Le të fillojmë të studiojmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy ose më shumë numrave. Në këtë pjesë do të përcaktojmë termin, do të shqyrtojmë teoremën që vendos lidhjen midis shumëfishit të përbashkët më të vogël dhe pjesëtuesit më të madh të përbashkët dhe do të japim shembuj të zgjidhjes së problemeve.

Shumëfishat e përbashkët - përkufizimi, shembuj

Në këtë temë, do të na interesojnë vetëm shumëfishat e përbashkët të numrave të plotë përveç zeros.

Përkufizimi 1

Shumëfishi i përbashkët i numrave të plotëështë një numër i plotë që është shumëfish i të gjithë numrave të dhënë. Në fakt, është çdo numër i plotë që mund të ndahet me cilindo nga numrat e dhënë.

Përkufizimi i shumëfishave të përbashkët i referohet dy, tre ose më shumë numrave të plotë.

Shembulli 1

Sipas përkufizimit të dhënë më sipër, shumëfishat e përbashkët të numrit 12 janë 3 dhe 2. Gjithashtu, numri 12 do të jetë një shumëfish i përbashkët i numrave 2, 3 dhe 4. Numrat 12 dhe -12 janë shumëfisha të përbashkët të numrave ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Në të njëjtën kohë, shumëfishi i përbashkët i numrave 2 dhe 3 do të jenë numrat 12, 6, − 24, 72, 468, − 100,010,004 dhe një seri e tërë të tjerëve.

Nëse marrim numra që janë të pjesëtueshëm me numrin e parë të një çifti dhe të papjesëtueshëm me të dytin, atëherë numra të tillë nuk do të jenë shumëfish të përbashkët. Pra, për numrat 2 dhe 3, numrat 16, − 27, 5009, 27001 nuk do të jenë shumëfisha të zakonshëm.

0 është një shumëfish i përbashkët i çdo grupi numrash të plotë përveç zeros.

Nëse kujtojmë vetinë e pjesëtueshmërisë në lidhje me numrat e kundërt, rezulton se një numër i plotë k do të jetë një shumëfish i përbashkët i këtyre numrave, ashtu si numri - k. Kjo do të thotë që pjesëtuesit e përbashkët mund të jenë pozitiv ose negativ.

A është e mundur të gjendet LCM për të gjithë numrat?

Shumëfishi i përbashkët mund të gjendet për çdo numër të plotë.

Shembulli 2

Supozoni se jemi të dhënë k numra të plotë a 1, a 2, …, a k. Numri që marrim kur shumëzojmë numrat a 1 · a 2 · … · a k sipas vetive të pjesëtueshmërisë do të ndahet në secilin nga faktorët që janë përfshirë në produktin origjinal. Kjo do të thotë se prodhimi i numrave a 1, a 2, …, a kështë shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave.

Sa shumëfisha të përbashkët mund të kenë këta numra të plotë?

Një grup numrash të plotë mund të ketë numër i madh shumëfishat e përbashkët. Në fakt, numri i tyre është i pafund.

Shembulli 3

Supozoni se kemi një numër k. Atëherë prodhimi i numrave k · z, ku z është një numër i plotë, do të jetë një shumëfish i përbashkët i numrave k dhe z. Duke pasur parasysh se numri i numrave është i pafund, numri i shumëfishave të përbashkët është i pafund.

Shumëfishi më pak i zakonshëm (LCM) - Përkufizimi, shënimi dhe shembuj

Kujtoni konceptin e numrit më të vogël nga një grup i caktuar numrash, të cilin e diskutuam në seksionin "Krahasimi i numrave të plotë". Duke marrë parasysh këtë koncept, ne formulojmë përkufizimin e shumëfishit më të vogël të përbashkët, i cili ka rëndësinë më të madhe praktike nga të gjithë shumëfishat e përbashkët.

Përkufizimi 2

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave të plotë të dhënëështë shumëfishi i përbashkët pozitiv më i vogël i këtyre numrave.

Një shumëfish më i vogël i përbashkët ekziston për çdo numër numrash të dhënë. Shkurtesa më e përdorur për konceptin në literaturën referente është NOC. Shënim i shkurtër për shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave a 1, a 2, …, a k do të ketë formën LOC (a 1 , a 2 , ... , a k).

Shembulli 4

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i 6 dhe 7 është 42. Ato. LCM(6, 7) = 42. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i katër numrave 2, 12, 15 dhe 3 është 60. Një shënim i shkurtër do të duket si LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët nuk është i dukshëm për të gjitha grupet e numrave të dhënë. Shpesh duhet llogaritur.

Marrëdhënia midis NOC dhe GCD

Shumëfishi më i vogël i përbashkët dhe pjesëtuesi më i madh i përbashkët janë të lidhura. Marrëdhënia midis koncepteve përcaktohet nga teorema.

Teorema 1

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i dy numrave të plotë pozitiv a dhe b është i barabartë me produktin e a dhe b të pjesëtuar me pjesëtuesin më të madh të përbashkët të a dhe b, domethënë LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b ).

Dëshmia 1

Supozoni se kemi një numër M, i cili është shumëfish i numrave a dhe b. Nëse numri M është i pjesëtueshëm me a, ekziston edhe një numër i plotë z , sipas të cilit barazia është e vërtetë M = një k. Sipas përkufizimit të pjesëtueshmërisë, nëse M është i pjesëtueshëm me b, pastaj a · k ndarë nga b.

Nëse prezantojmë një shënim të ri për gcd (a, b) as d, atëherë mund të përdorim barazitë a = a 1 d dhe b = b 1 · d. Në këtë rast, të dy barazitë do të jenë numra relativisht të thjeshtë.

Ne kemi vendosur tashmë më lart a · k ndarë nga b. Tani kjo gjendje mund të shkruhet si më poshtë:
a 1 d k ndarë nga b 1 d, që është ekuivalente me kushtin një 1 k ndarë nga b 1 sipas vetive të pjesëtueshmërisë.

Sipas vetive të numrave të përbashkët, nëse a 1 Dhe b 1– reciprokisht numrat e thjeshtë, a 1 nuk ndahet me b 1 pavarësisht se një 1 k ndarë nga b 1, Kjo b 1 duhet të ndahen k.

Në këtë rast, do të ishte e përshtatshme të supozohet se ka një numër t, për të cilën k = b 1 t, dhe që nga ajo kohë b 1 = b: d, Kjo k = b: d t.

Tani në vend të k le të zëvendësojmë në barazi M = një k shprehja e formës b: d t. Kjo na lejon të arrijmë barazi M = a b: d t. Në t = 1 mund të marrim shumëfishin e përbashkët më pak pozitiv të a dhe b , të barabartë a b: d, me kusht që numrat a dhe b pozitive.

Pra, ne vërtetuam se LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Vendosja e një lidhjeje midis LCM dhe GCD ju lejon të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët përmes pjesëtuesit më të madh të përbashkët të dy ose më shumë numrave të dhënë.

Përkufizimi 3

Teorema ka dy pasoja të rëndësishme:

• shumëfishat e shumëfishit më të vogël të përbashkët të dy numrave janë të njëjtë me shumëfishat e përbashkët të këtyre dy numrave;
• shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave pozitivë reciprokisht të thjeshtë a dhe b është i barabartë me prodhimin e tyre.

Nuk është e vështirë të vërtetohen këto dy fakte. Çdo shumëfish i përbashkët i M i numrave a dhe b përcaktohet nga barazia M = LCM (a, b) · t për një vlerë të plotë t. Meqenëse a dhe b janë relativisht të thjeshtë, atëherë gcd (a, b) = 1, pra, gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i tre ose më shumë numrave

Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët të disa numrave, duhet të gjeni në mënyrë sekuenciale LCM-në e dy numrave.

Teorema 2

Le të supozojmë se a 1, a 2, …, a k janë disa numra të plotë pozitivë. Për të llogaritur LCM m k këta numra, ne duhet t'i llogarisim në mënyrë sekuenciale m 2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1, a k) .

Dëshmia 2

Përfundimi i parë nga teorema e parë e diskutuar në këtë temë do të na ndihmojë të vërtetojmë vlefshmërinë e teoremës së dytë. Arsyetimi bazohet në algoritmin e mëposhtëm:

• shumëfishat e përbashkët të numrave a 1 Dhe a 2 përkojnë me shumëfishat e LCM-së së tyre, në fakt, ato përkojnë me shumëfishat e numrit m 2;
• shumëfishat e përbashkët të numrave a 1, a 2 Dhe a 3 m 2 Dhe a 3 m 3;
• shumëfishat e përbashkët të numrave a 1, a 2, …, a k përkojnë me shumëfishat e përbashkët të numrave m k - 1 Dhe një k, pra, përkojnë me shumëfishat e numrit m k;
• për faktin se shumëfishi më i vogël pozitiv i numrit m kështë vetë numri m k, pastaj shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave a 1, a 2, …, a kështë m k.

Kështu e vërtetuam teoremën.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Le të shohim tre mënyra për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët.

Gjetja me faktorizim

Metoda e parë është gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët duke faktorizuar numrat e dhënë në faktorë të thjeshtë.

Le të themi se duhet të gjejmë LCM-në e numrave: 99, 30 dhe 28. Për ta bërë këtë, le të faktorizojmë secilin prej këtyre numrave në faktorët kryesorë:

Që numri i dëshiruar të jetë i pjesëtueshëm me 99, 30 dhe 28, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ai të përfshijë të gjithë faktorët kryesorë të këtyre pjesëtuesve. Për ta bërë këtë, ne duhet t'i marrim të gjithë faktorët kryesorë të këtyre numrave në fuqinë më të madhe të mundshme dhe t'i shumëzojmë së bashku:

2 2 3 2 5 7 11 = 13,860

Kështu, LCM (99, 30, 28) = 13,860 Asnjë numër tjetër më i vogël se 13,860 nuk është i pjesëtueshëm me 99, 30 ose 28.

Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave të dhënë, i faktorizoni në faktorët e tyre të thjeshtë, më pas merrni secilin faktor kryesor me eksponentin më të madh në të cilin shfaqet dhe shumëzoni këta faktorë së bashku.

Meqenëse numrat relativisht të thjeshtë nuk kanë faktorë të thjeshtë të përbashkët, shumëfishi i tyre më i vogël i përbashkët është i barabartë me produktin e këtyre numrave. Për shembull, tre numra: 20, 49 dhe 33 janë relativisht të thjeshtë. Kjo është arsyeja pse

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

E njëjta gjë duhet bërë kur të gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave të ndryshëm të thjeshtë. Për shembull, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Gjetja me përzgjedhje

Metoda e dytë është gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët me përzgjedhje.

Shembulli 1. Kur më i madhi i numrave të dhënë pjesëtohet me një numër tjetër të dhënë, atëherë LCM e këtyre numrave është e barabartë me më të madhin prej tyre. Për shembull, jepen katër numra: 60, 30, 10 dhe 6. Secili prej tyre pjesëtohet me 60, pra:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

Në raste të tjera, për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët, përdoret procedura e mëposhtme:

1. Ne përcaktojmë numri më i madh nga numrat e dhënë.
2. Më pas, gjejmë numrat që janë shumëfisha të numrit më të madh duke e shumëzuar atë me numra natyrorë në rend rritës dhe duke kontrolluar nëse produkti që rezulton është i pjesëtueshëm me numrat e dhënë të mbetur.

Shembulli 2. Jepen tre numra 24, 3 dhe 18. Ne përcaktojmë më të madhin prej tyre - ky është numri 24. Më pas, gjejmë numrat që janë shumëfish të 24, duke kontrolluar nëse secili prej tyre është i pjesëtueshëm me 18 dhe 3:

24 · 1 = 24 - i pjesëtueshëm me 3, por jo i pjesëtueshëm me 18.

24 · 2 = 48 - i pjesëtueshëm me 3, por jo i pjesëtueshëm me 18.

24 · 3 = 72 - ndahet me 3 dhe 18.

Kështu, LCM (24, 3, 18) = 72.

Gjetja duke gjetur në mënyrë sekuenciale LCM

Metoda e tretë është gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët duke gjetur në mënyrë sekuenciale LCM.

LCM e dy numrave të dhënë është e barabartë me produktin e këtyre numrave të pjesëtuar me pjesëtuesin e tyre më të madh të përbashkët.

Shembulli 1. Gjeni LCM-në e dy numrave të dhënë: 12 dhe 8. Përcaktoni pjesëtuesin e tyre më të madh të përbashkët: GCD (12, 8) = 4. Shumëzoni këta numra:

Ne e ndajmë produktin me gcd-në e tyre:

Kështu, LCM (12, 8) = 24.

Për të gjetur LCM-në e tre ose më shumë numrave, përdorni procedurën e mëposhtme:

1. Së pari, gjeni LCM-në e çdo dy prej këtyre numrave.
2. Pastaj, LCM e shumëfishit më të vogël të përbashkët të gjetur dhe numrit të tretë të dhënë.
3. Pastaj, LCM e shumëfishit më të vogël të përbashkët që rezulton dhe numri i katërt, etj.
4. Kështu, kërkimi për LCM vazhdon për aq kohë sa ka numra.

Shembulli 2. Le të gjejmë LCM-në e tre numrave të dhënë: 12, 8 dhe 9. Ne kemi gjetur tashmë LCM-në e numrave 12 dhe 8 në shembullin e mëparshëm (ky është numri 24). Mbetet për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrit 24 dhe numrit të tretë të dhënë - 9. Përcaktoni pjesëtuesin e tyre më të madh të përbashkët: GCD (24, 9) = 3. Shumëzoni LCM me numrin 9:

Ne e ndajmë produktin me gcd-në e tyre:

Kështu, LCM (12, 8, 9) = 72.

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët dhe shumëfishi më i vogël i përbashkët janë koncepte kyçe aritmetike që ju lejojnë të veproni pa mundim thyesat e zakonshme. LCM dhe më së shpeshti përdoren për të gjetur emëruesin e përbashkët të disa thyesave.

Konceptet Bazë

Pjesëtuesi i një numri të plotë X është një tjetër numër i plotë Y me të cilin X ndahet pa lënë mbetje. Për shembull, pjesëtuesi i 4 është 2, dhe 36 është 4, 6, 9. Një shumëfish i një numri të plotë X është një numër Y që pjesëtohet me X pa mbetje. Për shembull, 3 është shumëfish i 15, dhe 6 është shumëfish i 12.

Për çdo çift numrash mund të gjejmë pjesëtuesit dhe shumëfishat e tyre të përbashkët. Për shembull, për 6 dhe 9, shumëfishi i përbashkët është 18, dhe pjesëtuesi i përbashkët është 3. Natyrisht, çiftet mund të kenë disa pjesëtues dhe shumëfish, kështu që llogaritjet përdorin pjesëtuesin më të madh GCD dhe shumëfishin LCM më të vogël.

Pjesëtuesi më i vogël është i pakuptimtë, pasi për çdo numër është gjithmonë një. Shumëfishi më i madh është gjithashtu i pakuptimtë, pasi sekuenca e shumëfishave shkon në pafundësi.

Gjetja e gcd

Ka shumë metoda për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët, më të famshmet prej të cilave janë:

• kërkimi sekuencial i pjesëtuesve, përzgjedhja e të përbashkëtve për një çift dhe kërkimi për më të madhin prej tyre;
• zbërthimi i numrave në faktorë të pandashëm;
• Algoritmi Euklidian;
• algoritmi binar.

Sot në institucionet arsimore Më të njohurat janë metodat e faktorizimit të thjeshtë dhe algoritmi Euklidian. Kjo e fundit, nga ana tjetër, përdoret gjatë zgjidhjes së ekuacioneve Diophantine: kërkimi për GCD kërkohet për të kontrolluar ekuacionin për mundësinë e zgjidhjes në numra të plotë.

Gjetja e NOC

Shumëfishi më i vogël i përbashkët përcaktohet gjithashtu nga kërkimi sekuencial ose zbërthimi në faktorë të pandashëm. Përveç kësaj, është e lehtë të gjendet LCM nëse pjesëtuesi më i madh është përcaktuar tashmë. Për numrat X dhe Y, LCM dhe GCD lidhen me lidhjen e mëposhtme:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Për shembull, nëse GCM(15,18) = 3, atëherë LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Shembulli më i dukshëm i përdorimit të LCM është gjetja e emëruesit të përbashkët, i cili është shumëfishi më i vogël i përbashkët i thyesat e dhëna.

Numrat e dyfishtë

Nëse një çift numrash nuk ka pjesëtues të përbashkët, atëherë një çift i tillë quhet koprim. GCD për çifte të tilla është gjithmonë e barabartë me një, dhe bazuar në lidhjen ndërmjet pjesëtuesve dhe shumëfishëve, LCM për ato me të parët është e barabartë me produktin e tyre. Për shembull, numrat 25 dhe 28 janë relativisht të thjeshtë, sepse nuk kanë pjesëtues të përbashkët, dhe LCM(25, 28) = 700, që korrespondon me produktin e tyre. Çdo dy numra të pandashëm do të jenë gjithmonë relativisht të thjeshtë.

Pjesëtues i përbashkët dhe kalkulator i shumëfishtë

Duke përdorur kalkulatorin tonë, ju mund të llogaritni GCD dhe LCM për një numër arbitrar numrash për të zgjedhur. Detyrat për llogaritjen e pjesëtuesve të përbashkët dhe të shumëfishave gjenden në aritmetikën e klasës së 5-të dhe të 6-të, por GCD dhe LCM janë koncepte kyçe në matematikë dhe përdoren në teorinë e numrave, planimetrinë dhe algjebrën komunikuese.

Shembuj të jetës reale

Emëruesi i përbashkët i thyesave

Shumëfishi më i vogël i përbashkët përdoret kur gjendet emëruesi i përbashkët i thyesave të shumta. Le të themi se në një problem aritmetik ju duhet të mblidhni 5 thyesa:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Për të shtuar thyesa, shprehja duhet të reduktohet në një emërues të përbashkët, i cili reduktohet në problemin e gjetjes së LCM. Për ta bërë këtë, zgjidhni 5 numra në kalkulator dhe vendosni vlerat e emëruesve në qelizat e duhura. Programi do të llogarisë LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Tani ju duhet të llogaritni faktorë shtesë për çdo fraksion, të cilët përcaktohen si raport i LCM me emëruesin. Pra, shumëzuesit shtesë do të duken si:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Pas kësaj, ne shumëzojmë të gjitha fraksionet me faktorin shtesë përkatës dhe marrim:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Ne mund t'i mbledhim lehtësisht thyesa të tilla dhe të marrim rezultatin si 159/360. Ne e zvogëlojmë thyesën me 3 dhe shohim përgjigjen përfundimtare - 53/120.

Zgjidhja e ekuacioneve lineare Diofantine

Ekuacionet lineare diofantine janë shprehje të formës ax + nga = d. Nëse raporti d / gcd(a, b) është një numër i plotë, atëherë ekuacioni është i zgjidhshëm në numra të plotë. Le të kontrollojmë disa ekuacione për të parë nëse ato kanë një zgjidhje numër të plotë. Së pari, le të kontrollojmë ekuacionin 150x + 8y = 37. Duke përdorur një kalkulator, gjejmë GCD (150.8) = 2. Ndani 37/2 = 18.5. Numri nuk është numër i plotë, prandaj ekuacioni nuk ka rrënjë të plota.

Le të kontrollojmë ekuacionin 1320x + 1760y = 10120. Përdorni një kalkulator për të gjetur GCD(1320, 1760) = 440. Pjestoni 10120/440 = 23. Si rezultat, marrim një numër të plotë, pra, ekuacioni i koeficientit të diofantinës është joefektiv. .

konkluzioni

GCD dhe LCM luajnë një rol të madh në teorinë e numrave, dhe vetë konceptet përdoren gjerësisht në një gamë të gjerë fushash të matematikës. Përdorni kalkulatorin tonë për të llogaritur pjesëtuesit më të mëdhenj dhe shumëfishat më të vegjël të çdo numri numrash.

Shumë pjesëtues

Le të shqyrtojmë problemin e mëposhtëm: gjeni pjesëtuesin e numrit 140. Është e qartë se numri 140 nuk ka një pjesëtues, por disa. Në raste të tilla thuhet se problemi ka shumë vendimet. Le t'i gjejmë të gjitha. Para së gjithash, le të dekompozojmë numri i dhënë në faktorët kryesorë:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Tani mund të shkruajmë lehtësisht të gjithë pjesëtuesit. Le të fillojmë me faktorët kryesorë, domethënë ata që janë të pranishëm në zgjerimin e dhënë më sipër:

Pastaj shkruajmë ato që fitohen nga shumëzimi në çift i pjesëtuesve të thjeshtë:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Pastaj - ato që përmbajnë tre pjesëtues të thjeshtë:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Së fundi, le të mos harrojmë njësinë dhe vetë numrin e zbërthyer:

Të gjithë pjesëtuesit që gjetëm formojnë shumë pjesëtuesit e numrit 140, i cili është shkruar duke përdorur kllapa kaçurrelë:

Bashkësia e pjesëtuesve të numrit 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Për lehtësinë e perceptimit, ne kemi shkruar pjesëtuesit këtu ( elementet e kompletit) në rend rritës, por, në përgjithësi, kjo nuk është e nevojshme. Përveç kësaj, ne prezantojmë një shkurtim shënimesh. Në vend të “Bashkësia e pjesëtuesve të numrit 140” do të shkruajmë “D(140)”. Kështu,

Në të njëjtën mënyrë, ju mund të gjeni grupin e pjesëtuesve për çdo numër tjetër natyror. Për shembull, nga dekompozimi

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

marrim:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Nga bashkësia e të gjithë pjesëtuesve duhet dalluar bashkësia e pjesëtuesve të thjeshtë, të cilët për numrat 140 dhe 105 janë përkatësisht të barabartë:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

Veçanërisht duhet theksuar se në zbërthimin e numrit 140 në faktorë të thjeshtë, të dy shfaqen dy herë, ndërsa në bashkësinë PD(140) është vetëm një. Bashkësia e PD(140) është, në thelb, të gjitha përgjigjet e problemit: "Gjeni faktorin kryesor të numrit 140". Është e qartë se e njëjta përgjigje nuk duhet të përsëritet më shumë se një herë.

Reduktimi i thyesave. Pjesëtuesi më i madh i përbashkët

Merrni parasysh thyesën

Ne e dimë se kjo thyesë mund të zvogëlohet me një numër që është edhe pjesëtues i numëruesit (105) dhe pjesëtues i emëruesit (140). Le të hedhim një vështrim në grupet D(105) dhe D(140) dhe të shkruajmë elementet e tyre të përbashkëta.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Elementet e përbashkëta të bashkësive D(105) dhe D(140) =

Barazia e fundit mund të shkruhet më shkurt, domethënë:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Këtu ikona speciale "∩" ("çanta me vrimën poshtë") tregon se nga dy grupet e shkruara në anët e kundërta të saj, duhet të zgjidhen vetëm elementë të përbashkët. Hyrja "D(105) ∩ D(140)" thotë " kryqëzim grupe De nga 105 dhe De nga 140.”

[Vini re gjatë rrugës se mund të kryeni operacione të ndryshme binare me grupe, pothuajse si me numrat. Një tjetër operacion binar i zakonshëm është shoqata, e cila tregohet nga ikona "∪" ("çanta me vrimën e kthyer lart"). Bashkimi i dy grupeve përfshin të gjithë elementët e të dy grupeve:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Pra, zbuluam se fraksioni

mund të reduktohet me cilindo nga numrat që i përkasin grupit

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

dhe nuk mund të reduktohet me asnjë numër tjetër natyror. Këtu janë të gjitha shkurtoret e mundshme (përveç shkurtimit jo interesant me një):

Natyrisht, është më praktike të zvogëlohet thyesa me një numër sa më të madh që të jetë e mundur. Në këtë rast, ky është numri 35, i cili thuhet se është pjesëtuesi më i madh i përbashkët (GCD) numrat 105 dhe 140. Kjo shkruhet si

GCD(105, 140) = 35.

Megjithatë, në praktikë, nëse na jepen dy numra dhe duhet të gjejmë pjesëtuesin e tyre më të madh të përbashkët, nuk duhet të ndërtojmë fare bashkësi. Mjafton thjesht të zbërthehen të dy numrat në faktorë të thjeshtë dhe të theksohen ata nga këta faktorë që janë të përbashkët për të dy zbërthimet, për shembull:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Duke shumëzuar numrat e nënvizuar (në cilindo nga zgjerimet), marrim:

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Sigurisht, është e mundur që do të ketë më shumë se dy faktorë të nënvizuar:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Nga kjo është e qartë se

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Situata meriton përmendje të veçantë kur nuk ka fare faktorë të përbashkët dhe nuk ka asgjë për të theksuar, për shembull:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

Në këtë rast,

GCD (42, 55) = 1.

Quhen dy numra natyrorë për të cilët GCD është i barabartë me një kryeministër reciprok. Nëse bëni një thyesë nga numra të tillë, për shembull,

atëherë një thyesë e tillë është e pareduktueshme.

Në përgjithësi, rregulli për zvogëlimin e thyesave mund të shkruhet si më poshtë:

Këtu supozohet se a Dhe b janë numra natyrorë dhe e gjithë thyesa është pozitive. Nëse tani shtojmë një shenjë minus në të dy anët e kësaj barazie, marrim rregullin përkatës për thyesat negative.

Mbledhja dhe zbritja e thyesave. Shumëfishi më pak i zakonshëm

Supozoni se duhet të llogaritni shumën e dy thyesave:

Ne tashmë e dimë se si emërtuesit faktorizohen në faktorët kryesorë:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Nga ky zbërthim del menjëherë se, për të sjellë thyesat në një emërues të përbashkët, mjafton të shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës së parë me 2 ∙ 2 (produkti i faktorëve kryesorë të patheksuar të emëruesit të dytë), dhe numëruesi dhe emëruesi i thyesës së dytë me 3 (“produkt” faktorët kryesorë të patheksuar të emëruesit të parë). Si rezultat, emëruesit e të dy thyesave do të bëhen të barabartë me numrin, i cili mund të përfaqësohet si më poshtë:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Është e lehtë të shihet se të dy emëruesit origjinal (të dy 105 dhe 140) janë pjesëtues të numrit 420, dhe numri 420, nga ana tjetër, është një shumëfish i të dy emëruesve - dhe jo vetëm një shumëfish, ai është shumëfishi më pak i zakonshëm (NOC) numrat 105 dhe 140. Është shkruar kështu:

LCM(105, 140) = 420.

Duke parë më nga afër zbërthimin e numrave 105 dhe 140, shohim se

105 ∙ 140 = GCD (105, 140) ∙ GCD (105, 140).

Në mënyrë të ngjashme, për numrat natyrorë arbitrarë b Dhe d:

b ∙ d= LOC( b, d) ∙ GCD( b, d).

Tani le të plotësojmë përmbledhjen e thyesave tona:

Quhet numri më i madh natyror me të cilin pjesëtohen numrat a dhe b pa mbetje pjesëtuesi më i madh i përbashkët këta numra. Shënoni GCD(a, b).

Le të shqyrtojmë gjetjen e GCD duke përdorur shembullin e dy numrave natyrorë 18 dhe 60:

324 , 111 Dhe 432

Le t'i faktorizojmë numrat në faktorë të thjeshtë:

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

111 = 3×37

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

Duke kaluar nga numri i parë faktorët e të cilit nuk janë në numrin e dytë dhe të tretë, marrim:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

Si rezultat, GCD ( 324 , 111 , 432 )=3

Gjetja e GCD duke përdorur algoritmin Euklidian

Mënyra e dytë për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët është përdorimi Algoritmi Euklidian. Algoritmi i Euklidit është më i madhi në mënyrë efikase gjetjen GCD, duke e përdorur atë ju duhet të gjeni vazhdimisht pjesën e mbetur të numrave të pjesëtimit dhe të aplikoni formula e përsëritjes.

Formula e përsëritjes për GCD, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), ku një mod b është pjesa e mbetur e a e pjesëtuar me b.

Algoritmi i Euklidit

Shembull Gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave 7920 Dhe 594

Le të gjejmë GCD ( 7920 , 594 ) duke përdorur algoritmin Euklidian, ne do të llogarisim pjesën e mbetur të pjesëtimit duke përdorur një kalkulator.

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

Si rezultat, marrim GCD( 7920 , 594 ) = 198

Shumëfishi më pak i zakonshëm

Për të gjetur emëruesin e përbashkët gjatë mbledhjes dhe zbritjes së thyesave me emërues të ndryshëm ju duhet të dini dhe të jeni në gjendje të llogaritni shumëfishi më pak i zakonshëm(NOK).

Një shumëfish i numrit "a" është një numër që në vetvete është i pjesëtueshëm me numrin "a" pa mbetje.

Numrat që janë shumëfish të 8 (d.m.th., këta numra pjesëtohen me 8 pa mbetje): këta janë numrat 16, 24, 32...

Shumëfishat e 9: 18, 27, 36, 45…

Ka pafundësisht shumëfisha të një numri të dhënë a, në ndryshim nga pjesëtuesit e të njëjtit numër. Ekziston një numër i kufizuar pjesëtuesish.

Shumëfishi i përbashkët i dy numrave natyrorë është një numër që pjesëtohet me të dy këta numra..

Shumëfishi më pak i zakonshëm(LCM) i dy ose më shumë numrave natyrorë është numri më i vogël natyror që është në vetvete i pjesëtueshëm me secilin prej këtyre numrave.

Si të gjeni NOC

LCM mund të gjendet dhe shkruhet në dy mënyra.

Mënyra e parë për të gjetur LOC

Kjo metodë përdoret zakonisht për numra të vegjël.

1. Ne shkruajmë shumëfishat për çdo numër në një rresht derisa të gjejmë një shumëfish që është i njëjtë për të dy numrat.
2. Shumëfishi i numrit "a" shënohet me shkronjën e madhe "K".

Shembull. Gjeni LCM 6 dhe 8.

Mënyra e dytë për të gjetur LOC

Kjo metodë është e përshtatshme për t'u përdorur për të gjetur LCM për tre ose më shumë numra.

Numri i faktorëve identikë në zbërthimin e numrave mund të jetë i ndryshëm.

Ju gjithashtu mund të zyrtarizoni gjetjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCM) si më poshtë. Le të gjejmë LOC (12, 16, 24).

24 = 2 2 2 3

Siç shohim nga zbërthimi i numrave, të gjithë faktorët e 12 përfshihen në zbërthimin e 24 (më i madhi i numrave), kështu që LCM-së i shtojmë vetëm një 2 nga zbërthimi i numrit 16.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Përgjigje: LCM (12, 16, 24) = 48

Raste të veçanta të gjetjes së një NPL

Për shembull, LCM (60, 15) = 60
Meqenëse numrat e përbashkët nuk kanë faktorë të thjeshtë të përbashkët, shumëfishi i tyre më i vogël i përbashkët është i barabartë me produktin e këtyre numrave.

Në faqen tonë të internetit mund të përdorni gjithashtu një kalkulator të veçantë për të gjetur shumëfishin më pak të zakonshëm në internet për të kontrolluar llogaritjet tuaja.

Nëse një numër natyror plotpjesëtohet vetëm me 1 dhe me vetveten, atëherë ai quhet i thjeshtë.

Çdo numër natyror është gjithmonë i pjesëtueshëm me 1 dhe me vetveten.

Numri 2 është numri më i vogël i thjeshtë. Ky është i vetmi numër i thjeshtë çift, pjesa tjetër e numrave të thjeshtë janë tek.

Ka shumë numra të thjeshtë, dhe i pari prej tyre është numri 2. Megjithatë, nuk ka një numër të thjeshtë të fundit. Në seksionin "Për studim" mund të shkarkoni një tabelë me numra të thjeshtë deri në 997.

Por shumë numra natyrorë janë gjithashtu të pjesëtueshëm me numra të tjerë natyrorë.

• numri 12 pjesëtohet me 1, me 2, me 3, me 4, me 6, me 12;
• Numri 36 pjesëtohet me 1, me 2, me 3, me 4, me 6, me 12, me 18, me 36.

Numrat me të cilët numri pjesëtohet me një të tërë (për 12 këto janë 1, 2, 3, 4, 6 dhe 12) quhen pjesëtues të numrit.

Pjesëtuesi i një numri natyror a është një numër natyror që e pjesëton numrin e dhënë "a" pa mbetje.

Një numër natyror që ka më shumë se dy pjesëtues quhet i përbërë.

Ju lutemi vini re se numrat 12 dhe 36 kanë faktorë të përbashkët. Këta numra janë: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pjesëtuesi më i madh i këtyre numrave është 12.

Pjesëtuesi i përbashkët i dy numrave të dhënë "a" dhe "b" është numri me të cilin të dy numrat e dhënë "a" dhe "b" ndahen pa mbetje.

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët(GCD) i dy numrave të dhënë "a" dhe "b" është numri më i madh me të cilin të dy numrat "a" dhe "b" janë të pjesëtueshëm pa mbetje.

Shkurtimisht, pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave "a" dhe "b" shkruhet si më poshtë::

Shembull: gcd (12; 36) = 12.

Pjesëtuesit e numrave në shënimin e zgjidhjes shënohen me shkronjën e madhe "D".

Numrat 7 dhe 9 kanë vetëm një pjesëtues të përbashkët - numrin 1. Numra të tillë quhen numrat koprim.

Numrat e dyfishtë- këta janë numra natyrorë që kanë vetëm një pjesëtues të përbashkët - numrin 1. Gcd e tyre është 1.

Si të gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët

Për të gjetur gcd-në e dy ose më shumë numrave natyrorë ju nevojitet:

• të zbërthejë pjesëtuesit e numrave në faktorë të thjeshtë;

Është i përshtatshëm për të shkruar llogaritjet duke përdorur një shirit vertikal. Në të majtë të rreshtit fillimisht shkruajmë dividentin, në të djathtë - pjesëtuesin. Më pas, në kolonën e majtë shkruajmë vlerat e koeficientëve.

Le ta shpjegojmë menjëherë me një shembull. Le të faktorizojmë numrat 28 dhe 64 në faktorë të thjeshtë.

Theksojmë të njëjtët faktorë kryesorë në të dy numrat.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Gjeni produktin e faktorëve të thjeshtë identikë dhe shkruani përgjigjen;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Përgjigje: GCD (28; 64) = 4

Ju mund të zyrtarizoni vendndodhjen e GCD në dy mënyra: në një kolonë (siç është bërë më lart) ose "me një rresht".

Mënyra e parë për të shkruar gcd

Gjeni gcd 48 dhe 36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

Mënyra e dytë për të shkruar gcd

Tani le të shkruajmë zgjidhjen për kërkimin GCD në një rresht. Gjeni gcd 10 dhe 15.

Në faqen tonë të informacionit mund të përdorni gjithashtu ndihmësin online Greatest Common Divisor për të kontrolluar llogaritjet tuaja.

Gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët, metodat, shembujt e gjetjes së LCM.

Materiali i paraqitur më poshtë është një vazhdim logjik i teorisë nga artikulli me titull LCM - shumëfishi më pak i zakonshëm, përkufizimi, shembuj, lidhja midis LCM dhe GCD. Këtu do të flasim për gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCM), dhe vëmendje të veçantë do t'i kushtojmë zgjidhjes së shembujve. Së pari, ne do të tregojmë se si llogaritet LCM e dy numrave duke përdorur GCD të këtyre numrave. Më pas, do të shikojmë gjetjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët duke faktorizuar numrat në faktorë të thjeshtë. Pas kësaj, ne do të fokusohemi në gjetjen e LCM të tre ose më shumë numrave, dhe gjithashtu do t'i kushtojmë vëmendje llogaritjes së LCM të numrave negativë.

Navigimi i faqes.

Llogaritja e shumëfishit më të vogël të zakonshëm (LCM) nëpërmjet GCD

Një mënyrë për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët bazohet në marrëdhënien midis LCM dhe GCD. Lidhja ekzistuese midis LCM dhe GCD na lejon të llogarisim shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy numrave të plotë pozitivë përmes një pjesëtuesi të përbashkët më të madh të njohur. Formula përkatëse është LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Le të shohim shembuj të gjetjes së LCM duke përdorur formulën e dhënë.

Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy numrave 126 dhe 70.

Në këtë shembull a=126 , b=70 . Le të përdorim lidhjen ndërmjet LCM dhe GCD, të shprehur me formulën LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Kjo do të thotë, së pari duhet të gjejmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave 70 dhe 126, pas së cilës mund të llogarisim LCM-në e këtyre numrave duke përdorur formulën e shkruar.

Le të gjejmë GCD(126, 70) duke përdorur algoritmin Euklidian: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, pra, GCD(126, 70)=14.

Tani gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të kërkuar: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Me çfarë është e barabartë LCM(68, 34)?

Meqenëse 68 pjesëtohet me 34, atëherë GCD(68, 34)=34. Tani llogarisim shumëfishin më të vogël të përbashkët: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Vini re se shembulli i mëparshëm i përshtatet rregullit të mëposhtëm për gjetjen e LCM për numrat e plotë pozitivë a dhe b: nëse a është i pjesëtueshëm me b, atëherë shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave është a.

Gjetja e LCM duke faktorizuar numrat në faktorë të thjeshtë

Një mënyrë tjetër për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët bazohet në faktorizimin e numrave në faktorë të thjeshtë. Nëse kompozoni një produkt nga të gjithë faktorët kryesorë të numrave të dhënë, dhe më pas përjashtoni nga ky produkt të gjithë faktorët e thjeshtë të zakonshëm të pranishëm në zbërthimin e numrave të dhënë, atëherë produkti që rezulton do të jetë i barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave të dhënë. .

Rregulli i deklaruar për gjetjen e LCM rrjedh nga barazia LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Në të vërtetë, prodhimi i numrave a dhe b është i barabartë me produktin e të gjithë faktorëve të përfshirë në zgjerimin e numrave a dhe b. Nga ana tjetër, GCD(a, b) është e barabartë me produktin e të gjithë faktorëve të thjeshtë të pranishëm në të njëjtën kohë në zgjerimet e numrave a dhe b (siç përshkruhet në seksionin për gjetjen e GCD duke përdorur zgjerimin e numrave në faktorë të thjeshtë).

Le të japim një shembull. Na tregoni se 75=3·5·5 dhe 210=2·3·5·7. Të përpilojmë prodhimin nga të gjithë faktorët e këtyre zgjerimeve: 2·3·3·5·5·5·7 . Tani nga ky produkt përjashtojmë të gjithë faktorët e pranishëm si në zgjerimin e numrit 75 ashtu edhe në zgjerimin e numrit 210 (këta faktorë janë 3 dhe 5), atëherë prodhimi do të marrë formën 2·3·5·5·7. . Vlera e këtij produkti është e barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 75 dhe 210, pra LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

Faktoroni numrat 441 dhe 700 në faktorë të thjeshtë dhe gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të këtyre numrave.

Le të faktorizojmë numrat 441 dhe 700 në faktorët kryesorë:

Marrim 441=3·3·7·7 dhe 700=2·2·5·5·7.

Tani le të krijojmë një produkt nga të gjithë faktorët e përfshirë në zgjerimin e këtyre numrave: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Le të përjashtojmë nga ky produkt të gjithë faktorët që janë njëkohësisht të pranishëm në të dy zgjerimet (ka vetëm një faktor i tillë - ky është numri 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Kështu, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

NOC(441, 700)= 44 100 .

Rregulli për gjetjen e LCM duke përdorur faktorizimin e numrave në faktorë të thjeshtë mund të formulohet pak më ndryshe. Nëse faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numrit b u shtohen faktorëve nga zgjerimi i numrit a, atëherë vlera e produktit që rezulton do të jetë e barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave a dhe b.

Për shembull, le të marrim të njëjtët numra 75 dhe 210, zbërthimet e tyre në faktorë të thjeshtë janë si më poshtë: 75=3·5·5 dhe 210=2·3·5·7. Faktorëve 3, 5 dhe 5 nga zgjerimi i numrit 75 u shtojmë faktorët 2 dhe 7 që mungojnë nga zgjerimi i numrit 210, fitojmë prodhimin 2·3·5·5·7, vlera e të cilit është e barabartë me LCM(75, 210).

Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të 84 dhe 648.

Fillimisht marrim zbërthimin e numrave 84 dhe 648 në faktorë të thjeshtë. Ato duken si 84=2·2·3·7 dhe 648=2·2·2·3·3·3·3. Faktorëve 2, 2, 3 dhe 7 nga zgjerimi i numrit 84 u shtojmë faktorët që mungojnë 2, 3, 3 dhe 3 nga zgjerimi i numrit 648, fitojmë prodhimin 2 2 2 3 3 3 3 7, që është e barabartë me 4 536 . Kështu, shumëfishi më i vogël i përbashkët i dëshiruar i 84 dhe 648 është 4,536.

Gjetja e LCM-së së tre ose më shumë numrave

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i tre ose më shumë numrave mund të gjendet duke gjetur në mënyrë sekuenciale LCM-në e dy numrave. Le të kujtojmë teoremën përkatëse, e cila jep një mënyrë për të gjetur LCM të tre ose më shumë numrave.

Le të jepen numrat e plotë pozitiv a 1 , a 2 , …, a k, shumëfishi më i vogël i përbashkët m k i këtyre numrave gjendet duke llogaritur në mënyrë sekuenciale m 2 = LCM(a 1 , a 2), m 3 = LCM(m 2, a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Le të shqyrtojmë zbatimin e kësaj teoreme duke përdorur shembullin e gjetjes së shumëfishit më të vogël të përbashkët të katër numrave.

Gjeni LCM-në e katër numrave 140, 9, 54 dhe 250.

Së pari gjejmë m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . Për ta bërë këtë, duke përdorur algoritmin Euklidian, përcaktojmë GCD(140, 9), kemi 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, prandaj, GCD(140, 9)=1, nga e cila LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Kjo do të thotë, m 2 = 1 260.

Tani gjejmë m 3 = LCM(m 2, a 3) = LCM(1 260, 54). Le ta llogarisim atë përmes GCD(1 260, 54), të cilin e përcaktojmë gjithashtu duke përdorur algoritmin Euklidian: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Pastaj gcd(1,260, 54)=18, nga e cila gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Kjo është, m 3 = 3 780.

Mbetet për të gjetur m 4 = LCM(m 3, a 4) = LCM(3 780, 250). Për ta bërë këtë, gjejmë GCD(3,780, 250) duke përdorur algoritmin Euklidian: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Prandaj, GCD(3,780, 250)=10, nga e cila GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Domethënë m 4 =94.500.

Pra, shumëfishi më i vogël i përbashkët i katër numrave origjinalë është 94,500.

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500 .

Në shumë raste, është e përshtatshme të gjesh shumëfishin më të vogël të përbashkët të tre ose më shumë numrave duke përdorur faktorizimin e thjeshtë të numrave të dhënë. Në këtë rast, duhet t'i përmbaheni rregullit të mëposhtëm. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i disa numrave është i barabartë me produktin, i cili përbëhet si më poshtë: faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numrit të dytë u shtohen të gjithë faktorëve nga zgjerimi i numrit të parë, faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numri i tretë u shtohet faktorëve që rezultojnë, e kështu me radhë.

Le të shohim një shembull të gjetjes së shumëfishit më të vogël të përbashkët duke përdorur faktorizimin e thjeshtë.

Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të pesë numrave 84, 6, 48, 7, 143.

Së pari, marrim zbërthimin e këtyre numrave në faktorë të thjeshtë: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 është numër i thjeshtë, përkon me zbërthimin e tij në faktorë të thjeshtë) dhe 143=11·13.

Për të gjetur LCM-në e këtyre numrave, në faktorët e numrit të parë 84 (ata janë 2, 2, 3 dhe 7), duhet të shtoni faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numrit të dytë 6. Zbërthimi i numrit 6 nuk përmban faktorë që mungojnë, pasi edhe 2 edhe 3 janë tashmë të pranishëm në zbërthimin e numrit të parë 84. Më tej, faktorëve 2, 2, 3 dhe 7 shtojmë faktorët 2 dhe 2 që mungojnë nga zgjerimi i numrit të tretë 48, marrim një grup faktorësh 2, 2, 2, 2, 3 dhe 7. Nuk do të ketë nevojë të shtoni shumëzues në këtë grup në hapin tjetër, pasi 7 është tashmë i përfshirë në të. Së fundi, faktorëve 2, 2, 2, 2, 3 dhe 7 u shtojmë faktorët që mungojnë 11 dhe 13 nga zgjerimi i numrit 143. Marrim produktin 2·2·2·2·3·7·11·13, i cili është i barabartë me 48,048.

Prandaj, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048 .

Gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët të numrave negativë

Ndonjëherë ka detyra në të cilat ju duhet të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave, ndër të cilët një, disa ose të gjithë numrat janë negativë. Në këto raste, të gjithë numrat negativë duhet të zëvendësohen me numrat e tyre të kundërt dhe më pas duhet gjetur LCM e numrave pozitivë. Kjo është mënyra për të gjetur LCM të numrave negativë. Për shembull, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) dhe LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Ne mund ta bëjmë këtë sepse bashkësia e shumëfishave të a është e njëjtë me bashkësinë e shumëfishave të −a (a dhe −a janë numra të kundërt). Në të vërtetë, le të jetë b një shumëfish i a-së, atëherë b është i pjesëtueshëm me a, dhe koncepti i pjesëtueshmërisë deklaron ekzistencën e një numri të plotë q të tillë që b=a·q. Por do të jetë e vërtetë edhe barazia b=(−a)·(−q), e cila, për shkak të të njëjtit koncept të pjesëtueshmërisë, do të thotë se b është i pjesëtueshëm me −a, pra, b është shumëfish i −a. E kundërta është gjithashtu e vërtetë: nëse b është një shumëfish i −a, atëherë b është gjithashtu një shumëfish i a.

Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave negativë −145 dhe −45.

Le të zëvendësojmë numrat negativë −145 dhe −45 me numrat e tyre të kundërt 145 dhe 45. Kemi LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . Pasi kemi përcaktuar GCD(145, 45)=5 (për shembull, duke përdorur algoritmin Euklidian), ne llogarisim GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Kështu, shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave të plotë negativ −145 dhe −45 është 1,305.

www.cleverstudents.ru

Ne vazhdojmë të studiojmë ndarjen. NË këtë mësim do të shikojmë koncepte të tilla si GCD Dhe NOC.

GCDështë pjesëtuesi më i madh i përbashkët.

NOCështë shumëfishi më i vogël i përbashkët.

Tema është mjaft e mërzitshme, por patjetër që duhet ta kuptoni. Pa e kuptuar këtë temë, nuk do të mund të punoni efektivisht me thyesat, të cilat janë një pengesë e vërtetë në matematikë.

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët

Përkufizimi. Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave a Dhe b a Dhe b ndahet pa mbetje.

Për të kuptuar mirë këtë përkufizim, le të zëvendësojmë variablat a Dhe bçdo dy numra, për shembull, në vend të një ndryshoreje a Le të zëvendësojmë numrin 12, dhe në vend të ndryshores b numri 9. Tani le të përpiqemi të lexojmë këtë përkufizim:

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 12 Dhe 9 quhet numri më i madh me të cilin 12 Dhe 9 ndahet pa mbetje.

Nga përkufizimi është e qartë se bëhet fjalë për pjesëtuesin e përbashkët të numrave 12 dhe 9, dhe ky pjesëtues është më i madhi nga të gjithë pjesëtuesit ekzistues. Ky pjesëtues më i madh i përbashkët (GCD) duhet të gjendet.

Për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët të dy numrave, përdoren tre metoda. Metoda e parë është mjaft punë intensive, por ju lejon të kuptoni qartë thelbin e temës dhe të ndjeni kuptimin e plotë të saj.

Metodat e dyta dhe të treta janë mjaft të thjeshta dhe bëjnë të mundur gjetjen e shpejtë të një GCD. Ne do të shqyrtojmë të tre metodat. Dhe cili do të përdoret në praktikë varet nga ju që të zgjidhni.

Metoda e parë është të gjesh të gjithë pjesëtuesit e mundshëm të dy numrave dhe të zgjedhësh atë më të madhin. Le të shohim këtë metodë duke përdorur shembullin e mëposhtëm: gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave 12 dhe 9.

Së pari, do të gjejmë të gjithë pjesëtuesit e mundshëm të numrit 12. Për ta bërë këtë, ne do të ndajmë 12 me të gjithë pjesëtuesit në rangun nga 1 në 12. Nëse pjesëtuesi na lejon të ndajmë 12 pa mbetje, atëherë do ta theksojmë në blu dhe bëni një shpjegim të përshtatshëm në kllapa.

12: 1 = 12
(12 pjesëtohet me 1 pa mbetje, që do të thotë 1 është pjesëtues i numrit 12)

12: 2 = 6
(12 pjesëtohet me 2 pa mbetje, që do të thotë se 2 është pjesëtues i numrit 12)

12: 3 = 4
(12 pjesëtohet me 3 pa mbetje, që do të thotë se 3 është pjesëtues i numrit 12)

12: 4 = 3
(12 pjesëtohet me 4 pa mbetje, që do të thotë 4 është pjesëtues i numrit 12)

12: 5 = 2 (2 të mbetura)
(12 nuk pjesëtohet me 5 pa mbetje, që do të thotë se 5 nuk është pjesëtues i numrit 12)

12: 6 = 2
(12 pjesëtohet me 6 pa mbetje, që do të thotë se 6 është pjesëtues i numrit 12)

12: 7 = 1 (5 të mbetura)
(12 nuk ndahet me 7 pa mbetje, që do të thotë se 7 nuk është pjesëtues i numrit 12)

12: 8 = 1 (4 të mbetura)
(12 nuk ndahet me 8 pa mbetje, që do të thotë 8 nuk është pjesëtues i numrit 12)

12: 9 = 1 (3 të mbetura)
(12 nuk pjesëtohet me 9 pa mbetje, që do të thotë se 9 nuk është pjesëtues i numrit 12)

12: 10 = 1 (2 të mbetura)
(12 nuk pjesëtohet me 10 pa mbetje, që do të thotë se 10 nuk është pjesëtues i numrit 12)

12: 11 = 1 (1 e mbetur)
(12 nuk pjesëtohet me 11 pa mbetje, që do të thotë 11 nuk është pjesëtues i 12)

12: 12 = 1
(12 pjesëtohet me 12 pa mbetje, që do të thotë se 12 është pjesëtues i numrit 12)

Tani le të gjejmë pjesëtuesit e numrit 9. Për ta bërë këtë, kontrolloni të gjithë pjesëtuesit nga 1 në 9

9: 1 = 9
(9 pjesëtohet me 1 pa mbetje, që do të thotë se 1 është pjesëtues i numrit 9)

9: 2 = 4 (1 e mbetur)
(9 nuk ndahet me 2 pa mbetje, që do të thotë se 2 nuk është pjesëtues i numrit 9)

9: 3 = 3
(9 pjesëtohet me 3 pa mbetje, që do të thotë se 3 është pjesëtues i numrit 9)

9: 4 = 2 (1 e mbetur)
(9 nuk ndahet me 4 pa mbetje, që do të thotë se 4 nuk është pjesëtues i numrit 9)

9: 5 = 1 (4 të mbetura)
(9 nuk pjesëtohet me 5 pa mbetje, që do të thotë se 5 nuk është pjesëtues i numrit 9)

9: 6 = 1 (3 të mbetura)
(9 nuk pjesëtohet me 6 pa mbetje, që do të thotë se 6 nuk është pjesëtues i numrit 9)

9: 7 = 1 (2 të mbetura)
(9 nuk pjesëtohet me 7 pa mbetje, që do të thotë se 7 nuk është pjesëtues i numrit 9)

9: 8 = 1 (1 e mbetur)
(9 nuk pjesëtohet me 8 pa mbetje, që do të thotë se 8 nuk është pjesëtues i numrit 9)

9: 9 = 1
(9 pjesëtohet me 9 pa mbetje, që do të thotë se 9 është pjesëtues i numrit 9)

Tani le të shkruajmë pjesëtuesit e të dy numrave. Numrat e theksuar me blu janë pjesëtues. Le t'i shkruajmë ato:

Pasi të keni shkruar pjesëtuesit, mund të përcaktoni menjëherë se cili është më i madhi dhe më i zakonshmi.

Sipas përkufizimit, pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 12 dhe 9 është numri që ndan 12 dhe 9 pa mbetje. Pjesëtuesi më i madh dhe i përbashkët i numrave 12 dhe 9 është numri 3

Si numri 12 ashtu edhe numri 9 ndahen me 3 pa mbetje:

Pra, gcd (12 dhe 9) = 3

Mënyra e dytë për të gjetur GCD

Tani le të shohim metodën e dytë për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët. Thelbi i kësaj metode është zbërthimi i të dy numrave në faktorë të thjeshtë dhe shumëzimi i atyre të zakonshëm.

Shembulli 1. Gjeni gcd-në e numrave 24 dhe 18

Së pari, le të faktorizojmë të dy numrat në faktorë të thjeshtë:

Tani le të shumëzojmë faktorët e tyre të përbashkët. Për të shmangur konfuzionin, mund të theksohen faktorët e zakonshëm.

Ne shikojmë zgjerimin e numrit 24. Faktori i parë i tij është 2. Ne kërkojmë të njëjtin faktor në zgjerimin e numrit 18 dhe shohim që edhe ai është aty. Theksojmë të dyja:

Shikojmë përsëri zgjerimin e numrit 24. Faktori i dytë i tij është gjithashtu 2. Kërkojmë të njëjtin faktor në zgjerimin e numrit 18 dhe shohim që për herë të dytë nuk është më. Atëherë ne nuk theksojmë asgjë.

Dy të tjerat në zgjerimin e numrit 24 mungojnë edhe në zgjerimin e numrit 18.

Le të kalojmë te faktori i fundit në zgjerimin e numrit 24. Ky është faktori 3. Ne kërkojmë të njëjtin faktor në zgjerimin e numrit 18 dhe shohim se edhe ai është aty. Theksojmë të dyja të treja:

Pra, faktorët e përbashkët të numrave 24 dhe 18 janë faktorët 2 dhe 3. Për të marrë GCD, këta faktorë duhet të shumëzohen:

Pra gcd (24 dhe 18) = 6

Mënyra e tretë për të gjetur GCD

Tani le të shohim mënyrën e tretë për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët. Thelbi i kësaj metode është se numrat që do të gjenden për pjesëtuesin më të madh të përbashkët zbërthehen në faktorë të thjeshtë. Më pas, nga zgjerimi i numrit të parë, kalohen faktorë që nuk përfshihen në zgjerimin e numrit të dytë. Numrat e mbetur në zgjerimin e parë shumëzohen dhe fitohen GCD.

Për shembull, le të gjejmë GCD për numrat 28 dhe 16 duke përdorur këtë metodë. Para së gjithash, ne i zbërthejmë këta numra në faktorët kryesorë:

Ne morëm dy zgjerime: dhe

Tani nga zbërthimi i numrit të parë do të fshijmë faktorët që nuk përfshihen në zbërthimin e numrit të dytë. Zgjerimi i numrit të dytë nuk përfshin shtatë. Le ta kalojmë atë nga zgjerimi i parë:

Tani ne shumëzojmë faktorët e mbetur dhe marrim GCD:

Numri 4 është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 28 dhe 16. Të dy këta numra janë të pjesëtueshëm me 4 pa mbetje:

Shembulli 2. Gjeni gcd-në e numrave 100 dhe 40

Faktorizimi i numrit 100

Faktorimi i numrit 40

Kemi dy zgjerime:

Tani nga zbërthimi i numrit të parë do të fshijmë faktorët që nuk përfshihen në zbërthimin e numrit të dytë. Zgjerimi i numrit të dytë nuk përfshin një pesë (ka vetëm një pesë). Le ta kalojmë atë nga zgjerimi i parë

Le të shumëzojmë numrat e mbetur:

Morëm përgjigjen 20. Kjo do të thotë se numri 20 është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 100 dhe 40. Këta dy numra pjesëtohen me 20 pa mbetje:

GCD (100 dhe 40) = 20.

Shembulli 3. Gjeni gcd-në e numrave 72 dhe 128

Faktorimi i numrit 72

Duke faktorizuar numrin 128

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Tani nga zbërthimi i numrit të parë do të fshijmë faktorët që nuk përfshihen në zbërthimin e numrit të dytë. Zgjerimi i numrit të dytë nuk përfshin dy treshe (ata nuk janë fare aty). Le t'i kalojmë ato nga zgjerimi i parë:

Morëm përgjigjen 8. Kjo do të thotë se numri 8 është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 72 dhe 128. Këta dy numra pjesëtohen me 8 pa mbetje:

GCD (72 dhe 128) = 8

Gjetja e GCD për disa numra

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët mund të gjendet për disa numra, jo vetëm për dy. Për ta bërë këtë, numrat që do të gjenden për pjesëtuesin më të madh të përbashkët zbërthehen në faktorë të thjeshtë, pastaj gjendet prodhimi i faktorëve të thjeshtë të përbashkët të këtyre numrave.

Për shembull, le të gjejmë GCD për numrat 18, 24 dhe 36

Le të faktorizojmë numrin 18

Le të faktorizojmë numrin 24

Le të faktorizojmë numrin 36

Ne morëm tre zgjerime:

Tani le të theksojmë dhe nënvizojmë faktorët e përbashkët në këto numra. Faktorët e përbashkët duhet të shfaqen në të tre numrat:

Shohim se faktorët e përbashkët për numrat 18, 24 dhe 36 janë faktorët 2 dhe 3. Duke shumëzuar këta faktorë, marrim gcd që kërkojmë:

Morëm përgjigjen 6. Kjo do të thotë se numri 6 është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 18, 24 dhe 36. Këta tre numra pjesëtohen me 6 pa mbetje:

GCD (18, 24 dhe 36) = 6

Shembulli 2. Gjeni GCD për numrat 12, 24, 36 dhe 42

Le të faktorizojmë çdo numër në faktorë të thjeshtë. Pastaj gjejmë prodhimin e faktorëve të përbashkët të këtyre numrave.

Faktoroni numrin 12

Le të faktorizojmë numrin 42

Ne morëm katër zgjerime:

Tani le të theksojmë dhe nënvizojmë faktorët e përbashkët në këto numra. Faktorët e përbashkët duhet të shfaqen në të katër numrat:

Shohim që faktorët e përbashkët për numrat 12, 24, 36 dhe 42 janë faktorët e 2 dhe 3. Shumëzimi i këtyre faktorëve së bashku na jep gcd-në që kërkojmë:

Morëm përgjigjen 6. Kjo do të thotë se numri 6 është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 12, 24, 36 dhe 42. Këta numra pjesëtohen me 6 pa mbetje:

GCD (12, 24, 36 dhe 42) = 6

Nga mësimi i mëparshëm e dimë se nëse një numër pjesëtohet me një tjetër pa mbetje, ai quhet shumëfish i këtij numri.

Rezulton se disa numra mund të kenë një shumëfish të përbashkët. Dhe tani do të na interesojë shumëfishi i dy numrave, dhe ai duhet të jetë sa më i vogël që të jetë e mundur.

Përkufizimi. Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) i numrave a Dhe b- a Dhe b a dhe numri b.

Përkufizimi përmban dy variabla a Dhe b. Le të zëvendësojmë çdo dy numra në vend të këtyre variablave. Për shembull, në vend të një ndryshoreje a Le të zëvendësojmë numrin 9, dhe në vend të ndryshores b Le të zëvendësojmë numrin 12. Tani le të përpiqemi të lexojmë përkufizimin:

Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) i numrave 9 Dhe 12 - Kjo numri më i vogël, që është shumëfish 9 Dhe 12 . Me fjalë të tjera, ky është një numër kaq i vogël që pjesëtohet pa mbetje me numrin 9 dhe sipas numrit 12 .

Nga përkufizimi është e qartë se LCM është numri më i vogël që pjesëtohet me 9 dhe 12 pa mbetje.

Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM), mund të përdorni dy metoda. Mënyra e parë është që ju mund të shkruani shumëfishat e parë të dy numrave dhe më pas të zgjidhni midis këtyre shumëfishave një numër që do të jetë i përbashkët për të dy numrat dhe i vogël. Le të përdorim këtë metodë.

Para së gjithash, le të gjejmë shumëfishat e parë të numrit 9. Për të gjetur shumëfishat e 9, duhet ta shumëzoni këtë nëntë një nga një me numrat nga 1 në 9. Përgjigjet që rezultojnë do të jenë shumëfisha të numrit 9. Pra, le të fillojmë. Ne do të theksojmë shumëfishat me të kuqe:

Tani gjejmë shumëfishat e numrit 12. Për ta bërë këtë, ne shumëzojmë 12 një nga një me të gjithë numrat 1 deri në 12.