Për të mësuar se si të gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët të dy ose më shumë numrave, duhet të kuptoni se çfarë janë numrat natyrorë, të thjeshtë dhe kompleksë.

Një numër natyror është çdo numër që përdoret për të numëruar objekte të plota.

Nëse një numër natyror mund të ndahet vetëm në vetvete dhe një, atëherë ai quhet i thjeshtë.

Të gjithë numrat natyrorë mund të pjesëtohen nga vetvetja dhe një, por i vetmi numër i thjeshtë çift është 2, të gjithë të tjerët mund të pjesëtohen me dy. Prandaj, vetëm numrat tek mund të jenë të thjeshtë.

Ka shumë numra të thjeshtë listën e plotë ato nuk ekzistojnë. Për të gjetur GCD, është e përshtatshme të përdorni tabela speciale me numra të tillë.

Shumica e numrave natyrorë mund të ndahen jo vetëm me një, vetveten, por edhe me numra të tjerë. Kështu, për shembull, numri 15 mund të ndahet me një tjetër 3 dhe 5. Të gjithë quhen pjesëtues të numrit 15.

Kështu, pjesëtuesi i çdo A është numri me të cilin mund të ndahet pa mbetje. Nëse një numër ka më shumë se dy faktorë natyrorë, ai quhet i përbërë.

Numri 30 mund të ketë pjesëtues si 1, 3, 5, 6, 15, 30.

Do të vini re se 15 dhe 30 kanë pjesëtues të njëjtë 1, 3, 5, 15. Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i këtyre dy numrave është 15.

Kështu, pjesëtuesi i përbashkët i numrave A dhe B është numri me të cilin ata mund të ndahen plotësisht. Më i madhi mund të konsiderohet numri maksimal i përgjithshëm me të cilin mund të ndahen.

Për të zgjidhur problemet, përdoret mbishkrimi i shkurtuar i mëposhtëm:

GCD (A; B).

Për shembull, GCD (15; 30) = 30.

Për të shkruar të gjithë pjesëtuesit e një numri natyror, përdorni shënimin:

D (15) = (1, 3, 5, 15)

GCD (9; 15) = 1

Në këtë shembull, numrat natyrorë kanë vetëm një pjesëtues të përbashkët. Ata quhen relativisht të thjeshtë, kështu që uniteti është pjesëtuesi i tyre më i madh i përbashkët.

Si të gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave

Për të gjetur gcd të disa numrave, ju duhet:

Gjeni veçmas të gjithë pjesëtuesit e secilit numër natyror, pra faktorizoni në faktorë (numrat e thjeshtë);

Zgjidhni të gjithë faktorët identikë të numrave të dhënë;

Shumëzojini ato së bashku.

Për shembull, për të llogaritur pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave 30 dhe 56, do të shkruani sa vijon:

Për të shmangur konfuzionin, është e përshtatshme të shkruani faktorë duke përdorur kolona vertikale. Në anën e majtë të vijës ju duhet të vendosni dividentin, dhe në anën e djathtë - pjesëtuesin. Nën dividentin, duhet të tregoni koeficientin që rezulton.

Pra, në kolonën e djathtë do të jenë të gjithë faktorët e nevojshëm për zgjidhjen.

Pjesëtuesit identikë (faktorët e gjetur) mund të nënvizohen për lehtësi. Ato duhet të rishkruhen dhe të shumëzohen dhe të shkruhet pjesëtuesi më i madh i përbashkët.

GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10

Kjo është sa e lehtë është vërtet të gjesh pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave. Nëse praktikoni pak, mund ta bëni këtë pothuajse automatikisht.

Kriteret e pjesëtueshmërisë për numrat natyrorë.

Quhen numrat e pjestueshëm me 2 pa mbetjemadje .

Numrat që nuk pjesëtohen në mënyrë të barabartë me 2 quheni çuditshëm .

Test për pjesëtueshmërinë me 2

Nëse një numër natyror përfundon me një shifër çift, atëherë ky numër pjesëtohet me 2 pa mbetje, dhe nëse një numër përfundon me një shifër tek, atëherë ky numër nuk pjesëtohet në mënyrë të barabartë me 2.

Për shembull, numrat 60 , 30 8 , 8 4 pjesëtohen me 2 pa mbetje dhe numrat janë 51 , 8 5 , 16 7 nuk pjesëtohen me 2 pa mbetje.

Test për pjesëtueshmërinë me 3

Nëse shuma e shifrave të një numri pjesëtohet me 3, atëherë numri pjesëtohet me 3; Nëse shuma e shifrave të një numri nuk pjesëtohet me 3, atëherë numri nuk pjesëtohet me 3.

Për shembull, le të zbulojmë nëse numri 2772825 është i pjesëtueshëm me 3. Për ta bërë këtë, le të llogarisim shumën e shifrave të këtij numri: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - i pjesëtueshëm me 3. Kjo do të thotë se numri 2772825 ndahet me 3.

Testi i pjesëtueshmërisë me 5

Nëse rekordi i një numri natyror përfundon me shifrën 0 ose 5, atëherë ky numër pjesëtohet me 5 pa mbetje Nëse rekordi i një numri përfundon me një shifër tjetër, atëherë numri nuk pjesëtohet me 5 pa mbetje.

Për shembull, numrat 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 pjesëtohen me 5 pa mbetje dhe numrat janë 17 , 37 8 , 9 1 mos ndaj.

Testi i pjesëtueshmërisë me 9

Nëse shuma e shifrave të një numri pjesëtohet me 9, atëherë numri pjesëtohet me 9; Nëse shuma e shifrave të një numri nuk pjesëtohet me 9, atëherë numri nuk pjesëtohet me 9.

Për shembull, le të zbulojmë nëse numri 5402070 është i pjesëtueshëm me 9. Për ta bërë këtë, le të llogarisim shumën e shifrave të këtij numri: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - nuk pjesëtohet me 9. Kjo do të thotë se numri 5402070 nuk ndahet me 9.

Testi i pjesëtueshmërisë me 10

Nëse një numër natyror mbaron me shifrën 0, atëherë ky numër pjesëtohet me 10 pa mbetje, nëse një numër natyror përfundon me një shifër tjetër, atëherë ai nuk është i plotpjesëtueshëm me 10.

Për shembull, numrat 40 , 17 0 , 1409 0 pjesëtohen me 10 pa mbetje dhe numrat 17 , 9 3 , 1430 7 - mos e ndani.

Rregulli për gjetjen e pjesëtuesit më të madh të përbashkët (GCD).

Për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët të disa numrave natyrorë, duhet:

2) nga faktorët e përfshirë në zgjerimin e njërit prej këtyre numrave, kryqëzoni ata që nuk përfshihen në zgjerimin e numrave të tjerë;

3) gjeni produktin e faktorëve të mbetur.

Shembull. Le të gjejmë GCD (48;36). Le të përdorim rregullin.

1. Të faktorizojmë numrat 48 dhe 36 në faktorë të thjeshtë.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Nga faktorët e përfshirë në zgjerimin e numrit 48, fshijmë ata që nuk përfshihen në zgjerimin e numrit 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Faktorët e mbetur janë 2, 2 dhe 3.

3. Shumëzoni faktorët e mbetur dhe merrni 12. Ky numër është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 48 dhe 36.

GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.

Rregulli për gjetjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCM).

Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët të disa numrave natyrorë, duhet:

1) faktorizoni në faktorë kryesorë;

2) shkruani faktorët e përfshirë në zgjerimin e njërit prej numrave;

3) shtojini atyre faktorët që mungojnë nga zgjerimet e numrave të mbetur;

4) gjeni produktin e faktorëve që rezultojnë.

Shembull. Le të gjejmë LOC (75;60). Le të përdorim rregullin.

1. Le të faktorizojmë numrat 75 dhe 60 në faktorë të thjeshtë.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Le të shkruajmë faktorët e përfshirë në zgjerimin e numrit 75: 3, 5, 5.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Shtojini atyre faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numrit 60, d.m.th. 2, 2.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Gjeni produktin e faktorëve që rezultojnë

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Tema “Shumëfishat” studiohet në klasën e 5-të shkolla e mesme. Qëllimi i tij është të përmirësojë aftësitë me shkrim dhe me gojë llogaritjet matematikore. Në këtë mësim, prezantohen koncepte të reja - "numra të shumëfishtë" dhe "pjesëtues", praktikohet teknika e gjetjes së pjesëtuesve dhe shumëfishave të një numri natyror dhe aftësia për të gjetur LCM në mënyra të ndryshme.

Kjo temë është shumë e rëndësishme. Njohuritë për të mund të zbatohen gjatë zgjidhjes së shembujve me thyesa. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni emëruesin e përbashkët duke llogaritur shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM).

Një shumëfish i A është një numër i plotë që pjesëtohet me A pa mbetje.

Çdo numër natyror ka një numër të pafund të shumëfishave të tij. Ai vetë konsiderohet më i vogli. Shumëfishi nuk mund të jetë më i vogël se vetë numri.

Duhet të vërtetoni se numri 125 është shumëfish i numrit 5. Për ta bërë këtë, duhet të ndani numrin e parë me të dytin. Nëse 125 pjesëtohet me 5 pa mbetje, atëherë përgjigja është po.

Kjo metodë është e zbatueshme për numra të vegjël.

Ka raste të veçanta gjatë llogaritjes së LOC.

1. Nëse ju duhet të gjeni një shumëfish të përbashkët të 2 numrave (për shembull, 80 dhe 20), ku njëri prej tyre (80) është i pjesëtueshëm me tjetrin (20), atëherë ky numër (80) është shumëfishi më i vogël i këtyre. dy numra.

LCM(80, 20) = 80.

2. Nëse dy nuk kanë pjesëtues të përbashkët, atëherë mund të themi se LCM e tyre është prodhimi i këtyre dy numrave.

LCM(6, 7) = 42.

Le të shohim shembullin e fundit. 6 dhe 7 në raport me 42 janë pjesëtues. Ata ndajnë një shumëfish të një numri pa mbetje.

Në këtë shembull, 6 dhe 7 janë faktorë të çiftuar. Prodhimi i tyre është i barabartë me numrin më të shumëfishtë (42).

Një numër quhet i thjeshtë nëse pjesëtohet vetëm me vetveten ose me 1 (3:1=3; 3:3=1). Pjesa tjetër quhen të përbëra.

Një shembull tjetër përfshin përcaktimin nëse 9 është pjesëtues i 42.

42:9=4 (e mbetura 6)

Përgjigje: 9 nuk është pjesëtues i 42 sepse përgjigja ka një mbetje.

Një pjesëtues ndryshon nga një shumëfish në atë që pjesëtuesi është numri me të cilin ndahen numrat natyrorë dhe vetë shumëfishi pjesëtohet me këtë numër.

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave a Dhe b, shumëzuar me shumëfishin e tyre më të vogël, do të japë produktin e vetë numrave a Dhe b.

Domethënë: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Shumëfishat e përbashkët për numrat më kompleks gjenden në mënyrën e mëposhtme.

Për shembull, gjeni LCM për 168, 180, 3024.

I faktorizojmë këta numra në faktorë të thjeshtë dhe i shkruajmë si produkt i fuqive:

168=2³x3¹x7¹

24х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Prapa Përpara

Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha tiparet e prezantimit. Nëse jeni të interesuar këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Nxënësit e shkollave të mesme ndeshen me konceptet e pjesëtuesit më të madh të përbashkët (GCD) dhe shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCM) në klasën e gjashtë. Kjo temë është gjithmonë e vështirë për t'u kuptuar. Fëmijët shpesh i ngatërrojnë këto koncepte dhe nuk e kuptojnë pse duhet të studiohen. Kohët e fundit, në literaturën shkencore popullore, ka pasur pohime të izoluara se ky material duhet të përjashtohet nga programi shkollor. Unë mendoj se kjo nuk është plotësisht e vërtetë dhe është e nevojshme ta studiojmë atë, nëse jo në klasë, atëherë gjatë orëve jashtëshkollore gjatë orëve të komponentit të shkollës, pasi kontribuon në zhvillimin e të menduarit logjik tek nxënësit e shkollës, duke rritur shpejtësinë e operacioneve llogaritëse, dhe aftësia për të zgjidhur problemet duke përdorur metoda të bukura.

Gjatë studimit të temës “Mbledhja dhe zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm"Ne i mësojmë fëmijët të gjejnë emëruesin e përbashkët të dy ose më shumë numrave. Për shembull, duhet të shtoni thyesat 1/3 dhe 1/5. Nxënësit mund të gjejnë lehtësisht një numër që pjesëtohet me 3 dhe 5 pa mbetje. Kjo është numri 15. Në të vërtetë, nëse numrat janë të vegjël, atëherë është e lehtë të gjesh emëruesin e tyre të përbashkët nëse e njeh mirë tabelën e shumëzimit Njëri nga fëmijët vëren se ky numër është prodhimi i numrave 3 dhe 5. Fëmijët kanë mendimi se në këtë mënyrë është gjithmonë e mundur të gjejmë emëruesin e përbashkët për numrat P.sh Tashmë e kemi marrë. numër i madh, dhe nëse më tej ju duhet të bëni disa llogaritje (sidomos për shembuj për të gjitha veprimet), atëherë gjasat për një gabim rritet. Por shumëfishi më pak i zakonshëm i gjetur i numrave (LCM), i cili në këtë rast është i barabartë me emëruesin më të vogël të përbashkët (LCD) - numri 72 - do të lehtësojë ndjeshëm llogaritjet dhe do të çojë në një zgjidhje më të shpejtë të shembullit, dhe në këtë mënyrë do të kursejë koha e caktuar për kryerjen e kësaj detyre, e cila luan një rol të rëndësishëm gjatë kryerjes së testeve dhe provimeve përfundimtare, veçanërisht gjatë certifikimit përfundimtar.

Kur studioni temën "Reduktimi i thyesave", mund të lëvizni në mënyrë sekuenciale duke pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin e një thyese me të njëjtin numër natyror, duke përdorur shenjat e pjesëtueshmërisë së numrave, duke marrë përfundimisht një thyesë të pakalueshme. Për shembull, ju duhet të zvogëloni fraksionin 128/344. Së pari, ndajmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës me numrin 2, marrim thyesën 64/172. Edhe një herë, ndajmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës që rezulton me 2, marrim thyesën 32/86. Ndajmë përsëri numëruesin dhe emëruesin e thyesës me 2, marrim thyesën e pakalueshme 16/43. Por zvogëlimi i një thyese mund të bëhet shumë më lehtë nëse gjejmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave 128 dhe 344. GCD(128, 344) = 8. Duke pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin e thyesës me këtë numër, marrim menjëherë një thyesë të pakalueshme. .

Ne duhet t'u tregojmë fëmijëve mënyra të ndryshme për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët (GCD) dhe shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCD) të numrave. Në raste të thjeshta, është e përshtatshme të gjesh pjesëtuesin më të madh të përbashkët (GCD) dhe shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCD) të numrave me numërim të thjeshtë. Ndërsa numrat bëhen më të mëdhenj, mund të përdorni faktorizimin e thjeshtë. Teksti shkollor i klasës së gjashtë (autori N.Ya. Vilenkin) tregon metodën e mëposhtme të gjetjes së pjesëtuesit më të madh të përbashkët (GCD) të numrave. Le të faktorizojmë numrat në faktorë të thjeshtë:

• 16 = 2*2*2*2
• 120 = 2*2*2*3*5

Më pas, nga faktorët e përfshirë në zgjerimin e njërit prej këtyre numrave, kryqëzojmë ata që nuk përfshihen në zgjerimin e numrit tjetër. Prodhimi i faktorëve të mbetur do të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i këtyre numrave. Në këtë rast, ky është numri 8. Nga përvoja ime, jam i bindur se është më e qartë për fëmijët nëse nënvizojmë të njëjtët faktorë në zbërthimin e numrave dhe më pas në një nga zbërthimet gjejmë produktin e faktorët e nënvizuar. Ky është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i këtyre numrave. Në klasën e gjashtë fëmijët janë aktivë dhe kureshtarë. Ju mund t'u vendosni atyre detyrën e mëposhtme: provoni të përdorni metodën e përshkruar për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave 343 dhe 287. Nuk është menjëherë e qartë se si t'i faktorizoni ata në faktorët kryesorë. Dhe këtu mund t'u tregoni atyre për metodën e mrekullueshme të shpikur nga grekët e lashtë, e cila ju lejon të kërkoni për pjesëtuesin më të madh të përbashkët (GCD) pa e faktorizuar atë në faktorët kryesorë. Kjo metodë e gjetjes së pjesëtuesit më të madh të përbashkët u përshkrua për herë të parë në Elementet e Euklidit. Quhet algoritmi Euklidian. Ai përbëhet nga sa vijon: Së pari, pjesëtoni numrin më të madh me atë më të vogël. Nëse fitohet një mbetje, atëherë pjesëtoni numrin më të vogël me mbetjen. Nëse fitohet përsëri një mbetje, atëherë ndani mbetjen e parë me të dytën. Vazhdoni të ndani në këtë mënyrë derisa pjesa e mbetur të jetë zero. Pjesëtuesi i fundit është pjesëtuesi më i madh i përbashkët (GCD) i këtyre numrave.

Le të kthehemi te shembulli ynë dhe, për qartësi, ta shkruajmë zgjidhjen në formën e një tabele.

Pra, gcd (344,287) = 7

Si të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM) të të njëjtëve numra? A ka ndonjë mënyrë për këtë që nuk kërkon zbërthimin paraprak të këtyre numrave në faktorët kryesorë? Rezulton se ka, dhe një gjë shumë e thjeshtë në atë. Ne duhet t'i shumëzojmë këta numra dhe të pjesëtojmë prodhimin me pjesëtuesin më të madh të përbashkët (GCD) që kemi gjetur. Në këtë shembull, prodhimi i numrave është 98441. Ndajeni atë me 7 dhe merrni numrin 14063. LCM(343,287) = 14063.

Një nga temat e vështira në matematikë është zgjidhja e problemave me fjalë. Ne duhet t'u tregojmë studentëve se si mund të përdoren konceptet e pjesëtuesit më të madh të përbashkët (GCD) dhe shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCM) për të zgjidhur probleme që ndonjëherë janë të vështira për t'u zgjidhur në mënyrën e zakonshme. Këtu është e përshtatshme të merren parasysh me nxënësit, së bashku me detyrat e propozuara nga autorët e tekstit shkollor, detyra antike dhe argëtuese që zhvillojnë kureshtjen e fëmijëve dhe rrisin interesin për të studiuar këtë temë. Zotërimi i aftë i këtyre koncepteve u mundëson studentëve të shohin një zgjidhje të bukur për një problem jo standard. Dhe nëse humori i një fëmije rritet pas zgjidhjes së një problemi të mirë, kjo është një shenjë e punës së suksesshme.

Kështu, duke studiuar në shkollë koncepte të tilla si "Pjestuesi më i madh i përbashkët (GCD)" dhe "Shumica më e vogël e zakonshme (LCD)" të numrave.

Ju lejon të kurseni kohën e caktuar për përfundimin e punës, gjë që çon në një rritje të konsiderueshme të vëllimit të detyrave të përfunduara;

Rrit shpejtësinë dhe saktësinë e kryerjes së veprimeve aritmetike, gjë që çon në një reduktim të ndjeshëm të numrit të gabimeve llogaritëse;

Ju lejon të gjeni mënyra të bukura për të zgjidhur problemet jo standarde të tekstit;

Zhvillon kuriozitetin e nxënësve, zgjeron horizontet e tyre;

Krijon parakushtet për edukimin e një personaliteti krijues të gjithanshëm.

Përkufizimi. Quhet numri më i madh natyror me të cilin pjesëtohen numrat a dhe b pa mbetje pjesëtuesi më i madh i përbashkët (GCD) këta numra.

Le të gjejmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave 24 dhe 35.
Pjesëtuesit e 24 janë numrat 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, dhe pjesëtuesit e 35 janë numrat 1, 5, 7, 35.
Shohim që numrat 24 dhe 35 kanë vetëm një pjesëtues të përbashkët - numrin 1. Numrat e tillë quhen kryeministër reciprok.

Përkufizimi. Numrat natyrorë quhen kryeministër reciprok, nëse pjesëtuesi i tyre më i madh i përbashkët (GCD) është 1.

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët (GCD) mund të gjenden pa i shkruar të gjithë pjesëtuesit e numrave të dhënë.

Duke faktorizuar numrat 48 dhe 36, marrim:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Nga faktorët e përfshirë në zgjerimin e të parit prej këtyre numrave, kalojmë ata që nuk përfshihen në zgjerimin e numrit të dytë (d.m.th., dy dysh).
Faktorët që mbeten janë 2 * 2 * 3. Prodhimi i tyre është 12. Ky numër është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 48 dhe 36. Gjendet edhe pjesëtuesi më i madh i përbashkët i tre ose më shumë numrave.

Për të gjetur pjesëtuesi më i madh i përbashkët

2) nga faktorët e përfshirë në zgjerimin e njërit prej këtyre numrave, kryqëzoni ata që nuk përfshihen në zgjerimin e numrave të tjerë;
3) gjeni produktin e faktorëve të mbetur.

Nëse të gjithë numrat e dhënë janë të pjesëtueshëm me njërin prej tyre, atëherë ky numër është pjesëtuesi më i madh i përbashkët numrat e dhënë.
Për shembull, pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 15, 45, 75 dhe 180 është numri 15, pasi të gjithë numrat e tjerë janë të pjesëtueshëm me të: 45, 75 dhe 180.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM)

Përkufizimi. Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) numrat natyrorë a dhe b është numri natyror më i vogël që është shumëfish i a dhe b. Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) i numrave 75 dhe 60 mund të gjendet pa i shkruar shumëfishat e këtyre numrave me radhë. Për ta bërë këtë, le të faktorizojmë 75 dhe 60 në faktorët kryesorë: 75 = 3 * 5 * 5 dhe 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Le të shkruajmë faktorët e përfshirë në zgjerimin e të parit prej këtyre numrave dhe t'u shtojmë atyre faktorët 2 dhe 2 që mungojnë nga zgjerimi i numrit të dytë (d.m.th., ne kombinojmë faktorët).
Marrim pesë faktorë 2 * 2 * 3 * 5 * 5, prodhimi i të cilëve është 300. Ky numër është shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave 75 dhe 60.

Ata gjithashtu gjejnë shumëfishin më të vogël të përbashkët të tre ose më shumë numrave.

për të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët ju nevojiten disa numra natyrorë:
1) faktorizoni në faktorë kryesorë;
2) shkruani faktorët e përfshirë në zgjerimin e një prej numrave;
3) shtojini atyre faktorët që mungojnë nga zgjerimet e numrave të mbetur;
4) gjeni produktin e faktorëve që rezultojnë.

Vini re se nëse njëri prej këtyre numrave është i pjesëtueshëm me të gjithë numrat e tjerë, atëherë ky numër është shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave.
Për shembull, shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave 12, 15, 20 dhe 60 është 60 sepse është i pjesëtueshëm me të gjithë këta numra.

Pitagora (shekulli VI para Krishtit) dhe studentët e tij studiuan çështjen e pjesëtueshmërisë së numrave. Ata e quajtën një numër të barabartë me shumën e të gjithë pjesëtuesve të tij (pa vetë numrin) një numër të përsosur. Për shembull, numrat 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) janë të përsosur. Numrat e ardhshëm të përsosur janë 496, 8128, 33,550,336 Pitagorianët dinin vetëm tre numrat e parë të përsosur. E katërta - 8128 - u bë e njohur në shekullin I. n. e. E pesta - 33,550,336 - u gjet në shekullin e 15-të. Deri në vitin 1983, njiheshin tashmë 27 numra të përsosur. Por shkencëtarët ende nuk e dinë nëse ka numra të përsosur tek apo nëse ka një numër më të madh të përsosur.
Interesi i matematikanëve të lashtë për numrat e thjeshtë rrjedh nga fakti se çdo numër është ose i thjeshtë ose mund të përfaqësohet si produkt. numrat e thjeshtë, pra numrat e thjeshtë janë si tulla nga të cilat janë ndërtuar pjesa tjetër e numrave natyrorë.
Ju ndoshta keni vënë re se numrat e thjeshtë në serinë e numrave natyrorë ndodhin në mënyrë të pabarabartë - në disa pjesë të serisë ka më shumë prej tyre, në të tjera - më pak. Por sa më tej lëvizim përgjatë serisë së numrave, aq më pak të zakonshëm janë numrat e thjeshtë. Shtrohet pyetja: a ka një numër të thjeshtë të fundit (më të madh)? Matematikani i lashtë grek Euklidi (shek. III para Krishtit), në librin e tij "Elementet", i cili ishte teksti kryesor i matematikës për dy mijë vjet, vërtetoi se ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë, pra pas çdo numri të thjeshtë ka një numër të thjeshtë edhe më të madh. numri.
Për të gjetur numrat e thjeshtë, një tjetër matematikan grek i së njëjtës kohë, Eratosthenes, doli me këtë metodë. Ai i shënoi të gjithë numrat nga 1 në një numër, dhe më pas shënoi njërin, i cili nuk është as numër i thjeshtë dhe as i përbërë, pastaj kaloi përmes një të gjithë numrat që vijnë pas 2 (numrat që janë shumëfish të 2, d.m.th. 4, 6, 8, etj.). Numri i parë i mbetur pas 2 ishte 3. Më pas, pas dy, të gjithë numrat që vinin pas 3 (numrat që ishin shumëfish të 3, d.m.th. 6, 9, 12, etj.) u kryqëzuan. në fund vetëm numrat e thjeshtë mbetën të pakryqëzuar.