Fracțiile sunt comune și zecimale. Când un elev află despre existența acestuia din urmă, el începe să transforme tot ceea ce este posibil în formă zecimală cu fiecare ocazie, chiar dacă acest lucru nu este necesar.

În mod ciudat, preferințele se schimbă în rândul studenților de liceu și de facultate, deoarece este mai ușor să efectuați multe operații aritmetice cu fracții obișnuite. Și uneori este pur și simplu imposibil să convertiți valorile cu care se confruntă absolvenții în formă zecimală fără pierderi. Ca urmare, ambele tipuri de fracții se dovedesc a fi, într-un fel sau altul, adaptate sarcinii și au propriile avantaje și dezavantaje. Să vedem cum să lucrăm cu ei.

Definiţie

Fracțiile sunt aceleași cu acțiunile. Dacă există zece segmente într-o portocală și ți se dă unul, atunci ai 1/10 din fruct în mână. Când este scrisă ca în propoziția anterioară, fracția va fi numită fracție obișnuită. Dacă scrieți același lucru ca 0,1 - zecimală. Ambele variante sunt egale, dar au avantajele lor. Prima opțiune este mai convenabilă pentru înmulțire și împărțire, a doua pentru adunare, scădere și într-o serie de alte cazuri.

Cum se transformă o fracție într-o altă formă

Să presupunem că aveți o fracție și doriți să o convertiți într-o zecimală. Ce trebuie făcut pentru asta?

Apropo, trebuie să decideți în avans că nu orice număr poate fi scris în formă zecimală fără probleme. Uneori trebuie să rotunjiți rezultatul, pierzând un anumit număr de zecimale, iar în multe domenii - de exemplu, în științe exacte - acesta este un lux complet inaccesibil. În același timp, operațiile cu zecimale și fracții ordinare în clasa a V-a fac posibilă efectuarea unui astfel de transfer de la un tip la altul fără interferențe, cel puțin ca antrenament.

Dacă o valoare care este multiplu de 10 poate fi obținută de la numitor prin înmulțirea sau împărțirea cu un număr întreg, translația va continua fără dificultăți: ¾ se transformă în 0,75, 13/20 în 0,65.

Procedura inversă este și mai simplă, deoarece puteți obține întotdeauna o fracție obișnuită dintr-o fracție zecimală fără pierderi de precizie. De exemplu, 0,2 devine 1/5, iar 0,08 devine 4/25.

Transformări interne

Înainte de a efectua operații comune cu fracții obișnuite, trebuie să pregătiți numere pentru posibile operații matematice.

În primul rând, trebuie să aduceți toate fracțiile din exemplu într-o formă generală. Ele trebuie să fie fie obișnuite, fie zecimale. Să facem imediat o rezervă că este mai convenabil să facem înmulțirea și împărțirea cu primul.

O regulă cunoscută și folosită atât în ​​primii ani de studiu a materiei, cât și în matematica superioară, care este studiată la universități, vă va ajuta în pregătirea numerelor pentru acțiuni ulterioare.

Proprietățile fracțiilor

Să presupunem că ai ceva valoare. Să spunem 2/3. Ce se schimbă dacă înmulțiți numărătorul și numitorul cu 3? Se va dovedi a fi 6/9. Dacă e un milion? 2000000/3000000. Dar stați, numărul nu se schimbă deloc calitativ - 2/3 rămâne egal cu 2000000/3000000. Se schimbă doar forma, dar nu și conținutul. Același lucru se întâmplă atunci când ambele părți sunt împărțite la aceeași valoare. Aceasta este proprietatea principală a fracțiilor, care vă va ajuta în mod repetat să efectuați operații cu zecimale și fracții obișnuite la teste și examene.

Înmulțirea numărătorului și numitorului cu același număr se numește extinderea unei fracții, iar împărțirea se numește reducere. Trebuie spus că tăierea numerelor identice de sus și de jos la înmulțirea și împărțirea fracțiilor este o procedură surprinzător de plăcută (în cadrul unei lecții de matematică, desigur). Se pare că răspunsul este deja aproape și exemplul practic este rezolvat.

Fracții improprii

O fracție improprie este una în care numărătorul este mai mare sau egal cu numitorul. Cu alte cuvinte, dacă o întreagă parte a acestuia poate fi distinsă, se încadrează în această definiție.

Dacă un astfel de număr (mai mare decât sau egal cu unu) se prezintă ca o fracție obișnuită, se va numi fracție improprie. Și dacă numărătorul este mai mic decât numitorul, este corect. Ambele tipuri sunt la fel de convenabile atunci când se efectuează posibile operații cu fracții obișnuite. Ele pot fi ușor înmulțite și împărțite, adunate și scăzute.

Dacă în același timp este selectat întreaga parteși există un rest sub formă de fracție, numărul rezultat se va numi mixt. Pe viitor te vei întâlni în diverse moduri combinații de astfel de structuri cu variabile, precum și rezolvarea ecuațiilor în care aceste cunoștințe sunt necesare.

Operatii aritmetice

Dacă totul este clar cu proprietatea de bază a unei fracții, atunci cum să te comporti atunci când înmulți fracțiile? Operațiile cu fracții obișnuite din clasa a 5-a implică toate tipurile de operații aritmetice, care se efectuează în două moduri diferite.

Înmulțirea și împărțirea sunt foarte simple. În primul caz, numărătorii și numitorii a două fracții sunt pur și simplu înmulțiți. În al doilea - același lucru, doar transversal. Astfel, numărătorul primei fracții se înmulțește cu numitorul celei de-a doua și invers.

Pentru a efectua adunarea și scăderea, trebuie să efectuați o acțiune suplimentară - aduceți toate componentele expresiei la un numitor comun. Aceasta înseamnă că părțile inferioare ale fracțiilor trebuie modificate la aceeași valoare - un număr care este un multiplu al ambilor numitori existenți. De exemplu, pentru 2 și 5 va fi 10. Pentru 3 și 6 - 6. Dar atunci ce să faci cu partea de sus? Nu putem lăsa același lucru dacă l-am schimbat pe cel de jos. Conform proprietății de bază a unei fracții, vom înmulți numărătorul cu același număr ca și numitorul. Aceasta operatie trebuie efectuata cu fiecare dintre numerele pe care le vom adauga sau scade. Cu toate acestea, astfel de operațiuni cu fracții obișnuite în clasa a VI-a sunt deja efectuate „automat”, iar dificultățile apar numai în stadiul inițial de studiere a subiectului.

Comparaţie

Dacă două fracții au același numitor, cea cu numărătorul mai mare este mai mare. Dacă părțile superioare sunt aceleași, atunci cea cu numitorul mai mic va fi mai mare. Merită să rețineți că astfel de situații de succes pentru comparație apar rar. Cel mai probabil, atât părțile superioare, cât și cele inferioare ale expresiilor nu se vor potrivi. Apoi va trebui să vă amintiți despre posibilele acțiuni cu fracții obișnuite și să utilizați tehnica folosită în adunare și scădere. În plus, amintiți-vă că, dacă vorbim despre numere negative, atunci fracția mai mare se va dovedi a fi mai mică.

Avantajele fracțiilor comune

Se întâmplă ca profesorii să spună copiilor o frază, al cărei conținut poate fi exprimat astfel: cu cât se oferă mai multe informații la formularea sarcinii, cu atât soluția va fi mai ușoară. Crezi că sună ciudat? Dar de fapt: când cantitati mari cantități cunoscute, puteți folosi aproape orice formulă, dar dacă sunt furnizate doar câteva numere, poate fi necesară o reflecție suplimentară, va trebui să vă amintiți și să demonstrați teoreme, să oferiți argumente în favoarea dreptății dvs....

De ce facem asta? Mai mult, fracțiile obișnuite, cu toată greutatea lor, pot simplifica foarte mult viața unui elev, permițându-i să scurteze rânduri întregi de valori atunci când înmulțesc și împărțind, iar atunci când calculează sume și diferențe, să facă argumente generale și, din nou, să le scurteze.

Când este necesar să se desfășoare acțiuni comune cu ordinare și zecimale, transformările sunt efectuate în favoarea primei: cum se transformă 3/17 în formă zecimală? Doar cu pierderea de informații, nu altfel. Dar 0,1 poate fi reprezentat ca 1/10 și apoi ca 17/170. Și apoi se pot adăuga sau scădea cele două numere rezultate: 30/170 + 17/170 = 47/170.

De ce sunt utile zecimale?

În timp ce operațiunile cu fracții obișnuite sunt mai convenabile, notarea totul cu ajutorul lor este extrem de incomod zecimalele au un avantaj semnificativ aici. Comparați: 1748/10000 și 0,1748. Aceasta este aceeași valoare reprezentată în două diverse opțiuni. Desigur, a doua metodă este mai ușoară!

În plus, zecimalele sunt mai ușor de reprezentat deoarece toate datele au o bază comună care diferă doar prin ordine de mărime. Să spunem că înțelegem cu ușurință o reducere de 30% și chiar o evaluăm ca fiind semnificativă. Veți înțelege imediat ce este mai mult - 30% sau 137/379? Astfel, fracțiile zecimale oferă standardizare pentru calcule.

În liceu, elevii decid ecuații pătratice. Efectuarea operațiunilor cu fracții obișnuite aici este deja extrem de problematică, deoarece formula pentru calcularea valorilor unei variabile conține rădăcină pătrată din suma. Dacă există o fracție care nu poate fi redusă la o zecimală, soluția devine atât de complicată încât devine aproape imposibil să se calculeze răspunsul exact fără un calculator.

Deci, fiecare mod de reprezentare a fracțiilor are propriile avantaje în contextul adecvat.

Formulare de înregistrare

Există două moduri de a scrie acțiuni cu fracții obișnuite: printr-o linie orizontală, în două „niveluri” și printr-o bară oblică (alias „slash”) - într-o linie. Când un elev scrie într-un caiet, prima opțiune este de obicei mai convenabilă și, prin urmare, mai frecventă. Distribuirea numerelor de-a lungul celulelor la rând ajută la dezvoltarea atenției atunci când se efectuează calcule și se efectuează transformări. Când scrieți într-un șir, puteți încurca din neatenție ordinea acțiunilor, puteți pierde unele date - adică să faceți o greșeală.

Destul de des în zilele noastre este nevoie să tipăriți numere pe un computer. Puteți separa fracțiile folosind o linie orizontală tradițională folosind funcția din Microsoft Word 2010 și versiuni ulterioare. Cert este că în aceste versiuni ale software-ului există o opțiune numită „formulă”. Afișează un câmp transformabil dreptunghiular pe ecran, în care puteți combina orice simboluri matematice și puteți crea atât fracții cu două, cât și „cu patru etaje”. Puteți folosi paranteze și semne de operație la numitor și numărător. Drept urmare, veți putea nota orice acțiuni comune cu fracții obișnuite și zecimale în forma tradițională, adică modul în care vă învață să faceți acest lucru la școală.

Dacă utilizați editorul de text standard Notepad, atunci toate expresiile fracționale vor trebui scrise cu o bară oblică. Din păcate, nu există altă cale aici.

Concluzie

Așa că ne-am uitat la toate acțiunile de bază cu fracții obișnuite, dintre care, se pare, nu sunt atât de multe.

Dacă la început poate părea că aceasta este o secțiune dificilă a matematicii, atunci aceasta este doar o impresie temporară - amintiți-vă, v-ați gândit odată astfel la tabla înmulțirii și chiar mai devreme - la caietele obișnuite și la numărarea de la unu la zece.

Este important să înțelegeți că fracțiile sunt folosite în viata de zi cu zi pretutindeni. Te vei ocupa de bani și calcule de inginerie, tehnologia informației și alfabetizarea muzicală și peste tot - peste tot! - vor apărea numerele fracționale. Prin urmare, nu fi leneș și studiază temeinic acest subiect - mai ales că nu este atât de complicat.

Acțiuni cu fracții. În acest articol vom analiza exemple, totul în detaliu cu explicații. Vom lua în considerare fracțiile obișnuite. Ne vom uita la zecimale mai târziu. Recomand să vizionați întregul lucru și să îl studiați secvențial.

1. Suma fracțiilor, diferența fracțiilor.

Regula: atunci când se adună fracții cu numitori egali, rezultatul este o fracție - al cărei numitor rămâne același, iar numărătorul ei va fi egal cu suma numărătorilor fracțiilor.

Regula: atunci când se calculează diferența dintre fracțiile cu aceiași numitori, obținem o fracție - numitorul rămâne același, iar numărătorul celei de-a doua se scade din numărătorul primei fracții.

Notație formală pentru suma și diferența fracțiilor cu numitori egali:

Exemple (1):

Este clar că atunci când sunt date fracții obișnuite, atunci totul este simplu, dar dacă sunt amestecate? Nimic complicat...

Opțiunea 1– le puteți converti în altele obișnuite și apoi le puteți calcula.

Opțiunea 2– puteți „lucra” separat cu părțile întregi și fracționale.

Exemple (2):

Mai mult:

Și dacă se dă diferența de doi fractii mixte iar numărătorul primei fracții va fi mai mic decât numărătorul celei de-a doua? De asemenea, puteți acționa în două moduri.

Exemple (3):

*Convertit în fracții obișnuite, calculat diferența, convertit fracția improprie rezultată într-o fracție mixtă.

*L-am împărțit în părți întregi și fracționale, am obținut un trei, apoi am prezentat 3 ca sumă a lui 2 și 1, cu unul reprezentat ca 11/11, apoi am găsit diferența dintre 11/11 și 7/11 și am calculat rezultatul . Sensul transformărilor de mai sus este să luăm (selectăm) o unitate și să o prezentăm sub forma unei fracții cu numitorul de care avem nevoie, apoi putem scădea alta din această fracție.

Un alt exemplu:

Concluzie: există o abordare universală - pentru a calcula suma (diferența) fracțiilor mixte cu numitori egali, acestea pot fi întotdeauna convertite în fracții improprii, apoi efectuați acțiunea necesară. După aceasta, dacă rezultatul este o fracție improprie, o transformăm într-o fracție mixtă.

Mai sus ne-am uitat la exemple cu fracții care au numitori egali. Ce se întâmplă dacă numitorii sunt diferiți? În acest caz, fracțiile sunt reduse la același numitor și se efectuează acțiunea specificată. Pentru a schimba (transforma) o fracție, se folosește proprietatea de bază a fracției.

Să ne uităm la exemple simple:

În aceste exemple, vedem imediat cum una dintre fracții poate fi transformată pentru a obține numitori egali.

Dacă desemnăm modalități de reducere a fracțiilor la același numitor, atunci o vom numi pe aceasta METODA 1.

Adică, imediat când „evaluați” o fracție, trebuie să vă dați seama dacă această abordare va funcționa - verificăm dacă numitorul mai mare este divizibil cu cel mai mic. Și dacă este divizibil, atunci efectuăm o transformare - înmulțim numărătorul și numitorul astfel încât numitorii ambelor fracții să devină egali.

Acum uită-te la aceste exemple:

Această abordare nu este aplicabilă lor. Există, de asemenea, modalități de a reduce fracțiile la un numitor comun, să le luăm în considerare.

Metoda DOUA.

Înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua, iar numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu numitorul primei:

*De fapt, reducem fracțiile pentru a se forma atunci când numitorii devin egali. În continuare, folosim regula pentru adunarea fracțiilor cu numitori egali.

Exemplu:

*Această metodă poate fi numită universală și funcționează întotdeauna. Singurul dezavantaj este că după calcule s-ar putea să ajungeți cu o fracție care va trebui redusă în continuare.

Să ne uităm la un exemplu:

Se poate observa că numărătorul și numitorul sunt divizibile cu 5:

Metoda TREI.

Trebuie să găsiți cel mai mic multiplu comun (MCM) al numitorilor. Acesta va fi numitorul comun. Ce fel de număr este acesta? Acesta este cel mai mic număr natural care este divizibil cu fiecare dintre numere.

Uite, aici sunt două numere: 3 și 4, există multe numere care sunt divizibile cu ele - acestea sunt 12, 24, 36, ... Cel mai mic dintre ele este 12. Sau 6 și 15, 30, 60, 90 sunt divizibil de ei.... Cel mai mic este 30. Întrebarea este - cum se determină acest cel mai mic multiplu comun?

Există un algoritm clar, dar adesea acest lucru se poate face imediat, fără calcule. De exemplu, conform exemplelor de mai sus (3 și 4, 6 și 15) nu este nevoie de un algoritm, am luat numere mari (4 și 15), le-am dublat și am văzut că sunt divizibile cu al doilea număr, dar perechile de numere pot fiți alții, de exemplu 51 și 119.

Algoritm. Pentru a determina cel mai mic multiplu comun al mai multor numere, trebuie:

- descompuneți fiecare număr în factori SIMPLI

— notează descompunerea CEI MAI MARI dintre ele

- înmulțiți-l cu factorii LIPSĂ ai altor numere

Să ne uităm la exemple:

50 și 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

în extinderea unui număr mai mare unu cinci lipsește

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 si 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

în extinderea unui număr mai mare lipsesc doi şi trei

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Cel mai mic multiplu comun de doi numere prime egal cu produsul lor

Întrebare! De ce este utilă găsirea celui mai mic multiplu comun, deoarece puteți utiliza a doua metodă și pur și simplu reduceți fracția rezultată? Da, este posibil, dar nu este întotdeauna convenabil. Uită-te la numitorul numerelor 48 și 72 dacă le înmulți pur și simplu 48∙72 = 3456. Veți fi de acord că este mai plăcut să lucrați cu numere mai mici.

Să ne uităm la exemple:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

la extinderea unui număr mai mare lipsește un triplu

=> NOC(51.119) = 3∙7∙17

Acum să folosim prima metodă:

*Uitați-vă la diferența de calcule, în primul caz există un minim, dar în al doilea trebuie să lucrați separat pe o bucată de hârtie și chiar și fracțiunea pe care ați primit-o trebuie redusă. Găsirea LOC simplifică semnificativ munca.

Mai multe exemple:

*În al doilea exemplu este clar că cel mai mic număr care este divizibil cu 40 și 60 este 120.

REZULTAT! ALGORITM DE CALCUL GENERAL!

— reducem fracțiile la cele obișnuite dacă există o parte întreagă.

- aducem fractiile la un numitor comun (mai intai ne uitam daca un numitor este divizibil cu altul; daca este divizibil, atunci inmultim numaratorul si numitorul acestei alte fractii; daca nu este divizibil, actionam folosind celelalte metode indicat mai sus).

- După ce am primit fracții cu numitori egali, efectuăm operații (adunare, scădere).

- daca este necesar, reducem rezultatul.

- dacă este necesar, apoi selectați întreaga parte.

2. Produsul fracțiilor.

Regula este simplă. La înmulțirea fracțiilor, numărătorii și numitorii lor se înmulțesc:

Exemple:

Sarcină. La bază au fost aduse 13 tone de legume. Cartofii reprezintă ¾ din toate legumele importate. Câte kilograme de cartofi au fost aduse la bază?

Să terminăm cu piesa.

*Am promis anterior să vă dau o explicație formală a proprietății principale a unei fracții printr-un produs, vă rugăm:

3. Împărțirea fracțiilor.

Împărțirea fracțiilor se reduce la înmulțirea lor. Este important să ne amintim că fracția care este divizorul (cea care este împărțită cu) este răsturnată și acțiunea se schimbă în înmulțire:

Această acțiune poate fi scrisă sub forma unei așa-numite fracțiuni cu patru etaje, deoarece diviziunea „:” în sine poate fi scrisă și ca fracție:

Exemple:

Asta e tot! Mult succes pentru tine!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

Acțiuni cu fracții.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Deci, ce sunt fracțiile, tipurile de fracții, transformările - ne-am amintit. Să trecem la problema principală.

Ce poți face cu fracțiile? Da, totul este la fel ca în cazul numerelor obișnuite. Adunați, scădeți, înmulțiți, împărțiți.

Toate aceste acțiuni cu zecimal lucrul cu fracții nu este diferit de lucrul cu numere întregi. De fapt, asta este ceea ce este bun la ei, zecimale. Singurul lucru este că trebuie să puneți virgula corect.

Numere mixte, așa cum am spus deja, sunt de puțin folos pentru majoritatea acțiunilor. Mai trebuie convertite în fracții obișnuite.

Dar acțiunile cu fracții obișnuite vor fi mai vicleni. Și mult mai important! Lasă-mă să-ți amintesc: toate acțiunile cu expresii fracționale cu litere, sinusuri, necunoscute etc., etc. nu sunt diferite de acțiunile cu fracții obișnuite! Operațiile cu fracții obișnuite stau la baza tuturor algebrei. Din acest motiv vom analiza aici toată această aritmetică în detaliu.

Adunarea și scăderea fracțiilor.

Toată lumea poate adăuga (scădea) fracții cu aceiași numitori (sper foarte mult!). Ei bine, permiteți-mi să le reamintesc celor care sunt complet uituci: la adunarea (scăderea), numitorul nu se schimbă. Număratorii sunt adăugați (scădeți) pentru a da numărătorul rezultatului. Tip:

Pe scurt, în termeni generali:

Ce se întâmplă dacă numitorii sunt diferiți? Apoi, folosind proprietatea de bază a unei fracții (aici ne este util din nou!), facem numitorii la fel! De exemplu:

Aici a trebuit să facem fracția 4/10 din fracția 2/5. În scopul unic de a face numitorii la fel. Permiteți-mi să notez, pentru orice eventualitate, că 2/5 și 4/10 sunt aceeași fracție! Doar 2/5 sunt incomode pentru noi, iar 4/10 sunt chiar ok.

Apropo, aceasta este esența rezolvării oricăror probleme de matematică. Când noi din incomod facem expresii același lucru, dar mai convenabil de rezolvat.

Un alt exemplu:

Situația este similară. Aici facem 48 din 16. Prin simpla inmultire la 3. Toate acestea sunt clare. Dar am dat peste ceva de genul:

Cum sa fii?! E greu să faci un nouă din șapte! Dar suntem deștepți, știm regulile! Să ne transformăm fiecare fracție astfel încât numitorii să fie aceiași. Aceasta se numește „reducere la un numitor comun”:

Wow! De unde am știut despre 63? Foarte simplu! 63 este un număr care este divizibil cu 7 și 9 în același timp. Un astfel de număr poate fi întotdeauna obținut prin înmulțirea numitorilor. Dacă înmulțim un număr cu 7, de exemplu, atunci rezultatul va fi cu siguranță divizibil cu 7!

Dacă trebuie să adunați (scădeți) mai multe fracții, nu este nevoie să o faceți în perechi, pas cu pas. Trebuie doar să găsiți numitorul comun tuturor fracțiilor și să reduceți fiecare fracție la același numitor. De exemplu:

Și care va fi numitorul comun? Puteți, desigur, să înmulțiți 2, 4, 8 și 16. Obținem 1024. Coșmar. Este mai ușor de estimat că numărul 16 este perfect divizibil cu 2, 4 și 8. Prin urmare, din aceste numere este ușor să obțineți 16. Acest număr va fi numitorul comun. Să transformăm 1/2 în 8/16, 3/4 în 12/16 și așa mai departe.

Apropo, dacă iei 1024 ca numitor comun, totul se va rezolva, până la urmă totul se va reduce. Dar nu toată lumea va ajunge la acest scop, din cauza calculelor...

Completați singur exemplul. Nu un fel de logaritm... Ar trebui să fie 29/16.

Deci, adunarea (scăderea) fracțiilor este clară, sper? Desigur, este mai ușor să lucrezi într-o versiune scurtată, cu multiplicatori suplimentari. Dar această plăcere este la îndemâna celor care au lucrat cinstit în clasele inferioare... Și nu au uitat nimic.

Și acum vom face aceleași acțiuni, dar nu cu fracții, ci cu expresii fracționale. O nouă greblă va fi descoperită aici, da...

Deci, trebuie să adăugăm două expresii fracționale:

Trebuie să facem numitorii la fel. Și numai cu ajutorul multiplicare! Aceasta este ceea ce dictează proprietatea principală a unei fracții. Prin urmare, nu pot adăuga unul la X în prima fracție din numitor. (ar fi frumos!). Dar dacă înmulți numitorii, vezi, totul crește împreună! Deci notăm linia fracției, lăsăm un spațiu gol în partea de sus, apoi îl adunăm și scriem produsul numitorilor de mai jos, pentru a nu uita:

Și, desigur, nu înmulțim nimic pe partea dreaptă, nu deschidem parantezele! Și acum, privind numitorul comun din partea dreaptă, realizăm: pentru a obține numitorul x(x+1) în prima fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul acestei fracții cu (x+1) . Și în a doua fracție - la x. Acesta este ceea ce primești:

Fiţi atenți! Iată parantezele! Aceasta este grebla pe care calcă mulți oameni. Nu paranteze, desigur, ci absența lor. Parantezele apar pentru că ne înmulțim toate numărător și toate numitor! Și nu piesele lor individuale...

În numărătorul din dreapta scriem suma numărătorilor, totul este ca în fracții numerice, apoi deschidem parantezele în numărătorul din dreapta, adică. Înmulțim totul și dăm altele asemănătoare. Nu este nevoie să deschideți parantezele în numitori sau să înmulțiți nimic! In general, in numitori (oricare) produsul este intotdeauna mai placut! Primim:

Deci am primit răspunsul. Procesul pare lung și dificil, dar depinde de practică. Odată ce rezolvi exemplele, te obișnuiești, totul va deveni simplu. Cei care au stăpânit fracțiile la timp fac toate aceste operațiuni cu o singură mână stângă, automat!

Și încă o notă. Mulți se ocupă inteligent de fracții, dar rămân blocați cu exemple întreg numere. Cum ar fi: 2 + 1/2 + 3/4= ? Unde să fixați cele două piese? Nu trebuie să-l fixați nicăieri, trebuie să faceți o fracțiune din două. Nu este ușor, dar foarte simplu! 2=2/1. Ca aceasta. Orice număr întreg poate fi scris ca fracție. Numătorul este numărul în sine, numitorul este unul. 7 este 7/1, 3 este 3/1 și așa mai departe. La fel este și cu literele. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 etc. Și apoi lucrăm cu aceste fracții conform tuturor regulilor.

Ei bine, cunoștințele de adunare și scădere de fracții au fost reîmprospătate. S-a repetat conversia fracțiilor de la un tip la altul. De asemenea, puteți fi verificat. O rezolvăm puțin?)

Calcula:

Răspunsuri (în dezordine):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Înmulțirea/împărțirea fracțiilor – în lecția următoare. Există, de asemenea, sarcini pentru toate operațiunile cu fracții.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

În acest articol, un profesor de matematică și fizică vorbește despre modul de a efectua operații elementare cu fracții obișnuite: adunare și scădere, înmulțire și împărțire. Aflați cum să reprezentați un număr mixt ca o fracție improprie și invers, precum și cum să reduceți fracțiile.

Adunarea și scăderea fracțiilor comune

Să ne amintim asta numitor fracția este numărul care este de jos, A numărător- numărul care se află mai sus din linia fracțională. De exemplu, într-o fracție, numărul este numărătorul și numărul este numitorul.

Numitor comun este cel mai mic număr posibil care este divizibil atât cu numitorul primei fracții, cât și cu numitorul celei de-a doua fracții.

Exemplul 1. Adăugați două fracții: .

Să folosim algoritmul descris mai sus:

1) Cel mai mic număr, care este divizibil atât cu numitorul primei fracții, cât și cu numitorul celei de-a doua fracții, este egal cu . Acest număr va fi numitorul comun. Acum trebuie să aduceți ambele fracții la un numitor comun.

2) Adăugați fracțiile rezultate: .

Înmulțirea fracțiilor comune

Cu alte cuvinte, pentru toate numerele reale , , , , este valabilă următoarea egalitate:

Exemplul 2. Înmulțirea fracțiilor: .

Pentru a rezolva această problemă, folosim formula prezentată mai sus: .

Împărțirea fracțiilor

Cu alte cuvinte, pentru toate numerele reale , , , , , este valabilă următoarea egalitate:

Exemplul 3. Împărțiți fracții: .

Pentru a rezolva această problemă, folosim formula de mai sus: .

Reprezentarea unui număr mixt ca o fracție improprie

Să ne dăm seama acum ce să facem dacă trebuie să efectuați orice operație cu fracții prezentate sub formă de numere mixte. În acest caz, mai întâi trebuie să reprezentați numere mixte ca fracții improprii și apoi să efectuați operația necesară.

Să ne amintim asta greşit Se numește o fracție al cărei numărător este mai mare sau egal cu numitorul ei.

Amintiți-vă, de asemenea, că un număr mixt are parte fracționatăŞi întreaga parte. De exemplu, un număr mixt are o parte fracțională egală cu , și o parte întreagă egală cu .

Exemplul 4. Exprimați un număr mixt ca o fracție improprie.

Să folosim algoritmul prezentat mai sus: .

Exemplul 5. Reprezentați o fracție improprie ca număr mixt.

Acest articol examinează operațiunile pe fracții. Se vor forma și justifica reguli de adunare, scădere, înmulțire, împărțire sau exponențiere a fracțiilor de forma A B, unde A și B pot fi numere, expresii numerice sau expresii cu variabile. În concluzie, vor fi luate în considerare exemple de soluții cu descrieri detaliate.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Reguli pentru efectuarea operaţiilor cu fracţii numerice generale

Fracțiile generale au un numărător și un numitor care conțin numere naturale sau expresii numerice. Dacă luăm în considerare fracții precum 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 ln 3, atunci este clar că numărătorul și numitorul pot avea nu numai numere, ci și expresii de diferite tipuri.

Definiția 1

Există reguli prin care se efectuează operațiuni cu fracții obișnuite. Este potrivit și pentru fracții generale:

• La scăderea fracțiilor cu numitori similari se adună doar numărătorii, iar numitorul rămâne același, și anume: a d ± c d = a ± c d, valorile a, c și d ≠ 0 sunt niște numere sau expresii numerice.
• La adunarea sau scăderea unei fracții cu numitori diferiți, este necesar să o reduceți la un numitor comun, apoi să adăugați sau scădeți fracțiile rezultate cu aceiași exponenți. Literal, arată astfel: a b ± c d = a · p ± c · r s, unde valorile a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 sunt numere reale, și b · p = d · r = s . Când p = d și r = b, atunci a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• La înmulțirea fracțiilor se efectuează o operație cu numărătorii, după care cu numitorii, atunci obținem a b · c d = a · c b · d, unde a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 acționează ca numere reale.
• Când împărțim o fracție la o fracție, o înmulțim pe prima cu a doua inversă, adică schimbăm numărătorul și numitorul: a b: c d = a b · d c.

Rațiunea regulilor

Există următoarele puncte matematice pe care ar trebui să te bazezi când calculezi:

• bara oblică înseamnă semnul de împărțire;
• împărțirea la un număr este tratată ca o înmulțire cu valoarea sa reciprocă;
• aplicarea proprietății operațiilor cu numere reale;
• aplicarea proprietății de bază a fracțiilor și a inegalităților numerice.

Cu ajutorul lor, puteți efectua transformări ale formei:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s ; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Exemple

În paragraful anterior s-a spus despre operații cu fracții. După aceasta, fracția trebuie simplificată. Acest subiect a fost discutat în detaliu în paragraful despre conversia fracțiilor.

Mai întâi, să ne uităm la un exemplu de adunare și scădere a fracțiilor cu același numitor.

Exemplul 1

Având în vedere fracțiile 8 2, 7 și 1 2, 7, atunci conform regulii este necesar să adăugați numărătorul și să rescrieți numitorul.

Soluţie

Apoi obținem o fracție de forma 8 + 1 2, 7. După efectuarea adunării, obținem o fracție de forma 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Aceasta înseamnă 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Răspuns: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Există o altă soluție. Pentru început, trecem la forma unei fracții obișnuite, după care efectuăm o simplificare. Arata cam asa:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Exemplul 2

Să scădem din 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 o fracție de forma 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Deoarece sunt dați numitori egali, înseamnă că calculăm o fracție cu același numitor. Înțelegem asta

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Există exemple de calculare a fracțiilor cu numitori diferiți. Un punct important este reducerea la un numitor comun. Fără aceasta, nu vom putea efectua alte operații cu fracții.

Procesul amintește vag de reducerea la un numitor comun. Adică se caută cel mai mic divizor comun din numitor, după care factorii lipsă se adaugă la fracții.

Dacă fracțiile adăugate nu au factori comuni, atunci produsul lor poate deveni unul.

Exemplul 3

Să ne uităm la exemplul de adunare a fracțiilor 2 3 5 + 1 și 1 2.

Soluţie

În acest caz, numitorul comun este produsul numitorilor. Atunci obținem că 2 · 3 5 + 1. Apoi, atunci când stabilim factori suplimentari, avem că pentru prima fracție este egală cu 2, iar pentru a doua este 3 5 + 1. După înmulțire, fracțiile sunt reduse la forma 4 2 · 3 5 + 1. Reducerea generală a lui 1 2 va fi 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Adăugăm expresiile fracționale rezultate și obținem asta

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Răspuns: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Când avem de-a face cu fracții generale, atunci de obicei nu vorbim despre cel mai mic numitor comun. Este neprofitabil să luăm ca numitor produsul numărătorilor. Mai întâi trebuie să verificați dacă există un număr care are o valoare mai mică decât produsul lor.

Exemplul 4

Să luăm în considerare exemplul lui 1 6 · 2 1 5 și 1 4 · 2 3 5, când produsul lor este egal cu 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5. Apoi luăm 12 · 2 3 5 ca numitor comun.

Să ne uităm la exemple de înmulțire a fracțiilor generale.

Exemplul 5

Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți 2 + 1 6 și 2 · 5 3 · 2 + 1.

Soluţie

Urmând regula, este necesar să rescrieți și să scrieți produsul numărătorilor ca numitor. Obținem că 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Odată ce o fracție a fost înmulțită, puteți face reduceri pentru a o simplifica. Atunci 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

Folosind regula pentru trecerea de la împărțirea la înmulțirea cu o fracție reciprocă, obținem o fracție care este reciproca celei date. Pentru a face acest lucru, numărătorul și numitorul sunt schimbate. Să ne uităm la un exemplu:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Apoi trebuie să înmulțească și să simplifice fracția rezultată. Dacă este necesar, scăpați de iraționalitatea în numitor. Înțelegem asta

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Răspuns: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Acest paragraf este aplicabil atunci când un număr sau o expresie numerică poate fi reprezentat ca o fracție cu un numitor egal cu 1, atunci operația cu o astfel de fracție este considerată un paragraf separat. De exemplu, expresia 1 6 · 7 4 - 1 · 3 arată că rădăcina lui 3 poate fi înlocuită cu o altă expresie 3 1. Atunci această intrare va arăta ca înmulțirea a două fracții de forma 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1.

Efectuarea de operații asupra fracțiilor care conțin variabile

Regulile discutate în primul articol sunt aplicabile operațiilor cu fracții care conțin variabile. Luați în considerare regula scăderii atunci când numitorii sunt aceiași.

Este necesar să se demonstreze că A, C și D (D nu este egal cu zero) pot fi orice expresii, iar egalitatea A D ± C D = A ± C D este echivalentă cu intervalul său de valori admisibile.

Este necesar să se ia un set de variabile ODZ. Atunci A, C, D trebuie să ia valorile corespunzătoare a 0 , c 0 și d 0. Înlocuirea formei A D ± C D are ca rezultat o diferență de forma a 0 d 0 ± c 0 d 0 , unde, folosind regula adunării, obținem o formulă de forma a 0 ± c 0 d 0 . Dacă înlocuim expresia A ± C D, atunci obținem aceeași fracție de forma a 0 ± c 0 d 0. De aici concluzionăm că valoarea selectată care satisface ODZ, A ± C D și A D ± C D sunt considerate egale.

Pentru orice valoare a variabilelor, aceste expresii vor fi egale, adică se numesc identic egale. Aceasta înseamnă că această expresie este considerată o egalitate demonstrabilă de forma A D ± C D = A ± C D .

Exemple de adunare și scădere a fracțiilor cu variabile

Când aveți aceiași numitori, trebuie doar să adăugați sau să scădeți numărătorii. Această fracție poate fi simplificată. Uneori trebuie să lucrați cu fracții care sunt identic egale, dar la prima vedere acest lucru nu se observă, deoarece unele transformări trebuie efectuate. De exemplu, x 2 3 x 1 3 + 1 și x 1 3 + 1 2 sau 1 2 sin 2 α și sin a cos a. Cel mai adesea, este necesară o simplificare a expresiei originale pentru a vedea aceiași numitori.

Exemplul 6

Calculați: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Soluţie

1. Pentru a face calculul, trebuie să scădeți fracțiile care au același numitor. Atunci obținem că x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . După care puteți extinde parantezele și adăugați termeni similari. Obținem că x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Deoarece numitorii sunt aceiași, nu rămâne decât să adunăm numărătorii, lăsând numitorul: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2) + 2)
   Adăugarea a fost finalizată. Se poate observa că este posibilă reducerea fracției. Numătorul său poate fi pliat folosind formula pentru pătratul sumei, apoi obținem (l g x + 2) 2 din formule de înmulțire prescurtate. Atunci obținem asta
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Date fracții de forma x - 1 x - 1 + x x + 1 cu diferiți numitori. După transformare, puteți trece la adăugare.

Să luăm în considerare o soluție dublă.

Prima metodă este ca numitorul primei fracții să fie factorizat folosind pătrate, cu reducerea sa ulterioară. Obținem o fracțiune din formă

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Deci x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

În acest caz, este necesar să scăpăm de iraționalitatea în numitor.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

A doua metodă este de a înmulți numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu expresia x - 1. Astfel, scăpăm de iraționalitate și trecem la adunarea fracțiilor cu același numitor. Apoi

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

Răspuns: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

În ultimul exemplu am constatat că reducerea la un numitor comun este inevitabilă. Pentru a face acest lucru, trebuie să simplificați fracțiile. Când adăugați sau scădeți, trebuie întotdeauna să căutați un numitor comun, care arată ca produsul numitorilor cu factori suplimentari adăugați la numărători.

Exemplul 7

Calculați valorile fracțiilor: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4), 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Soluţie

1. Numitorul nu necesită calcule complexe, așa că trebuie să alegeți produsul lor de forma 3 x 7 + 2 · 2, apoi alegeți x 7 + 2 · 2 pentru prima fracție ca factor suplimentar și 3 pentru a doua. Când înmulțim, obținem o fracție de forma x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Se poate observa că numitorii sunt prezentați sub forma unui produs, ceea ce înseamnă că transformările suplimentare sunt inutile. Numitorul comun va fi considerat un produs de forma x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Prin urmare, x 4 este un factor suplimentar la prima fracție și ln(x + 1) la al doilea. Apoi scadem si obtinem:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1) ) · 2 x - 4 - sin x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1) ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4)
3. Acest exemplu are sens atunci când lucrați cu numitori de fracții. Este necesar să se aplice formulele pentru diferența de pătrate și pătratul sumei, deoarece acestea vor face posibilă trecerea la o expresie de forma 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2. Se poate observa că fracțiile sunt reduse la un numitor comun. Obținem că cos x - x · cos x + x 2 .

Atunci obținem asta

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

Răspuns:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

Exemple de înmulțire a fracțiilor cu variabile

La înmulțirea fracțiilor, numărătorul este înmulțit cu numărătorul și numitorul cu numitorul. Apoi puteți aplica proprietatea de reducere.

Exemplul 8

Înmulțiți fracțiile x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 și 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x.

Soluţie

Înmulțirea trebuie făcută. Înțelegem asta

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Numărul 3 este mutat pe primul loc pentru confortul calculelor și puteți reduce fracția cu x 2, apoi obținem o expresie de forma

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Răspuns: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · sin (2 · x - x) .

Diviziune

Împărțirea fracțiilor este similară cu înmulțirea, deoarece prima fracție este înmulțită cu a doua reciprocă. Dacă luăm de exemplu fracția x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 și împărțim la 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, atunci ea poate fi scrisă ca

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , apoi înlocuiți cu un produs de forma x + 2 · x x 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Exponentiație

Să trecem la luarea în considerare a operațiilor cu fracții generale cu exponențiere. Dacă există o putere cu un exponent natural, atunci acțiunea este considerată ca înmulțire a fracțiilor egale. Dar se recomandă utilizarea unei abordări generale bazate pe proprietățile gradelor. Orice expresii A și C, unde C nu este identic egal cu zero, și orice r real din ODZ pentru o expresie de forma A C r egalitatea A C r = A r C r este valabilă. Rezultatul este o fracție ridicată la o putere. De exemplu, luați în considerare:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Procedura de efectuare a operatiilor cu fractii

Operațiile pe fracții se efectuează după anumite reguli. În practică, observăm că o expresie poate conține mai multe fracții sau expresii fracționale. Apoi, este necesar să efectuați toate acțiunile în ordine strictă: ridicați la o putere, înmulțiți, împărțiți, apoi adăugați și scădeți. Dacă există paranteze, în ele se execută prima acțiune.

Exemplul 9

Calculați 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Soluţie

Deoarece avem același numitor, atunci 1 - x cos x și 1 c o s x, dar nu se pot face scăderi conform regulii, se fac mai întâi acțiunile din paranteze, apoi înmulțirea, apoi adunarea. Atunci când calculăm, obținem asta

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Când înlocuim expresia în cea originală, obținem că 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. La înmulțirea fracțiilor avem: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. După ce au făcut toate înlocuirile, obținem 1 - x cos x - x + 1 cos x · x. Acum trebuie să lucrați cu fracții care au numitori diferiți. Primim:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

Răspuns: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x .

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter