është një poliedron që formohet nga baza e piramidës dhe një seksion paralel me të. Mund të themi se një piramidë e cunguar është një piramidë me pjesën e sipërme të prerë. Kjo shifër ka shumë veti unike:

• Faqet anësore të piramidës janë trapezoide;
• Skajet anësore të një piramide të rregullt të cunguar janë me të njëjtën gjatësi dhe të prirur nga baza në të njëjtin kënd;
• Bazat janë shumëkëndësha të ngjashëm;
• Në një piramidë të rregullt të cunguar, fytyrat janë trapezoide identike izoscele, sipërfaqja e së cilës është e barabartë. Ata janë gjithashtu të prirur drejt bazës në një kënd.

Formula për sipërfaqen anësore të një piramide të cunguar është shuma e sipërfaqeve të anëve të saj:

Meqenëse anët e një piramide të cunguar janë trapezoide, për të llogaritur parametrat do të duhet të përdorni formulën zona trapezoide. Për një piramidë të rregullt të cunguar, mund të aplikoni një formulë të ndryshme për llogaritjen e zonës. Meqenëse të gjitha anët, faqet dhe këndet e saj në bazë janë të barabarta, është e mundur të zbatohen perimetrat e bazës dhe të apotemës, si dhe të nxirret zona përmes këndit në bazë.

Nëse, sipas kushteve në një piramidë të prerë të rregullt, jepet apotema (lartësia e anës) dhe gjatësitë e brinjëve të bazës, atëherë sipërfaqja mund të llogaritet përmes gjysmëproduktit të shumës së perimetrave të bazat dhe apotema:

Le të shohim një shembull të llogaritjes së sipërfaqes anësore të një piramide të cunguar.
Jepet një piramidë e rregullt pesëkëndore. Apotemë l= 5 cm, gjatësia e skajit në bazën e madhe është a= 6 cm, dhe buza është në bazën më të vogël b= 4 cm Llogaritni sipërfaqen e piramidës së cunguar.

Së pari, le të gjejmë perimetrat e bazave. Meqenëse na është dhënë një piramidë pesëkëndëshe, kuptojmë se bazat janë pesëkëndëshe. Kjo do të thotë se bazat përmbajnë një figurë me pesë anët identike. Le të gjejmë perimetrin e bazës më të madhe:

Në të njëjtën mënyrë gjejmë perimetrin e bazës më të vogël:

Tani mund të llogarisim sipërfaqen e një piramide të rregullt të cunguar. Zëvendësoni të dhënat në formulën:

Kështu, ne llogaritëm sipërfaqen e një piramide të rregullt të cunguar përmes perimetrit dhe apotemës.

Një mënyrë tjetër për të llogaritur sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt është formula përmes këndeve në bazë dhe zonës së këtyre bazave.

Le të shohim një shembull të llogaritjes. Mos harroni se kjo formulë vlen vetëm për një piramidë të rregullt të cunguar.

Le të jepet një piramidë e rregullt katërkëndore. Buza e bazës së poshtme është a = 6 cm, dhe buza e bazës së sipërme është b = 4 cm. Këndi dihedral në bazë është β = 60°. Gjeni sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt të cunguar.

Së pari, le të llogarisim sipërfaqen e bazave. Meqenëse piramida është e rregullt, të gjitha skajet e bazave janë të barabarta me njëra-tjetrën. Duke marrë parasysh që baza është një katërkëndësh, kuptojmë se do të jetë e nevojshme të llogaritet zona e sheshit. Është prodhimi i gjerësisë dhe gjatësisë, por në katror këto vlera janë të njëjta. Le të gjejmë sipërfaqen e bazës më të madhe:


Tani ne përdorim vlerat e gjetura për të llogaritur sipërfaqen anësore.

Duke ditur disa formula të thjeshta, ne llogaritëm lehtësisht sipërfaqen e trapezoidit anësor të një piramide të cunguar duke përdorur vlera të ndryshme.

Aftësia për të llogaritur vëllimin e figurave hapësinore është e rëndësishme kur zgjidhen një sërë problemesh praktike në gjeometri. Një nga figurat më të zakonshme është piramida. Në këtë artikull do të shqyrtojmë si piramidat e plota ashtu edhe ato të cunguara.

Piramida si një figurë tredimensionale

Të gjithë e dinë për piramidat egjiptiane, kështu që ata kanë një ide të mirë se për çfarë lloj figure do të flasim. Sidoqoftë, strukturat e gurit egjiptian janë vetëm një rast i veçantë i një klase të madhe piramidash.

Objekti gjeometrik në shqyrtim në rastin e përgjithshëm është një bazë poligonale, çdo kulm i së cilës lidhet me një pikë të caktuar në hapësirë ​​që nuk i përket rrafshit të bazës. Ky përkufizim rezulton në një figurë të përbërë nga një n-këndësh dhe n trekëndësh.

Çdo piramidë përbëhet nga n+1 faqe, 2*n skaje dhe n+1 kulme. Meqenëse figura në fjalë është një shumëfaqësh i përsosur, numrat e elementeve të shënuar i binden barazisë së Euler-it:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Shumëkëndëshi i vendosur në bazë jep emrin e piramidës, për shembull, trekëndësh, pesëkëndësh, etj. Një grup piramidash me baza të ndryshme është paraqitur në foton më poshtë.

Pika në të cilën lidhen n trekëndësha të një figure quhet kulm i piramidës. Nëse një pingul ulet prej tij në bazë dhe e kryqëzon atë në qendrën gjeometrike, atëherë një figurë e tillë do të quhet një vijë e drejtë. Nëse ky kusht nuk plotësohet, atëherë ndodh një piramidë e prirur.

Një figurë e drejtë, baza e së cilës është formuar nga një kënd barabrinjës (barakëndësh) n quhet i rregullt.

Formula për vëllimin e një piramide

Për të llogaritur vëllimin e piramidës, do të përdorim llogaritjen integrale. Për ta bërë këtë, ne e ndajmë figurën duke prerë aeroplanët paralel me bazën në një numër të pafund shtresash të holla. Figura më poshtë tregon një piramidë katërkëndëshe me lartësi h dhe gjatësi anësore L, në të cilën shtresa e hollë e seksionit është shënuar me një katërkëndësh.

Sipërfaqja e secilës shtresë të tillë mund të llogaritet duke përdorur formulën:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Këtu A 0 është zona e bazës, z është vlera e koordinatës vertikale. Mund të shihet se nëse z = 0, atëherë formula jep vlerën A 0 .

Për të marrë formulën për vëllimin e një piramide, duhet të llogarisni integralin në të gjithë lartësinë e figurës, domethënë:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Duke zëvendësuar varësinë A(z) dhe duke llogaritur antiderivativin, arrijmë në shprehjen:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.

Ne kemi marrë formulën për vëllimin e një piramide. Për të gjetur vlerën e V, mjafton të shumëzoni lartësinë e figurës me sipërfaqen e bazës dhe pastaj ndani rezultatin me tre.

Vini re se shprehja që rezulton është e vlefshme për llogaritjen e vëllimit të një piramide të një lloji arbitrar. Kjo do të thotë, mund të jetë i prirur, dhe baza e tij mund të jetë një n-gon arbitrar.

dhe vëllimi i tij

Marrë në paragrafin e mësipërm formulë e përgjithshme për vëllimin mund të sqarohet në rastin e një piramide me bazën e duhur. Zona e një baze të tillë llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Këtu L është gjatësia anësore e një shumëkëndëshi të rregullt me ​​n kulme. Simboli pi është numri pi.

Duke zëvendësuar shprehjen për A 0 në formulën e përgjithshme, marrim vëllimin e një piramide të rregullt:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Për shembull, për një piramidë trekëndore, kjo formulë rezulton në shprehjen e mëposhtme:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

Për një piramidë të rregullt katërkëndore, formula e vëllimit merr formën:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.

Përcaktimi i vëllimeve të piramidave të rregullta kërkon njohuri për anën e bazës së tyre dhe lartësinë e figurës.

Piramida e cunguar

Le të supozojmë se kemi marrë një piramidë arbitrare dhe kemi prerë një pjesë të sipërfaqes së saj anësore që përmban kulmin. Figura e mbetur quhet një piramidë e cunguar. Ai tashmë përbëhet nga dy baza n-gonale dhe n trapezoide që i lidhin ato. Nëse rrafshi i prerjes ishte paralel me bazën e figurës, atëherë formohet një piramidë e cunguar me baza të ngjashme paralele. Domethënë, gjatësitë e brinjëve të njërës prej tyre mund të merren duke shumëzuar gjatësitë e tjetrës me një koeficient të caktuar k.

Figura e mësipërme tregon një të rregullt të cunguar. Mund të shihet se baza e saj e sipërme, si ajo e poshtme, është e formuar nga një gjashtëkëndësh i rregullt.

Formula që mund të nxirret duke përdorur llogaritjen integrale të ngjashme me atë të mësipërme është:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Ku A 0 dhe A 1 janë respektivisht zonat e bazave të poshtme (të mëdha) dhe të sipërme (të vogla). Ndryshorja h tregon lartësinë e piramidës së cunguar.

Vëllimi i piramidës së Keopsit

Është interesante të zgjidhet problemi i përcaktimit të vëllimit që përmban brenda vetes piramida më e madhe egjiptiane.

Në vitin 1984, egjiptologët britanikë Mark Lehner dhe Jon Goodman vendosën përmasat e sakta të piramidës së Keopsit. Lartësia e saj fillestare ishte 146.50 metra (aktualisht rreth 137 metra). Gjatësia mesatare e secilës nga katër anët e strukturës ishte 230.363 metra. Baza e piramidës është katrore me saktësi të lartë.

Le të përdorim figurat e dhëna për të përcaktuar vëllimin e këtij gjiganti prej guri. Meqenëse piramida është katërkëndore e rregullt, atëherë formula është e vlefshme për të:

Duke zëvendësuar numrat, marrim:

V 4 = 1/3*(230.363) 2 *146.5 ≈ 2591444 m 3.

Vëllimi i piramidës së Keopsit është pothuajse 2.6 milion m3. Për krahasim, vërejmë se pishina olimpike ka një vëllim prej 2.5 mijë m 3. Domethënë, për të mbushur të gjithë piramidën e Keopsit do t'ju duhen më shumë se 1000 pishina të tilla!

• 29.05.2016

  Një qark oscilues është një qark elektrik që përmban një induktor, një kondensator dhe një burim të energjisë elektrike. Kur elementët e qarkut lidhen në seri, qarku oscilues quhet serial, dhe kur lidhet paralelisht quhet paralel. Qarku oscilues - sistemi më i thjeshtë, në të cilin mund të ndodhin lëkundje të lira elektromagnetike. Frekuenca rezonante e qarkut përcaktohet nga e ashtuquajtura formulë Thomson: ƒ = 1/(2π√(LC)) Për ...

• 20.09.2014

  Marrësi është projektuar për të marrë sinjale në intervalin DV (150 kHz…300 kHz). Karakteristika kryesore marrës në një antenë që ka induktivitet më të madh se një antenë magnetike konvencionale. Kjo bën të mundur përdorimin e kapacitetit të kondensatorit akordues në rangun prej 4...20 pF, dhe gjithashtu një marrës i tillë ka ndjeshmëri të pranueshme dhe një fitim të lehtë në rrugën RF. Marrësi punon për kufje (kufje), ka energji elektrike...

• 24.09.2014

  Kjo pajisje është projektuar për të monitoruar nivelin e lëngut në rezervuarë, sapo lëngu të rritet në një nivel të caktuar, pajisja do të fillojë të lëshojë një sinjal të vazhdueshëm zanor kur niveli i lëngut të arrijë një nivel kritik; sinjal i ndërprerë. Treguesi përbëhet nga 2 gjeneratorë, ata kontrollohen nga elementi sensor E. Vendoset në rezervuar në një nivel deri në ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 është një kohëmatës dixhital me shumë programe i krijuar për të punuar me treguesin ILC3-5\7. Ai siguron numërimin dhe shfaqjen e kohës aktuale në orë dhe minuta, ditën e javës dhe numrin e kanalit të kontrollit (9 alarme). Qarku i orës së alarmit është paraqitur në figurë. Mikroqarku është i akorduar. rezonatori Q1 në 32768Hz. ushqimi është negativ, plusi total shkon në...

Piramida. Piramida e cunguar

Piramidaështë një poliedron, njëra nga fytyrat e të cilit është një shumëkëndësh ( bazë ), dhe të gjitha fytyrat e tjera janë trekëndësha me një kulm të përbashkët ( fytyrat anësore ) (Fig. 15). Piramida quhet korrekte , nëse baza e saj është një shumëkëndësh i rregullt dhe maja e piramidës është projektuar në qendër të bazës (Fig. 16). Quhet një piramidë trekëndore me të gjitha skajet e barabarta katërkëndësh .

Brinjë anësore e një piramide është ana e faqes anësore që nuk i përket bazës Lartësia piramida është distanca nga maja e saj në rrafshin e bazës. Të gjitha skajet anësore të një piramide të rregullt janë të barabarta me njëra-tjetrën, të gjitha faqet anësore janë trekëndësha të barabartë izosceles. Lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt të nxjerrë nga kulmi quhet apotemë . Seksioni diagonal quhet një seksion i një piramide nga një rrafsh që kalon nëpër dy skaje anësore që nuk i përkasin të njëjtës faqe.

Sipërfaqja anësore piramida është shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore. Sipërfaqja totale quhet shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore dhe bazës.

Teorema

1. Nëse në një piramidë të gjitha skajet anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të rrethit të rrethuar pranë bazës.

2. Nëse në një piramidë të gjitha skajet anësore kanë gjatësi të barabarta, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të një rrethi të rrethuar afër bazës.

3. Nëse të gjitha faqet e një piramide janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të një rrethi të gdhendur në bazë.

Për të llogaritur vëllimin e një piramide arbitrare, formula e saktë është:

Ku V- vëllimi;

Baza S- zona e bazës;

H- lartësia e piramidës.

Për një piramidë të rregullt, formulat e mëposhtme janë të sakta:

Ku fq– perimetri i bazës;

h a– apotemë;

H- lartësia;

S plot

Ana S

Baza S- zona e bazës;

V– vëllimi i një piramide të rregullt.

Piramida e cunguar quhet pjesa e piramidës e mbyllur midis bazës dhe një rrafshi prerës paralel me bazën e piramidës (Fig. 17). Piramida e rregullt e cunguar është pjesa e një piramide të rregullt e mbyllur midis bazës dhe një rrafshi prerës paralel me bazën e piramidës.

Arsyet piramida e cunguar - shumëkëndësha të ngjashëm. Fytyrat anësore – trapezoide. Lartësia e një piramide të cunguar është distanca midis bazave të saj. Diagonale një piramidë e cunguar është një segment që lidh kulmet e saj që nuk shtrihen në të njëjtën faqe. Seksioni diagonal është një seksion i një piramide të cunguar nga një rrafsh që kalon nëpër dy skaje anësore që nuk i përkasin të njëjtës faqe.

Për një piramidë të cunguar janë të vlefshme formulat e mëposhtme:

(4)

Ku S 1 , S 2 – zonat e bazave të sipërme dhe të poshtme;

S plot- sipërfaqja totale;

Ana S- sipërfaqja anësore;

H- lartësia;

V– vëllimi i një piramide të cunguar.

Për një piramidë të rregullt të cunguar, formula është e saktë:

Ku fq 1 , fq 2 – perimetrat e bazave;

h a– apotema e një piramide të rregullt të cunguar.

Shembulli 1. Në një piramidë të rregullt trekëndore, këndi dihedral në bazë është 60º. Gjeni tangjenten e këndit të prirjes së skajit anësor me rrafshin e bazës.

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 18).

Piramida është e rregullt, që do të thotë se në bazë ka një trekëndësh barabrinjës dhe të gjitha faqet anësore janë trekëndësha të barabartë dykëndësh. Këndi dihedral në bazë është këndi i prirjes së faqes anësore të piramidës ndaj rrafshit të bazës. Këndi linear është këndi a ndërmjet dy pingulave: etj. Maja e piramidës është projektuar në qendër të trekëndëshit (qendra e rrethit dhe rrethi i brendashkruar i trekëndëshit ABC). Këndi i prirjes së skajit anësor (për shembull S.B.) është këndi midis vetë skajit dhe projeksionit të tij në rrafshin e bazës. Për brinjën S.B. ky kënd do të jetë këndi SBD. Për të gjetur tangjenten duhet të njihni këmbët SO Dhe O.B.. Lëreni gjatësinë e segmentit BDështë e barabartë me 3 A. Pika RRETH segment BD ndahet në pjesë: dhe Nga gjejmë SO: Nga gjejmë:

Përgjigje:

Shembulli 2. Gjeni vëllimin e një piramide të rregullt katërkëndore të cunguar nëse diagonalet e bazave të saj janë të barabarta me cm dhe cm, dhe lartësia e saj është 4 cm.

Zgjidhje. Për të gjetur vëllimin e një piramide të cunguar, ne përdorim formulën (4). Për të gjetur sipërfaqen e bazave, duhet të gjeni anët e katrorëve bazë, duke ditur diagonalet e tyre. Anët e bazave janë përkatësisht të barabarta me 2 cm dhe 8 cm, kjo do të thotë se zonat e bazave dhe duke zëvendësuar të gjitha të dhënat në formulë, ne llogarisim vëllimin e piramidës së cunguar.

Përgjigje: 112 cm 3.

Shembulli 3. Gjeni sipërfaqen e faqes anësore të një piramide të rregullt trekëndore të cunguar, anët e bazave të së cilës janë 10 cm dhe 4 cm, dhe lartësia e piramidës është 2 cm.

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 19).

Faqja anësore e kësaj piramide është një trapezoid isosceles. Për të llogaritur sipërfaqen e një trapezi, duhet të dini bazën dhe lartësinë. Bazat jepen sipas kushtit, nuk dihet vetem lartesia. Ne do ta gjejmë atë nga A 1 E pingul nga një pikë A 1 në rrafshin e bazës së poshtme, A 1 D– pingul nga A 1 për AC. A 1 E= 2 cm, pasi kjo është lartësia e piramidës. Për të gjetur DE Le të bëjmë një vizatim shtesë që tregon pamjen e sipërme (Fig. 20). Pika RRETH– projeksioni i qendrave të bazave të sipërme dhe të poshtme. pasi (shih Fig. 20) dhe Nga ana tjetër OK– rrezja e gdhendur në rreth dhe OM- rrezja e gdhendur në një rreth:

MK = DE.

Sipas teoremës së Pitagorës nga

Zona anësore e fytyrës:

Përgjigje:

Shembulli 4. Në bazën e piramidës shtrihet një trapez izoscelular, bazat e të cilit A Dhe b (a> b). Çdo faqe anësore formon një kënd të barabartë me rrafshin e bazës së piramidës j. Gjeni sipërfaqen totale të piramidës.

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 21). Sipërfaqja totale e piramidës SABCD e barabartë me shumën e sipërfaqeve dhe sipërfaqes së trapezit ABCD.

Le të përdorim pohimin se nëse të gjitha faqet e piramidës janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës, atëherë kulmi projektohet në qendër të rrethit të gdhendur në bazë. Pika RRETH– projeksioni i kulmit S në bazën e piramidës. Trekëndëshi SODështë projeksioni ortogonal i trekëndëshit CSD në rrafshin e bazës. Duke përdorur teoremën mbi sipërfaqen e projeksionit ortogonal të një figure të rrafshët, marrim:

Po kështu do të thotë Kështu, problemi u reduktua në gjetjen e zonës së trapezit ABCD. Le të vizatojmë një trapezoid ABCD veçmas (Fig. 22). Pika RRETH– qendra e një rrethi të gdhendur në një trapez.

Meqenëse një rreth mund të futet në një trapez, atëherë ose nga teorema e Pitagorës kemi

Një shumëkëndësh në të cilin njëra nga faqet e tij është një shumëkëndësh dhe të gjitha faqet e tjera janë trekëndësha me një kulm të përbashkët, quhet piramidë.

Këta trekëndësha që përbëjnë piramidën quhen fytyrat anësore, dhe shumëkëndëshi i mbetur është bazë piramidat.

Në bazën e piramidës shtrihet figura gjeometrike– n-gon. Në këtë rast quhet edhe piramida n-karbon.

Quhet një piramidë trekëndore, skajet e së cilës janë të gjitha të barabarta katërkëndësh.

Skajet e piramidës që nuk i përkasin bazës quhen anësore, dhe pika e tyre e përbashkët është kulm piramidat. Skajet e tjera të piramidës zakonisht quhen palët në bazë.

Piramida quhet korrekte, nëse ka një shumëkëndësh të rregullt në bazën e tij dhe të gjitha skajet anësore janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Distanca nga maja e piramidës deri në rrafshin e bazës quhet lartësia piramidat. Mund të themi se lartësia e piramidës është një segment pingul me bazën, skajet e të cilit janë në majë të piramidës dhe në rrafshin e bazës.

Për çdo piramidë zbatohen formulat e mëposhtme:

1) S e plotë = ana S + S kryesore, Ku

S total - sipërfaqja totale e piramidës;

Ana S - zona e sipërfaqes anësore, d.m.th. shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore të piramidës;

S kryesore - zona e bazës së piramidës.

2) V = 1/3 S baza N, Ku

V – vëllimi i piramidës;

H - lartësia e piramidës.

Për piramida e rregullt zhvillohet:

Ana S = 1/2 P h kryesore, Ku

P kryesore – perimetri i bazës së piramidës;

h është gjatësia e apotemës, domethënë gjatësia e lartësisë së faqes anësore të ulur nga maja e piramidës.

Pjesa e piramidës e mbyllur midis dy rrafsheve - rrafshi i bazës dhe rrafshi i prerjes paralel me bazën quhet piramidë e cunguar.

Baza e piramidës dhe seksioni i piramidës me një rrafsh paralel quhen arsyet piramidë e cunguar. Fytyrat e mbetura quhen anësore. Distanca ndërmjet rrafsheve të bazave quhet lartësia piramidë e cunguar. Skajet që nuk i përkasin bazave quhen anësore.

Përveç kësaj, baza e piramidës së cunguar n-gone të ngjashme. Nëse bazat e një piramide të cunguar janë shumëkëndësha të rregullt dhe të gjitha skajet anësore janë të barabarta me njëra-tjetrën, atëherë një piramidë e tillë e cunguar quhet korrekte.

Për piramidë e cunguar arbitrare zbatohen formulat e mëposhtme:

1) S e plotë = ana S + S 1 + S 2, Ku

S total – sipërfaqja totale;

Ana S - zona e sipërfaqes anësore, d.m.th. shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore të një piramide të cunguar, të cilat janë trapezoide;

S 1, S 2 - zonat bazë;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H, Ku

V është vëllimi i piramidës së cunguar;

H – lartësia e piramidës së cunguar.

Për piramida e rregullt e cunguar kemi gjithashtu:

Ana S = 1/2 (P 1 + P 2) h, Ku

P 1, P 2 – perimetrat e bazave;

h – apotemë (lartësia e faqes anësore, që është trapez).

Le të shqyrtojmë disa probleme që përfshijnë një piramidë të cunguar.

Detyra 1.

Në një piramidë të cunguar trekëndore me lartësi të barabartë me 10, anët e njërës prej bazave janë 27, 29 dhe 52. Përcaktoni vëllimin e piramidës së cunguar nëse perimetri i bazës tjetër është 72.

Zgjidhje.

Konsideroni piramidën e cunguar ABCA 1 B 1 C 1 të paraqitur në Figura 1.

1. Vëllimi i një piramide të cunguar mund të gjendet duke përdorur formulën

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), ku S 1 është sipërfaqja e njërës prej bazave, mund të gjendet duke përdorur formulën e Heronit

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

sepse Problemi jep gjatësitë e tre brinjëve të një trekëndëshi.

Kemi: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270.

2. Piramida është e cunguar, që do të thotë se poligone të ngjashëm shtrihen në baza. Në rastin tonë, trekëndëshi ABC është i ngjashëm me trekëndëshin A 1 B 1 C 1. Përveç kësaj, koeficienti i ngjashmërisë mund të gjendet si raport i perimetrave të trekëndëshave në shqyrtim, dhe raporti i sipërfaqeve të tyre do të jetë i barabartë me katrorin e koeficientit të ngjashmërisë. Kështu kemi:

S 1 /S 2 = (P 1) 2 /(P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. Prandaj S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120.

Pra, V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Përgjigje: 1900.

Detyra 2.

Në një piramidë të cunguar trekëndore, një rrafsh tërhiqet përmes anës së bazës së sipërme paralele me skajin e kundërt. Në çfarë raporti ndahet vëllimi i një piramide të cunguar nëse anët përkatëse të bazave janë në raportin 1:2?

Zgjidhje.

Konsideroni ABCA 1 B 1 C 1 - një piramidë e cunguar e paraqitur në oriz. 2.

Meqenëse brinjët në bazat janë në raportin 1:2, sipërfaqet e bazave janë në raportin 1:4 (trekëndëshi ABC është i ngjashëm me trekëndëshin A 1 B 1 C 1).

Atëherë vëllimi i piramidës së cunguar është:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, ku S 2 - zona e bazës së sipërme, h - lartësia.

Por vëllimi i prizmit ADEA 1 B 1 C 1 është V 1 = S 2 h dhe, për rrjedhojë,

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.

Pra, V 2: V 1 = 3: 4.

Përgjigje: 3:4.

Detyra 3.

Anët e bazave të një piramide të rregullt katërkëndore të cunguar janë të barabarta me 2 dhe 1, dhe lartësia është 3. Një rrafsh vizatohet përmes pikës së kryqëzimit të diagonaleve të piramidës, paralel me bazat e piramidës, duke e ndarë piramidën. në dy pjesë. Gjeni vëllimin e secilit prej tyre.

Zgjidhje.

Konsideroni piramidën e cunguar ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 të paraqitur në oriz. 3.

Le të shënojmë O 1 O 2 = x, pastaj OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.

Konsideroni trekëndëshin B 1 O 2 D 1 dhe trekëndëshin BO 2 D:

këndi B 1 O 2 D 1 është i barabartë me këndin BO 2 D si vertikal;

këndi BDO 2 është i barabartë me këndin D 1 B 1 O 2 dhe këndi O 2 ВD është i barabartë me këndin B 1 D 1 O 2 i shtrirë në mënyrë tërthore në B 1 D 1 || BD dhe sekantet B1D dhe BD1, respektivisht.

Prandaj, trekëndëshi B 1 O 2 D 1 është i ngjashëm me trekëndëshin BO 2 D dhe raporti anësor është:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 ose 1/2 = x/(x – 3), prej nga x = 1.

Konsideroni trekëndëshin B 1 D 1 B dhe trekëndëshin LO 2 B: këndi B është i përbashkët, dhe ka gjithashtu një çift këndesh të njëanshme në B 1 D 1 || LM, që do të thotë se trekëndëshi B 1 D 1 B është i ngjashëm me trekëndëshin LO 2 B, nga i cili B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, d.m.th.

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Atëherë S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Pra, V 1 = 1/3 · 2 (4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Përgjigje: 152/27; 37/27.

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.