Profesor cea mai înaltă categorie: Minaichenko N.S., gimnaziul nr. 24, Sevastopol

Lecția în clasa a VIII-a: „Trinomul pătrat și rădăcinile sale”

Tipul de lecție : lectie de cunostinte noi.

Obiectivul lecției:

organizarea activităților elevilor pentru consolidarea și dezvoltarea cunoștințelor despre descompunere trinom pătratic pe factori liniari, fracții reducătoare;

dezvoltarea abilităților de aplicare a cunoștințelor tuturor metodelor de factorizare: bracketing, folosind formule de înmulțire abreviate și metode de grupare în vederea pregătirii pentru promovarea cu succes a examenului de algebră;

creaza conditii pentru dezvoltare interes cognitiv la subiect, formare gândire logicăși autocontrol atunci când se utilizează factorizarea.

Echipament: proiector multimedia, ecran, prezentare: „Rădăcinile trinomului pătrat”, cuvinte încrucișate, test, fișe.

Concepte de bază . Factorizarea unui trinom pătratic.

Activitate independentă a elevilor. Aplicarea teoremei asupra factorizării unui trinom pătratic în rezolvarea problemelor.

Planul de lecție

Răspunsuri la întrebările elevilor

IV. Test primar de dobândire a cunoștințelor. Reflecţie

Mesajul profesorului.

Mesajul studentului

V. Teme pentru acasă

Scrierea pe tablă

Comentariu metodologic:

Acest subiect este fundamental în secțiunea „Transformări identice ale expresiilor algebrice”. Prin urmare, este important ca elevii să poată automat nu numai să vadă formulele de factorizare în exemple, ci și să le aplice în alte sarcini: cum ar fi rezolvarea ecuațiilor, transformarea expresiilor, demonstrarea identităților.

Acest subiect se concentrează pe factorizarea unui trinom pătratic:

topor+ bx + c = a(x – x)(x – x),

unde x și x – rădăcini ecuație pătratică ax + bx + c = 0.

Acest lucru vă permite să extindeți câmpul vizual al elevului, să-l învățați să gândească într-o situație non-standard, folosind materialul studiat, de exemplu. folosind formula pentru factorizarea unui trinom pătratic:

capacitatea de a reduce fracțiile algebrice;

capacitatea de a simplifica expresii algebrice;

capacitatea de a rezolva ecuații;

capacitatea de a dovedi identitatea.

Conținutul principal al lecției:

a) 3x + 5x – 2;

b) –x + 16x – 15;

c) x – 12x + 24;

d) –5x + 6x – 1.

№2. Reduceți fracția:

№3. Simplificați expresia:

№4. Rezolvați ecuația:

b)

Progresul lecției:

I. Etapa de actualizare a cunoştinţelor.

Motivația pentru activități de învățare.

a) din istorie:

b) cuvinte încrucişate:

Încălzire-antrenează mintea – cuvinte încrucișate:

Orizontală:

1) Rădăcina gradului al doilea se numește... (pătrat)

2) Valorile variabilei la care ecuația devine o egalitate adevărată (rădăcini)

3) O egalitate care conține o necunoscută se numește... (ecuație)

4) om de știință indian, care a stabilit regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice (Brahmagupta)

5) Coeficienții ecuației pătratice sunt... (numere)

6) Om de știință grec antic care a inventat o metodă geometrică pentru rezolvarea ecuațiilor (Euclid)

7) Teorema care raportează coeficienții și rădăcinile unei ecuații pătratice (Vieta)

8) „discriminant”, determinarea rădăcinilor unei ecuații pătratice – aceasta este... (discriminant)

În plus:

Dacă D>0, câte rădăcini? (două)

Dacă D=0, câte rădăcini? (unul)

Daca D<0, сколько корней? (нет действительных корней)

Subiectul lecției pe orizontală și verticală: „Trinom pătrat”

b) motivatie:

Acest subiect este fundamental în secțiunea „Transformări identice ale expresiilor algebrice”. Prin urmare, este important să puteți automat nu numai să vedeți formulele de factorizare în exemple, ci și să le aplicați în alte sarcini: precum reducerea fracțiilor, rezolvarea ecuațiilor, transformarea expresiilor, demonstrarea identităților.

Astăzi ne vom concentra pe factorizarea trinomului pătratic:

II. Învățarea de materiale noi.

Subiect: Trinom pătrat și rădăcinile acestuia.

Teoria generală a polinoamelor multor variabile depășește cu mult domeniul de aplicare al cursului școlar. Prin urmare, ne vom limita la a studia polinoamele unei variabile reale și numai în cazurile cele mai simple. Să luăm în considerare polinoamele unei variabile, reduse la forma standard.

Rădăcina unui polinom este valoarea unei variabile la care valoarea polinomului este egală cu zero. Aceasta înseamnă că pentru a găsi rădăcinile unui polinom, trebuie să-l echivalați cu zero, adică. rezolva ecuația.

Rădăcina unui polinom de gradul I
usor de gasit
. Examinare:
.

Rădăcinile unui trinom pătratic pot fi găsite prin rezolvarea ecuației:
.

Folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice găsim:

;

Dacă Şi -rădăcinile unui trinom pătrat
, Unde ≠ 0,

Asta .

Dovada:

Să efectuăm următoarele transformări ale trinomului pătratic:

=
=
=

=
=
=

=
=

Din moment ce discriminantul
, obținem:

=
=

Să aplicăm formula diferenței de pătrate între paranteze și obținem:

=
=
,

deoarece
;
. Teorema a fost demonstrată.

Formula rezultată se numește formulăfactorizarea unui trinom pătratic.

III. Formarea deprinderilor și abilităților.

№1. Factorizați trinomul pătratic:

Soluţie:

Răspuns: 3x+5x–2=3(x+2)(x-)=(x+2)(3x-1)

Pe bord:

b) –5x + 6x – 1;

În plus:

c) x – 12x + 24;

d) –x + 16x – 15.

№2. Reduceți fracția:

O)

№4. Rezolvați ecuația:

b)

IV. Test primar de dobândire a cunoștințelor.

O) Test.

Opțiunea 1.

1. Aflați rădăcinile trinomului pătratic:2x 2 -9x-5

Răspuns:

2. Care polinom trebuie înlocuit cu elipsa pentru ca egalitatea să fie adevărată:

b) Verificarea reciprocă a opțiunilor (răspunsuri iar parametrii de evaluare sunt ilustraţi).

c) Reflecția.

V. Tema pentru acasă.

Tema „Trinomul pătrat și rădăcinile sale” este studiată la cursul de algebră de clasa a IX-a. Ca orice altă lecție de matematică, o lecție pe această temă necesită instrumente și metode de predare speciale. Vizibilitatea este necesară. Aceasta include această lecție video, care a fost concepută special pentru a ușura munca profesorului.

Această lecție durează 6:36 minute. În acest timp, autorul reușește să dezvăluie complet subiectul. Profesorul va trebui doar să selecteze sarcini pe subiect pentru a consolida materialul.

Lecția începe prin a arăta exemple de polinoame cu o variabilă. Apoi, pe ecran apare definiția rădăcinii polinomului. Această definiție este susținută de un exemplu în care este necesar să se găsească rădăcinile unui polinom. După rezolvarea ecuației, autorul obține rădăcinile polinomului.

Următoarea este o remarcă că trinoamele pătratice includ și acele polinoame de gradul doi în care al doilea, al treilea sau ambii coeficienți, cu excepția celui principal, sunt egali cu zero. Această informație este susținută de un exemplu în care coeficientul liber este zero.

Autorul explică apoi cum să găsiți rădăcinile unui trinom pătratic. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați o ecuație pătratică. Iar autorul sugerează să verificați acest lucru folosind un exemplu în care este dat un trinom pătratic. Trebuie să-i găsim rădăcinile. Soluția este construită pe baza soluției ecuației pătratice obținute din trinomul pătratic dat. Soluția este scrisă pe ecran în detaliu, clar și înțeles. În timp ce rezolvă acest exemplu, autorul își amintește cum să rezolve o ecuație pătratică, scrie formulele și obține rezultatul. Răspunsul este înregistrat pe ecran.

Autorul a explicat găsirea rădăcinilor unui trinom pătrat pe baza unui exemplu. Când elevii înțeleg esența, pot trece la puncte mai generale, ceea ce face autorul. Prin urmare, el rezumă în continuare toate cele de mai sus. În termeni generali în limbajul matematic, autorul notează regula pentru găsirea rădăcinilor unui trinom pătrat.

Următoarea este o remarcă că în unele probleme este mai convenabil să scrieți trinomul pătratic puțin diferit. Această intrare este afișată pe ecran. Adică, rezultă că dintr-un trinom pătrat se poate extrage un binom pătrat. Se propune să luăm în considerare o astfel de transformare cu un exemplu. Soluția pentru acest exemplu este afișată pe ecran. Ca și în exemplul anterior, soluția este construită în detaliu cu toate explicațiile necesare. Autorul ia în considerare apoi o problemă care folosește informațiile tocmai date. Aceasta este o problemă de demonstrație geometrică. Soluția conține o ilustrație sub formă de desen. Soluția problemei este descrisă în detaliu și clar.

Aceasta încheie lecția. Dar profesorul poate selecta sarcini pe baza abilităților elevilor care vor corespunde subiectului dat.

Această lecție video poate fi folosită ca o explicație a materialelor noi în lecțiile de algebră. Este perfect pentru ca elevii să se pregătească independent pentru lecție.

Prezentare pentru o lecție de matematică în clasa a IX-a pe tema „Trinomul pătrat și rădăcinile sale” care conține sarcini pentru un nivel aprofundat de studiu al subiectului. Prezentarea este concepută pentru utilizare continuă pe tot parcursul lecției. Misiuni de diferite tipuri în conținut.

Descărcați:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Itemul planului Itemul planului Itemul planului Itemul planului Actualizarea cunoștințelor Studierea temei lecției Referință enciclopedică Minutul dinamic Teme pentru acasă Trinomul pătrat și rădăcinile lui au fost pregătite de profesorul de matematică: 1KK Radchenko Natalya Fedorovna

Actualizarea cunoștințelor Studierea temei lecției Referință enciclopedică Minutul dinamic Teme Actualizarea cunoștințelor ◊ 1 Repetarea materialului despre funcții; ◊ 2 Fundamente teoretice rezolvarea ecuațiilor pătratice; ◊ 3 Teorema lui Vieta; ◊ 4 Total.

Actualizarea cunoștințelor Repetarea materialului: dintre aceste funcții, indicați funcțiile liniare descrescătoare: y= x²+12 y= -x-24 y= 9x+8 h= 23-23x h= 1/x² g= (x+16)² g = - 3

Actualizarea cunoștințelor Cum se determină prezența și numărul de rădăcini ale unei ecuații pătratice? Cum se calculează discriminantul unei ecuații pătratice D = 2. Numiți formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice D>0, apoi x 1,2 = D = 0, apoi x =

Actualizarea cunoștințelor t² - 2t – 3 = 0 3. Calculați discriminantul și răspundeți la întrebarea „Câte rădăcini are ecuația pătratică?” D= 16 >0, două rădăcini Care este produsul rădăcinilor? X 1  x 2 = - 3 5. Care este suma rădăcinilor ecuației? X 1 + x 2 = 2 6. Ce se poate spune despre semnele rădăcinilor? Rădăcini de diferite semne 7. Găsiți rădăcinile prin selecție. X 1 = 3, x 2 = -1

Studierea temei lecției ◊ 1 Raportarea temei lecției; ◊ 2 Fundamentele teoretice ale conceptului „Trinom pătrat și rădăcinile sale”; ◊ 3 Afirmații ale marilor gânditori despre matematică; ◊ 4 Analiza exemplelor de subiecte; Studierea temei lecției Referință enciclopedică Minutul dinamic Teme pentru acasă

Trinom pătrat și rădăcinile sale Un trinom pătrat este un polinom de forma ax² + bx + c, unde x este o variabilă, a, b și c sunt unele numere și a≠ 0. Rădăcina unui trinom pătratic este valoarea unei variabile la care valoarea acestui trinom este zero. Pentru a găsi rădăcinile trinomului pătratic ax² + bx + c, trebuie să rezolvați ecuația pătratică ax² + bx + c =0.

Trinomul pătrat și rădăcinile sale Nu este suficient să ai o minte bună, principalul este să-l folosești bine. R. Descartes Toată lumea ar trebui să fie capabilă să gândească consecvent, să judece în mod demonstrabil și să respingă concluziile incorecte: un fizician și un poet, un tractorist și un chimist. E. Kolman

Referință enciclopedică ◊ 1 Conceptul de „parametru”; ◊ 2 Sensul cuvântului „parametru” în dicționarele și dicționarul rusesc cuvinte străine; ◊ 3 Desemnarea și domeniul de aplicare al parametrului; ◊ 4 Exemple cu parametri. Referință enciclopedică Minutul dinamic Teme pentru acasă

Parametru de referință enciclopedică (din grecescul παραμετρέω - măsoară, plec). O cantitate inclusă într-o formulă matematică și menținând o valoare constantă în cadrul unui fenomen sau pentru o anumită sarcină..., (mat.) Parametrul este o valoare constantă, exprimată printr-o literă, păstrându-și valoarea constantă numai în condițiile unei sarcina dată... „Dicționar de cuvinte străine”. 3. La ce valoare a parametrului m are o singură rădăcină trinomul pătrat 2x ² + 2тх – m – 0,5? Găsiți această rădăcină.

Pauză dinamică ◊ 1 Rezolvarea unei „probleme problemă”; ◊ 2 Context istoric: scrisoare din trecut; Temă pentru minut dinamic

Pauză dinamică La ce valoare a parametrului t are trinomul pătrat 2х ² + 2тх – т – 0,5 = 0 și are o singură rădăcină? Găsiți această rădăcină. Ecuația pătratică are o rădăcină D=0 D= b² - 4ac; a=2, b=2m, c= - m – 0,5 D= (2m)² - 4  2  (- m – 0,5) = 4m² + 8m +4 D=0, 4m² + 8m +4 = 0 m² + 2m +1 = 0 (m + 1)² = 0 m= - 1 Înlocuiți valoarea găsită a lui m în ecuația inițială: 2x ² - 2x + 1 – 0,5 = 0 4x ² - 4x + 1 = 0 ( 2x – 1 )² =0 2x -1 =0 x = 0,5

Pauză dinamică La teme, elevii de clasa a VIII-a au fost rugați să găsească rădăcinile unui trinom pătratic (x² - 5x +7) ² - 2(x² - 5x +7) - 3 După ce s-a gândit, Vitya a raționat astfel: mai întâi trebuie să deschideți parantezele, apoi aduceți termeni similari. Dar Styopa a spus că există o modalitate mai simplă de a o rezolva și nu este deloc necesară deschiderea parantezelor. Ajută-l pe Vita să găsească o soluție rațională

Pauza dinamică Problemele de găsire a rădăcinilor unui trinom pătratic și de compunere a ecuațiilor pătratice se găsesc deja în papirusurile matematice egiptene antice. Regula generală găsirea rădăcinilor și rezolvarea ecuațiilor de forma: ax ² + bx = c, unde a > 0, b și c sunt oricare, a fost formulată de Brahmagupta (secolul al VII-lea d.Hr.). Brahmagupta nu știa încă că o ecuație pătratică poate avea și o rădăcină negativă. Bhaskara Acharya (secolul al XII-lea) a formulat relațiile dintre coeficienții ecuației. A făcut multe probleme.

Generalizare, teme ◊ 1 Rezolvarea exercițiilor cu un parametru: diverse tipuri sarcini; ◊ 2 Rezumatul temei studiate; ◊ 3 Tema pentru acasă: după nivel. Teme pentru acasă

Generalizare, teme Găsiți rădăcinile trinomului pătratic (x-4)² +(4y-12)². Aflați valorile parametrului a pentru fiecare dintre care trinomul pătratic x²+ 4 x + 2ax+8a+1 are o soluție. Temă pentru acasă: p.3; Grupa 1: Nr. 45 (c, d), Nr. 49 (c, d); Grupa 2: a) aflați valoarea parametrului a la care trinomul pătrat x²-6x+2ax+4a nu are soluție; b) găsiți rădăcinile trinomului pătratic (2x-6)²+(3y-12)²

sursa șablonului Natalia Vladimirovna Chernakova Profesor de chimie și biologie, Instituția de învățământ de stat NPO Regiunea Arhangelsk „Școala profesională nr. 31” „http://pedsovet.su/”

Găsirea rădăcinilor unui trinom pătratic

Obiective: introduceți conceptul de trinom pătratic și rădăcinile acestuia; dezvolta capacitatea de a găsi rădăcinile unui trinom pătratic.

Progresul lecției

I. Moment organizatoric.

II. Lucru oral.

Care dintre numere: –2; –1; 1; 2 – sunt rădăcinile ecuațiilor?

a) 8 X+ 16 = 0; V) X 2 + 3X – 4 = 0;

b) 5 X 2 – 5 = 0; G) X 3 – 3X – 2 = 0.

III. Explicația noului material.

Explicația noului material trebuie efectuată conform următoarei scheme:

1) Introduceți conceptul de rădăcină a unui polinom.

2) Introduceți conceptul de trinom pătratic și rădăcinile acestuia.

3) Analizați întrebarea numărului posibil de rădăcini ale unui trinom pătrat.

Problema izolării pătratului unui binom de un trinom pătrat este cel mai bine discutată în lecția următoare.

La fiecare etapă de explicare a noului material, este necesar să se ofere studenților o sarcină orală pentru a-și testa stăpânirea punctelor principale ale teoriei.

Sarcina 1. Care dintre numere: –1; 1; ; 0 – sunt rădăcinile polinomului X 4 + 2X 2 – 3?

Sarcina 2. Care dintre următoarele polinoame sunt trinoame pătratice?

1) 2X 2 + 5X – 1; 6) X 2 – X – ;

2) 2X – ; 7) 3 – 4X + X 2 ;

3) 4X 2 + 2X + X 3 ; 8) X + 4X 2 ;

4) 3X 2 – ; 9) + 3X – 6;

5) 5X 2 – 3X; 10) 7X 2 .

Care trinoame pătratice au rădăcina 0?

Sarcina 3. Poate un trinom pătrat să aibă trei rădăcini? De ce? Câte rădăcini are un trinom pătrat? X 2 + X – 5?

IV. Formarea deprinderilor și abilităților.

Exerciții:

1. № 55, № 56, № 58.

2. Nr. 59 (a, c, d), Nr. 60 (a, c).

În această sarcină nu trebuie să căutați rădăcinile trinoamelor pătratice. Este suficient să le găsiți discriminanții și să răspundeți la întrebarea pusă.

a) 5 X 2 – 8X + 3 = 0;

D 1 = 16 – 15 = 1;

D 1 0, ceea ce înseamnă că acest trinom pătratic are două rădăcini.

b) 9 X 2 + 6X + 1 = 0;

D 1 = 9 – 9 = 0;

D 1 = 0, ceea ce înseamnă că trinomul pătrat are o rădăcină.

c) –7 X 2 + 6X – 2 = 0;

7X 2 – 6X + 2 = 0;

D 1 = 9 – 14 = –5;

Dacă a mai rămas timp, poți face numărul 63.

Soluţie

Lasă topor 2 + bx + c este un trinom pătratic dat. Din moment ce o+ b +
+ c= 0, atunci una dintre rădăcinile acestui trinom este egală cu 1. După teorema lui Vieta, a doua rădăcină este egală cu . Conform condiției, Cu = 4O, deci a doua rădăcină a acestui trinom pătratic este egală cu
.

RĂSPUNS: 1 și 4.

V. Rezumatul lecției.

Întrebări frecvente:

– Care este rădăcina unui polinom?

– Care polinom se numește trinom pătratic?

– Cum se află rădăcinile unui trinom pătratic?

– Care este discriminantul unui trinom pătratic?

– Câte rădăcini poate avea un trinom pătrat? De ce depinde asta?

Teme pentru acasă: Nr. 57, Nr. 59 (b, d, f), Nr. 60 (b, d), Nr. 62.

Puteți găsi rădăcina unui trinom pătrat folosind discriminantul. În plus, pentru polinomul redus de gradul doi se aplică teorema lui Vieta, bazată pe raportul coeficienților.

Instrucţiuni

• Ecuațiile cuadratice sunt un subiect destul de extins în algebra școlară. Partea stângă o astfel de ecuație este un polinom de gradul doi de forma A x² + B x + C, adică. o expresie a trei monomii de diferite grade de x necunoscut. Pentru a găsi rădăcina unui trinom pătrat, trebuie să calculați valoarea lui x la care această expresie este egală cu zero.
• Pentru a rezolva o ecuație pătratică, trebuie să găsiți discriminantul. Formula sa este o consecință a izolării pătratului complet al polinomului și reprezintă un anumit raport al coeficienților săi: D = B² – 4 A C.
• Discriminantul poate lua diverse valori, inclusiv a fi negativ. Și dacă şcolari juniori pot spune cu ușurare că o astfel de ecuație nu are rădăcini, atunci elevii de liceu sunt deja capabili să le determine pe baza teoriei numerelor complexe. Deci, pot exista trei opțiuni: Discriminant – un număr pozitiv. Atunci rădăcinile ecuației sunt egale: x1 = (-B + √D)/2 A; x2 = (-B - √D)/2 A;
  Discriminantul a ajuns la zero. Teoretic, în acest caz ecuația are și două rădăcini, dar practic sunt aceleași: x1 = x2 = -B/2 A;
  Discriminantul este mai mic decât zero. În calcul este introdusă o anumită valoare i² = -1, ceea ce ne permite să scriem o soluție complexă: x1 = (-B + i √|D|)/2 A; x2 = (-B - i √|D|)/2 A.
• Metoda discriminantă este valabilă pentru orice ecuație pătratică, dar există situații în care este indicat să se folosească mai mult cale rapidă, în special pentru coeficienți întregi mici. Această metodă se numește teorema lui Vieta și constă dintr-o pereche de relații între coeficienții din trinomul redus: x² + P x + Q
  x1 + x2 = -P;
  x1 x2 = Q. Tot ce rămâne este să găsim rădăcinile.
• Trebuie remarcat faptul că ecuația poate fi redusă la o formă similară. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți toți termenii trinomului la coeficientul celei mai mari puteri A: A x² + B x + C |A
  x² + B/A x + C/A
  x1 + x2 = -B/A;
  x1 x2 = C/A.