În spațiul bidimensional, două linii se intersectează doar într-un punct, definit de coordonatele (x,y). Deoarece ambele drepte trec prin punctul lor de intersecție, coordonatele (x,y) trebuie să satisfacă ambele ecuații care descriu aceste drepte. Cu unele abilități suplimentare, puteți găsi punctele de intersecție ale parabolelor și ale altor curbe pătratice.

Pași

Punct de intersecție a două drepte

Scrieți ecuația fiecărei linii, izolând variabila „y” în partea stângă a ecuației. Ar trebui plasați pe alți termeni ai ecuației partea dreaptă ecuații Poate că ecuația care ți-a fost dată va conține variabila f(x) sau g(x) în loc de „y”; în acest caz, izolați o astfel de variabilă. Pentru a izola o variabilă, efectuați matematica adecvată pe ambele părți ale ecuației.

• Dacă nu vă sunt date ecuațiile dreptelor, pe baza informațiilor pe care le cunoașteți.
• Exemplu. Date drepte descrise prin ecuații și y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Pentru a izola „y” din a doua ecuație, adăugați numărul 12 de ambele părți ale ecuației:

1. Căutați punctul de intersecție al ambelor drepte, adică un punct ale cărui coordonate (x, y) satisfac ambele ecuații. Deoarece variabila „y” se află în partea stângă a fiecărei ecuații, expresiile situate în partea dreaptă a fiecărei ecuații pot fi egalate. Scrieți o nouă ecuație.

   • Exemplu. Deoarece y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)Şi y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x), atunci putem scrie următoarea egalitate: .

2. Aflați valoarea variabilei „x”. Noua ecuație conține o singură variabilă, „x”. Pentru a găsi „x”, izolați acea variabilă din partea stângă a ecuației, efectuând matematica corespunzătoare pe ambele părți ale ecuației. Ar trebui să obțineți o ecuație de forma x = __ (dacă nu puteți face acest lucru, consultați această secțiune).

   • Exemplu. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Adăuga 2 x (\displaystyle 2x) de fiecare parte a ecuației:
   • 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Scădeți 3 din fiecare parte a ecuației:
   • 3 x = 9 (\displaystyle 3x=9)
   • Împărțiți fiecare parte a ecuației la 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Utilizați valoarea găsită a variabilei „x” pentru a calcula valoarea variabilei „y”. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valoarea găsită a lui „x” în ecuația (orice) a dreptei.

   • Exemplu. x = 3 (\displaystyle x=3)Şi y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)

4. Verificați răspunsul. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valoarea lui „x” în cealaltă ecuație a dreptei și găsiți valoarea lui „y”. Daca primesti sens diferit„y”, verificați corectitudinea calculelor dvs.

   • Exemplu: x = 3 (\displaystyle x=3)Şi y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Aveți aceeași valoare pentru y, deci nu există erori în calculele dvs.

5. Notați coordonatele (x,y). După ce ați calculat valorile „x” și „y”, ați găsit coordonatele punctului de intersecție a două linii. Scrieți coordonatele punctului de intersecție în forma (x,y).

   • Exemplu. x = 3 (\displaystyle x=3)Şi y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Astfel, două drepte se intersectează într-un punct cu coordonatele (3,6).

6. Calcule în cazuri speciale.În unele cazuri, valoarea variabilei „x” nu poate fi găsită. Dar asta nu înseamnă că ai făcut o greșeală. Un caz special apare atunci când este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

   • Dacă două drepte sunt paralele, ele nu se intersectează. În acest caz, variabila „x” va fi pur și simplu redusă, iar ecuația ta se va transforma într-o egalitate fără sens (de exemplu, 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). În acest caz, notează în răspunsul tău că liniile nu se intersectează sau nu există o soluție.
   • Dacă ambele ecuații descriu o linie dreaptă, atunci va exista un număr infinit de puncte de intersecție. În acest caz, variabila „x” va fi pur și simplu redusă, iar ecuația dvs. se va transforma într-o egalitate strictă (de exemplu, 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). În acest caz, notează în răspunsul tău că cele două rânduri coincid.

   Probleme cu funcțiile pătratice

   1. Definiția unei funcții pătratice.Într-o funcție pătratică, una sau mai multe variabile au un grad al doilea (dar nu mai mare), de exemplu, x 2 (\displaystyle x^(2)) sau y 2 (\displaystyle y^(2)). Graficele funcțiilor pătratice sunt curbe care nu se pot intersecta sau se pot intersecta în unul sau două puncte. În această secțiune, vă vom spune cum să găsiți punctul sau punctele de intersecție ale curbelor pătratice.

   2. Rescrieți fiecare ecuație izolând variabila „y” în partea stângă a ecuației. Ceilalți termeni ai ecuației ar trebui plasați în partea dreaptă a ecuației.

      • Exemplu. Găsiți punctul (punctele) de intersecție a graficelor x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1)Şi
      • Izolați variabila „y” din partea stângă a ecuației:
      • Şi y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • În acest exemplu, vi se oferă o funcție pătratică și o funcție liniară. Amintiți-vă că dacă vi se dau două funcții pătratice, calculele sunt similare cu pașii descriși mai jos.

   3. Echivalează expresiile din partea dreaptă a fiecărei ecuații. Deoarece variabila „y” se află în partea stângă a fiecărei ecuații, expresiile situate în partea dreaptă a fiecărei ecuații pot fi egalate.

      • Exemplu. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1)Şi y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Transferați toți termenii ecuației rezultate în ea partea stângă, și scrieți 0 în partea dreaptă. Pentru a face acest lucru, faceți niște matematici de bază. Acest lucru vă va permite să rezolvați ecuația rezultată.

      • Exemplu. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Scădeți „x” din ambele părți ale ecuației:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Scădeți 7 din ambele părți ale ecuației:

   5. Rezolvați ecuația pătratică. Mutând toți termenii ecuației în partea stângă, obțineți o ecuație pătratică. Poate fi rezolvată în trei moduri: folosind o formulă specială și.

      • Exemplu. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Când factorizați o ecuație, obțineți două binoame, care, atunci când sunt înmulțite, vă oferă ecuația inițială. În exemplul nostru, primul termen x 2 (\displaystyle x^(2)) poate fi descompus în x * x. Scrieți acest lucru: (x)(x) = 0
      • În exemplul nostru, termenul liber -6 poate fi factorizat în următorii factori: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • În exemplul nostru, al doilea termen este x (sau 1x). Adăugați fiecare pereche de factori ai termenului inactiv (în exemplul nostru -6) până când obțineți 1. În exemplul nostru, perechea adecvată de factori ai termenului inactiv sunt numerele -2 și 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), pentru că − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Completați spațiile libere cu perechea de numere găsită: .

   6. Nu uitați de al doilea punct de intersecție al celor două grafice. Dacă rezolvați problema rapid și nu foarte atent, este posibil să uitați de al doilea punct de intersecție. Iată cum să găsiți coordonatele x a două puncte de intersecție:

      • Exemplu (factorizare). Dacă în Ec. (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) una dintre expresiile dintre paranteze va fi egală cu 0, apoi întreaga ecuație va fi egală cu 0. Prin urmare, o putem scrie astfel: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) Şi x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (adică ați găsit două rădăcini ale ecuației).
      • Exemplu (folosind o formulă sau completând un pătrat perfect). Când utilizați una dintre aceste metode, va apărea soluția rădăcină pătrată. De exemplu, ecuația din exemplul nostru va lua forma x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Amintiți-vă că atunci când luați rădăcina pătrată veți obține două soluții. In cazul nostru: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25))=5*5), Şi 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Deci scrieți două ecuații și găsiți două valori ale lui x.

   7. Graficele se intersectează într-un punct sau nu se intersectează deloc. Astfel de situații apar dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

      • Dacă graficele se intersectează într-un punct, atunci ecuația pătratică este descompusă în factori identici, de exemplu, (x-1) (x-1) = 0, iar rădăcina pătrată a lui 0 apare în formula ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))). În acest caz, ecuația are o singură soluție.
      • Dacă graficele nu se intersectează deloc, atunci ecuația nu este factorizată și rădăcina pătrată a unui număr negativ apare în formulă (de exemplu, − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). În acest caz, scrie în răspunsul tău că nu există soluție.

Intersectând pe axa x, este necesar să se rezolve ecuația y₁=y₂, adică k₁x+b₁=k₂x+b₂.

Transformați această inegalitate pentru a obține k₁x-k₂x=b₂-b₁. Acum exprimă x: x=(b₂-b₁)/(k₁-k₂). În acest fel veți găsi punctul de intersecție al graficelor, care este situat pe axa OX. Găsiți punctul de intersecție pe axa ordonatelor. Doar înlocuiți valoarea x pe care ați găsit-o mai devreme în oricare dintre funcții.

Opțiunea anterioară este potrivită pentru grafice. Dacă funcția este , utilizați următoarele instrucțiuni. În același mod ca și în cazul funcției liniare, găsiți valoarea lui x. Pentru a face acest lucru, rezolvați o ecuație pătratică. În ecuația 2x² + 2x - 4=0, găsiți (ecuația este dată ca exemplu). Pentru a face acest lucru, utilizați formula: D= b² – 4ac, unde b este valoarea înainte de X și c este valoarea numerică.

Înlocuind valorile numerice, se obține o expresie de forma D= 4 + 4*4= 4+16= 20. Ecuațiile depind de valoarea discriminantului. Acum, la valoarea variabilei b cu semnul „-”, adăugați sau scădeți (la rândul său) rădăcina discriminantului rezultat și împărțiți cu de două ori produsul coeficientului a. În acest fel veți găsi rădăcinile ecuației, adică coordonatele punctelor de intersecție.

Graficele de funcții au o particularitate: axa OX se va intersecta de două ori, adică veți găsi două coordonate ale axei x. Dacă obțineți o valoare periodică a lui X față de Y, atunci știți că graficul intersectează axa x la un număr infinit de puncte. Verificați dacă ați găsit punctele de intersecție. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valorile lui X în ecuația f(x)=0.

Surse:

• Găsirea punctelor de intersecție a dreptelor

Dacă cunoașteți valoarea lui a, atunci puteți spune că ați rezolvat ecuația pătratică, deoarece rădăcinile acesteia se vor găsi foarte ușor.

vei avea nevoie

• -formula discriminanta pentru o ecuatie patratica;
• -cunoasterea tabelelor inmultirii

Instrucţiuni

Video pe tema

Sfaturi utile

Discriminantul unei ecuații pătratice poate fi pozitiv, negativ sau egal cu 0.

Surse:

• Soluţie ecuații pătratice
• chiar discriminant

Sfat 3: Cum să găsiți coordonatele punctelor de intersecție ale graficului unei funcții

Graficul funcției y = f (x) este mulțimea tuturor punctelor din plan, coordonatele x, care satisfac relația y = f (x). Un grafic al funcției ilustrează clar comportamentul și proprietățile unei funcții. Pentru a construi un grafic, de obicei sunt selectate mai multe valori ale argumentului x și pentru ele sunt calculate valorile corespunzătoare ale funcției y=f(x). Pentru a crea un grafic mai precis și mai vizual, este util să găsiți punctele sale de intersecție cu axele de coordonate.

Instrucţiuni

La traversarea axei absciselor (axa X), valoarea funcției este 0, adică. y=f(x)=0. Pentru a calcula x, trebuie să rezolvați ecuația f(x)=0. În cazul unei funcții, obținem ecuația ax+b=0, și găsim x=-b/a.

Astfel, axa X se intersectează în punctul (-b/a,0).

În cazuri mai complexe, de exemplu, în cazul unei dependențe pătratice a lui y față de x, ecuația f(x) = 0 are două rădăcini, prin urmare, axa x se intersectează de două ori. În cazul lui y în funcție de x, de exemplu y=sin(x), are un număr infinit de puncte de intersecție cu axa X.

Pentru a verifica corectitudinea găsirii coordonatelor punctelor de intersecție ale graficului funcției cu axa X, este necesar să înlocuiți valorile x găsite f(x). Valoarea expresiei pentru oricare dintre x calculate trebuie să fie egală cu 0.

Instrucţiuni

În primul rând, este necesar să discutăm despre alegerea unui sistem de coordonate convenabil pentru rezolvarea problemei. De obicei, în probleme de acest gen, unul dintre triunghi este plasat pe axa 0X astfel încât un punct să coincidă cu originea. Prin urmare, nu trebuie să vă abateți de la canoanele general acceptate ale soluției și să faceți același lucru (vezi Fig. 1). Metoda de definire a triunghiului în sine nu joacă un rol fundamental, deoarece puteți oricând să treceți de la unul dintre ele la (după cum veți putea verifica mai târziu).

Fie triunghiul necesar să fie specificat de doi vectori ai laturilor sale AC și AB a(x1, y1) și respectiv b(x2, y2). Mai mult, prin construcție, y1=0. A treia latură a lui BC corespunde c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2), conform acestei ilustrații. Punctul A este plasat la originea coordonatelor, adică acesta coordonate A(0, 0). De asemenea, este ușor de observat că coordonate B (x2, y2), a C (x1, 0). Din aceasta putem concluziona că definirea unui triunghi cu doi vectori a coincis automat cu definirea lui cu trei puncte.

În continuare, ar trebui să completați triunghiul necesar până la dimensiunea paralelogramului ABDC corespunzător. Mai mult, că la punct intersecții diagonalele unui paralelogram sunt împărțite astfel încât AQ să fie mediana triunghiului ABC, să coboare din A în latura BC. Vectorul diagonal s îl conține pe acesta și este, conform regulii paralelogramului, suma geometrică a lui a și b. Atunci s = a + b și sa coordonate s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Aceeași coordonate va fi, de asemenea, în punctul D(x1+x2, y2).

Acum puteți continua la compilarea ecuației unei linii drepte care conține s, mediana AQ și, cel mai important, punctul dorit intersecții mediana H. Întrucât vectorul s însuși este un ghid pentru o dreaptă dată, iar punctul A(0, 0) care îi aparține este și cunoscut, cel mai simplu lucru este să folosiți ecuația unei drepte plane în formă canonică: (x -x0)/m =(y-y0)/n.Aici (x0, y0) coordonate punct arbitrar al dreptei (punctul A(0, 0)) și (m, n) – coordonate s (vector (x1+x2, y2). Și astfel, linia dreaptă dorită l1 va arăta astfel: x/(x1+x2)=y/y2.

Cel mai bun mod de a-l găsi este la intersecție. Prin urmare, ar trebui să găsiți o altă linie dreaptă care conține așa-numita N. Pentru a face acest lucru, în Fig. 1 construcție a altui paralelogram APBC, a cărui diagonală g=a+c =g(2x1-x2, -y2) conține a doua mediană CW, coborâtă de la C în latura AB. Această diagonală conține punctul C(x1, 0), coordonate care va juca rolul lui (x0, y0), iar vectorul de direcție aici va fi g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). Prin urmare, l2 este dat de ecuația: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).

1. Pentru a găsi coordonatele punctului de intersecție al graficelor funcțiilor, trebuie să echivalați ambele funcții una cu cealaltă, să le transferați la partea stângă toți termenii care conțin $ x $, iar în dreapta restul și găsiți rădăcinile ecuației rezultate.
2. A doua metodă este de a crea un sistem de ecuații și de a-l rezolva prin înlocuirea unei funcții în alta
3. A treia metodă presupune construirea grafică a funcțiilor și definiție vizuală puncte de intersecție.

Cazul a două funcții liniare

Se consideră două funcții liniare $ f(x) = k_1 x+m_1 $ și $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Aceste funcții se numesc directe. Este destul de ușor să le construiți, trebuie să luați oricare două valori $ x_1 $ și $ x_2 $ și să găsiți $ f(x_1) $ și $ (x_2) $. Apoi repetați același lucru cu funcția $ g(x) $. Apoi, găsiți vizual coordonatele punctului de intersecție al graficelor funcției.

Trebuie să știți că funcțiile liniare au un singur punct de intersecție și numai atunci când $ k_1 \neq k_2 $. Altfel, în cazul $ k_1=k_2 $ funcțiile sunt paralele între ele, deoarece $ k $ este coeficientul de pantă. Dacă $ k_1 \neq k_2 $, dar $ m_1=m_2 $, atunci punctul de intersecție va fi $ M(0;m) $. Este recomandabil să vă amintiți această regulă pentru a rezolva rapid problemele.

Cazul a două funcții neliniare

Să fie date două drepte și trebuie să găsiți punctul lor de intersecție. Deoarece acest punct aparține fiecăreia dintre cele două drepte date, coordonatele sale trebuie să satisfacă atât ecuația primei linii, cât și ecuația celei de-a doua drepte.

Astfel, pentru a găsi coordonatele punctului de intersecție a două drepte, trebuie să rezolvăm sistemul de ecuații

Exemplul 1. Aflați punctul de intersecție al dreptelor și

Soluţie. Vom găsi coordonatele punctului de intersecție dorit prin rezolvarea sistemului de ecuații

Punctul de intersecție M are coordonate

Să arătăm cum să construim o linie dreaptă folosind ecuația acesteia. Pentru a construi o linie dreaptă, este suficient să cunoști cele două puncte ale ei. Pentru a construi fiecare dintre aceste puncte, specificăm o valoare arbitrară pentru una dintre coordonatele sale, iar apoi din ecuație găsim valoarea corespunzătoare pentru cealaltă coordonată.

Dacă în ecuația generală a unei linii drepte ambii coeficienți la coordonatele curente nu sunt egali cu zero, atunci pentru a construi această dreaptă este cel mai bine să găsiți punctele de intersecție cu axele de coordonate.

Exemplul 2. Construiți o linie dreaptă.

Soluţie. Găsim punctul de intersecție al acestei drepte cu axa absciselor. Pentru a face acest lucru, rezolvăm împreună ecuațiile lor:

și primim. Astfel, a fost găsit punctul M (3; 0) de intersecție a acestei linii cu axa absciselor (Fig. 40).

Apoi rezolvăm împreună ecuația acestei drepte și ecuația axei ordonatelor

găsim punctul de intersecție al dreptei cu axa ordonatelor. În cele din urmă, construim o dreaptă din cele două puncte ale sale M și

Când rezolvați unele probleme geometrice folosind metoda coordonatelor, trebuie să găsiți coordonatele punctului de intersecție al dreptelor. Cel mai adesea trebuie să căutați coordonatele punctului de intersecție a două linii pe un plan, dar uneori este nevoie să determinați coordonatele punctului de intersecție a două linii în spațiu. În acest articol ne vom ocupa de găsirea coordonatelor punctului în care două drepte se intersectează.

Navigare în pagină.

Punctul de intersecție a două drepte este o definiție.

Să definim mai întâi punctul de intersecție a două drepte.

Astfel, pentru a găsi coordonatele punctului de intersecție a două drepte definite pe un plan prin ecuații generale, trebuie să rezolvați un sistem compus din ecuații ale unor drepte date.

Să ne uităm la soluția exemplu.

Exemplu.

Aflați punctul de intersecție a două drepte definite într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan prin ecuațiile x-9y+14=0 și 5x-2y-16=0.

Soluţie.

Ni se dau două ecuații generale de drepte, să facem un sistem din ele: . Soluțiile sistemului de ecuații rezultat se găsesc ușor prin rezolvarea primei sale ecuații în raport cu variabila x și înlocuirea acestei expresii în a doua ecuație:

Soluția găsită a sistemului de ecuații ne oferă coordonatele dorite ale punctului de intersecție a două drepte.

Răspuns:

M0 (4, 2) x-9y+14=0 şi 5x-2y-16=0.

Deci, găsirea coordonatelor punctului de intersecție a două drepte, definite prin ecuații generale pe plan, se rezumă la rezolvarea unui sistem de două ecuații liniare cu două variabile necunoscute. Dar ce se întâmplă dacă liniile dintr-un plan sunt date nu de ecuații generale, ci de ecuații de alt tip (vezi tipurile de ecuații ale unei linii pe un plan)? În aceste cazuri, puteți mai întâi să reduceți ecuațiile de linii la o formă generală și numai după aceea să găsiți coordonatele punctului de intersecție.

Exemplu.

Și .

Soluţie.

Înainte de a găsi coordonatele punctului de intersecție al dreptelor date, reducem ecuațiile acestora la o formă generală. Tranziție de la ecuații parametrice drepte la ecuația generală a acestei linii arată ca după cum urmează:

Acum hai să realizăm acțiunile necesare cu ecuația canonică a dreptei:

Astfel, coordonatele dorite ale punctului de intersecție al dreptelor sunt soluția unui sistem de ecuații de forma . Pentru a o rezolva folosim:

Răspuns:

M 0 (-5, 1)

Există o altă modalitate de a găsi coordonatele punctului de intersecție a două drepte pe un plan. Este convenabil de utilizat atunci când una dintre linii este dată de ecuații parametrice de formă , iar celălalt este o ecuație a unei linii drepte de alt tip. În acest caz, într-o altă ecuație, în locul variabilelor x și y, puteți înlocui expresiile Şi , de unde se va putea obține valoarea care corespunde punctului de intersecție al dreptelor date. În acest caz, punctul de intersecție al liniilor are coordonate.

Să găsim coordonatele punctului de intersecție al liniilor din exemplul anterior folosind această metodă.

Exemplu.

Determinați coordonatele punctului de intersecție al dreptelor Și .

Soluţie.

Să înlocuim expresia dreaptă în ecuație:

După ce am rezolvat ecuația rezultată, obținem . Această valoare corespunde punctului comun al liniilor Și . Calculăm coordonatele punctului de intersecție prin înlocuirea unei linii drepte în ecuațiile parametrice:
.

Răspuns:

M0 (-5, 1).

Pentru a completa imaginea, mai trebuie discutat un punct.

Înainte de a găsi coordonatele punctului de intersecție a două drepte pe un plan, este util să vă asigurați că liniile date se intersectează efectiv. Dacă se dovedește că liniile inițiale coincid sau sunt paralele, atunci nu poate fi vorba de găsirea coordonatelor punctului de intersecție a unor astfel de linii.

Puteți, desigur, să faceți fără o astfel de verificare și să creați imediat un sistem de ecuații de formă si rezolva-l. Dacă un sistem de ecuaţii are singura solutie, apoi dă coordonatele punctului în care se intersectează liniile originale. Dacă sistemul de ecuații nu are soluții, atunci putem concluziona că liniile inițiale sunt paralele (din moment ce nu există o pereche de numere reale x și y care să satisfacă simultan ambele ecuații ale dreptelor date). Din prezența unui număr infinit de soluții la un sistem de ecuații, rezultă că dreptele originale au infinit de puncte comune, adică coincid.

Să ne uităm la exemple care se potrivesc acestor situații.

Exemplu.

Aflați dacă liniile și se intersectează și dacă se intersectează, atunci găsiți coordonatele punctului de intersecție.

Soluţie.

Ecuații date liniilor drepte corespund ecuațiilor Şi . Să rezolvăm sistemul format din aceste ecuații .

Este evident că ecuațiile sistemului sunt exprimate liniar între ele (a doua ecuație a sistemului se obține din prima prin înmulțirea ambelor părți cu 4), prin urmare, sistemul de ecuații are un număr infinit de soluții. Astfel, ecuațiile definesc aceeași dreaptă și nu putem vorbi despre găsirea coordonatelor punctului de intersecție al acestor drepte.

Răspuns:

Ecuațiile și definesc aceeași linie dreaptă în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy, deci nu putem vorbi despre găsirea coordonatelor punctului de intersecție.

Exemplu.

Aflați coordonatele punctului de intersecție al dreptelor Şi , dacă este posibil.

Soluţie.

Starea problemei permite ca liniile să nu se intersecteze. Să creăm un sistem din aceste ecuații. Să aplicăm pentru a o rezolva, deoarece ne permite să stabilim compatibilitatea sau incompatibilitatea unui sistem de ecuații și, dacă este compatibil, găsim o soluție:

Ultima ecuație a sistemului după trecerea directă a metodei Gauss s-a transformat într-o egalitate incorectă, prin urmare, sistemul de ecuații nu are soluții. De aici putem concluziona că liniile inițiale sunt paralele și nu putem vorbi despre găsirea coordonatelor punctului de intersecție al acestor drepte.

A doua soluție.

Să aflăm dacă liniile date se intersectează.

- vector linie normală , și vectorul este un vector linie normal . Să verificăm execuția Şi : egalitate este adevărată, deoarece, prin urmare, vectorii normali ai liniilor date sunt coliniari. Atunci aceste linii sunt paralele sau coincidente. Astfel, nu putem găsi coordonatele punctului de intersecție al liniilor originale.

Răspuns:

Este imposibil să găsiți coordonatele punctului de intersecție al liniilor date, deoarece aceste drepte sunt paralele.

Exemplu.

Aflați coordonatele punctului de intersecție al dreptelor 2x-1=0 și , dacă se intersectează.

Soluţie.

Să compunem un sistem de ecuații care sunt ecuații generale ale liniilor date: . Determinantul matricei principale a acestui sistem de ecuații este diferit de zero , prin urmare sistemul de ecuații are o soluție unică, care indică intersecția dreptelor date.

Pentru a găsi coordonatele punctului de intersecție al dreptelor, trebuie să rezolvăm sistemul:

Soluția rezultată ne oferă coordonatele punctului de intersecție al dreptelor, adică 2x-1=0 și .

Răspuns:

Aflarea coordonatelor punctului de intersecție a două drepte în spațiu.

Coordonatele punctului de intersecție a două drepte în spatiu tridimensional se găsesc în mod similar.

Să ne uităm la soluțiile exemplelor.

Exemplu.

Aflați coordonatele punctului de intersecție a două drepte date în spațiu de ecuații Şi .

Soluţie.

Să compunem un sistem de ecuații din ecuațiile dreptelor date: . Rezolvarea acestui sistem ne va oferi coordonatele necesare ale punctului de intersecție a liniilor în spațiu. Să găsim soluția sistemului scris de ecuații.

Matricea principală a sistemului are forma , și extins - .

Să definim A și rangul matricei T. Noi folosim