R$ të së cilës shprehet përmes vektorëve të rrezes $r_(1) ,r_(2) ,...$të pikave materiale sipas në formulë:

$R=\frac(m_(1) r_(1) +m_(2) r_(2) +...+m_(n) r_(n) )(m) $, (2)

ku $m=m_(1) +m_(2) +...+m_(n) $ është masa totale e të gjithë sistemit.

Për të gjetur këtë ligj, le t'i drejtohemi ekuacioneve të lëvizjes së sistemit (1) dhe të shtojmë anën e majtë dhe të djathtë të tyre term pas termi. Pastaj marrim:

$\sum m_(k) \overline(a)_(k) =\sum \overline(F)_(k)^(e) +\sum \overline(F)_(k)^(l) $. (3)

Nga formula (2) kemi:

Duke marrë derivatin e dytë në lidhje me kohën, marrim:

$\shuma m_(k) \overline(a)_(k) =M\overline(a)_(c) $, (4)

ku $\overline(a)_(c) $ është nxitimi i qendrës së masës së sistemit.

Meqenëse, nga vetia e forcave të brendshme në sistem, $\sum \overline(F)_(k)^(l) =0$, më në fund marrim nga barazia (3), duke marrë parasysh (4):

$M\overline(a)_(c) =\sum \overline(F)_(k)^(e) $. (5)

Ekuacioni (5) shpreh teoremën mbi lëvizjen e qendrës së masës së sistemit: produkti i masës së sistemit dhe nxitimi i qendrës së masës së tij është i barabartë me shumën gjeometrike të të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në sistem, ose qendra e masës së sistemit lëviz si një pikë materiale, masa e së cilës është e barabartë me masën e të gjithë sistemit dhe ndaj së cilës zbatohen të gjitha forcat e jashtme forcat që veprojnë në sistem.

Duke projektuar të dyja anët e barazisë (5) në boshtet e koordinatave, marrim:

$M\ddot(x)_(c) =\sum \overline(F)_(kx)^(e) $, $M\ddot(y)_(c) =\sum \overline(F)_( ky)^(e) $, $M\ddot(z)_(c) =\sum \overline(F)_(kz)^(e) $. (6)

Këto ekuacione janë ekuacione diferenciale të lëvizjes së qendrës së masës në projeksione në boshtet e sistemit koordinativ kartezian.

Kuptimi i teoremës është si më poshtë:

Teorema

• Një trup që lëviz përpara mund të konsiderohet gjithmonë si një pikë materiale me një masë të barabartë me masën e trupit. Në raste të tjera, trupi mund të konsiderohet si pikë materiale vetëm kur, në praktikë, për të përcaktuar pozicionin e trupit mjafton të dihet pozicioni i qendrës së masës së tij dhe është e lejueshme, sipas kushteve të problemit. , të mos merret parasysh pjesa rrotulluese e lëvizjes së trupit;
• Teorema na lejon të përjashtojmë nga shqyrtimi të gjitha forcat e brendshme të panjohura më parë. Kjo është vlera e saj praktike.

Shembull

Një unazë metalike e varur në një fije në boshtin e një makine centrifugale rrotullohet në mënyrë të njëtrajtshme me një shpejtësi këndore $\omega $. Fija bën një kënd $\alfa $ me boshtin. Gjeni distancën nga qendra e unazës deri në boshtin e rrotullimit.

\[\omega \] \[\alfa \]

Sistemi ynë ndikohet nga forca e gravitetit $\overline(N)$ $\overline(N)$ $\alfa \alpha$, forca e tensionit të fillit dhe nxitimi centripetal.

Le të shkruajmë ligjin e dytë të Njutonit për sistemin tonë:

Le të projektojmë të dyja pjesët në boshtet x dhe y:

\[\majtas\( \fillimi(array)(c) N\sin \alfa =ma; \\ N\cos \alfa =mg; \end(array) \djathtas.(4)\]

Duke pjesëtuar një ekuacion me tjetrin, marrim:

Meqenëse $a=\frac(v^(2) )(R) ;$$v=\omega R$, gjejmë distancën e kërkuar:

Përgjigje: $R=\frac(gtg\alpha )(\omega ^(2) ) $