Thyesat janë të zakonshme dhe dhjetore. Kur një student mëson për ekzistencën e kësaj të fundit, ai fillon të shndërrojë gjithçka që është e mundur në formë dhjetore në çdo rast, edhe nëse kjo nuk kërkohet.

Mjaft e çuditshme, preferencat ndryshojnë midis nxënësve të shkollave të mesme dhe të kolegjit, sepse është më e lehtë të kryhen shumë veprime aritmetike me thyesat e zakonshme. Dhe ndonjëherë është thjesht e pamundur të konvertohen vlerat me të cilat merren të diplomuarit në formë dhjetore pa humbje. Si rezultat, të dy llojet e fraksioneve rezultojnë të jenë, në një mënyrë apo tjetër, të përshtatur me detyrën dhe kanë avantazhet dhe disavantazhet e tyre. Le të shohim se si të punojmë me ta.

Përkufizimi

Fraksionet janë të njëjta me aksionet. Nëse ka dhjetë segmente në një portokall, dhe ju jepet një, atëherë keni 1/10 e frutave në dorë. Kur shkruhet si në fjalinë e mëparshme, thyesa do të quhet thyesë e zakonshme. Nëse shkruani të njëjtën gjë si 0.1 - dhjetore. Të dyja opsionet janë të barabarta, por kanë avantazhet e tyre. Opsioni i parë është më i përshtatshëm për shumëzim dhe pjesëtim, i dyti për mbledhje, zbritje dhe në një numër rastesh të tjera.

Si të konvertohet një thyesë në një formë tjetër

Le të themi se keni një thyesë dhe dëshironi ta shndërroni atë në një dhjetore. Çfarë duhet bërë për këtë?

Nga rruga, duhet të vendosni paraprakisht që jo çdo numër mund të shkruhet në formë dhjetore pa probleme. Ndonjëherë ju duhet të rrumbullakoni rezultatin, duke humbur një numër të caktuar të numrave dhjetorë, dhe në shumë fusha - për shembull, në shkencat e sakta - ky është një luks krejtësisht i papërballueshëm. Në të njëjtën kohë, operacionet me dhjetore dhe thyesa të zakonshme në klasën e 5-të bëjnë të mundur kryerjen e një transferimi të tillë nga një lloj në tjetrin pa ndërhyrje, të paktën si trajnim.

Nëse një vlerë që është shumëfish i 10-ës mund të merret nga emëruesi duke shumëzuar ose pjesëtuar me një numër të plotë, përkthimi do të vazhdojë pa asnjë vështirësi: ¾ kthehet në 0,75, 13/20 në 0,65.

Procedura e kundërt është edhe më e thjeshtë, pasi gjithmonë mund të merrni një fraksion të zakonshëm nga një fraksion dhjetor pa humbje të saktësisë. Për shembull, 0.2 bëhet 1/5 dhe 0.08 bëhet 4/25.

Transformimet e brendshme

Para se të kryeni veprime të përbashkëta me thyesa të zakonshme, duhet të përgatisni numra për veprime të mundshme matematikore.

Para së gjithash, ju duhet të sillni të gjitha fraksionet në shembull në një formë të përgjithshme. Ato duhet të jenë ose të zakonshme ose dhjetore. Le të bëjmë menjëherë një rezervë se është më e përshtatshme të kryejmë shumëzim dhe pjesëtim me të parën.

Një rregull i njohur si dhe i përdorur si në vitet e para të studimit të lëndës ashtu edhe në matematikën e lartë, i cili studiohet në universitete, do t'ju ndihmojë në përgatitjen e numrave për veprime të mëtejshme.

Vetitë e thyesave

Le të themi se keni një vlerë. Le të themi 2/3. Çfarë ndryshon nëse shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me 3? Do të rezultojë të jetë 6/9. Po sikur të jetë një milion? 2000000/3000000. Por prisni, numri nuk ndryshon aspak cilësisht - 2/3 mbeten të barabarta me 2000000/3000000. Ndryshon vetëm forma, por jo përmbajtja. E njëjta gjë ndodh kur të dyja palët ndahen me të njëjtën vlerë. Kjo është vetia kryesore e thyesave, e cila do t'ju ndihmojë në mënyrë të përsëritur të kryeni veprime me dhjetore dhe thyesa të zakonshme në teste dhe provime.

Shumëzimi i numëruesit dhe emëruesit me të njëjtin numër quhet zgjerim i një thyese dhe pjesëtimi quhet reduktim. Duhet thënë se kryqëzimi i numrave identikë në krye dhe në fund gjatë shumëzimit dhe pjesëtimit të thyesave është një procedurë çuditërisht e këndshme (sigurisht brenda një mësimi matematike). Duket se përgjigja tashmë është afër dhe shembulli praktikisht është zgjidhur.

Thyesat e gabuara

Një thyesë e papërshtatshme është ajo në të cilën numëruesi është më i madh ose i barabartë me emëruesin. Me fjalë të tjera, nëse mund të dallohet një pjesë e tërë e saj, ajo bie nën këtë përkufizim.

Nëse një numër i tillë (më i madh se ose e barabartë me një) paraqitet si thyesë e zakonshme, do të quhet thyesë e papërshtatshme. Dhe nëse numëruesi është më i vogël se emëruesi, ai është i saktë. Të dy llojet janë po aq të përshtatshëm kur kryejnë operacione të mundshme me fraksione të zakonshme. Ato mund të shumëzohen dhe ndahen lehtësisht, shtohen dhe zbriten.

Nëse në të njëjtën kohë zgjidhet pjesë e tërë dhe ka një mbetje në formën e një thyese, numri që rezulton do të quhet i përzier. Në të ardhmen do të hasni në mënyra të ndryshme kombinime të strukturave të tilla me variabla, si dhe zgjidhjen e ekuacioneve ku kërkohet kjo njohuri.

Veprimet aritmetike

Nëse gjithçka është e qartë me vetinë bazë të një fraksioni, atëherë si të sillemi kur shumëzojmë thyesat? Veprimet me thyesa të zakonshme në klasën 5 përfshijnë të gjitha llojet e veprimeve aritmetike, të cilat kryhen në dy mënyra të ndryshme.

Shumëzimi dhe pjesëtimi janë shumë të thjeshta. Në rastin e parë, numëruesit dhe emëruesit e dy thyesave thjesht shumëzohen. Në të dytën - e njëjta gjë, vetëm në mënyrë tërthore. Kështu, numëruesi i thyesës së parë shumëzohet me emëruesin e të dytës dhe anasjelltas.

Për të kryer mbledhjen dhe zbritjen, duhet të kryeni një veprim shtesë - sillni të gjithë përbërësit e shprehjes në një emërues të përbashkët. Kjo do të thotë se pjesët e poshtme të thyesave duhet të ndryshohen në të njëjtën vlerë - një numër që është shumëfish i të dy emëruesve ekzistues. Për shembull, për 2 dhe 5 do të jetë 10. Për 3 dhe 6 - 6. Por atëherë çfarë të bëni me pjesa e sipërme? Nuk mund ta lëmë të njëjtë nëse kemi ndryshuar pjesën e poshtme. Sipas vetive themelore të një thyese, numëruesin do ta shumëzojmë me të njëjtin numër si emëruesi. Ky veprim duhet të kryhet me secilin nga numrat që do të shtojmë ose zbresim. Sidoqoftë, operacione të tilla me fraksione të zakonshme në klasën e 6-të kryhen tashmë "automatikisht" dhe vështirësitë lindin vetëm në fazën fillestare të studimit të temës.

Krahasimi

Nëse dy thyesa kanë emërues të njëjtë, ajo me numërues më të madh është më e madhe. Nëse pjesët e sipërme janë të njëjta, atëherë ajo me emërues më të vogël do të jetë më e madhe. Vlen të kihet parasysh se situata të tilla të suksesshme për krahasim lindin rrallë. Me shumë mundësi, të dyja pjesët e sipërme dhe të poshtme të shprehjeve nuk do të përputhen. Atëherë do t'ju duhet të mbani mend veprimet e mundshme me thyesat e zakonshme dhe të përdorni teknikën e përdorur në mbledhje dhe zbritje. Për më tepër, mbani mend se nëse po flasim për numra negativë, atëherë fraksioni më i madh do të dalë më i vogël.

Përparësitë e thyesave të zakonshme

Ndodh që mësuesit u thonë fëmijëve një frazë, përmbajtja e së cilës mund të shprehet si më poshtë: sa më shumë informacion të jepet gjatë formulimit të detyrës, aq më e lehtë do të jetë zgjidhja. A mendoni se tingëllon e çuditshme? Por në të vërtetë: kur sasi të mëdha sasitë e njohura, mund të përdorni pothuajse çdo formulë, por nëse jepen vetëm disa numra, mund të kërkohet reflektim shtesë, do t'ju duhet të mbani mend dhe vërtetoni teorema, të jepni argumente në favor të drejtësisë suaj ...

Pse po e bëjmë këtë? Për më tepër, fraksionet e zakonshme, me gjithë rëndimin e tyre, mund ta thjeshtojnë shumë jetën e një studenti, duke i lejuar ata të shkurtojnë rreshta të tëra vlerash kur shumëzojnë dhe pjesëtojnë, dhe kur llogaritin shumat dhe diferencat, të bëjnë argumente të përgjithshme dhe, përsëri, t'i shkurtojnë ato.

Kur është e nevojshme të kryhen veprime të përbashkëta me të zakonshme dhe dhjetore, transformimet kryhen në favor të të parës: si e shndërroni 3/17 në formën dhjetore? Vetëm me humbje informacioni, jo ndryshe. Por 0.1 mund të përfaqësohet si 1/10, dhe më pas si 17/170. Dhe pastaj dy numrat që rezultojnë mund të shtohen ose zbriten: 30/170 + 17/170 = 47/170.

Pse janë të dobishme numrat dhjetorë?

Ndërsa operacionet me fraksione të zakonshme janë më të përshtatshme, shkrimi i gjithçkaje me ndihmën e tyre është jashtëzakonisht i papërshtatshëm këtu. Krahaso: 1748/10000 dhe 0,1748. Kjo është e njëjta vlerë e përfaqësuar në dy opsione të ndryshme. Sigurisht, metoda e dytë është më e lehtë!

Për më tepër, numrat dhjetorë janë më të lehtë për t'u përfaqësuar sepse të gjitha të dhënat kanë një bazë të përbashkët që ndryshon vetëm sipas rendit të madhësisë. Le të themi, ne e kuptojmë lehtësisht një zbritje prej 30% dhe madje e vlerësojmë atë si të rëndësishme. A do ta kuptoni menjëherë se çfarë është më shumë - 30% apo 137/379? Kështu, thyesat dhjetore ofrojnë standardizim për llogaritjet.

Në shkollë të mesme vendosin nxënësit ekuacionet kuadratike. Kryerja e operacioneve me fraksione të zakonshme këtu është tashmë jashtëzakonisht problematike, pasi formula për llogaritjen e vlerave të një ndryshore përmban rrënjë katrore nga shuma. Nëse ka një fraksion që nuk mund të reduktohet në dhjetor, zgjidhja bëhet aq e ndërlikuar sa bëhet pothuajse e pamundur të llogaritet përgjigja e saktë pa një kalkulator.

Pra, çdo mënyrë e paraqitjes së thyesave ka avantazhet e veta në kontekstin e duhur.

Format e regjistrimit

Ekzistojnë dy mënyra për të shkruar veprime me thyesa të zakonshme: përmes një vije horizontale, në dy "nivele" dhe përmes një prerje (aka "slash") - në një vijë. Kur një student shkruan në një fletore, opsioni i parë është zakonisht më i përshtatshëm dhe për këtë arsye më i zakonshëm. Shpërndarja e numrave nëpër qeliza me radhë ndihmon në zhvillimin e vëmendjes kur bëni llogaritjet dhe kryeni transformime. Kur shkruani në një varg, mund të ngatërroni pa dashje rendin e veprimeve, të humbni disa të dhëna - domethënë, të bëni një gabim.

Shumë shpesh këto ditë ka nevojë për të printuar numra në një kompjuter. Ju mund të ndani fraksionet duke përdorur një vijë tradicionale horizontale duke përdorur funksionin në Microsoft Word 2010 dhe më vonë. Fakti është se në këto versione të softuerit ekziston një opsion i quajtur "formula". Ai shfaq një fushë drejtkëndore të transformueshme në ekran, brenda së cilës mund të kombinoni çdo simbol matematikor dhe të krijoni fraksione dy dhe "katërkatëshe". Ju mund të përdorni kllapa dhe shenja operimi në emërues dhe numërues. Si rezultat, ju do të jeni në gjendje të shkruani çdo veprim të përbashkët me thyesa të zakonshme dhe dhjetore në formën tradicionale, d.m.th., në mënyrën se si ata ju mësojnë ta bëni atë në shkollë.

Nëse përdorni redaktuesin standard të tekstit Notepad, atëherë të gjitha shprehjet thyesore do të duhet të shkruhen me një të pjerrët. Fatkeqësisht, këtu nuk ka rrugë tjetër.

konkluzioni

Pra, ne shikuam të gjitha veprimet themelore me fraksione të zakonshme, nga të cilat, rezulton, nuk ka aq shumë.

Nëse në fillim mund të duket se ky është një seksion i vështirë i matematikës, atëherë kjo është vetëm një përshtypje e përkohshme - mbani mend, dikur keni menduar në këtë mënyrë për tabelën e shumëzimit, dhe madje edhe më herët - për librat e zakonshëm të kopjeve dhe duke numëruar nga një në dhjetë.

Është e rëndësishme të kuptohet se fraksionet përdoren në jetën e përditshme kudo. Do të merreni me para dhe llogaritjet inxhinierike, teknologjinë e informacionit dhe shkrim-leximin muzikor, dhe kudo - kudo! - do të shfaqen numrat thyesorë. Prandaj, mos u bëni dembel dhe studioni këtë temë tërësisht - veçanërisht pasi nuk është aq e ndërlikuar.

Veprimet me thyesa. Në këtë artikull do të shikojmë shembuj, gjithçka në detaje me shpjegime. Ne do të shqyrtojmë thyesat e zakonshme. Do t'i shikojmë numrat dhjetorë më vonë. Unë rekomandoj ta shikoni të gjithë dhe ta studioni atë në mënyrë sekuenciale.

1. Shuma e thyesave, dallimi i thyesave.

Rregulla: kur mblidhen thyesa me emërues të barabartë, rezultati është një thyesë - emëruesi i së cilës mbetet i njëjtë, dhe numëruesi i tij do të jetë i barabartë me shumën e numëruesve të thyesave.

Rregulli: kur llogaritim ndryshimin midis thyesave me emërues të njëjtë, marrim një thyesë - emëruesi mbetet i njëjtë, dhe numëruesi i të dytit zbritet nga numëruesi i fraksionit të parë.

Shënimi zyrtar për shumën dhe ndryshimin e thyesave me emërues të barabartë:

Shembuj (1):

Është e qartë se kur jepen thyesat e zakonshme, atëherë gjithçka është e thjeshtë, por çfarë nëse ato përzihen? Asgjë e komplikuar...

Opsioni 1– mund t’i shndërroni në të zakonshme dhe më pas t’i llogaritni.

Opsioni 2– mund të “punoni” veçmas me pjesët e plota dhe thyesore.

Shembuj (2):

Më shumë:

Dhe nëse jepet diferenca prej dy thyesat e përziera dhe numëruesi i thyesës së parë do të jetë më i vogël se numëruesi i të dytës? Ju gjithashtu mund të veproni në dy mënyra.

Shembuj (3):

*Konvertuar në thyesa të zakonshme, llogaritur diferencën, konvertoi thyesën e papërshtatshme që rezulton në një fraksion të përzier.

*E ndamë atë në pjesë të plota dhe të pjesshme, morëm një tre, më pas paraqitëm 3 si shumën e 2 dhe 1, me një të përfaqësuar si 11/11, më pas gjetëm ndryshimin midis 11/11 dhe 7/11 dhe llogaritëm rezultatin . Kuptimi i shndërrimeve të mësipërme është të marrim (zgjedhim) një njësi dhe ta paraqesim në formë thyese me emëruesin që na nevojitet, pastaj mund të zbresim një tjetër nga kjo thyesë.

Një shembull tjetër:

Përfundim: ekziston një qasje universale - për të llogaritur shumën (diferencën) e thyesave të përziera me emërues të barabartë, ato gjithmonë mund të shndërrohen në ato të pahijshme, pastaj të kryhen veprimin e nevojshëm. Pas kësaj, nëse rezultati është një fraksion jo i duhur, ne e kthejmë atë në një fraksion të përzier.

Më sipër shikuam shembuj me thyesa që kanë emërues të barabartë. Po sikur emëruesit të jenë të ndryshëm? Në këtë rast, thyesat reduktohen në të njëjtin emërues dhe kryhet veprimi i specifikuar. Për të ndryshuar (transformuar) një thyesë përdoret vetia bazë e thyesës.

Le të shohim shembuj të thjeshtë:

Në këta shembuj, ne shohim menjëherë se si një nga thyesat mund të transformohet për të marrë emërues të barabartë.

Nëse përcaktojmë mënyra për të reduktuar thyesat në të njëjtin emërues, atëherë do ta quajmë këtë METODA E PARË.

Kjo do të thotë, menjëherë kur "vlerësoni" një fraksion, duhet të kuptoni nëse kjo qasje do të funksionojë - ne kontrollojmë nëse emëruesi më i madh është i pjesëtueshëm me atë më të vogël. Dhe nëse është i pjesëtueshëm, atëherë ne kryejmë një transformim - ne shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin në mënyrë që emëruesit e të dy thyesave të bëhen të barabartë.

Tani shikoni këta shembuj:

Kjo qasje nuk është e zbatueshme për ta. Ka edhe mënyra për t'i reduktuar thyesat në një emërues të përbashkët;

Metoda e Dytë.

Ne shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës së parë me emëruesin e të dytës, dhe numëruesin dhe emëruesin e thyesës së dytë me emëruesin e së parës:

*Në fakt, ne reduktojmë thyesat për të formuar kur emëruesit bëhen të barabartë. Më pas, ne përdorim rregullin për mbledhjen e thyesave me emërues të barabartë.

Shembull:

*Kjo metodë mund të quhet universale dhe funksionon gjithmonë. E vetmja negative është se pas llogaritjeve mund të përfundoni me një fraksion që do të duhet të zvogëlohet më tej.

Le të shohim një shembull:

Mund të shihet se numëruesi dhe emëruesi janë të pjesëtueshëm me 5:

Metoda e Tretë.

Ju duhet të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM) të emëruesve. Ky do të jetë emëruesi i përbashkët. Çfarë lloj numri është ky? Ky është numri më i vogël natyror që pjesëtohet me secilin nga numrat.

Shikoni, këtu janë dy numra: 3 dhe 4, ka shumë numra që pjesëtohen me to - këta janë 12, 24, 36, ... Më i vogli prej tyre është 12. Ose 6 dhe 15, 30, 60, 90 janë pjesëtueshëm me to.... Më e pakta është 30. Pyetja është - si të përcaktohet ky shumëfish më pak i zakonshëm?

Ekziston një algoritëm i qartë, por shpesh kjo mund të bëhet menjëherë pa llogaritje. Për shembull, sipas shembujve të mësipërm (3 dhe 4, 6 dhe 15) nuk nevojitet asnjë algoritëm, morëm numra të mëdhenj (4 dhe 15), i dyfishuam dhe pamë se janë të pjesëtueshëm me numrin e dytë, por çiftet e numrave mund të të jenë të tjerët, për shembull 51 dhe 119.

Algoritmi. Për të përcaktuar shumëfishin më të vogël të përbashkët të disa numrave, duhet:

- zbërthejë çdo numër në faktorë të THJESHTË

— shkruani zbërthimin e MË TË MËDHIT prej tyre

- shumëzojeni atë me faktorët që Mungojnë të numrave të tjerë

Le të shohim shembuj:

50 dhe 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

në zgjerimin e një numri më të madh një pesë mungon

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 dhe 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

në zgjerimin e një numri më të madh mungojnë dy dhe tre

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Shumëfishi më i vogël i përbashkët i dy numrat e thjeshtë barabartë me produktin e tyre

Pyetje! Pse është e dobishme gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët, pasi mund të përdorni metodën e dytë dhe thjesht të zvogëloni fraksionin që rezulton? Po, është e mundur, por nuk është gjithmonë i përshtatshëm. Shikoni emëruesin për numrat 48 dhe 72 nëse thjesht i shumëzoni 48∙72 = 3456. Do të pajtoheni se është më e këndshme të punosh me numra më të vegjël.

Le të shohim shembuj:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

zgjerimit të një numri më të madh i mungon një trefish

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

Tani le të përdorim metodën e parë:

*Shikoni ndryshimin në llogaritjet, në rastin e parë ka një minimum prej tyre, por në të dytën duhet të punoni veçmas në një copë letër, madje edhe fraksioni që keni marrë duhet të zvogëlohet. Gjetja e LOC thjeshton ndjeshëm punën.

Më shumë shembuj:

*Në shembullin e dytë është e qartë se numri më i vogël që pjesëtohet me 40 dhe 60 është 120.

REZULTATE! ALGORITMI I PËRGJITHSHËM INFORMACION!

— i zvogëlojmë thyesat në ato të zakonshme nëse ka një pjesë të plotë.

- I sjellim thyesat në një emërues të përbashkët (së pari shikojmë nëse një emërues është i pjesëtueshëm me një tjetër; nëse është i pjesëtueshëm, atëherë shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e kësaj thyese tjetër; nëse nuk është i pjesëtueshëm, veprojmë duke përdorur metodat e tjera. treguar më sipër).

- Pasi kemi marrë thyesa me emërues të barabartë, kryejmë veprime (mbledhje, zbritje).

- nëse është e nevojshme, ne zvogëlojmë rezultatin.

- nëse është e nevojshme, atëherë zgjidhni të gjithë pjesën.

2. Prodhimi i thyesave.

Rregulli është i thjeshtë. Gjatë shumëzimit të thyesave, numëruesit dhe emëruesit e tyre shumëzohen:

Shembuj:

Detyrë. Në bazë u sollën 13 tonë perime. Patatet përbëjnë ¾ e të gjitha perimeve të importuara. Sa kilogramë patate u sollën në bazë?

Le të përfundojmë me pjesën.

*Më parë kam premtuar t'ju jap një shpjegim zyrtar të vetive kryesore të një fraksioni përmes një produkti, ju lutem:

3. Ndarja e thyesave.

Pjesëtimi i thyesave zbret në shumëzimin e tyre. Është e rëndësishme të mbani mend këtu se thyesa që është pjesëtues (ajo me të cilën ndahet) kthehet dhe veprimi ndryshon në shumëzim:

Ky veprim mund të shkruhet në formën e një thyese të ashtuquajtur katërkatëshe, sepse vetë ndarja ":" mund të shkruhet edhe si thyesë:

Shembuj:

Kjo është e gjitha! Ju uroj fat!

Sinqerisht, Alexander Krutitskikh.

Veprimet me thyesa.

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Pra, çfarë janë thyesat, llojet e thyesave, shndërrimet - kujtuam. Le të kalojmë te çështja kryesore.

Çfarë mund të bëni me thyesat? Po, gjithçka është njësoj si me numrat e zakonshëm. Shtoni, zbritni, shumëzoni, pjesëtoni.

Të gjitha këto veprime me dhjetore puna me thyesa nuk ndryshon nga puna me numra të plotë. Në fakt, kjo është ajo që është e mirë për ta, ato dhjetore. E vetmja gjë është që ju duhet të vendosni presjen saktë.

Numra të përzier, siç thashë tashmë, janë pak të dobishme për shumicën e veprimeve. Ata ende duhet të shndërrohen në fraksione të zakonshme.

Por veprimet me thyesat e zakonshme ata do të jenë më dinakë. Dhe shumë më e rëndësishme! Më lejoni t'ju kujtoj: të gjitha veprimet me shprehje thyesore me shkronja, sinus, të panjohura etj., etj., nuk ndryshojnë nga veprimet me thyesat e zakonshme.! Veprimet me thyesat e zakonshme janë baza për të gjithë algjebrën. Është për këtë arsye që ne do të analizojmë të gjithë këtë aritmetikë në detaje këtu.

Mbledhja dhe zbritja e thyesave.

Të gjithë mund të shtojnë (zbresin) thyesa me emërues të njëjtë (shpresoj vërtet!). Epo, më lejoni t'i kujtoj ata që harrojnë plotësisht: kur mbledhin (zbresin), emëruesi nuk ndryshon. Numëruesit shtohen (zbriten) për të dhënë numëruesin e rezultatit. Lloji:

Shkurtimisht, në terma të përgjithshëm:

Po sikur emëruesit të jenë të ndryshëm? Më pas, duke përdorur vetinë bazë të një thyese (këtu na vjen sërish në punë!), i bëjmë emëruesit të njëjtë! Për shembull:

Këtu duhej të bënim thyesën 4/10 nga thyesa 2/5. Me qëllimin e vetëm që emëruesit të jenë të njëjtë. Më lejoni të vërej, për çdo rast, se 2/5 dhe 4/10 janë e njëjta fraksion! Vetëm 2/5 janë të pakëndshme për ne, dhe 4/10 janë vërtet në rregull.

Nga rruga, ky është thelbi i zgjidhjes së çdo problemi matematikor. Kur ne nga të pakëndshme ne bëjmë shprehje e njëjta gjë, por më e përshtatshme për zgjidhje.

Një shembull tjetër:

Situata është e ngjashme. Këtu bëjmë 48 nga 16. Me shumëzim të thjeshtë në 3. Gjithçka është e qartë. Por ne hasëm diçka të tillë:

Si të jesh?! Është e vështirë të bësh një nëntë nga një shtatë! Por ne jemi të zgjuar, i dimë rregullat! Le të transformohemi çdo thyesë në mënyrë që emëruesit të jenë të njëjtë. Kjo quhet "zvogëlimi në një emërues të përbashkët":

Uau! Si e dija për 63? Shumë e thjeshtë! 63 është një numër që pjesëtohet me 7 dhe 9 në të njëjtën kohë. Një numër i tillë mund të merret gjithmonë duke shumëzuar emëruesit. Nëse shumëzojmë një numër me 7, për shembull, atëherë rezultati me siguri do të pjesëtohet me 7!

Nëse duhet të shtoni (zbrisni) disa thyesa, nuk është e nevojshme ta bëni atë në çifte, hap pas hapi. Ju vetëm duhet të gjeni emëruesin e përbashkët për të gjitha thyesat dhe të zvogëloni secilën thyesë në të njëjtin emërues. Për shembull:

Dhe cili do të jetë emëruesi i përbashkët? Sigurisht, ju mund të shumëzoni 2, 4, 8 dhe 16. Ne marrim 1024. Makth. Është më e lehtë të vlerësohet se numri 16 është plotësisht i pjesëtueshëm me 2, 4 dhe 8. Prandaj, nga këta numra është e lehtë të merret 16. Ky numër do të jetë emëruesi i përbashkët. Le ta kthejmë 1/2 në 8/16, 3/4 në 12/16, e kështu me radhë.

Nga rruga, nëse merrni 1024 si emërues të përbashkët, gjithçka do të funksionojë, në fund gjithçka do të reduktohet. Por jo të gjithë do të arrijnë në këtë qëllim, për shkak të llogaritjeve ...

Plotësoni vetë shembullin. Jo një lloj logaritmi... Duhet të jetë 29/16.

Pra, mbledhja (zbritja) e thyesave është e qartë, shpresoj? Sigurisht, është më e lehtë të punosh në një version të shkurtuar, me shumëzues shtesë. Por këtë kënaqësi e kanë ata që kanë punuar me ndershmëri në klasat e ulëta... Dhe nuk kanë harruar asgjë.

Dhe tani do të bëjmë të njëjtat veprime, por jo me thyesa, por me shprehjet thyesore. Këtu do të zbulohet raketa e re, po...

Pra, duhet të shtojmë dy shprehje thyesore:

Ne duhet t'i bëjmë emëruesit të njëjtë. Dhe vetëm me ndihmën shumëzimi! Kjo është ajo që dikton vetia kryesore e një thyese. Prandaj, unë nuk mund t'i shtoj një X në thyesën e parë në emërues. (kjo do të ishte mirë!). Por nëse shumëzoni emëruesit, shihni, gjithçka rritet së bashku! Pra, shkruajmë vijën e thyesës, lëmë një hapësirë ​​boshe në krye, pastaj e shtojmë atë dhe shkruajmë prodhimin e emëruesve më poshtë, në mënyrë që të mos harrojmë:

Dhe, sigurisht, nuk shumëzojmë asgjë në anën e djathtë, nuk hapim kllapa! Dhe tani, duke parë emëruesin e përbashkët në anën e djathtë, kuptojmë: për të marrë emëruesin x(x+1) në thyesën e parë, duhet të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e kësaj thyese me (x+1) . Dhe në fraksionin e dytë - në x. Kjo është ajo që ju merrni:

Kushtojini vëmendje! Këtu janë kllapat! Kjo është grabujë që shkelin shumë njerëz. Jo kllapa, sigurisht, por mungesa e tyre. Kllapat shfaqen sepse po shumëzojmë të gjitha numërues dhe të gjitha emërues! Dhe jo pjesët e tyre individuale...

Në numëruesin e anës së djathtë shkruajmë shumën e numëruesve, gjithçka është si në thyesat numerike, pastaj hapim kllapat në numëruesin e anës së djathtë, d.m.th. Ne shumëzojmë gjithçka dhe japim të ngjashme. Nuk ka nevojë të hapni kllapat në emërues ose të shumëzoni ndonjë gjë! Në përgjithësi, në emërues (çdo) produkti është gjithmonë më i këndshëm! Ne marrim:

Kështu që e morëm përgjigjen. Procesi duket i gjatë dhe i vështirë, por varet nga praktika. Pasi të zgjidhni shembujt, të mësoheni me të, gjithçka do të bëhet e thjeshtë. Ata që i kanë zotëruar thyesat në kohën e duhur, i bëjnë të gjitha këto veprime me njërën dorë të majtë, automatikisht!

Dhe një shënim më shumë. Shumë merren me zgjuarsi me thyesat, por ngecin në shembujt me të e tërë numrat. Si: 2 + 1/2 + 3/4= ? Ku të fiksoni dy pjesë? Nuk keni nevojë ta fiksoni askund, duhet të bëni një pjesë nga dy. Nuk është e lehtë, por shumë e thjeshtë! 2=2/1. Si kjo. Çdo numër i plotë mund të shkruhet si thyesë. Numëruesi është vetë numri, emëruesi është një. 7 është 7/1, 3 është 3/1 e kështu me radhë. Është e njëjta gjë me letrat. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, etj. Dhe pastaj ne punojmë me këto thyesa sipas të gjitha rregullave.

Epo, njohuritë e mbledhjes dhe zbritjes së thyesave u rifreskuan. Shndërrimi i thyesave nga një lloj në tjetrin u përsërit. Ju gjithashtu mund të kontrolloheni. A do ta rregullojmë pak?)

Llogaritni:

Përgjigjet (në rrëmujë):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Shumëzimi/pjestimi i thyesave - në orën e ardhshme. Ekzistojnë gjithashtu detyra për të gjitha veprimet me thyesa.

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Në këtë artikull, një mësues i matematikës dhe fizikës flet për mënyrën e kryerjes së veprimeve elementare me thyesat e zakonshme: mbledhjen dhe zbritjen, shumëzimin dhe ndarjen. Mësoni si të paraqisni një numër të përzier si një thyesë e gabuar dhe anasjelltas, si dhe si të zvogëloni thyesat.

Mbledhja dhe zbritja e thyesave të zakonshme

Le të kujtojmë atë emërues thyesa është numri që është nga poshtë, A numërues- numri që ndodhet sipër nga vija thyesore. Për shembull, në një thyesë, numri është numëruesi dhe numri është emëruesi.

Emëruesi i përbashkëtështë numri më i vogël i mundshëm që pjesëtohet edhe me emëruesin e thyesës së parë edhe me emëruesin e thyesës së dytë.

Shembulli 1. Shtoni dy thyesa: .

Le të përdorim algoritmin e përshkruar më sipër:

1) Numri më i vogël, e cila është e pjesëtueshme edhe me emëruesin e thyesës së parë edhe me emëruesin e thyesës së dytë, është e barabartë me . Ky numër do të jetë emëruesi i përbashkët. Tani ju duhet t'i sillni të dy thyesat në një emërues të përbashkët.

2) Shtoni thyesat që rezultojnë: .

Shumëzimi i thyesave të përbashkëta

Me fjalë të tjera, për të gjithë numrat realë , , , vlen barazia e mëposhtme:

Shembulli 2. Shumëzoni thyesat: .

Për të zgjidhur këtë problem, ne përdorim formulën e paraqitur më sipër: .

Pjesëtimi i thyesave

Me fjalë të tjera, për të gjithë numrat realë , , , , vlen barazia e mëposhtme:

Shembulli 3. Ndani thyesat: .

Për të zgjidhur këtë problem, ne përdorim formulën e mësipërme: .

Paraqitja e një numri të përzier si një thyesë e gabuar

Le të kuptojmë tani se çfarë të bëni nëse keni nevojë të kryeni ndonjë operacion me fraksione të paraqitura në formën e numrave të përzier. Në këtë rast, së pari duhet të përfaqësoni numrat e përzier si thyesa të pahijshme, dhe më pas të kryeni operacionin e nevojshëm.

Le të kujtojmë atë gabim Një thyesë numëruesi i së cilës është më i madh ose i barabartë me emëruesin e saj quhet.

Kujtojmë gjithashtu se një numër i përzier ka pjesë thyesore Dhe pjesë e tërë. Për shembull, një numër i përzier ka një pjesë thyesore të barabartë me , dhe një pjesë të plotë të barabartë me .

Shembulli 4. Shprehni një numër të përzier si një thyesë e gabuar.

Le të përdorim algoritmin e paraqitur më sipër: .

Shembulli 5. Paraqitni një thyesë të gabuar si numër të përzier.

Ky artikull shqyrton veprimet mbi thyesat. Do të formohen dhe justifikohen rregullat për mbledhjen, zbritjen, shumëzimin, pjesëtimin ose fuqizimin e thyesave të formës A B, ku A dhe B mund të jenë numra, shprehje numerike ose shprehje me ndryshore. Si përfundim, do të shqyrtohen shembuj të zgjidhjeve me përshkrime të hollësishme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rregullat për kryerjen e veprimeve me thyesa të përgjithshme numerike

Thyesat e përgjithshme kanë një numërues dhe një emërues që përmbajnë numra natyrorë ose shprehje numerike. Nëse marrim parasysh thyesat si 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 ln 3, atëherë është e qartë se numëruesi dhe emëruesi mund të kenë jo vetëm numra, por edhe shprehje të llojeve të ndryshme.

Përkufizimi 1

Ekzistojnë rregulla me të cilat kryhen operacionet me fraksione të zakonshme. Është gjithashtu i përshtatshëm për fraksionet e përgjithshme:

• Kur zbriten thyesat me emërues të ngjashëm, shtohen vetëm numëruesit dhe emëruesi mbetet i njëjtë, përkatësisht: a d ± c d = a ± c d, vlerat a, c dhe d ≠ 0 janë disa numra ose shprehje numerike.
• Kur mblidhni ose zbritni një thyesë me emërues të ndryshëm, është e nevojshme ta reduktoni atë në një emërues të përbashkët, dhe më pas të shtoni ose zbritni thyesat që rezultojnë me të njëjtët eksponentë. Fjalë për fjalë duket kështu: a b ± c d = a · p ± c · r s, ku vlerat a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 janë numra realë, dhe b · p = d · r = s . Kur p = d dhe r = b, atëherë a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• Gjatë shumëzimit të thyesave, kryhet një veprim me numëruesit, pas së cilës me emëruesit, atëherë marrim një b · c d = a · c b · d, ku a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 veprojnë si numra realë.
• Kur pjesëtojmë një thyesë me një thyesë, të parën e shumëzojmë me të kundërtën e dytë, domethënë, shkëmbejmë numëruesin dhe emëruesin: a b: c d = a b · d c.

Arsyetimi për rregullat

Ekzistojnë pikat e mëposhtme matematikore në të cilat duhet të mbështeteni kur llogaritni:

• pjerrësia nënkupton shenjën e ndarjes;
• pjesëtimi me një numër trajtohet si shumëzim me vlerën e tij reciproke;
• aplikimi i vetive të veprimeve me numra realë;
• zbatimi i vetive themelore të thyesave dhe jobarazimeve numerike.

Me ndihmën e tyre, ju mund të kryeni transformime të formës:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s ; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Shembuj

Në paragrafin e mëparshëm u tha për veprimet me thyesa. Është pas kësaj që thyesa duhet të thjeshtohet. Kjo temë u diskutua në detaje në paragrafin për konvertimin e thyesave.

Së pari, le të shohim një shembull të mbledhjes dhe zbritjes së thyesave me emërues të njëjtë.

Shembulli 1

Duke pasur parasysh thyesat 8 2, 7 dhe 1 2, 7, atëherë sipas rregullit është e nevojshme të mblidhet numëruesi dhe të rishkruhet emëruesi.

Zgjidhje

Pastaj marrim një pjesë të formës 8 + 1 2, 7. Pas kryerjes së mbledhjes, marrim një pjesë të formës 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Kjo do të thotë 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Përgjigje: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Ka një zgjidhje tjetër. Për të filluar, ne kalojmë në formën e një fraksioni të zakonshëm, pas së cilës kryejmë një thjeshtim. Duket kështu:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Shembulli 2

Le të zbresim nga 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 një pjesë të formës 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Meqenëse janë dhënë emërues të barabartë, kjo do të thotë se ne jemi duke llogaritur një thyesë me emërues të njëjtë. Ne e kuptojmë atë

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Ka shembuj të llogaritjes së thyesave me emërues të ndryshëm. Një pikë e rëndësishme është reduktimi në një emërues të përbashkët. Pa këtë, ne nuk do të jemi në gjendje të kryejmë veprime të mëtejshme me fraksione.

Procesi në mënyrë të paqartë të kujton reduktimin në një emërues të përbashkët. Kjo do të thotë, kërkohet pjesëtuesi më i vogël i përbashkët në emërues, pas së cilës faktorët që mungojnë u shtohen thyesave.

Nëse fraksionet që shtohen nuk kanë faktorë të përbashkët, atëherë produkti i tyre mund të bëhet një.

Shembulli 3

Le të shohim shembullin e mbledhjes së thyesave 2 3 5 + 1 dhe 1 2.

Zgjidhje

Në këtë rast, emëruesi i përbashkët është prodhimi i emëruesve. Pastaj marrim atë 2 · 3 5 + 1. Pastaj, kur vendosim faktorë shtesë, kemi që për thyesën e parë është e barabartë me 2, dhe për të dytën është 3 5 + 1. Pas shumëzimit, thyesat reduktohen në formën 4 2 · 3 5 + 1. Reduktimi i përgjithshëm prej 1 2 do të jetë 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Shtojmë shprehjet thyesore që rezultojnë dhe e marrim atë

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Përgjigje: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Kur kemi të bëjmë me thyesa të përgjithshme, atëherë zakonisht nuk flasim për emëruesin e përbashkët më të ulët. Është e padobishme të merret prodhimi i numëruesve si emërues. Së pari ju duhet të kontrolloni nëse ka një numër që është më pak në vlerë se produkti i tyre.

Shembulli 4

Le të shqyrtojmë shembullin e 1 6 · 2 1 5 dhe 1 4 · 2 3 5, kur prodhimi i tyre është i barabartë me 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5. Pastaj marrim 12 · 2 3 5 si emërues të përbashkët.

Le të shohim shembuj të shumëzimit të thyesave të përgjithshme.

Shembulli 5

Për ta bërë këtë, duhet të shumëzoni 2 + 1 6 dhe 2 · 5 3 · 2 + 1.

Zgjidhje

Sipas rregullit, është e nevojshme të rishkruhet dhe të shkruhet prodhimi i numëruesve si emërues. Ne marrim se 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Pasi një pjesë të jetë shumëzuar, mund të bëni reduktime për ta thjeshtuar atë. Pastaj 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

Duke përdorur rregullin e kalimit nga pjesëtimi në shumëzim me një thyesë reciproke, marrim një thyesë që është reciproke e asaj të dhënë. Për ta bërë këtë, numëruesi dhe emëruesi këmbehen. Le të shohim një shembull:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Pastaj ata duhet të shumëzojnë dhe thjeshtojnë fraksionin që rezulton. Nëse është e nevojshme, hiqni qafe irracionalitetin në emërues. Ne e kuptojmë atë

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Përgjigje: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Ky paragraf është i zbatueshëm kur një numër ose shprehje numerike mund të paraqitet si një thyesë me emërues të barabartë me 1, atëherë veprimi me një fraksion të tillë konsiderohet një paragraf i veçantë. Për shembull, shprehja 1 6 · 7 4 - 1 · 3 tregon se rrënja e 3 mund të zëvendësohet me një shprehje tjetër 3 1. Atëherë kjo hyrje do të duket si shumëzimi i dy thyesave të formës 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1.

Kryerja e veprimeve mbi thyesat që përmbajnë variabla

Rregullat e diskutuara në artikullin e parë janë të zbatueshme për operacionet me fraksione që përmbajnë variabla. Merrni parasysh rregullin e zbritjes kur emëruesit janë të njëjtë.

Është e nevojshme të vërtetohet se A, C dhe D (D jo e barabartë me zero) mund të jenë çdo shprehje, dhe barazia A D ± C D = A ± C D është ekuivalente me gamën e vlerave të lejuara të saj.

Është e nevojshme të merret një grup variablash ODZ. Pastaj A, C, D duhet të marrin vlerat përkatëse a 0 , c 0 dhe d 0. Zëvendësimi i formës A D ± C D rezulton në një ndryshim të formës a 0 d 0 ± c 0 d 0 , ku, duke përdorur rregullin e mbledhjes, marrim një formulë të formës a 0 ± c 0 d 0 . Nëse zëvendësojmë shprehjen A ± C D, atëherë marrim të njëjtën fraksion të formës a 0 ± c 0 d 0. Nga këtu konkludojmë se vlera e zgjedhur që plotëson ODZ, A ± C D dhe A D ± C D konsiderohen të barabarta.

Për çdo vlerë të variablave, këto shprehje do të jenë të barabarta, domethënë quhen identikisht të barabarta. Kjo do të thotë se kjo shprehje konsiderohet një barazi e provueshme e formës A D ± C D = A ± C D.

Shembuj të mbledhjes dhe zbritjes së thyesave me ndryshore

Kur keni të njëjtët emërues, ju duhet vetëm të shtoni ose zbritni numëruesit. Kjo pjesë mund të thjeshtohet. Ndonjëherë ju duhet të punoni me fraksione që janë identike të barabarta, por në shikim të parë kjo nuk vërehet, pasi duhet të kryhen disa transformime. Për shembull, x 2 3 x 1 3 + 1 dhe x 1 3 + 1 2 ose 1 2 sin 2 α dhe sin a cos a. Më shpesh, kërkohet një thjeshtim i shprehjes origjinale për të parë të njëjtët emërues.

Shembulli 6

Llogarit: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Zgjidhje

1. Për të bërë llogaritjen, duhet të zbritni thyesat që kanë të njëjtin emërues. Pastaj marrim se x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Pas së cilës mund të zgjeroni kllapat dhe të shtoni terma të ngjashëm. Ne marrim se x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Meqenëse emëruesit janë të njëjtë, mbetet vetëm të mblidhen numëruesit, duke lënë emëruesin: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Shtesa ka përfunduar. Mund të shihet se është e mundur të zvogëlohet fraksioni. Numëruesi i tij mund të paloset duke përdorur formulën për katrorin e shumës, atëherë marrim (l g x + 2) 2 nga formulat e shkurtuara të shumëzimit. Pastaj e marrim atë
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Jepen thyesat e trajtës x - 1 x - 1 + x x + 1 me emërues të ndryshëm. Pas transformimit, mund të kaloni në shtim.

Le të shqyrtojmë një zgjidhje të dyfishtë.

Metoda e parë është që emëruesi i thyesës së parë faktorizohet duke përdorur katrorë, me reduktimin e tij të mëvonshëm. Ne marrim një pjesë të formës

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Pra x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Në këtë rast, është e nevojshme të heqësh qafe irracionalitetin në emërues.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Metoda e dytë është të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e fraksionit të dytë me shprehjen x - 1. Kështu, ne heqim qafe irracionalitetin dhe kalojmë në mbledhjen e thyesave me emërues të njëjtë. Pastaj

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

Përgjigje: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

Në shembullin e fundit zbuluam se reduktimi në një emërues të përbashkët është i pashmangshëm. Për ta bërë këtë, ju duhet të thjeshtoni fraksionet. Kur mblidhni ose zbritni, gjithmonë duhet të kërkoni një emërues të përbashkët, i cili duket si prodhimi i emëruesve me faktorë shtesë të shtuar në numërues.

Shembulli 7

Llogaritni vlerat e thyesave: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Zgjidhje

1. Emëruesi nuk kërkon ndonjë llogaritje komplekse, kështu që ju duhet të zgjidhni produktin e tyre të formës 3 x 7 + 2 · 2, pastaj zgjidhni x 7 + 2 · 2 për fraksionin e parë si një faktor shtesë dhe 3 për të dytin. Kur shumëzojmë, marrim një pjesë të formës x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Mund të shihet se emëruesit paraqiten në formën e një produkti, që do të thotë se transformimet shtesë janë të panevojshme. Emëruesi i përbashkët do të konsiderohet si prodhim i formës x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Prandaj x 4 është një faktor shtesë për thyesën e parë, dhe ln(x + 1) tek e dyta. Pastaj zbresim dhe marrim:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1 ) · 2 x - 4 - mëkat x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - mëkat x · ln (x + 1 ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4)
3. Ky shembull ka kuptim kur punoni me emëruesit e thyesave. Është e nevojshme të zbatohen formulat për diferencën e katrorëve dhe katrorit të shumës, pasi ato do të bëjnë të mundur kalimin në një shprehje të formës 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2. Mund të shihet se thyesat reduktohen në një emërues të përbashkët. Ne marrim se cos x - x · cos x + x 2 .

Pastaj e marrim atë

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

Përgjigje:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - mëkat x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

Shembuj të shumëzimit të thyesave me ndryshore

Gjatë shumëzimit të thyesave, numëruesi shumëzohet me numëruesin dhe emëruesi me emëruesin. Pastaj mund të aplikoni vetinë e reduktimit.

Shembulli 8

Shumëzoni thyesat x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 dhe 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x.

Zgjidhje

Duhet të bëhet shumëzimi. Ne e kuptojmë atë

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 mëkat (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 mëkat (2 x - x)

Numri 3 zhvendoset në vendin e parë për lehtësinë e llogaritjeve, dhe ju mund ta zvogëloni thyesën me x 2, atëherë marrim një shprehje të formës

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 mëkat (2 x - x)

Përgjigje: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 mëkat (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · mëkat (2 · x - x) .

Divizioni

Ndarja e thyesave është e ngjashme me shumëzimin, pasi thyesa e parë shumëzohet me të dytin reciproke. Nëse marrim për shembull thyesën x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 dhe pjesëtojmë me 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, atëherë mund të shkruhet si

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , më pas zëvendëso me një produkt të formës x + 2 · x x 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 mëkat (2 x - x)

Eksponentimi

Le të kalojmë në shqyrtimin e veprimeve me thyesat e përgjithshme me fuqi. Nëse ka një fuqi me një eksponent natyror, atëherë veprimi konsiderohet si shumëzim i thyesave të barabarta. Por rekomandohet të përdoret një qasje e përgjithshme bazuar në vetitë e gradave. Çdo shprehje A dhe C, ku C nuk është identikisht e barabartë me zero, dhe çdo r real në ODZ për një shprehje të formës A Cr, barazia A Cr = A r Cr është e vlefshme. Rezultati është një fraksion i ngritur në një fuqi. Për shembull, merrni parasysh:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Procedura për kryerjen e veprimeve me fraksione

Operacionet në fraksione kryhen sipas rregullave të caktuara. Në praktikë, vërejmë se një shprehje mund të përmbajë disa thyesa ose shprehje thyesore. Atëherë është e nevojshme të kryhen të gjitha veprimet në mënyrë strikte: ngriteni në një fuqi, shumëzoni, ndani, pastaj shtoni dhe zbritni. Nëse ka kllapa, veprimi i parë kryhet në to.

Shembulli 9

Llogarit 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Zgjidhje

Meqenëse kemi të njëjtin emërues, atëherë 1 - x cos x dhe 1 c o s x, por zbritjet nuk mund të kryhen sipas rregullit, fillimisht kryhen veprimet në kllapa, pastaj shumëzimi dhe më pas mbledhja; Pastaj kur llogaritim e marrim atë

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Kur e zëvendësojmë shprehjen në atë origjinale, marrim se 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Gjatë shumëzimit të thyesave kemi: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. Pasi kemi bërë të gjitha zëvendësimet, marrim 1 - x cos x - x + 1 cos x · x. Tani ju duhet të punoni me thyesa që kanë emërues të ndryshëm. Ne marrim:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

Përgjigje: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x .

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter