Diviziune numere naturale, în special cele polisemantice, sunt efectuate în mod convenabil folosind o metodă specială, care se numește împărțire pe o coloană (într-o coloană). Puteți găsi și numele diviziune de colt. Să observăm imediat că coloana poate fi folosită atât pentru a împărți numerele naturale fără rest, cât și pentru a împărți numerele naturale cu un rest.

În acest articol ne vom uita la cât timp se efectuează divizarea. Aici vom vorbi despre regulile de înregistrare și despre toate calculele intermediare. În primul rând, să ne concentrăm pe împărțirea unui număr natural cu mai multe cifre la un număr cu o singură cifră folosind o coloană. După aceasta, ne vom concentra asupra cazurilor în care atât dividendul, cât și divizorul sunt numere naturale cu valori multiple. Întreaga teorie a acestui articol este furnizată cu exemple tipice de împărțire printr-o coloană de numere naturale cu explicații detaliate ale procesului de soluție și ilustrații.

Navigare în pagină.

Reguli pentru înregistrarea la împărțirea la o coloană

Să începem prin a studia regulile de scriere a dividendului, a divizorului, a tuturor calculelor intermediare și a rezultatelor la împărțirea numerelor naturale la o coloană. Să spunem imediat că este cel mai convenabil să faceți împărțirea coloanelor în scris pe hârtie cu o linie în carouri - astfel există mai puține șanse de a vă îndepărta de rândul și coloana dorite.

În primul rând, dividendul și divizorul sunt scrise pe o linie de la stânga la dreapta, după care se trage un simbol al formei între numerele scrise. De exemplu, dacă dividendul este numărul 6 105 și divizorul este 5 5, atunci notația lor corectă la împărțirea într-o coloană va fi după cum urmează:

Priviți următoarea diagramă pentru a ilustra unde să scrieți calculele dividende, divizor, coeficient, rest și intermediare în diviziune lungă.

Din diagrama de mai sus este clar că câtul necesar (sau câtul incomplet când se împarte cu un rest) va fi scris sub divizor sub linia orizontală. Și calculele intermediare vor fi efectuate sub dividend și trebuie să aveți grijă în prealabil de disponibilitatea spațiului pe pagină. În acest caz, ar trebui să vă ghidați după regulă: cu cât diferența dintre numărul de caractere din intrările dividendului și divizorului este mai mare, cu atât va fi necesar mai mult spațiu. De exemplu, la împărțirea la o coloană a numărului natural 614.808 la 51.234 (614.808 este un număr de șase cifre, 51.234 este un număr de cinci cifre, diferența dintre numărul de caractere din înregistrări este 6−5 = 1), intermediar calculele vor necesita mai puțin spațiu decât la împărțirea numerelor 8 058 și 4 (aici diferența în numărul de caractere este 4−1=3). Pentru a confirma cuvintele noastre, prezentăm înregistrări complete ale împărțirii pe o coloană a acestor numere naturale:

Acum puteți trece direct la procesul de împărțire a numerelor naturale la o coloană.

Împărțirea pe coloană a unui număr natural cu un număr natural cu o singură cifră, algoritmul de împărțire a coloanelor

Este clar că împărțirea unui număr natural cu o singură cifră la altul este destul de simplă și nu există niciun motiv pentru a împărți aceste numere într-o coloană. Cu toate acestea, va fi util să vă exersați abilitățile inițiale de divizare lungă cu aceste exemple simple.

Exemplu.

Trebuie să împărțim cu o coloană de 8 cu 2.

Soluţie.

Desigur, putem face împărțirea folosind tabelul înmulțirii și imediat notăm răspunsul 8:2=4.

Dar ne interesează cum să împărțim aceste numere cu o coloană.

În primul rând, notăm dividendul 8 și divizorul 2 așa cum este cerut de metoda:

Acum începem să aflăm de câte ori este conținut divizorul în dividend. Pentru a face acest lucru, înmulțim secvențial divizorul cu numerele 0, 1, 2, 3, ... până când rezultatul este un număr egal cu dividendul (sau un număr mai mare decât dividendul, dacă există o împărțire cu rest. ). Dacă obținem un număr egal cu dividendul, atunci îl scriem imediat sub dividend, iar în locul coeficientului scriem numărul cu care am înmulțit divizorul. Dacă obținem un număr mai mare decât dividendul, atunci sub divizor scriem numărul calculat la penultimul pas, iar în locul coeficientului incomplet scriem numărul cu care a fost înmulțit divizorul la penultimul pas.

Să mergem: 2·0=0 ; 2 1=2; 2·2=4; 2·3=6; 2·4=8. Am primit un număr egal cu dividendul, așa că îl scriem sub dividend, iar în locul coeficientului scriem numărul 4. În acest caz, înregistrarea va lua următoarea formă:

Etapa finală a împărțirii numerelor naturale cu o singură cifră cu o coloană rămâne. Sub numărul scris sub dividend, trebuie să desenați o linie orizontală și să scădeți numerele de deasupra acestei linii în același mod ca atunci când scădeți numerele naturale dintr-o coloană. Numărul rezultat după scădere va fi restul împărțirii. Dacă este egal cu zero, atunci numerele originale sunt împărțite fără rest.

În exemplul nostru obținem

Acum avem în fața noastră o înregistrare completă a împărțirii coloanei a numărului 8 cu 2. Vedem că câtul 8:2 este 4 (iar restul este 0).

Răspuns:

8:2=4 .

Acum să ne uităm la modul în care o coloană împarte numerele naturale cu o singură cifră cu un rest.

Exemplu.

Împărțiți 7 la 3 folosind o coloană.

Soluţie.

În etapa inițială, intrarea arată astfel:

Începem să aflăm de câte ori dividendul conține divizor. Vom înmulți 3 cu 0, 1, 2, 3 etc. până când obținem un număr egal sau mai mare decât dividendul 7. Obținem 3·0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (dacă este necesar, consultați articolul care compară numerele naturale). Sub dividend scriem cifra 6 (a fost obținut la penultima treaptă), iar în locul coeficientului incomplet scriem numărul 2 (înmulțirea a fost efectuată de acesta la penultimul pas).

Rămâne de efectuat scăderea, iar împărțirea pe o coloană de numere naturale cu o singură cifră 7 și 3 va fi finalizată.

Astfel, câtul parțial este 2, iar restul este 1.

Răspuns:

7:3=2 (resti 1).

Acum puteți trece la împărțirea numerelor naturale cu mai multe cifre pe coloane în numere naturale cu o singură cifră.

Acum ne vom da seama algoritm de diviziune lungă. În fiecare etapă, vom prezenta rezultatele obținute prin împărțirea numărului natural din mai multe cifre 140.288 la numărul natural dintr-o singură cifră 4. Acest exemplu nu a fost ales întâmplător, deoarece la rezolvarea lui vom întâlni toate nuanțele posibile și le vom putea analiza în detaliu.

Mai întâi ne uităm la prima cifră din stânga în notația dividendului. Dacă numărul definit de această cifră este mai mare decât divizorul, atunci în paragraful următor trebuie să lucrăm cu acest număr. Dacă acest număr este mai mic decât divizorul, atunci trebuie să adăugăm la considerație următoarea cifră din stânga în înregistrarea dividendului și să continuăm să lucrăm cu numărul determinat de cele două cifre luate în considerare. Pentru comoditate, evidențiem în notația noastră numărul cu care vom lucra.

Prima cifră din stânga în notația dividendului 140288 este cifra 1. Numărul 1 este mai mic decât divizorul 4, așa că ne uităm și la următoarea cifră din stânga în notația dividendului. În același timp, vedem și numărul 14, cu care trebuie să lucrăm în continuare. Evidențiem acest număr în notația dividendului.

Următorii pași de la al doilea până la al patrulea se repetă ciclic până la finalizarea împărțirii numerelor naturale pe o coloană.

Acum trebuie să stabilim de câte ori este conținut divizorul în numărul cu care lucrăm (pentru comoditate, să notăm acest număr ca x). Pentru a face acest lucru, înmulțim secvențial divizorul cu 0, 1, 2, 3, ... până când obținem numărul x sau un număr mai mare decât x. Când se obține numărul x, îl scriem sub numărul evidențiat conform regulilor de scriere folosite la scăderea numerelor naturale dintr-o coloană. Numărul cu care a fost efectuată înmulțirea este scris în locul coeficientului în timpul primei treceri a algoritmului (în trecerile ulterioare de 2-4 puncte ale algoritmului, acest număr este scris în dreapta numerelor deja existente). Când obținem un număr care este mai mare decât numărul x, atunci sub numărul evidențiat scriem numărul obținut la penultimul pas, iar în locul câtului (sau în dreapta numerelor deja existente) scriem numărul prin pe care înmulţirea s-a efectuat la penultimul pas. (Am efectuat acțiuni similare în cele două exemple discutate mai sus).

Înmulțiți divizorul 4 cu numerele 0, 1, 2, ... până când obținem un număr care este egal cu 14 sau mai mare decât 14. Avem 4·0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14. Întrucât la ultimul pas am primit numărul 16, care este mai mare decât 14, atunci sub numărul evidențiat scriem numărul 12, care a fost obținut la penultimul pas, iar în locul coeficientului scriem numărul 3, deoarece în penultimul punct înmulțirea a fost efectuată tocmai de acesta.


În această etapă, din numărul selectat, scădeți numărul aflat sub acesta folosind o coloană. Rezultatul scăderii se scrie sub linia orizontală. Cu toate acestea, dacă rezultatul scăderii este zero, atunci nu trebuie să fie notat (cu excepția cazului în care scăderea în acel moment este ultima acțiune care completează complet procesul lung de împărțire). Aici, pentru propriul control, nu ar fi greșit să comparați rezultatul scăderii cu divizorul și să vă asigurați că este mai mic decât divizorul. Altfel, undeva s-a făcut o greșeală.

Trebuie să scădem numărul 12 din numărul 14 cu o coloană (pentru corectitudinea înregistrării, trebuie să ne amintim să punem un semn minus în stânga numerelor care se scad). După finalizarea acestei acțiuni, numărul 2 a apărut sub linia orizontală. Acum ne verificăm calculele comparând numărul rezultat cu divizorul. Deoarece numărul 2 este mai mic decât divizorul 4, puteți trece în siguranță la următorul punct.


Acum, sub linia orizontală din dreapta numerelor aflate acolo (sau în dreapta locului unde nu am notat zero), notăm numărul aflat în aceeași coloană în notația dividendului. Dacă nu există numere în înregistrarea dividendului din această coloană, atunci împărțirea după coloană se termină aici. După aceasta, selectăm numărul format sub linia orizontală, îl acceptăm ca număr de lucru și repetăm ​​punctele de la 2 la 4 ale algoritmului cu acesta.

Sub linia orizontală din dreapta numărului 2 aflat deja acolo, notăm numărul 0, deoarece este numărul 0 care se află în înregistrarea dividendului 140.288 în această coloană. Astfel, numărul 20 se formează sub linia orizontală.


Selectăm acest număr 20, îl luăm ca număr de lucru și repetăm ​​cu el acțiunile celui de-al doilea, al treilea și al patrulea punct al algoritmului.

Înmulțiți divizorul 4 cu 0, 1, 2, ... până obținem numărul 20 sau un număr care este mai mare decât 20. Avem 4·0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Efectuăm scăderea într-o coloană. Deoarece scădem numere naturale egale, atunci, în virtutea proprietății de a scădea numere naturale egale, rezultatul este zero. Nu notăm zero (deoarece aceasta nu este etapa finală a împărțirii cu o coloană), dar ne amintim locul unde l-am putea scrie (pentru comoditate, vom marca acest loc cu un dreptunghi negru).


Sub linia orizontală din dreapta locului amintit notăm numărul 2, deoarece tocmai acesta se află în înregistrarea dividendului 140.288 în această coloană. Astfel, sub linia orizontală avem numărul 2.


Luăm numărul 2 ca număr de lucru, îl marchem și va trebui din nou să efectuăm acțiunile a 2-4 puncte ale algoritmului.

Înmulțim divizorul cu 0, 1, 2 și așa mai departe și comparăm numerele rezultate cu numărul marcat 2. Avem 4·0=0<2 , 4·1=4>2. Prin urmare, sub numărul marcat scriem numărul 0 (a fost obținut la penultimul pas), iar în locul câtului din dreapta numărului deja acolo scriem numărul 0 (am înmulțit cu 0 la penultimul pas). ).


Efectuăm scăderea într-o coloană, obținem numărul 2 sub linia orizontală. Ne verificăm prin compararea numărului rezultat cu divizorul 4. Din 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Sub linia orizontală din dreapta numărului 2, adăugați numărul 8 (deoarece se află în această coloană în intrarea pentru dividendul 140 288). Astfel, numărul 28 apare sub linia orizontală.


Luăm acest număr ca număr de lucru, îl marcam și repetăm ​​pașii 2-4.

Nu ar trebui să fie probleme aici dacă ai fost atent până acum. După parcurgerea tuturor pașilor necesari, se obține următorul rezultat.

Tot ce rămâne este să efectuați pentru ultima dată pașii de la punctele 2, 3, 4 (vă lăsăm acest lucru), după care veți obține o imagine completă a împărțirii numerelor naturale 140,288 și 4 într-o coloană:

Vă rugăm să rețineți că numărul 0 este scris în linia de jos. Dacă acesta nu ar fi ultimul pas al împărțirii după o coloană (adică dacă în evidența dividendului ar fi rămas numere în coloanele din dreapta), atunci nu am scrie acest zero.

Astfel, uitându-ne la înregistrarea completă a împărțirii numărului natural cu mai multe cifre 140.288 la numărul natural cu o singură cifră 4, vedem că câtul este numărul 35.072 (și restul diviziunii este zero, este în partea de jos linia).

Desigur, atunci când împărțiți numerele naturale la o coloană, nu veți descrie toate acțiunile dvs. atât de detaliat. Soluțiile dvs. vor arăta ceva ca următoarele exemple.

Exemplu.

Efectuați împărțirea lungă dacă dividendul este 7136 și divizorul este un număr natural de o singură cifră 9.

Soluţie.

La primul pas al algoritmului de împărțire a numerelor naturale pe coloane, obținem o înregistrare a formei

După efectuarea acțiunilor din punctul al doilea, al treilea și al patrulea al algoritmului, înregistrarea diviziunii coloanei va lua forma

Repetând ciclul, vom avea

Încă o trecere ne va oferi o imagine completă a împărțirii pe coloană a numerelor naturale 7.136 și 9.

Astfel, câtul parțial este 792, iar restul este 8.

Răspuns:

7 136:9=792 (resta. 8).

Și acest exemplu demonstrează cum ar trebui să arate diviziunea lungă.

Exemplu.

Împărțiți numărul natural 7.042.035 la numărul natural de o singură cifră 7.

Soluţie.

Cel mai convenabil mod de a face împărțirea este pe coloană.

Răspuns:

7 042 035:7=1 006 005 .

Împărțirea pe coloane a numerelor naturale din mai multe cifre

Să ne grăbim să vă mulțumesc: dacă ați stăpânit bine algoritmul de împărțire a coloanelor din paragraful anterior al acestui articol, atunci aproape că știți deja cum să efectuați împărțirea pe coloană a numerelor naturale din mai multe cifre. Acest lucru este adevărat, deoarece etapele 2 până la 4 ale algoritmului rămân neschimbate și doar modificări minore apar în primul punct.

În prima etapă a împărțirii numerelor naturale cu mai multe cifre într-o coloană, trebuie să vă uitați nu la prima cifră din stânga în notația dividendului, ci la numărul acestora egal cu numărul de cifre conținut în notație. al divizorului. Dacă numărul definit de aceste numere este mai mare decât divizorul, atunci în paragraful următor trebuie să lucrăm cu acest număr. Dacă acest număr este mai mic decât divizorul, atunci trebuie să adăugăm la considerație următoarea cifră din stânga în notația dividendului. După aceasta, acțiunile specificate la paragrafele 2, 3 și 4 ale algoritmului sunt efectuate până la obținerea rezultatului final.

Tot ce rămâne este să vedem aplicarea algoritmului de împărțire a coloanelor pentru numere naturale cu valori multiple în practică atunci când rezolvăm exemple.

Exemplu.

Să efectuăm împărțirea pe coloană a numerelor naturale din mai multe cifre 5.562 și 206.

Soluţie.

Deoarece divizorul 206 conține 3 cifre, ne uităm la primele 3 cifre din stânga în dividendul 5.562. Aceste numere corespund numărului 556. Deoarece 556 este mai mare decât divizorul 206, luăm numărul 556 ca număr de lucru, îl selectăm și trecem la următoarea etapă a algoritmului.

Acum înmulțim divizorul 206 cu numerele 0, 1, 2, 3, ... până când obținem un număr care este fie egal cu 556, fie mai mare decât 556. Avem (dacă înmulțirea este dificilă, atunci este mai bine să înmulțim numerele naturale într-o coloană): 206 0 = 0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556. Deoarece am primit un număr care este mai mare decât numărul 556, atunci sub numărul evidențiat scriem numărul 412 (a fost obținut la penultimul pas), iar în locul coeficientului scriem numărul 2 (deoarece am înmulțit cu acesta la penultimul pas). Intrarea de împărțire a coloanei are următoarea formă:

Efectuăm scăderea coloanelor. Obținem diferența 144, acest număr este mai mic decât divizorul, astfel încât puteți continua în siguranță să efectuați acțiunile necesare.

Sub linia orizontală din dreapta numărului de acolo scriem numărul 2, deoarece se află în înregistrarea dividendului 5562 în această coloană:

Acum lucrăm cu numărul 1.442, îl selectăm și trecem din nou prin pașii doi până la patru.

Înmulțiți divizorul 206 cu 0, 1, 2, 3, ... până când obțineți numărul 1442 sau un număr care este mai mare decât 1442. Să mergem: 206·0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Efectuăm scăderea într-o coloană, obținem zero, dar nu o notăm imediat, doar ne amintim poziția sa, pentru că nu știm dacă împărțirea se termină aici sau dacă va trebui să repetăm din nou pașii algoritmului:

Acum vedem că nu putem scrie niciun număr sub linia orizontală din dreapta poziției amintite, deoarece nu există cifre în înregistrarea dividendului din această coloană. Prin urmare, aceasta completează împărțirea după coloană și completăm intrarea:

• Matematică. Orice manuale pentru clasele I, a II-a, a III-a, a IV-a din instituțiile de învățământ general.
• Matematică. Orice manuale pentru clasa a V-a a instituțiilor de învățământ general.

Cel mai simplu mod de a împărți numerele cu mai multe cifre este cu o coloană. Se mai numește și împărțirea coloanelor diviziune de colt.

Înainte de a începe să facem împărțirea după o coloană, vom lua în considerare în detaliu forma de înregistrare a împărțirii pe o coloană. Mai întâi, notați dividendul și puneți o linie verticală în dreapta acestuia:

În spatele liniei verticale, vizavi de dividend, scrieți divizorul și trasați o linie orizontală sub el:

Sub linia orizontală, coeficientul rezultat va fi scris pas cu pas:

Calculele intermediare vor fi scrise sub dividende:

Forma completă de împărțire a scrierii pe coloană este următoarea:

Cum se împarte pe coloană

Să presupunem că trebuie să împărțim 780 la 12, să scriem acțiunea într-o coloană și să trecem la împărțire:

Divizarea coloanelor se realizează în etape. Primul lucru pe care trebuie să-l facem este să stabilim dividendul incomplet. Ne uităm la prima cifră a dividendului:

acest număr este 7, deoarece este mai mic decât divizorul, nu putem începe împărțirea din el, ceea ce înseamnă că trebuie să luăm o altă cifră din dividend, numărul 78 este mai mare decât divizorul, așa că începem împărțirea de la el:

În cazul nostru, numărul 78 va fi incomplet divizibil, se numește incomplet deoarece este doar o parte a divizibilului.

După ce am determinat dividendul incomplet, putem afla câte cifre vor fi în coeficient, pentru aceasta trebuie să calculăm câte cifre au rămas în dividend după dividendul incomplet, în cazul nostru există doar o cifră - 0, aceasta înseamnă că câtul va fi format din 2 cifre.

După ce ați aflat numărul de cifre care ar trebui să fie în coeficient, puteți pune puncte în locul lui. Dacă, la finalizarea împărțirii, numărul de cifre se dovedește a fi mai mare sau mai mic decât punctele indicate, atunci a fost făcută o eroare undeva:

Să începem să împărțim. Trebuie să stabilim de câte ori 12 este conținut în numărul 78. Pentru a face acest lucru, înmulțim succesiv divizorul cu numerele naturale 1, 2, 3, ... până când obținem un număr cât mai aproape de dividendul incomplet. sau egal cu acesta, dar fără a o depăși. Astfel, obținem numărul 6, îl scriem sub divizor, iar din 78 (după regulile de scădere a coloanei) scădem 72 (12 6 = 72). După ce scădem 72 din 78, restul este 6:

Vă rugăm să rețineți că restul diviziunii ne arată dacă am ales corect numărul. Dacă restul este egal sau mai mare decât divizorul, atunci nu am ales corect numărul și trebuie să luăm un număr mai mare.

La restul rezultat - 6, se adaugă următoarea cifră a dividendului - 0. Ca rezultat, obținem un dividend incomplet - 60. Stabiliți de câte ori 12 este conținut în numărul 60. Obținem numărul 5, scrieți-l în câtul după numărul 6 și scădeți 60 din 60 ( 12 5 = 60). Restul este zero:

Deoarece nu mai au rămas cifre în dividend, înseamnă că 780 este împărțit complet la 12. Ca urmare a efectuării diviziunii lungi, am găsit coeficientul - este scris sub divizor:

Să luăm în considerare un exemplu când coeficientul are ca rezultat zerouri. Să presupunem că trebuie să împărțim 9027 la 9.

Determinăm dividendul incomplet - acesta este numărul 9. Scriem 1 în coeficient și scădem 9 din 9. Restul este zero. De obicei, dacă în calculele intermediare restul este zero, nu se notează:

Luăm următoarea cifră a dividendului - 0. Ne amintim că atunci când împărțim zero la orice număr va fi zero. Scriem zero în coeficient (0: 9 = 0) și scadem 0 din 0 în calculele intermediare De obicei, pentru a nu aglomera calculele intermediare, calculele cu zero nu sunt scrise:

Luăm următoarea cifră a dividendului - 2. În calculele intermediare s-a dovedit că dividendul incomplet (2) este mai mic decât divizorul (9). În acest caz, scrieți zero la cât și eliminați următoarea cifră a dividendului:

Determinăm de câte ori 9 este conținut în numărul 27. Obținem numărul 3, îl scriem ca un cât și scădem 27 din 27. Restul este zero:

Deoarece nu mai sunt cifre rămase în dividend, înseamnă că numărul 9027 este împărțit complet la 9:

Să luăm în considerare un exemplu când dividendul se termină cu zerouri. Să presupunem că trebuie să împărțim 3000 la 6.

Determinăm dividendul incomplet - acesta este numărul 30. Scriem 5 în coeficient și scădem 30 din 30. Restul este zero. După cum sa menționat deja, nu este necesar să scrieți zero în restul în calculele intermediare:

Luăm următoarea cifră a dividendului - 0. Deoarece împărțirea zero la orice număr va rezulta zero, scriem zero în coeficient și scădem 0 din 0 în calculele intermediare:

Luăm următoarea cifră a dividendului - 0. Scriem un alt zero în cot și scădem 0 din 0 în calculele intermediare Deoarece în calculele intermediare calculul cu zero de obicei nu este notat, intrarea poate fi scurtată, lăsând doar. restul - 0. Zero în restul de la sfârșitul calculului este de obicei scris pentru a arăta că împărțirea este completă:

Deoarece nu mai sunt cifre rămase în dividend, înseamnă că 3000 este împărțit complet la 6:

Împărțirea coloanelor cu rest

Să presupunem că trebuie să împărțim 1340 la 23.

Determinăm dividendul incomplet - acesta este numărul 134. Scriem 5 în cât și scadem 115 din 134. Restul este 19:

Luăm următoarea cifră a dividendului - 0. Determinăm de câte ori 23 este conținut în numărul 190. Obținem numărul 8, îl scriem în coeficient și scădem 184 din 190. Obținem restul 6:

Deoarece nu mai sunt cifre rămase în dividend, împărțirea sa încheiat. Rezultatul este un coeficient incomplet de 58 și un rest de 6:

1340: 23 = 58 (restul 6)

Rămâne să luăm în considerare un exemplu de împărțire cu rest, când dividendul este mai mic decât divizorul. Trebuie să împărțim 3 la 10. Vedem că 10 nu este niciodată conținut în numărul 3, așa că scriem 0 ca cât și scădem 0 din 3 (10 · 0 = 0). Desenați o linie orizontală și scrieți restul - 3:

3: 10 = 0 (restul 3)

Calculator de diviziune lungă

Acest calculator vă va ajuta să efectuați diviziunea lungă. Pur și simplu introduceți dividendul și divizorul și faceți clic pe butonul Calculați.

Divizarea coloanelor este o parte integrantă a materialului educațional pentru elevii de școală primară. Succesul în continuare la matematică va depinde de cât de corect învață să efectueze această acțiune.

Cum să pregătești corect un copil pentru a percepe material nou?

Divizarea coloanelor este un proces complex care necesită anumite cunoștințe de la copil. Pentru a efectua împărțirea, trebuie să știți și să fiți capabil să scădeți, să adunați și să înmulțiți rapid. Cunoașterea cifrelor numerelor este, de asemenea, importantă.

Fiecare dintre aceste acțiuni ar trebui să fie automatizată. Copilul nu trebuie să se gândească mult timp și, de asemenea, să poată scădea și adăuga nu numai numere din primele zece, ci într-o sută în câteva secunde.

Este important să se formeze conceptul corect de divizare ca operație matematică. Chiar și atunci când studiază tabelele de înmulțire și împărțire, copilul trebuie să înțeleagă clar că dividendul este un număr care va fi împărțit în părți egale, divizorul indică în câte părți trebuie împărțit numărul, iar câtul este răspunsul în sine.

Cum se explică pas cu pas algoritmul unei operații matematice?

Fiecare operație matematică necesită respectarea strictă a unui algoritm specific. Exemple de diviziune lungă ar trebui efectuate în această ordine:

1. Scrieți exemplul într-un colț, iar locurile dividendului și divizorului trebuie respectate cu strictețe. Pentru a ajuta copilul să nu se încurce în primele etape, putem spune că scriem un număr mai mare în stânga și un număr mai mic în dreapta.
2. Selectați o parte pentru prima divizie. Trebuie să fie divizibil cu dividendul cu rest.
3. Folosind tabelul înmulțirii, determinăm de câte ori se poate încadra divizorul în partea selectată. Este important să îi indicați copilului că răspunsul nu trebuie să depășească 9.
4. Înmulțiți numărul rezultat cu divizorul și scrieți-l în partea stângă a colțului.
5. Apoi, trebuie să găsiți diferența dintre partea din dividend și produsul rezultat.
6. Numărul rezultat este scris sub linie și următoarea cifră este luată în jos. Astfel de acțiuni sunt efectuate până când restul este 0.

Un exemplu clar pentru elevi și părinți

Împărțirea coloanelor poate fi explicată clar folosind acest exemplu.

1. Notează 2 numere într-o coloană: dividendul este 536 și divizorul este 4.
2. Prima parte pentru împărțire trebuie să fie divizibilă cu 4, iar câtul trebuie să fie mai mic de 9. Numărul 5 este potrivit pentru aceasta.
3. 4 se încadrează în 5 o singură dată, așa că scriem 1 în răspuns și 4 sub 5.
4. În continuare, se efectuează scăderea: 4 se scade din 5 și 1 se scrie sub linie.
5. Următoarea cifră se adaugă la unu - 3. În treisprezece (13) - 4 se potrivește de 3 ori. 4x3 = 12. Doisprezece este scris sub al 13-lea, iar 3 este scris ca cât, ca următorul număr de cifră.
6. 12 se scade din 13, răspunsul este 1. Următoarea cifră este luată din nou - 6.
7. 16 este din nou împărțit la 4. Răspunsul este scris ca 4, iar în coloana de împărțire - 16, iar diferența este trasă ca 0.

Rezolvând exemple de diviziune lungă cu copilul dvs. de mai multe ori, puteți obține succes în finalizarea rapidă a problemelor din școala medie.

Instrucţiuni

Înainte de a învăța cum să împărțiți numerele din două cifre, trebuie să îi explicați copilului că un număr este suma zecilor și a unităților. Acest lucru îl va salva de la o greșeală destul de comună pe viitor pe care o fac mulți copii. Ei încep să împartă prima și a doua cifră a dividendului și a divizorului între ele.

În primul rând, lucrați de la numere la o singură cifră. Această tehnică este cel mai bine practicată folosind cunoștințele despre tabelele înmulțirii. Cu cât există mai multe astfel de practici, cu atât mai bine. Abilitățile unei astfel de împărțiri ar trebui aduse la automatitate, apoi îi va fi mai ușor pentru copil să treacă la subiectul mai complex al divizorului cu două cifre, care, ca și dividendul, este suma zecilor și unităților.

Cea mai comună metodă de împărțire a numerelor din două cifre este metoda brută, care implică împărțirea succesivă a numerelor de la 2 la 9, astfel încât produsul rezultat să fie egal cu dividendul. Exemplu: împărțiți 87 la 29. Raționați după cum urmează:

29 de ori 2 este egal cu 54 – nu este suficient;
29 x 3 = 87 – corect.

Atrageți atenția elevului asupra celei de-a doua cifre (unități) ale dividendului și divizorului, asupra cărora este convenabil să vă concentrați atunci când utilizați tabelul înmulțirii. De exemplu, în exemplul de mai sus, a doua cifră a divizorului este 9. Gândiți-vă cât de mult trebuie să înmulțiți numărul 9, astfel încât numărul de unități ale produsului să fie egal cu 7? În acest caz, există un singur răspuns - 3. Acest lucru simplifică foarte mult sarcina împărțirii cu două cifre. Testează-ți ipoteza înmulțind întregul număr 29.

Dacă sarcina este finalizată în scris, atunci este recomandabil să folosiți metoda împărțirii coloanelor. Această abordare este similară cu cea anterioară, cu excepția faptului că elevul nu trebuie să țină numerele în cap și să facă calcule mentale. Este mai bine să vă înarmați cu un creion sau o bucată de hârtie aspră pentru lucrul scris.

Surse:

• înmulțirea numerelor din două cifre cu tabele din două cifre

Tema împărțirii numerelor este una dintre cele mai importante din programul de matematică de clasa a V-a. Fără stăpânirea acestor cunoștințe, studiul suplimentar al matematicii este imposibil. Împărțiți numere se întâmplă în viață în fiecare zi. Și nu ar trebui să te bazezi întotdeauna pe un calculator. Pentru a împărți două numere, trebuie să vă amintiți o anumită secvență de acțiuni.

vei avea nevoie

• O foaie de hârtie într-un pătrat,
• stilou sau creion

Instrucţiuni

Notați dividendul pe o singură linie. Separați-le cu o linie verticală de două linii înălțime. Desenați o linie orizontală sub divizor și dividend perpendicular pe linia anterioară. Coeficientul va fi scris în dreapta sub această linie. Sub și în stânga dividendului, sub linia orizontală, notați un zero.

Mutați cifra din partea din stânga, dar care nu a fost încă transferată, în jos sub ultima linie orizontală. Marcați cifra transferată a dividendului cu un punct.

Comparați numărul de sub ultima linie orizontală cu divizorul. Dacă numărul este mai mic decât divizorul, continuați de la pasul 4, altfel treceți la pasul 5.

Numerele naturale dintr-o singură cifră sunt ușor de împărțit în capul tău. Dar cum să împarți numerele cu mai multe cifre? Dacă un număr are deja mai mult de două cifre, numărarea mentală poate dura mult timp, iar probabilitatea de erori atunci când se operează cu numere cu mai multe cifre crește.

Împărțirea pe coloane este o metodă convenabilă folosită adesea pentru împărțirea numerelor naturale din mai multe cifre. Această metodă îi este dedicat acest articol. Mai jos ne vom uita la modul de efectuare a diviziunii lungi. Mai întâi, să ne uităm la algoritmul de împărțire a unui număr cu mai multe cifre la un număr cu o singură cifră într-o coloană, apoi - cu mai multe cifre cu mai multe cifre. Pe lângă teorie, articolul oferă exemple practice de împărțire lungă.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Cel mai convenabil este să păstrați notele pe hârtie pătrată, deoarece atunci când faceți calcule, liniile vă vor împiedica să vă confundați cu cifre. Mai întâi, dividendul și divizorul sunt scrise de la stânga la dreapta pe o linie, apoi sunt separate printr-un semn special de diviziune într-o coloană, care arată astfel:

Să presupunem că trebuie să împărțim 6105 la 55, să scriem:

Vom scrie calcule intermediare sub dividend, iar rezultatul va fi scris sub divizor. În general, schema de împărțire a coloanelor arată astfel:

Vă rugăm să rețineți că calculele vor necesita spațiu liber pe pagină. Mai mult, cu cât diferența dintre cifrele dividendului și divizorului este mai mare, cu atât vor fi mai multe calcule.

De exemplu, împărțirea numerelor 614.808 și 51.234 va necesita mai puțin spațiu decât împărțirea numărului 8.058 la 4. Deși în al doilea caz numerele sunt mai mici, diferența dintre numărul de cifre este mai mare, iar calculele vor fi mai greoaie. Să ilustrăm asta:

Cel mai convenabil este să exersați abilitățile practice folosind exemple simple. Prin urmare, să împărțim numerele 8 și 2 într-o coloană. Desigur, această operație este ușor de efectuat în cap sau folosind tabelul înmulțirii, dar o analiză detaliată va fi utilă pentru claritate, chiar dacă știm deja că 8 ÷ 2 = 4.

Deci, mai întâi notăm dividendul și divizorul conform metodei divizării coloanelor.

Următorul pas este să aflați câți divizori conține dividendul. Cum să faci asta? Înmulțim succesiv divizorul cu 0, 1, 2, 3. . Facem acest lucru până când rezultatul este un număr egal sau mai mare decât dividendul. Dacă rezultatul rezultă imediat într-un număr egal cu dividendul, atunci sub divizor scriem numărul cu care a fost înmulțit divizorul.

În caz contrar, când obținem un număr mai mare decât dividendul, sub divizor scriem numărul calculat la penultimul pas În locul coeficientului incomplet scriem numărul cu care a fost înmulțit divizorul la penultimul pas.

Să revenim la exemplu.

2 · 0 = 0 ; 2 · 1 = 2 ; 2 · 2 = 4; 2 · 3 = 6 ; 2 4 = 8

Deci, am obținut imediat un număr egal cu dividendul. O scriem sub dividend, și scriem numărul 4, cu care am înmulțit divizorul, în locul coeficientului.

Acum tot ce rămâne este să scădem numerele de sub divizor (folosind și metoda coloanei). În cazul nostru, 8 - 8 = 0.

Acest exemplu este împărțirea numerelor fără rest. Numărul obținut după scădere este restul împărțirii. Dacă este egal cu zero, atunci numerele sunt împărțite fără rest.

Acum să ne uităm la un exemplu în care numerele sunt împărțite cu un rest. Împărțiți numărul natural 7 la numărul natural 3.

În acest caz, înmulțind succesiv trei cu 0, 1, 2, 3. . obținem ca rezultat:

3 0 = 0< 7 ; 3 · 1 = 3 < 7 ; 3 · 2 = 6 < 7 ; 3 · 3 = 9 > 7

Sub dividend scriem numarul obtinut in penultimul pas. Cu ajutorul divizorului notăm numărul 2 - coeficientul incomplet obținut în penultimul pas. Am înmulțit cu doi divizorul când am obținut 6.

Pentru a finaliza operația, scădeți 6 din 7 și obțineți:

Acest exemplu este împărțirea numerelor cu un rest. Coeficientul parțial este 2, iar restul este 1.

Acum, după ce luăm în considerare exemplele elementare, să trecem la împărțirea numerelor naturale cu mai multe cifre în numere cu o singură cifră.

Vom lua în considerare algoritmul de împărțire a coloanelor folosind exemplul de împărțire a numărului cu mai multe cifre 140288 la numărul 4. Să spunem imediat că este mult mai ușor de înțeles esența metodei folosind exemple practice, iar acest exemplu nu a fost ales întâmplător, deoarece ilustrează toate nuanțele posibile ale împărțirii numerelor naturale într-o coloană.

1. Scrieți într-o coloană numerele împreună cu simbolul împărțirii. Acum uitați-vă la prima cifră din stânga în notația de dividend. Sunt posibile două cazuri: numărul definit de această cifră este mai mare decât divizorul și invers. În primul caz, lucrăm cu acest număr, în al doilea, luăm suplimentar următoarea cifră în notația de dividend și lucrăm cu numărul corespunzător din două cifre. În conformitate cu acest punct, să evidențiem în exemplul de înregistrare numărul cu care vom lucra inițial. Acest număr este 14 deoarece prima cifră a dividendului 1 este mai mică decât divizorul 4.

2. Stabiliți de câte ori numărătorul este conținut în numărul rezultat. Să notăm acest număr ca x = 14. Înmulțim succesiv divizorul 4 cu fiecare membru al seriei de numere naturale ℕ, inclusiv zero: 0, 1, 2, 3 și așa mai departe. Facem asta până când obținem x sau un număr mai mare decât x ca rezultat. Când rezultatul înmulțirii este numărul 14, îl scriem sub numărul evidențiat conform regulilor de scriere a scăderii într-o coloană. Factorul cu care a fost înmulțit divizorul este scris sub divizor. Dacă rezultatul înmulțirii este un număr mai mare decât x, atunci sub numărul evidențiat scriem numărul obținut la penultimul pas, iar în locul coeficientului incomplet (sub divizor) scriem factorul prin care a fost efectuată înmulțirea la penultimul pas.

Conform algoritmului avem:

4 0 = 0< 14 ; 4 · 1 = 4 < 14 ; 4 · 2 = 8 < 14 ; 4 · 3 = 12 < 14 ; 4 · 4 = 16 > 14 .

Sub numărul evidențiat scriem numărul 12 obținut în penultimul pas. În locul coeficientului scriem factorul 3.

3. Scădeți 12 din 14 folosind o coloană, scrieți rezultatul sub linia orizontală. Prin analogie cu primul punct, comparăm numărul rezultat cu divizorul.

4. Numărul 2 este mai mic decât numărul 4, așa că scriem sub linia orizontală după cele două numărul situat în următoarea cifră a dividendului. Dacă nu mai există cifre în dividend, atunci operațiunea de împărțire se încheie. În exemplul nostru, după numărul 2 obținut în paragraful anterior, notăm următoarea cifră a dividendului - 0. Ca rezultat, notăm un nou număr de lucru - 20.

Important!

Punctele 2 - 4 se repetă ciclic până la sfârșitul operației de împărțire a numerelor naturale la o coloană.

2. Să numărăm din nou câți divizori sunt cuprinsi în numărul 20. Înmulțind 4 cu 0, 1, 2, 3. . obținem:

Deoarece am primit ca rezultat un număr egal cu 20, îl scriem sub numărul marcat, iar în locul coeficientului, în următoarea cifră, scriem 5 - multiplicatorul prin care a fost efectuată înmulțirea.

3. Efectuăm scăderea într-o coloană. Deoarece numerele sunt egale, rezultatul este numărul zero: 20 - 20 = 0.

4. Nu vom nota numărul zero, deoarece această etapă nu este sfârșitul împărțirii. Să ne amintim doar locul unde l-am putea nota și să scriem lângă el numărul din următoarea cifră a dividendului. În cazul nostru, numărul este 2.

Luăm acest număr ca număr de lucru și realizăm din nou pașii algoritmului.

2. Înmulțiți divizorul cu 0, 1, 2, 3. . și comparați rezultatul cu numărul marcat.

4 0 = 0< 2 ; 4 · 1 = 4 > 2

În consecință, sub numărul marcat scriem numărul 0, iar sub divizor în următoarea cifră a coeficientului scriem și 0.

3. Efectuați operația de scădere și scrieți rezultatul sub linie.

4. În dreapta sub linie adăugați numărul 8, deoarece aceasta este următoarea cifră a numărului care este împărțit.

Astfel, obținem un nou număr de lucru - 28. Repetăm ​​punctele algoritmului din nou.

După ce am făcut totul conform regulilor, obținem rezultatul:

Mutăm ultima cifră a dividendului sub linia - 8. Repetăm ​​punctele algoritmului 2 - 4 pentru ultima dată și obținem:

În linia de jos scriem numărul 0. Acest număr se scrie doar la ultima etapă de împărțire, când operațiunea este finalizată.

Astfel, rezultatul împărțirii numărului 140228 la 4 este numărul 35072. Acest exemplu a fost analizat în detaliu, iar atunci când rezolvați sarcini practice nu este nevoie să descrieți atât de amănunțit toate acțiunile.

Vom oferi alte exemple de împărțire a numerelor într-o coloană și exemple de soluții de scriere.

Exemplul 1. Împărțirea pe coloane a numerelor naturale

Împărțiți numărul natural 7136 la numărul natural 9.

După al doilea, al treilea și al patrulea pas ai algoritmului, înregistrarea va lua forma:

Să repetăm ​​ciclul:

Ultima trecere și citim rezultatul:

Răspuns: câtul parțial dintre 7136 și 9 este 792, iar restul este 8.

Când rezolvați exemple practice, este ideal să nu folosiți deloc explicații sub formă de comentarii verbale.

Exemplul 2. Împărțirea numerelor naturale într-o coloană

Împărțiți numărul 7042035 la 7.

Răspuns: 1006005

Algoritmul pentru împărțirea numerelor cu mai multe cifre într-o coloană este foarte similar cu algoritmul discutat anterior pentru împărțirea unui număr cu mai multe cifre la un număr cu o singură cifră. Mai precis, modificările privesc doar primul punct, în timp ce punctele 2 - 4 rămân neschimbate.
Dacă, la împărțirea la un număr cu o singură cifră, ne-am uitat doar la prima cifră a dividendului, acum ne vom uita la atâtea cifre câte sunt în divizor Când numărul determinat de aceste cifre este mai mare decât divizorul. îl luăm ca număr de lucru. În caz contrar, adăugăm o altă cifră din următoarea cifră a dividendului. Apoi urmam pasii algoritmului descris mai sus.

Să luăm în considerare aplicarea algoritmului de împărțire a numerelor cu mai multe cifre folosind un exemplu.

Exemplul 3. Împărțirea numerelor naturale într-o coloană

Să împărțim 5562 la 206.

Împărțitorul conține trei semne, așa că să selectăm imediat numărul 556 din dividend.
556 > 206, deci luăm acest număr ca număr de lucru și trecem la punctul 2 al agloritmului.
Înmulțiți 206 cu 0, 1, 2, 3. . si obtinem:

206 0 = 0< 556 ; 206 · 1 = 206 < 556 ; 206 · 2 = 412 < 556 ; 206 · 3 = 618 > 556

618 > 556, deci sub divizor scriem rezultatul penultimei acțiuni, iar sub dividend scriem factorul 2

Efectuați scăderea coloanei

Ca rezultat al scăderii avem numărul 144. În dreapta rezultatului, sub linie, scriem numărul din cifra corespunzătoare a dividendului și obținem un nou număr de lucru - 1442.

Repetăm ​​punctele 2 - 4 cu el. Primim:

206 5 = 1030< 1442 ; 206 · 6 = 1236 < 1442 ; 206 · 7 = 1442

Sub numărul de lucru marcat scriem 1442, iar în următoarea cifră a coeficientului scriem numărul 7 - multiplicatorul.

Efectuăm scăderea într-o coloană și înțelegem că acesta este sfârșitul operației de împărțire: nu mai există cifre în divizor de scris în dreapta rezultatului scăderii.

Pentru a încheia acest subiect, vom da un alt exemplu de împărțire a numerelor cu mai multe cifre într-o coloană, fără explicații.

Exemplul 5. Împărțirea pe coloane a numerelor naturale

Împărțiți numărul natural 238079 la 34.

Raspuns: 7002

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter