Dreptunghiular

triunghiuri

Geometrie, clasa a VII-a

La manualul de L.S Atanasyan

profesor de matematică de cea mai înaltă categorie

Instituția de învățământ municipală „Școala secundară de bază Upshinskaya”

Districtul Orsha din Republica Mari El

AC, BC – picioare

AB - ipotenuză

Proprietatea 1 0 . Suma unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic este 90 0.

Sarcina 1. Aflați unghiul A al triunghiului dreptunghic ABC cu unghi drept C dacă: a) ے B = 32 0; b) ے B este de 2 ori mai mic decât unghiul A; c) ے B este cu 20 0 mai mic decât unghiul A.

Sarcina 2.

Sarcina 3.

Unghiul A:

BC – picior situat opus unghiului A

AC – picior adiacent unghiului A

Unghiul B:

AC - picior,...

BC - picior,...

Numiți catetele opuse unghiurilor N și K

Numiți catetele adiacente unghiurilor N și K

0

Sarcină. Demonstrează asta 0 , este egal cu jumătate din ipotenuză.

Proprietatea 2 0 . Un catet al unui triunghi dreptunghic situat opus unui unghi de 30 0 , este egal cu jumătate din ipotenuză.

Triunghi dreptunghic cu un unghi de 30 0

Sarcină. Demonstrează asta 0 .

Proprietatea 3 0 . Dacă catetul unui triunghi dreptunghic este egal cu jumătate din ipotenuză, atunci unghiul opus acestui catet este 30 0 .

Triunghi dreptunghic cu unghi 30 0

Problema 4 .

AB = 12 cm Aflați BC

Sarcina 5.

BC = 7,5 cm Găsiți AB

Sarcina 6.

AB + BC = 15 cm.

Găsiți AB și BC

Triunghi dreptunghic cu unghi 30 0

Sarcina 7.

AC = 4 cm Găsiți AB

Sarcina 8.

AB - AC = 15 cm.

Găsiți AB și AC

Triunghi dreptunghic cu unghi 30 0

Problema 9 .

Aflați unghiurile ascuțite ale triunghiului dreptunghic ABC dacă AB = 12 cm, BC = 6 cm.

Triunghi dreptunghic cu unghi 30 0

Problema 10 .

Aflați unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic dacă unghiul dintre bisectoare și altitudinea trasat de la vârf unghi drept, este egal cu 15 0.

SC - bisectoare

CM - înălțime

Triunghi dreptunghic cu unghi 30 0

Problema 11 .

Într-un triunghi isoscel, unul dintre unghiuri este de 120 0 și baza este de 4 cm Aflați înălțimea desenată pe latură.

AM - înălțime

Triunghi dreptunghic cu unghi 30 0

Problema 12 .

Altitudinea trasată pe partea laterală a unui triunghi isoscel traversează unghiul dintre bază și bisectoare. Aflați unghiurile unui triunghi isoscel.

AK – bisectoarea unghiului A

AM - înălțime

Triunghi dreptunghic cu unghi 30 0

Problema 14 .

Demonstrați că dacă triunghiul este dreptunghic, atunci mediana trasă din vârful unghiului drept este egală cu jumătate din ipotenuză.

Proprietatea 4 0 .

ΔАВС - dreptunghiular

SM – mediană

Avem o contradicție!

Triunghi dreptunghic cu unghi 30 0

Problema 13 .

Demonstrați că dacă mediana unui triunghi este egală cu jumătate din latura pe care este trasat, atunci triunghiul este dreptunghic.

VM – mediană

Demonstrați: ΔABC - dreptunghiular

Proprietatea 5 0 .

Unele proprietăți ale triunghiurilor dreptunghiulare

Proprietatea 1 0 . Suma unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic este 90 0 .

Proprietatea 2 0 . Un catet al unui triunghi dreptunghic situat opus unui unghi de 30 0 , egal cu jumătate din ipotenuză .

Proprietatea 3 0 . Dacă catetul unui triunghi dreptunghic este egal cu jumătate din ipotenuză, atunci unghiul opus acestui catet este 30 0 .

Proprietatea 4 0 . Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasă din vârful unghiului drept este egală cu jumătate din ipotenuză.

Proprietatea 5 0 . Dacă mediana unui triunghi este egală cu jumătate din latura de care este desenat, atunci acest triunghi este dreptunghic.

Definiţie.triunghi dreptunghic - un triunghi, unul dintre unghiurile căruia este drept (egal cu ).

Un triunghi dreptunghic este un caz special al unui triunghi obișnuit. Prin urmare, toate proprietățile triunghiurilor obișnuite pentru triunghiuri dreptunghiulare sunt păstrate. Dar există și unele proprietăți particulare datorate prezenței unui unghi drept.

Denumiri comune (Fig. 1):

- unghi drept;

- ipotenuză;

- picioare;

Orez. 1.

CUproprietățile unui triunghi dreptunghic.

Proprietatea 1. Suma unghiurilor și a unui triunghi dreptunghic este egală cu .

Dovada. Amintiți-vă că suma unghiurilor oricărui triunghi este egală cu . Ținând cont de faptul că , aflăm că suma celor două unghiuri rămase este egală cu Adică,

Proprietatea 2. Într-un triunghi dreptunghic ipotenuză mai mult decât oricare dintre picioare(este cea mai mare parte).

Dovada. Amintiți-vă că într-un triunghi, latura mai mare se află opusă unghiului mai mare (și invers). Din Proprietatea 1 demonstrată mai sus rezultă că suma unghiurilor și a unui triunghi dreptunghic este egală cu . Deoarece unghiul unui triunghi nu poate fi egal cu 0, atunci fiecare dintre ele este mai mic decât . Aceasta înseamnă că este cea mai mare, ceea ce înseamnă că cea mai mare latură a triunghiului se află vizavi de el. Aceasta înseamnă că ipotenuza este cea mai lungă latură a unui triunghi dreptunghic, adică: .

Proprietatea 3. Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este mai mică decât suma catetelor.

Dovada. Această proprietate devine evidentă dacă ne amintim inegalitatea triunghiulară.

Inegalitatea triunghiulară

În orice triunghi, suma oricăror două laturi este mai mare decât a treia latură.

Proprietatea 3 decurge imediat din această inegalitate.

Nota:în ciuda faptului că fiecare catete individual este mai mic decât ipotenuza, suma lor se dovedește a fi mai mare. Într-un exemplu numeric arată astfel: , dar .

V:

Primul semn (pe 2 laturi și unghiul dintre ele): Dacă triunghiurile au două laturi egale și unghiul dintre ele, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Al doilea semn (pe lângă și două unghiuri adiacente): dacă triunghiurile au laturile egale și două unghiuri adiacente unei laturi date, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente. Nota: Folosind faptul că suma unghiurilor unui triunghi este constantă și egală cu , este ușor de demonstrat că nu este necesară condiția de „aderență” a unghiurilor, adică semnul va fi adevărat în următoarea formulare: „... latura și două unghiuri sunt egale, atunci...”.

Al treilea semn (pe 3 laturi): Dacă triunghiurile au toate cele trei laturi egale, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Desigur, toate aceste semne rămân adevărate pentru triunghiuri dreptunghiulare. Cu toate acestea, triunghiurile dreptunghiulare au o caracteristică semnificativă - au întotdeauna o pereche de unghiuri drepte egale. Prin urmare, aceste semne sunt simplificate pentru ei. Deci, să formulăm semnele de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare:

Primul semn (pe două fețe): dacă triunghiurile dreptunghiulare au catete egale în perechi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale între ele (Fig. 2).

Dat:

Orez. 2. Ilustrarea primului semn de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare

Dovedi:

Dovada:în triunghiuri dreptunghiulare: . Aceasta înseamnă că putem folosi primul semn de egalitate al triunghiurilor (pe 2 laturi și unghiul dintre ele) și obținem: .

2-al-lea semn (după picior și unghi): dacă cateta și unghiul ascuțit al unui triunghi dreptunghic sunt egale cu cateta și unghiul ascuțit ale altui triunghi dreptunghic, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente (Fig. 3).

Dat:

Orez. 3. Ilustrarea celui de-al doilea semn de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare

Dovedi:

Dovada: Să observăm imediat că faptul că unghiurile adiacente catetelor egale sunt egale nu este fundamental. Într-adevăr, suma unghiurilor acute ale unui triunghi dreptunghic (prin proprietatea 1) este egală cu . Aceasta înseamnă că, dacă o pereche dintre aceste unghiuri este egală, atunci cealaltă este egală (deoarece sumele lor sunt aceleași).

Dovada acestei caracteristici se rezumă la utilizare al doilea semn al egalității triunghiurilor(pe 2 colturi si pe o latura). Într-adevăr, după condiție, picioarele și o pereche de unghiuri adiacente sunt egale. Dar a doua pereche de unghiuri adiacente este formată din unghiuri. Aceasta înseamnă că putem folosi al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor și obținem: .

Al treilea semn (după ipotenuză și unghi): dacă ipotenuza și unghiul ascuțit al unui triunghi dreptunghic sunt egale cu ipotenuza și unghiul ascuțit al altui triunghi dreptunghic, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente (Fig. 4).

Dat:

Orez. 4. Ilustrarea celui de-al treilea semn de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare

Dovedi:

Dovada: pentru a dovedi acest semn puteți folosi imediat al doilea semn al egalității triunghiurilor- pe o latură și două unghiuri (mai precis, un corolar, care spune că unghiurile nu trebuie să fie adiacente laturii). Într-adevăr, conform condiţiei: , , iar din proprietăţile triunghiurilor dreptunghic rezultă că . Aceasta înseamnă că putem folosi al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor și obținem: .

Al 4-lea semn (după ipotenuză și catet): dacă ipotenuza și catetul unui triunghi dreptunghic sunt egale, respectiv, cu ipotenuza și catetul altui triunghi dreptunghic, atunci astfel de triunghiuri sunt egale între ele (Fig. 5).

Dat:

Orez. 5. Ilustrarea celui de-al patrulea semn de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare

Dovedi:

Dovada: Pentru a demonstra acest criteriu, vom folosi criteriul pentru egalitatea triunghiurilor, pe care l-am formulat și demonstrat în ultima lecție și anume: dacă triunghiurile au două laturi egale și un unghi mai mare, atunci astfel de triunghiuri sunt egale. Într-adevăr, prin condiție avem două laturi egale. În plus, după proprietatea triunghiurilor dreptunghiulare: . Rămâne de demonstrat că unghiul drept este cel mai mare din triunghi. Să presupunem că nu este cazul, ceea ce înseamnă că trebuie să mai existe cel puțin un unghi mai mare decât . Dar atunci suma unghiurilor triunghiului va fi deja mai mare. Dar acest lucru este imposibil, ceea ce înseamnă că un astfel de unghi nu poate exista într-un triunghi. Aceasta înseamnă că unghiul drept este cel mai mare dintr-un triunghi dreptunghic. Aceasta înseamnă că puteți utiliza caracteristica formulată mai sus și puteți obține: .

Să formulăm acum încă o proprietate care este caracteristică doar triunghiurilor dreptunghiulare.

Proprietate

Piciorul situat opus unghiului în este de 2 ori mai mic decât ipotenuza(Fig. 6).

Dat:

Orez. 6.

Dovedi:AB

Dovada: Să realizăm o construcție suplimentară: extindeți linia dreaptă dincolo de punct până la un segment egal cu . Să obținem un punct. Deoarece unghiurile și sunt adiacente, suma lor este egală cu . Din moment ce , atunci unghiul .

Aceasta înseamnă că triunghiurile dreptunghiulare (pe două laturi: - general, - prin construcție) sunt primul semn al egalității triunghiurilor dreptunghiulare.

Din egalitatea triunghiurilor rezultă că toate elementele corespunzătoare sunt egale. Înseamnă, . Unde: . În plus, (din egalitatea acelorași triunghiuri). Aceasta înseamnă că triunghiul este isoscel (deoarece unghiurile sale de bază sunt egale), dar un triunghi isoscel, unul dintre unghiurile căruia este egal cu , este echilateral. De aici rezultă, în special, că .

Proprietatea unui picior situat opus unui unghi în

Este de remarcat faptul că afirmația opusă este și adevărată: dacă într-un triunghi dreptunghic ipotenuza este de două ori mai mare decât unul dintre catete, atunci unghiul ascuțit opus acestui catet este egal cu .

Nota: semnînseamnă că dacă orice afirmație este adevărată, atunci triunghiul este dreptunghic. Adică, caracteristica vă permite să identificați un triunghi dreptunghic.

Este important să nu confundați un semn cu proprietate- adică dacă triunghiul este dreptunghic, atunci are următoarele proprietăți... Adesea semnele și proprietățile sunt reciproc inverse, dar nu întotdeauna. De exemplu, proprietatea unui triunghi echilateral: un triunghi echilateral are un unghi. Dar acesta nu va fi un semn al unui triunghi echilateral, deoarece nu orice triunghi care are un unghi, este echilaterală.

Nivel intermediar

Triunghi dreptunghic. Ghidul complet ilustrat (2019)

TRIANGUL DREPTUNGULAR. NIVEL DE ENTRARE.

În probleme, unghiul drept nu este deloc necesar - stânga jos, așa că trebuie să învățați să recunoașteți un triunghi dreptunghic sub această formă,

si in aceasta

si in aceasta

Ce este bun la un triunghi dreptunghic? Ei bine... în primul rând, sunt speciale nume frumoase pentru laturile lui.

Atentie la desen!

Amintiți-vă și nu confundați: sunt două catete și există o singură ipotenuză(unicul și singurul, unic și cel mai lung)!

Ei bine, am discutat despre nume, acum cel mai important lucru: Teorema lui Pitagora.

Teorema lui Pitagora.

Această teoremă este cheia pentru rezolvarea multor probleme care implică un triunghi dreptunghic. A fost dovedit de Pitagora în vremuri cu totul imemoriale, iar de atunci a adus multe beneficii celor care îl cunosc. Și cel mai bun lucru este că este simplu.

Aşa, Teorema lui Pitagora:

Îți amintești gluma: „Pantalonii pitagoreici sunt egali din toate părțile!”?

Să desenăm aceiași pantaloni pitagoreici și să ne uităm la ei.

Nu seamănă cu un fel de pantaloni scurți? Ei bine, în ce părți și unde sunt egale? De ce și de unde a venit gluma? Și această glumă este legată tocmai de teorema lui Pitagora, sau mai exact de modul în care Pitagora însuși și-a formulat teorema. Și a formulat astfel:

"Sumă arii de pătrate, construit pe picioare, este egal cu suprafata patrata, construit pe ipotenuză."

Chiar sună puțin diferit? Și astfel, când Pitagora a desenat enunțul teoremei sale, aceasta este exact imaginea care a ieșit.

În această imagine, suma suprafețelor pătratelor mici este egală cu aria pătratului mare. Și pentru ca copiii să-și amintească mai bine că suma pătratelor picioarelor este egală cu pătratul ipotenuzei, cineva plin de duh a venit cu această glumă despre pantalonii pitagoreici.

De ce formulăm acum teorema lui Pitagora?

A suferit Pitagora și a vorbit despre pătrate?

Vezi tu, în antichitate nu exista... algebră! Nu erau semne și așa mai departe. Nu existau inscripții. Vă puteți imagina cât de groaznic a fost pentru bieții studenți antici să-și amintească totul în cuvinte?! Și ne putem bucura că avem o formulare simplă a teoremei lui Pitagora. Să o repetăm ​​pentru a ne aminti mai bine:

Ar trebui să fie ușor acum:

Ei bine, a fost discutată cea mai importantă teoremă despre triunghiuri dreptunghiulare. Dacă sunteți interesat de modul în care este dovedit, citiți următoarele niveluri de teorie și acum să mergem mai departe... în pădurea întunecată... trigonometrie! La cuvintele teribile sinus, cosinus, tangent și cotangent.

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic.

De fapt, totul nu este deloc atât de înfricoșător. Desigur, definiția „reala” a sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei ar trebui să fie analizată în articol. Dar chiar nu vreau, nu? Ne putem bucura: pentru a rezolva probleme despre un triunghi dreptunghic, puteți completa pur și simplu următoarele lucruri simple:

De ce totul este aproape de colț? Unde este coltul? Pentru a înțelege acest lucru, trebuie să știți cum sunt scrise afirmațiile 1 - 4 în cuvinte. Priviți, înțelegeți și amintiți-vă!

1.
De fapt suna cam asa:

Dar unghiul? Există un picior care este opus colțului, adică un picior opus (pentru un unghi)? Bineînțeles că există! Acesta este un picior!

Dar unghiul? Privește cu atenție. Care picior este adiacent colțului? Desigur, piciorul. Aceasta înseamnă că pentru unghi piciorul este adiacent și

Acum, fii atent! Uite ce avem:

Vezi ce tare este:

Acum să trecem la tangentă și cotangentă.

Cum pot scrie asta în cuvinte acum? Care este piciorul în raport cu unghiul? Vizavi, desigur - „se află” vizavi de colț. Dar piciorul? Adiacent colțului. Deci ce avem?

Vedeți cum numărătorul și numitorul au schimbat locurile?

Și acum colțurile din nou și au făcut un schimb:

Relua

Să scriem pe scurt tot ce am învățat.

Teorema lui Pitagora:

Principala teoremă despre triunghiuri dreptunghiulare este teorema lui Pitagora.

Teorema lui Pitagora

Apropo, vă amintiți bine ce sunt catetele și ipotenuza? Dacă nu este foarte bun, atunci uită-te la imagine - reîmprospătează-ți cunoștințele

Este foarte posibil să fi folosit deja teorema lui Pitagora de multe ori, dar te-ai întrebat vreodată de ce o astfel de teoremă este adevărată? Cum pot dovedi asta? Să facem ca grecii antici. Să desenăm un pătrat cu o latură.

Vezi cât de inteligent i-am împărțit laturile în segmente de lungimi și!

Acum să conectăm punctele marcate

Aici, totuși, am notat altceva, dar tu însuți te uiți la desen și te gândești de ce este așa.

Care este aria pătratului mai mare? Corect,. Dar o zonă mai mică? Cu siguranță, . Suprafața totală a celor patru colțuri rămâne. Imaginează-ți că i-am luat câte doi și i-am sprijinit unul de celălalt cu ipotenuzele lor. Ce s-a întâmplat? Două dreptunghiuri. Aceasta înseamnă că aria „tăierilor” este egală.

Să punem totul împreună acum.

Să transformăm:

Așa că l-am vizitat pe Pitagora - i-am demonstrat teorema într-un mod antic.

Triunghi dreptunghic și trigonometrie

Pentru un triunghi dreptunghic sunt valabile următoarele relații:

Sinusul unghi ascuțit egal cu raportul laturii opuse ipotenuzei

Cosinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetei adiacente și ipotenuză.

Tangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.

Cotangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.

Și încă o dată toate acestea sub formă de tabletă:

Este foarte convenabil!

Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare

I. Pe două laturi

II. Prin catenă și ipotenuză

III. Prin ipotenuză și unghi ascuțit

IV. De-a lungul piciorului și unghi ascuțit

o)

b)

Atenţie! Este foarte important aici ca picioarele să fie „potrivite”. De exemplu, dacă merge așa:

ATUNCI TRIANGULILE NU SUNT EGALE, în ciuda faptului că au un unghi ascuțit identic.

Este necesar ca în ambele triunghiuri piciorul era adiacent, sau în ambele era opus.

Ați observat cum diferă semnele de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare de semnele obișnuite de egalitate ale triunghiurilor? Priviți subiectul „și acordați atenție faptului că pentru egalitatea triunghiurilor „obișnuite”, trei dintre elementele lor trebuie să fie egale: două laturi și unghiul dintre ele, două unghiuri și latura dintre ele sau trei laturi. Dar pentru egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare sunt suficiente doar două elemente corespunzătoare. Grozav, nu?

Situația este aproximativ aceeași cu semnele de similitudine ale triunghiurilor dreptunghiulare.

Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare

I. De-a lungul unui unghi ascuțit

II. Pe două laturi

III. Prin catenă și ipotenuză

Mediana într-un triunghi dreptunghic

De ce este așa?

În loc de un triunghi dreptunghic, luați în considerare un întreg dreptunghi.

Să desenăm o diagonală și să luăm în considerare un punct - punctul de intersecție al diagonalelor. Ce se știe despre diagonalele unui dreptunghi?

Și ce rezultă din asta?

Deci s-a dovedit că

1. - mediana:

Amintiți-vă acest fapt! Ajută mult!

Ceea ce este și mai surprinzător este că și contrariul este adevărat.

La ce bun se poate obține din faptul că mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză? Să ne uităm la poză

Privește cu atenție. Avem: , adică distanțele de la punct la toate cele trei vârfuri ale triunghiului s-au dovedit a fi egale. Dar există un singur punct în triunghi, distanțele de la care toate cele trei vârfuri ale triunghiului sunt egale și acesta este CENTRU CERCULUI. Deci ce sa întâmplat?

Să începem cu acest „în afară de...”.

Să ne uităm la și.

Dar triunghiuri similare au toate unghiurile egale!

Același lucru se poate spune despre și

Acum să o desenăm împreună:

Ce beneficii pot fi obținute din această similitudine „trilă”?

Ei bine, de exemplu - două formule pentru înălțimea unui triunghi dreptunghic.

Să notăm relațiile părților corespunzătoare:

Pentru a găsi înălțimea, rezolvăm proporția și obținem prima formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghic”:

Deci, să aplicăm asemănarea: .

Ce se va întâmpla acum?

Din nou rezolvăm proporția și obținem a doua formulă:

Trebuie să vă amintiți foarte bine ambele formule și să o utilizați pe cea mai convenabilă. Să le scriem din nou

Teorema lui Pitagora:

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: .

Semne de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare:

• pe doua laturi:
• prin catete și ipotenuză: or
• de-a lungul piciorului și unghiului acut adiacent: sau
• de-a lungul piciorului și unghiului acut opus: or
• prin ipotenuză şi unghi ascuţit: or.

Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare:

• un colț ascuțit: sau
• din proporționalitatea a două picioare:
• din proporţionalitatea catetei şi ipotenuzei: or.

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic

• Sinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei:
• Cosinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză:
• Tangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă:
• Cotangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre latura adiacentă și latura opusă: .

Înălțimea unui triunghi dreptunghic: sau.

Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasă din vârful unghiului drept este egală cu jumătate din ipotenuză: .

Aria unui triunghi dreptunghic:

• prin picioare:

Nivel intermediar

Triunghi dreptunghic. Ghidul complet ilustrat (2019)

TRIANGUL DREPTUNGULAR. NIVEL DE ENTRARE.

În probleme, unghiul drept nu este deloc necesar - stânga jos, așa că trebuie să învățați să recunoașteți un triunghi dreptunghic sub această formă,

si in aceasta

si in aceasta

Ce este bun la un triunghi dreptunghic? Ei bine..., în primul rând, există nume deosebite frumoase pentru părțile sale.

Atentie la desen!

Amintiți-vă și nu confundați: sunt două catete și există o singură ipotenuză(unicul și singurul, unic și cel mai lung)!

Ei bine, am discutat despre nume, acum cel mai important lucru: Teorema lui Pitagora.

Teorema lui Pitagora.

Această teoremă este cheia pentru rezolvarea multor probleme care implică un triunghi dreptunghic. A fost dovedit de Pitagora în vremuri cu totul imemoriale, iar de atunci a adus multe beneficii celor care îl cunosc. Și cel mai bun lucru este că este simplu.

Aşa, Teorema lui Pitagora:

Îți amintești gluma: „Pantalonii pitagoreici sunt egali din toate părțile!”?

Să desenăm aceiași pantaloni pitagoreici și să ne uităm la ei.

Nu seamănă cu un fel de pantaloni scurți? Ei bine, în ce părți și unde sunt egale? De ce și de unde a venit gluma? Și această glumă este legată tocmai de teorema lui Pitagora, sau mai exact de modul în care Pitagora însuși și-a formulat teorema. Și a formulat astfel:

"Sumă arii de pătrate, construit pe picioare, este egal cu suprafata patrata, construit pe ipotenuză."

Chiar sună puțin diferit? Și astfel, când Pitagora a desenat enunțul teoremei sale, aceasta este exact imaginea care a ieșit.

În această imagine, suma suprafețelor pătratelor mici este egală cu aria pătratului mare. Și pentru ca copiii să-și amintească mai bine că suma pătratelor picioarelor este egală cu pătratul ipotenuzei, cineva plin de duh a venit cu această glumă despre pantalonii pitagoreici.

De ce formulăm acum teorema lui Pitagora?

A suferit Pitagora și a vorbit despre pătrate?

Vezi tu, în antichitate nu exista... algebră! Nu erau semne și așa mai departe. Nu existau inscripții. Vă puteți imagina cât de groaznic a fost pentru bieții studenți antici să-și amintească totul în cuvinte?! Și ne putem bucura că avem o formulare simplă a teoremei lui Pitagora. Să o repetăm ​​pentru a ne aminti mai bine:

Ar trebui să fie ușor acum:

Ei bine, a fost discutată cea mai importantă teoremă despre triunghiuri dreptunghiulare. Dacă sunteți interesat de modul în care este dovedit, citiți următoarele niveluri de teorie și acum să mergem mai departe... în pădurea întunecată... trigonometrie! La cuvintele teribile sinus, cosinus, tangent și cotangent.

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic.

De fapt, totul nu este deloc atât de înfricoșător. Desigur, definiția „reala” a sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei ar trebui să fie analizată în articol. Dar chiar nu vreau, nu? Ne putem bucura: pentru a rezolva probleme despre un triunghi dreptunghic, puteți completa pur și simplu următoarele lucruri simple:

De ce totul este aproape de colț? Unde este coltul? Pentru a înțelege acest lucru, trebuie să știți cum sunt scrise afirmațiile 1 - 4 în cuvinte. Priviți, înțelegeți și amintiți-vă!

1.
De fapt suna cam asa:

Dar unghiul? Există un picior care este opus colțului, adică un picior opus (pentru un unghi)? Bineînțeles că există! Acesta este un picior!

Dar unghiul? Privește cu atenție. Care picior este adiacent colțului? Desigur, piciorul. Aceasta înseamnă că pentru unghi piciorul este adiacent și

Acum, fii atent! Uite ce avem:

Vezi ce tare este:

Acum să trecem la tangentă și cotangentă.

Cum pot scrie asta în cuvinte acum? Care este piciorul în raport cu unghiul? Vizavi, desigur - „se află” vizavi de colț. Dar piciorul? Adiacent colțului. Deci ce avem?

Vedeți cum numărătorul și numitorul au schimbat locurile?

Și acum colțurile din nou și au făcut un schimb:

Relua

Să scriem pe scurt tot ce am învățat.

Teorema lui Pitagora:

Principala teoremă despre triunghiuri dreptunghiulare este teorema lui Pitagora.

Teorema lui Pitagora

Apropo, vă amintiți bine ce sunt catetele și ipotenuza? Dacă nu este foarte bun, atunci uită-te la imagine - reîmprospătează-ți cunoștințele

Este foarte posibil să fi folosit deja teorema lui Pitagora de multe ori, dar te-ai întrebat vreodată de ce o astfel de teoremă este adevărată? Cum pot dovedi asta? Să facem ca grecii antici. Să desenăm un pătrat cu o latură.

Vezi cât de inteligent i-am împărțit laturile în segmente de lungimi și!

Acum să conectăm punctele marcate

Aici, totuși, am notat altceva, dar tu însuți te uiți la desen și te gândești de ce este așa.

Care este aria pătratului mai mare? Corect,. Dar o zonă mai mică? Cu siguranță, . Suprafața totală a celor patru colțuri rămâne. Imaginează-ți că i-am luat câte doi și i-am sprijinit unul de celălalt cu ipotenuzele lor. Ce s-a întâmplat? Două dreptunghiuri. Aceasta înseamnă că aria „tăierilor” este egală.

Să punem totul împreună acum.

Să transformăm:

Așa că l-am vizitat pe Pitagora - i-am demonstrat teorema într-un mod antic.

Triunghi dreptunghic și trigonometrie

Pentru un triunghi dreptunghic sunt valabile următoarele relații:

Sinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul dintre latura opusă ipotenuzei

Cosinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetei adiacente și ipotenuză.

Tangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.

Cotangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.

Și încă o dată toate acestea sub formă de tabletă:

Este foarte convenabil!

Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare

I. Pe două laturi

II. Prin catenă și ipotenuză

III. Prin ipotenuză și unghi ascuțit

IV. De-a lungul piciorului și unghi ascuțit

o)

b)

Atenţie! Este foarte important aici ca picioarele să fie „potrivite”. De exemplu, dacă merge așa:

ATUNCI TRIANGULILE NU SUNT EGALE, în ciuda faptului că au un unghi ascuțit identic.

Este necesar ca în ambele triunghiuri piciorul era adiacent, sau în ambele era opus.

Ați observat cum diferă semnele de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare de semnele obișnuite de egalitate ale triunghiurilor? Priviți subiectul „și acordați atenție faptului că pentru egalitatea triunghiurilor „obișnuite”, trei dintre elementele lor trebuie să fie egale: două laturi și unghiul dintre ele, două unghiuri și latura dintre ele sau trei laturi. Dar pentru egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare sunt suficiente doar două elemente corespunzătoare. Grozav, nu?

Situația este aproximativ aceeași cu semnele de similitudine ale triunghiurilor dreptunghiulare.

Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare

I. De-a lungul unui unghi ascuțit

II. Pe două laturi

III. Prin catenă și ipotenuză

Mediana într-un triunghi dreptunghic

De ce este așa?

În loc de un triunghi dreptunghic, luați în considerare un întreg dreptunghi.

Să desenăm o diagonală și să luăm în considerare un punct - punctul de intersecție al diagonalelor. Ce se știe despre diagonalele unui dreptunghi?

Și ce rezultă din asta?

Deci s-a dovedit că

1. - mediana:

Amintiți-vă acest fapt! Ajută mult!

Ceea ce este și mai surprinzător este că și contrariul este adevărat.

La ce bun se poate obține din faptul că mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză? Să ne uităm la poză

Privește cu atenție. Avem: , adică distanțele de la punct la toate cele trei vârfuri ale triunghiului s-au dovedit a fi egale. Dar există un singur punct în triunghi, distanțele de la care toate cele trei vârfuri ale triunghiului sunt egale și acesta este CENTRU CERCULUI. Deci ce sa întâmplat?

Să începem cu acest „în afară de...”.

Să ne uităm la și.

Dar triunghiuri similare au toate unghiurile egale!

Același lucru se poate spune despre și

Acum să o desenăm împreună:

Ce beneficii pot fi obținute din această similitudine „trilă”?

Ei bine, de exemplu - două formule pentru înălțimea unui triunghi dreptunghic.

Să notăm relațiile părților corespunzătoare:

Pentru a găsi înălțimea, rezolvăm proporția și obținem prima formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghic”:

Deci, să aplicăm asemănarea: .

Ce se va întâmpla acum?

Din nou rezolvăm proporția și obținem a doua formulă:

Trebuie să vă amintiți foarte bine ambele formule și să o utilizați pe cea mai convenabilă. Să le scriem din nou

Teorema lui Pitagora:

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: .

Semne de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare:

• pe doua laturi:
• prin catete și ipotenuză: or
• de-a lungul piciorului și unghiului acut adiacent: sau
• de-a lungul piciorului și unghiului acut opus: or
• prin ipotenuză şi unghi ascuţit: or.

Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare:

• un colț ascuțit: sau
• din proporționalitatea a două picioare:
• din proporţionalitatea catetei şi ipotenuzei: or.

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic

• Sinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei:
• Cosinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză:
• Tangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă:
• Cotangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre latura adiacentă și latura opusă: .

Înălțimea unui triunghi dreptunghic: sau.

Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasă din vârful unghiului drept este egală cu jumătate din ipotenuză: .

Aria unui triunghi dreptunghic:

• prin picioare: