Aduceți ecuația la forma canonică folosind metoda Lagrangiană. Reducerea unei forme pătratice la forma canonică

220400 Algebră și geometrie Tolstikov A.V.

Prelegeri 16. Forme biliniare și pătratice.

Plan

1. Forma biliniară și proprietățile ei.

2. Forma pătratică. Matrice formă pătratică. Transformarea coordonatelor.

3. Reducerea formei pătratice la formă canonică. Metoda Lagrange.

4. Legea inerției formelor pătratice.

5. Reducerea formei pătratice la forma canonică folosind metoda valorilor proprii.

6. Criteriul lui Silverst pentru caracterul pozitiv al unei forme pătratice.

1. Curs de geometrie analitică și algebră liniară. M.: Nauka, 1984.

2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Elemente de algebră liniară și geometrie analitică. 1997.

3. Voevodin V.V. Algebră liniară.. M.: Nauka 1980.

4. Culegere de probleme pentru colegii. Algebra liniară și fundamentele analizei matematice. Ed. Efimova A.V., Demidovich B.P.. M.: Nauka, 1981.

5. Butozov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Algebra liniară în întrebări și probleme. M.: Fizmatlit, 2001.

, , , ,

1. Forma biliniară și proprietățile sale. Lasă V - n-spațiu vectorial dimensional peste un câmp P.

Definiția 1.Forma biliniară, definit pe V, se numește o astfel de cartografiere g: V2® P, care la fiecare pereche comandată ( x , y ) vectori x , y din pune in V potriviți numărul din câmp P, notat g(x , y ), și liniară în fiecare dintre variabile x , y , adică având proprietăți:

1) ("x , y , z Î V)g(x + y , z ) = g(x , z ) + g(y , z );

2) ("x , y Î V) ("a О P)g(o x , y ) = a g(x , y );

3) ("x , y , z Î V)g(x , y + z ) = g(x , y ) + g(x , z );

4) ("x , y Î V) ("a О P)g(x , a y ) = a g(x , y ).

Exemplul 1. Orice produs punctual definit pe un spațiu vectorial V este o formă biliniară.

2 . Funcţie h(x , y ) = 2x 1 y 1 - x 2 y 2 +x 2 y 1 unde x = (x 1 ,x 2), y = (y 1 ,y 2)О R 2, forma biliniară pe R 2 .

Definiția 2. Lasă v = (v 1 , v 2 ,…, v n V.Matricea formei biliniareg(x , y ) raportat la bazăv numită matrice B=(b ij)n ´ n, ale căror elemente sunt calculate prin formula b ij = g(v i, v j):

Exemplul 3. Matrice biliniară h(x , y ) (vezi exemplul 2) relativ la bază e 1 = (1,0), e 2 = (0,1) este egal cu .

Teorema 1. LasăX, Y - coloane de coordonate ale vectorilorx , yîn bazăv, B - matrice de formă biliniarăg(x , y ) raportat la bazăv. Apoi forma biliniară poate fi scrisă ca

g(x , y )=X t BY. (1)

Dovada. Din proprietățile formei biliniare obținem

Exemplul 3. Forma biliniară h(x , y ) (vezi exemplul 2) se poate scrie sub forma h(x , y )=.

Teorema 2. Lasă v = (v 1 , v 2 ,…, v n), u = (u 1 , u 2 ,…, u n) - două baze de spațiu vectorialV, T - matrice de tranziție de la bazăv la bazau. Lasă B= (b ij)n ´ n Şi CU=(cu ij)n ´ n - matrici biliniareg(x , y ) respectiv relativ la bazev șiu. Apoi

CU=T t BT.(2)

Dovada. Prin definirea matricei de tranziție și a matricei formei biliniare, găsim:

Definiția 2. Forma biliniară g(x , y ) se numește simetric, Dacă g(x , y ) = g(y , x ) pentru orice x , y Î V.

Teorema 3. Forma biliniarăg(x , y )- simetrică dacă și numai dacă o matrice de formă biliniară este simetrică față de orice bază.

Dovada. Lasă v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - baza spatiului vectorial V, B= (b ij)n ´ n- matrici de formă biliniară g(x , y ) raportat la bază v. Lasă forma biliniară g(x , y ) - simetric. Apoi, prin definiție 2 pentru oricare eu, j = 1, 2,…, n avem b ij = g(v i, v j) = g(v j, v i) = b ji. Apoi matricea B- simetric.

Dimpotrivă, lasă matricea B- simetric. Apoi Bt= Bși pentru orice vector x = x 1 v 1 + …+ x n v n =vX, y = y 1 v 1 + y 2 v 2 +…+ y n v n =vY Î V, conform formulei (1), obținem (ținem cont că numărul este o matrice de ordinul 1, și nu se modifică în timpul transpunerii)

g(x , y ) =g(x , y )t = (X t BY)t = Y t B t X = g(y , x ).

2. Forma pătratică. Matrice de formă pătratică. Transformarea coordonatelor.

Definiția 1.Forma pătratică definite pe V, numită cartografiere f:V® P, care pentru orice vector x din V este determinat de egalitate f(x ) = g(x , x ), Unde g(x , y ) este o formă biliniară simetrică definită pe V .

Proprietatea 1.După o formă pătratică datăf(x )forma biliniară se găsește în mod unic prin formulă

g(x , y ) = 1/2(f(x + y ) - f(x )-f(y )). (1)

Dovada. Pentru orice vector x , y Î V obţinem din proprietăţile formei biliniare

f(x + y ) = g(x + y , x + y ) = g(x , x + y ) + g(y , x + y ) = g(x , x ) + g(x , y ) + g(y , x ) + g(y , y ) = f(x ) + 2g(x , y ) + f(y ).

De aici rezultă formula (1).

Definiția 2.Matrice de formă pătraticăf(x ) raportat la bazăv = (v 1 , v 2 ,…, v n) este matricea formei biliniare simetrice corespunzătoare g(x , y ) raportat la bază v.

Teorema 1. LasăX= (x 1 ,x 2 ,…, x n)t- coloana de coordonate a vectoruluix în bazăv, B - matrice de formă pătraticăf(x ) raportat la bazăv. Apoi forma pătraticăf(x )

Reducerea formelor pătratice

Să luăm în considerare metoda cea mai simplă și mai des folosită în practică de reducere a unei forme pătratice la forma canonică, numită Metoda Lagrange. Se bazează pe izolarea unui pătrat complet în formă pătratică.

Teorema 10.1(Teorema lui Lagrange) Orice formă pătratică (10.1):

folosind o transformare liniară nespecială (10.4) poate fi redusă la forma canonică (10.6):

□ Vom efectua demonstrarea teoremei într-un mod constructiv, folosind metoda lui Lagrange de identificare a pătratelor complete. Sarcina este de a găsi o matrice nesingulară astfel încât transformarea liniară (10.4) să rezulte într-o formă pătratică (10.6) de formă canonică. Această matrice va fi obținută treptat ca produs al unui număr finit de matrice de tip special.

Punctul 1 (pregătitor).

1.1. Să selectăm dintre variabile una care este inclusă în forma pătratică la pătrat și la prima putere în același timp (să o numim variabilă conducătoare). Să trecem la punctul 2.

1.2. Dacă nu există variabile principale în forma pătratică (pentru toate : ), atunci selectăm o pereche de variabile al căror produs este inclus în formularul cu un coeficient diferit de zero și trecem la pasul 3.

1.3. Dacă într-o formă pătratică nu există produse ale variabilelor opuse, atunci această formă pătratică este deja reprezentată în formă canonică (10.6). Dovada teoremei este completă.

Punctul 2 (selectarea unui pătrat complet).

2.1. Folosind variabila principală, selectăm un pătrat complet. Fără a pierde generalitatea, presupunem că variabila principală este . Grupând termenii care conțin , obținem

Selectarea unui pătrat perfect prin variabilă în , primim

Astfel, ca urmare a izolării pătratului complet cu o variabilă, obținem suma pătratului formei liniare

care include variabila principală și forma pătratică din variabile , în care variabila principală nu mai este inclusă. Să facem o schimbare de variabile (introducem variabile noi)

obținem o matrice

() transformare liniară nesingulară, în urma căreia forma pătratică (10.1) ia următoarea formă

Cu formă pătratică Să facem la fel ca la punctul 1.

2.1. Dacă variabila principală este variabila , atunci puteți face acest lucru în două moduri: fie selectați un pătrat complet pentru această variabilă, fie efectuați redenumirea (renumerotarea) variabile:

cu o matrice de transformare nesingulară:

Punctul 3 (crearea unei variabile principale).Înlocuim perechea de variabile selectată cu suma și diferența a două variabile noi și înlocuim variabilele vechi rămase cu variabilele noi corespunzătoare. Dacă, de exemplu, la paragraful 1 termenul a fost evidențiat

atunci modificarea corespunzătoare a variabilelor are forma

iar în formă pătratică (10.1) se va obţine variabila conducătoare.

De exemplu, în cazul modificării variabilelor:

matricea acestei transformări liniare nesingulare are forma

Ca urmare a algoritmului de mai sus (aplicarea secvenţială a punctelor 1, 2, 3), forma pătratică (10.1) se va reduce la forma canonică (10.6).

De remarcat că, în urma transformărilor efectuate pe forma pătratică (selectarea unui pătrat complet, redenumirea și crearea unei variabile conducătoare), am folosit matrici elementare nesingulare de trei tipuri (sunt matrici de tranziție de la bază la bază). Matricea cerută a transformării liniare nesingulare (10.4), sub care forma (10.1) are forma canonică (10.6), se obține prin înmulțirea unui număr finit de matrici nesingulare elementare de trei tipuri. ■

Exemplul 10.2. Dați forma pătratică

la forma canonică prin metoda Lagrange. Indicați transformarea liniară nesingulară corespunzătoare. Efectuați verificarea.

Soluţie. Să alegem variabila principală (coeficientul). Grupând termenii care conțin , și selectând un pătrat complet din acesta, obținem

unde este indicat

Să facem o schimbare de variabile (introducem variabile noi)

Exprimarea vechilor variabile în termenii celor noi:

obținem o matrice

Definiție 10.4.Vedere canonică forma pătratică (10.1) se numește următoarea formă: . (10,4)

Să arătăm că pe o bază de vectori proprii, forma pătratică (10.1) capătă o formă canonică. Lasă

- vectori proprii normalizați corespunzători valorilor proprii λ1,λ2,λ3 matrici (10.3) pe o bază ortonormală. Apoi matricea de tranziție de la vechea bază la cea nouă va fi matricea

. În noua bază matricea O va lua forma diagonală (9.7) (prin proprietatea vectorilor proprii). Astfel, transformând coordonatele folosind formulele:

în noua bază obținem forma canonică a unei forme pătratice cu coeficienți egali cu valorile proprii λ 1, λ 2, λ 3:

Observație 1. Din punct de vedere geometric, transformarea de coordonate considerată este o rotație a sistemului de coordonate, combinând vechile axe de coordonate cu cele noi.

Observația 2. Dacă orice valori proprii ale matricei (10.3) coincid, putem adăuga un vector unitar ortogonal fiecăruia dintre ele la vectorii proprii ortonormali corespunzători și astfel construim o bază în care forma pătratică ia forma canonică.

Să aducem forma pătratică la forma canonică

x² + 5 y² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.

Matricea sa are forma În exemplul discutat în Lectura 9, se găsesc valorile proprii și vectorii proprii ortonormali ai acestei matrice:

Să creăm o matrice de tranziție la bază din acești vectori:

(ordinea vectorilor este schimbată astfel încât să formeze un triplu dreptaci). Să transformăm coordonatele folosind formulele:

Deci, forma pătratică este redusă la forma canonică cu coeficienți egali cu valorile proprii ale matricei formei pătratice.

Cursul 11.

Curbe de ordinul doi. Elipsa, hiperbola și parabola, proprietățile lor și ecuațiile canonice. Reducerea unei ecuații de ordinul doi la formă canonică.

Definiție 11.1.Curbe de ordinul doi pe un plan se numesc liniile de intersecție a unui con circular cu plane care nu trec prin vârful acestuia.

Dacă un astfel de plan intersectează toate generatoarele unei cavități a conului, atunci în secțiune se dovedește elipsă, la intersecția generatricelor ambelor cavități – hiperbolă, iar dacă planul de tăiere este paralel cu orice generator, atunci secțiunea conului este parabolă.

Comentariu. Toate curbele de ordinul doi sunt specificate prin ecuații de gradul doi în două variabile.

Elipsă.

Definiție 11.2.Elipsă este mulțimea de puncte din plan pentru care este suma distanțelor până la două puncte fixe F 1 și F trucuri, este o valoare constantă.

Comentariu. Când punctele coincid F 1 și F 2 elipsa se transformă într-un cerc.

Să derivăm ecuația elipsei alegând sistemul cartezian

y M(x,y) coordonate astfel încât axa Oh a coincis cu o linie dreaptă F 1 F 2, începutul

coordonatele r 1 r 2 – cu mijlocul segmentului F 1 F 2. Lasă lungimea asta

segmentul este egal cu 2 Cu, apoi în sistemul de coordonate ales

F 1 O F 2 x F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0). Lasă punctul M(x, y) se află pe elipsă și

suma distanțelor de la acesta până la F 1 și F 2 este egal cu 2 O.

Apoi r 1 + r 2 = 2o, Dar ,

prin urmare, introducând notaţia b² = o²- c² și după efectuarea unor transformări algebrice simple, obținem ecuația elipsei canonice: (11.1)

Definiție 11.3.Excentricitate a unei elipse se numește mărime e=s/a (11.2)

Definiție 11.4.Directoarea D i elipsă corespunzătoare focalizării F i F i raportat la axa Oh perpendicular pe ax Oh la distanta a/e de la origine.

Comentariu. Cu o alegere diferită a sistemului de coordonate, elipsa poate fi specificată nu prin ecuația canonică (11.1), ci printr-o ecuație de gradul doi de alt tip.

Proprietățile elipsei:

1) O elipsă are două axe de simetrie reciproc perpendiculare (axele principale ale elipsei) și un centru de simetrie (centrul elipsei). Dacă o elipsă este dată de o ecuație canonică, atunci axele sale principale sunt axele de coordonate, iar centrul ei este originea. Deoarece lungimile segmentelor formate prin intersecția elipsei cu axele principale sunt egale cu 2 Oși 2 b (2o>2b), atunci axa principală care trece prin focare se numește axa majoră a elipsei, iar a doua axă principală se numește axa minoră.

2) Întreaga elipsă este cuprinsă în dreptunghi

3) Excentricitatea elipsei e< 1.

într-adevăr,

4) Directricele elipsei sunt situate în afara elipsei (deoarece distanța de la centrul elipsei la directrice este a/e, A e<1, следовательно, a/e>a, iar întreaga elipsă se află într-un dreptunghi)

5) Raportul distanței r i de la punctul de elipsă la focalizare F i la distanta d i din acest punct până la directrixa corespunzătoare focarului este egală cu excentricitatea elipsei.

Dovada.

Distanțe de la punct M(x, y) până la focarele elipsei pot fi reprezentate astfel:

Să creăm ecuațiile directrice:

(D 1), (D 2). Apoi De aici r i / d i = e, ceea ce trebuia dovedit.

Hiperbolă.

Definiție 11.5.Hiperbolă este mulțimea de puncte din plan pentru care este modulul diferenței de distanțe la două puncte fixe F 1 și F 2 din acest avion, numit trucuri, este o valoare constantă.

Să derivăm ecuația canonică a unei hiperbole prin analogie cu derivarea ecuației unei elipse, folosind aceeași notație.

|r 1 - r 2 | = 2o, de unde Dacă notăm b² = c² - o², de aici puteți obține

- ecuația canonică a hiperbolei. (11.3)

Definiția 11.6.Excentricitate o hiperbolă se numește mărime e = c/a.

Definiția 11.7.Directoarea D i hiperbola corespunzătoare focarului F i, se numește dreptă situată în același semiplan cu F i raportat la axa Oh perpendicular pe ax Oh la distanta a/e de la origine.

Proprietățile unei hiperbole:

1) O hiperbolă are două axe de simetrie (axele principale ale hiperbolei) și un centru de simetrie (centrul hiperbolei). În acest caz, una dintre aceste axe se intersectează cu hiperbola în două puncte, numite vârfurile hiperbolei. Se numește axa reală a hiperbolei (axa Oh pentru alegerea canonică a sistemului de coordonate). Cealaltă axă nu are puncte comune cu hiperbola și se numește axa ei imaginară (în coordonate canonice - axa Oh). Pe ambele părți ale acesteia se află ramurile din dreapta și din stânga hiperbolei. Focarele unei hiperbole sunt situate pe axa ei reală.

2) Ramurile hiperbolei au două asimptote, determinate de ecuații

3) Alături de hiperbola (11.3), putem considera așa-numita hiperbola conjugată, definită de ecuația canonică

pentru care axa reală și cea imaginară sunt schimbate în timp ce se păstrează aceleași asimptote.

4) Excentricitatea hiperbolei e> 1.

5) Raportul distanței r i de la punctul de hiperbolă la focalizare F i la distanta d i din acest punct până la directriza corespunzătoare focarului este egală cu excentricitatea hiperbolei.

Dovada poate fi efectuată în același mod ca și pentru elipsă.

Parabolă.

Definiția 11.8.Parabolă este mulțimea de puncte din plan pentru care este distanța până la un punct fix F acest plan este egal cu distanța până la o linie dreaptă fixă. Punct F numit se concentreze parabole, iar linia dreaptă este ea directoare.

Pentru a deriva ecuația parabolă, alegem cartezianul

sistem de coordonate astfel încât originea lui să fie mijlocul

D M(x,y) perpendiculară FD, omis din focus pe directivă

r su, iar axele de coordonate au fost situate paralele și

perpendicular pe director. Fie lungimea segmentului FD

D O F x este egal cu r. Apoi de la egalitate r = d rezultă că

deoarece

Folosind transformări algebrice, această ecuație poate fi redusă la forma: y² = 2 px, (11.4)

numit ecuația parabolei canonice. Magnitudinea r numit parametru parabole.

Proprietățile unei parabole:

1) O parabolă are o axă de simetrie (axa parabolei). Punctul în care parabola intersectează axa se numește vârful parabolei. Dacă o parabolă este dată de o ecuație canonică, atunci axa ei este axa Oh, iar vârful este originea coordonatelor.

2) Întreaga parabola este situată în semiplanul drept al planului Ooh.

Comentariu. Folosind proprietățile directricelor unei elipse și unei hiperbole și definiția unei parabole, putem demonstra următoarea afirmație:

Ansamblul punctelor din plan pentru care relația e distanța până la un punct fix până la distanța până la o linie dreaptă este o valoare constantă, este o elipsă (cu e<1), гиперболу (при e>1) sau parabolă (cu e=1).

Informații conexe.

Dată o formă pătratică (2) O(x, x) = , unde x = (x 1 , x 2 , …, x n). Luați în considerare o formă pătratică în spațiu R 3, adică x = (x 1 , x 2 , x 3), O(x, x) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(am folosit condiția simetriei formei, și anume O 12 = O 21 , O 13 = O 31 , O 23 = O 32). Să scriem o matrice de formă pătratică O in baza ( e}, O(e) =
. Când baza se schimbă, matricea de formă pătratică se schimbă conform formulei O(f) = C t O(e)C, Unde C– matricea de tranziție de la bază ( e) la baza ( f), A C t– matrice transpusă C.

Definiţie11.12. Se numește forma unei forme pătratice cu o matrice diagonală canonic.

Asa ca lasa O(f) =
, Atunci O"(x, x) =
+
+
, Unde x" 1 , x" 2 , x" 3 – coordonate vectoriale xîntr-o nouă bază ( f}.

Definiţie11.13. Lasă să intre n V se alege o astfel de bază f = {f 1 , f 2 , …, f n), în care forma pătratică are forma

O(x, x) =
+
+ … +
, (3)

Unde y 1 , y 2 , …, y n– coordonate vectoriale x in baza ( f). Se numește expresia (3). vedere canonică formă pătratică. Coeficienții  1, λ 2, …, λ n sunt numite canonic; se numește o bază în care o formă pătratică are o formă canonică bază canonică.

Comentariu. Dacă forma pătratică O(x, x) se reduce la formă canonică, atunci, în general, nu toți coeficienții  i sunt diferite de zero. Rangul unei forme pătratice este egal cu rangul matricei sale în orice bază.

Fie rangul formei pătratice O(x, x) este egală r, Unde r ≤ n. O matrice de formă pătratică în formă canonică are o formă diagonală. O(f) =
, deoarece rangul său este egal r, apoi printre coeficienții  i trebuie să existe r, nu este egal cu zero. Rezultă că numărul de coeficienți canonici nenuli este egal cu rangul formei pătratice.

Comentariu. O transformare liniară a coordonatelor este o tranziție de la variabile x 1 , x 2 , …, x n la variabile y 1 , y 2 , …, y n, în care variabilele vechi sunt exprimate prin variabile noi cu niște coeficienți numerici.

x 1 = α 11 y 1 + α 12 y 2 + … + α 1 n y n ,

x 2 = α 2 1 y 1 + α 2 2 y 2 + … + α 2 n y n ,

………………………………

x 1 = α n 1 y 1 + α n 2 y 2 + … + α nn y n .

Deoarece fiecare transformare de bază corespunde unei transformări de coordonate liniare nedegenerate, problema reducerii unei forme pătratice la o formă canonică poate fi rezolvată prin alegerea transformării de coordonate nedegenerate corespunzătoare.

Teorema 11.2 (teorema principală despre formele pătratice). Orice formă pătratică O(x, x), specificat în n-spațiu vectorial dimensional V, folosind o transformare de coordonate liniare nedegenerată poate fi redusă la formă canonică.

Dovada. (Metoda Lagrange) Ideea acestei metode este de a completa secvenţial trinomul pătratic pentru fiecare variabilă la un pătrat complet. Vom presupune că O(x, x) ≠ 0 și în bază e = {e 1 , e 2 , …, e n) are forma (2):

O(x, x) =
.

Dacă O(x, x) = 0, atunci ( o ij) = 0, adică forma este deja canonică. Formula O(x, x) poate fi transformată astfel încât coeficientul o 11 ≠ 0. Dacă o 11 = 0, atunci coeficientul pătratului altei variabile este diferit de zero, apoi prin renumerotarea variabilelor se poate asigura că o 11 ≠ 0. Renumerotarea variabilelor este o transformare liniară nedegenerată. Dacă toți coeficienții variabilelor pătrate sunt egali cu zero, atunci transformările necesare se obțin după cum urmează. Să, de exemplu, o 12 ≠ 0 (O(x, x) ≠ 0, deci cel puțin un coeficient o ij≠ 0). Luați în considerare transformarea

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x i = y i, la i = 3, 4, …, n.

Această transformare este nedegenerată, deoarece determinantul matricei sale este diferit de zero
= = 2 ≠ 0.

Apoi 2 o 12 x 1 x 2 = 2 o 12 (y 1 – y 2)(y 1 + y 2) = 2
– 2
, adică sub formă O(x, x) pătratele a două variabile vor apărea deodată.

O(x, x) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Să convertim suma alocată la forma:

O(x, x) = o 11
, (5)

în timp ce coeficienţii o ij schimba la . Luați în considerare transformarea nedegenerată

y 1 = x 1 + + … + ,

y 2 = x 2 ,

y n = x n .

Apoi primim

O(x, x) =
. (6).

Dacă forma pătratică
= 0, apoi problema turnării O(x, x) la forma canonică se rezolvă.

Dacă această formă nu este egală cu zero, atunci repetăm raționamentul, luând în considerare transformările de coordonate y 2 , …, y nși fără a schimba coordonatele y 1. Este evident că aceste transformări vor fi nedegenerate. Într-un număr finit de pași, forma pătratică O(x, x) se va reduce la forma canonică (3).

Comentariu 1. Transformarea necesară a coordonatelor originale x 1 , x 2 , …, x n se poate obține prin înmulțirea transformărilor nedegenerate întâlnite în procesul de raționament: [ x] = O[y], [y] = B[z], [z] = C[t], apoi [ x] = OB[z] = OBC[t], adică [ x] = M[t], Unde M = OBC.

Comentariu 2. Lasă O(x, x) = O(x, x) =
+
+ …+
, unde  i ≠ 0, i = 1, 2, …, rși  1 > 0, λ 2 > 0, …, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ r < 0.

Luați în considerare transformarea nedegenerată

y 1 = z 1 , y 2 = z 2 , …, y q = z q , y q +1 =
z q +1 , …, y r = z r , y r +1 = z r +1 , …, y n = z n. Ca urmare O(x, x) va lua forma: O(x, x) = + + … + – – … – care se numeste forma normala a formei patratice.

Exemplu11.1. Reduceți forma pătratică la forma canonică O(x, x) = 2x 1 x 2 – 6x 2 x 3 + 2x 3 x 1 .

Soluţie. Deoarece o 11 = 0, folosiți transformarea

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x 3 = y 3 .

Această transformare are o matrice O =
, adică [ x] = O[y] primim O(x, x) = 2(y 1 – y 2)(y 1 + y 2) – 6(y 1 + y 2)y 3 + 2y 3 (y 1 – y 2) =

2– 2– 6y 1 y 3 – 6y 2 y 3 + 2y 3 y 1 – 2y 3 y 2 = 2– 2– 4y 1 y 3 – 8y 3 y 2 .

Deoarece coeficientul la nu este egal cu zero, putem selecta pătratul unei necunoscute, să fie y 1. Să selectăm toți termenii care conțin y 1 .

O(x, x) = 2(– 2y 1 y 3) – 2– 8y 3 y 2 = 2(– 2y 1 y 3 + ) – 2– 2– 8y 3 y 2 = 2(y 1 – y 3) 2 – 2– 2– 8y 3 y 2 .

Să realizăm o transformare a cărei matrice este egală cu B.

z 1 = y 1 – y 3 ,  y 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = y 2 ,  y 2 = z 2 ,

z 3 = y 3 ;  y 3 = z 3 .

B =
, [y] = B[z].

Primim O(x, x) = 2– 2–– 8z 2 z 3. Să selectăm termenii care conțin z 2. Avem O(x, x) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.