Pentru a afla cum să găsiți cel mai mare divizor comun a două sau mai multe numere, trebuie să înțelegeți ce sunt numerele naturale, prime și complexe.

Un număr natural este orice număr care este folosit pentru a număra obiecte întregi.

Dacă un număr natural poate fi împărțit doar în el însuși și unul, atunci se numește prim.

Toate numerele naturale pot fi împărțite la ele însele și unul, dar singurul număr prim par este 2, toate celelalte pot fi împărțite la doi. Prin urmare, numai numerele impare pot fi prime.

Există o mulțime de numere prime lista completa ele nu există. Pentru a găsi GCD, este convenabil să folosiți tabele speciale cu astfel de numere.

Majoritatea numerelor naturale pot fi împărțite nu numai la unul, ele însele, ci și la alte numere. Deci, de exemplu, numărul 15 poate fi împărțit la 3 și 5. Toate se numesc divizori ai numărului 15.

Astfel, divizorul oricărui A este numărul cu care poate fi împărțit fără rest. Dacă un număr are mai mult de doi factori naturali, se numește compus.

Numărul 30 poate avea divizori precum 1, 3, 5, 6, 15, 30.

Veți observa că 15 și 30 au aceiași divizori 1, 3, 5, 15. Cel mai mare divizor comun al acestor două numere este 15.

Astfel, divizorul comun al numerelor A și B este numărul cu care acestea pot fi împărțite în întregime. Cel mai mare poate fi considerat numărul total maxim cu care pot fi împărțiți.

Pentru a rezolva probleme, se folosește următoarea inscripție prescurtată:

GCD (A; B).

De exemplu, GCD (15; 30) = 30.

Pentru a nota toți divizorii unui număr natural, utilizați notația:

D (15) = (1, 3, 5, 15)

GCD (9; 15) = 1

În acest exemplu, numerele naturale au un singur divizor comun. Ele sunt numite relativ prime, deci unitatea este cel mai mare divizor comun al lor.

Cum să găsiți cel mai mare divizor comun al numerelor

Pentru a găsi mcd-ul mai multor numere, aveți nevoie de:

Găsiți separat toți divizorii fiecărui număr natural, adică factorizați-i în factori (numere prime);

Selectați toți factorii identici ai numerelor date;

Înmulțiți-le împreună.

De exemplu, pentru a calcula cel mai mare divizor comun al numerelor 30 și 56, ați scrie următoarele:

Pentru a evita confuzia, este convenabil să scrieți factorii folosind coloane verticale. În partea stângă a liniei trebuie să plasați dividendul, iar în partea dreaptă - divizorul. Sub dividend ar trebui să indicați coeficientul rezultat.

Deci, în coloana din dreapta vor fi toți factorii necesari pentru soluție.

Divizorii identici (factori găsiți) pot fi subliniați pentru comoditate. Ele ar trebui rescrise și înmulțite și cel mai mare divizor comun notat.

GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10

Acesta este cât de ușor este să găsiți cel mai mare divizor comun al numerelor. Dacă exersați puțin, puteți face acest lucru aproape automat.

Criterii de divizibilitate pentru numere naturale.

Se numesc numere divizibile cu 2 fără restchiar .

Se numesc numerele care nu sunt divizibile egal cu 2ciudat .

Testul de divizibilitate cu 2

Dacă un număr natural se termină cu o cifră pară, atunci acest număr este divizibil cu 2 fără rest, iar dacă un număr se termină cu o cifră impară, atunci acest număr nu este divizibil egal cu 2.

De exemplu, numerele 60 , 30 8 , 8 4 sunt divizibile cu 2 fără rest, iar numerele sunt 51 , 8 5 , 16 7 nu sunt divizibile cu 2 fără rest.

Testul de divizibilitate cu 3

Dacă suma cifrelor unui număr este divizibilă cu 3, atunci numărul este divizibil cu 3; Dacă suma cifrelor unui număr nu este divizibilă cu 3, atunci numărul nu este divizibil cu 3.

De exemplu, să aflăm dacă numărul 2772825 este divizibil cu 3. Pentru a face acest lucru, să calculăm suma cifrelor acestui număr: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - divizibil cu 3. Aceasta înseamnă că numărul 2772825 este divizibil cu 3.

Testul de divizibilitate cu 5

Dacă înregistrarea unui număr natural se termină cu cifra 0 sau 5, atunci acest număr este divizibil cu 5 fără rest Dacă înregistrarea unui număr se termină cu o altă cifră, atunci numărul nu este divizibil cu 5 fără rest.

De exemplu, numerele 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 sunt divizibile cu 5 fără rest, iar numerele sunt 17 , 37 8 , 9 1 nu împărtășiți.

Testul de divizibilitate cu 9

Dacă suma cifrelor unui număr este divizibil cu 9, atunci numărul este divizibil cu 9; Dacă suma cifrelor unui număr nu este divizibil cu 9, atunci numărul nu este divizibil cu 9.

De exemplu, să aflăm dacă numărul 5402070 este divizibil cu 9. Pentru a face acest lucru, să calculăm suma cifrelor acestui număr: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - nu este divizibil cu 9 . Aceasta înseamnă că numărul 5402070 nu este divizibil cu 9.

Test de divizibilitate cu 10

Dacă un număr natural se termină cu cifra 0, atunci acest număr este divizibil cu 10 fără rest Dacă un număr natural se termină cu o altă cifră, atunci nu este divizibil egal cu 10.

De exemplu, numerele 40 , 17 0 , 1409 0 sunt divizibile cu 10 fără rest, iar numerele 17 , 9 3 , 1430 7 - nu împărtăși.

Regula pentru găsirea celui mai mare divizor comun (GCD).

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun al mai multor numere naturale, trebuie să:

2) dintre factorii incluși în extinderea unuia dintre aceste numere, bifați pe cei care nu sunt incluși în extinderea altor numere;

3) găsiți produsul factorilor rămași.

Exemplu. Să găsim GCD (48;36). Să folosim regula.

1. Să factorăm numerele 48 și 36 în factori primi.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Din factorii incluși în extinderea numărului 48, îi ștergem pe cei care nu sunt incluși în extinderea numărului 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Ceilalți factori sunt 2, 2 și 3.

3. Înmulțiți factorii rămași și obțineți 12. Acest număr este cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 36.

GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.

Regula pentru găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM).

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al mai multor numere naturale, trebuie să:

1) factorizează-le în factori primi;

2) notează factorii incluși în extinderea unuia dintre numere;

3) adăugați la ei factorii lipsă din expansiunile numerelor rămase;

4) găsiți produsul factorilor rezultați.

Exemplu. Să găsim LOC (75;60). Să folosim regula.

1. Să factorăm numerele 75 și 60 în factori primi.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Să notăm factorii incluși în extinderea numărului 75: 3, 5, 5.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Adaugă la ei factorii lipsă din extinderea numărului 60, adică. 2, 2.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Aflați produsul factorilor rezultați

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Tema „Multiple” este studiată în clasa a 5-a școală gimnazială. Scopul său este de a îmbunătăți abilitățile scrise și orale calcule matematice. În această lecție, sunt introduse concepte noi - „numere multiple” și „divizori”, se practică tehnica de a găsi divizori și multipli ai unui număr natural și capacitatea de a găsi LCM în diferite moduri.

Acest subiect este foarte important. Cunoașterea acesteia poate fi aplicată la rezolvarea exemplelor cu fracții. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți numitorul comun calculând cel mai mic multiplu comun (LCM).

Un multiplu al lui A este un întreg care este divizibil cu A fără rest.

Fiecare număr natural are un număr infinit de multipli ai acestuia. El însuși este considerat cel mai mic. Multiplu nu poate fi mai mic decât numărul în sine.

Trebuie să demonstrați că numărul 125 este un multiplu al numărului 5. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți primul număr la al doilea. Dacă 125 este divizibil cu 5 fără rest, atunci răspunsul este da.

Această metodă este aplicabilă pentru numere mici.

Există cazuri speciale când se calculează LOC.

1. Dacă trebuie să găsiți un multiplu comun a 2 numere (de exemplu, 80 și 20), unde unul dintre ele (80) este divizibil cu celălalt (20), atunci acest număr (80) este cel mai mic multiplu dintre acestea. doua numere.

LCM(80, 20) = 80.

2. Dacă doi nu au un divizor comun, atunci putem spune că LCM lor este produsul acestor două numere.

LCM(6, 7) = 42.

Să ne uităm la ultimul exemplu. 6 și 7 în raport cu 42 sunt divizori. Ele împart un multiplu al unui număr fără rest.

În acest exemplu, 6 și 7 sunt factori perechi. Produsul lor este egal cu cel mai multiplu număr (42).

Un număr se numește prim dacă este divizibil numai cu el însuși sau cu 1 (3:1=3; 3:3=1). Restul se numesc compozit.

Un alt exemplu implică determinarea dacă 9 este un divizor al lui 42.

42:9=4 (restul 6)

Răspuns: 9 nu este un divizor al lui 42 deoarece răspunsul are un rest.

Un divizor diferă de un multiplu prin faptul că divizorul este numărul cu care sunt împărțite numerele naturale, iar multiplu însuși este împărțit la acest număr.

Cel mai mare divizor comun al numerelor oŞi b, înmulțit cu cel mai mic multiplu al lor, va da produsul numerelor în sine oŞi b.

Și anume: mcd (a, b) x mcd (a, b) = a x b.

Multiplii comuni pentru numere mai complexe se găsesc în felul următor.

De exemplu, găsiți LCM pentru 168, 180, 3024.

Factorim aceste numere în factori simpli și le scriem ca produs de puteri:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Înapoi Înainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Daca esti interesat această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Elevii de liceu întâlnesc conceptele de cel mai mare divizor comun (MCG) și cel mai mic multiplu comun (LCM) în clasa a șasea. Acest subiect este întotdeauna greu de înțeles. Copiii confundă adesea aceste concepte și nu înțeleg de ce trebuie să fie studiate. Recent, în literatura de știință populară, au existat afirmații izolate conform cărora acest material ar trebui exclus din programa școlară. Cred că acest lucru nu este în întregime adevărat și este necesar să-l studiem, dacă nu în clasă, atunci în timpul orelor extrașcolare în timpul orelor de componentă școlară, deoarece contribuie la dezvoltarea gândirii logice la școlari, crescând viteza operațiilor de calcul, și capacitatea de a rezolva probleme folosind metode frumoase.

Când studiezi subiectul „Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiti„Învățăm copiii să găsească numitorul comun a două sau mai multe numere. De exemplu, trebuie să adăugați fracțiile 1/3 și 1/5. Elevii pot găsi cu ușurință un număr care este divizibil cu 3 și 5 fără rest. Aceasta este numărul 15. Într-adevăr, dacă numerele sunt mici, atunci este ușor să le găsiți numitorul comun dacă cunoașteți bine tabla înmulțirii Unul dintre copii observă că acest număr este produsul numerelor 3 și 5. Copiii au opinia că în acest fel este întotdeauna posibil să găsim numitorul comun pentru numere . L-am prins deja. număr mare, iar dacă mai departe trebuie să faceți câteva calcule (în special pentru exemple pentru toate acțiunile), atunci probabilitatea unei erori crește. Dar cel mai mic multiplu comun al numerelor (LCM), care în acest caz este echivalent cu cel mai mic numitor comun (LCD) - numărul 72 - va facilita în mod semnificativ calculele și va duce la o soluție mai rapidă a exemplului și, prin urmare, va salva timpul alocat îndeplinirii acestei sarcini, care joacă un rol important la efectuarea testelor și examinărilor finale, în special în timpul certificării finale.

Când studiezi subiectul „Reducerea fracțiilor”, te poți deplasa secvențial prin împărțirea numărătorului și numitorului unei fracții la același număr natural, folosind semnele de divizibilitate a numerelor, obținând în final o fracție ireductibilă. De exemplu, trebuie să reduceți fracția 128/344. Mai întâi, împărțiți numărătorul și numitorul fracției la numărul 2, obținem fracția 64/172. Încă o dată, împărțiți numărătorul și numitorul fracției rezultate la 2, obținem fracția 32/86. Împărțiți din nou numărătorul și numitorul fracției la 2, obținem fracția ireductibilă 16/43. Dar reducerea unei fracții se poate face mult mai ușor dacă găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 128 și 344. GCD(128, 344) = 8. Împărțind numărătorul și numitorul fracției la acest număr, obținem imediat o fracție ireductibilă. .

Trebuie să le arătăm copiilor diferite modalități de a găsi cel mai mare divizor comun (GCD) și cel mai mic multiplu comun (LCD) de numere. În cazuri simple, este convenabil să găsiți cel mai mare divizor comun (GCD) și cel mai mic multiplu comun (LCD) de numere prin enumerare simplă. Pe măsură ce numerele devin mai mari, puteți utiliza descompunerea în factori primi. Manualul de clasa a șasea (autorul N.Ya. Vilenkin) arată următoarea metodă de găsire a celui mai mare divizor comun (GCD) al numerelor. Să factorăm numerele în factori primi:

• 16 = 2*2*2*2
• 120 = 2*2*2*3*5

Apoi, din factorii incluși în extinderea unuia dintre aceste numere, îi tăiem pe cei care nu sunt incluși în extinderea celuilalt număr. Produsul factorilor rămași va fi cel mai mare divizor comun al acestor numere. În acest caz, acesta este numărul 8. Din propria mea experiență, sunt convins că este mai clar pentru copii dacă subliniem aceiași factori în descompunerea numerelor, iar apoi într-una dintre descompunere găsim produsul factori subliniați. Acesta este cel mai mare divizor comun al acestor numere. În clasa a șasea, copiii sunt activi și curioși. Le puteți seta următoarea sarcină: încercați să utilizați metoda descrisă pentru a găsi cel mai mare divizor comun al numerelor 343 și 287. Nu este imediat evident cum să le factorizați în factori primi. Și aici le puteți spune despre minunata metodă inventată de grecii antici, care vă permite să căutați cel mai mare divizor comun (MCD) fără a-l factoriza în factori primi. Această metodă de a găsi cel mai mare divizor comun a fost descrisă pentru prima dată în Elementele lui Euclid. Se numește algoritm euclidian. Constă în următoarele: În primul rând, împărțiți numărul mai mare la cel mai mic. Dacă se obține un rest, atunci împărțiți numărul mai mic la rest. Dacă se obține din nou un rest, atunci împărțiți primul rest la al doilea. Continuați împărțirea în acest fel până când restul este zero. Ultimul divizor este cel mai mare divizor comun (MCD) al acestor numere.

Să revenim la exemplul nostru și, pentru claritate, să scriem soluția sub forma unui tabel.

Deci mcd(344.287) = 7

Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun (LCM) al acelorași numere? Există vreo modalitate pentru aceasta care să nu necesite descompunerea prealabilă a acestor numere în factori primi? Se pare că există și una foarte simplă. Trebuie să înmulțim aceste numere și să împărțim produsul la cel mai mare divizor comun (MCD) pe care l-am găsit. În acest exemplu, produsul numerelor este 98441. Împărțiți-l la 7 și obțineți numărul 14063. LCM(343,287) = 14063.

Unul dintre subiectele dificile din matematică este rezolvarea problemelor cu cuvinte. Trebuie să le arătăm elevilor cum pot fi folosite conceptele de cel mai mare divizor comun (MCG) și cel mai mic multiplu comun (LCM) pentru a rezolva probleme care sunt uneori dificil de rezolvat în mod obișnuit. Aici este oportun să luăm în considerare împreună cu elevii, alături de sarcinile propuse de autorii manualului școlar, sarcini străvechi și distractive care dezvoltă curiozitatea copiilor și cresc interesul pentru studierea acestei teme. Stăpânirea abil a acestor concepte le permite elevilor să vadă o soluție frumoasă la o problemă non-standard. Și dacă starea de spirit a copilului crește după rezolvarea unei probleme bune, acesta este un semn de muncă de succes.

Astfel, studiind în școală concepte precum „Cel mai mare divizor comun (GCD)” și „Mel mai mic multiplu comun (LCD)” de numere

Vă permite să economisiți timpul alocat pentru finalizarea lucrărilor, ceea ce duce la o creștere semnificativă a volumului sarcinilor finalizate;

Crește viteza și acuratețea efectuării operațiilor aritmetice, ceea ce duce la o reducere semnificativă a numărului de erori de calcul;

Vă permite să găsiți modalități frumoase de a rezolva probleme de text non-standard;

Dezvoltă curiozitatea elevilor, le lărgește orizonturile;

Creează premisele pentru formarea unei personalități creative versatile.

Definiţie. Se numește cel mai mare număr natural care poate fi împărțit fără rest la numerele a și b cel mai mare divizor comun (MCG) aceste numere.

Să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 24 și 35.
Divizorii lui 24 sunt numerele 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, iar divizorii lui 35 sunt numerele 1, 5, 7, 35.
Vedem că numerele 24 și 35 au un singur divizor comun - numărul 1. Astfel de numere se numesc prim reciproc.

Definiţie. Se numesc numere naturale prim reciproc, dacă cel mai mare divizor comun al lor (MCD) este 1.

Cel mai mare divizor comun (GCD) poate fi găsit fără a scrie toți divizorii acestor numere.

Factorizarea numerelor 48 și 36 obținem:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Din factorii incluși în extinderea primului dintre aceste numere, îi tăiem pe cei care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr (adică doi doi).
Factorii rămași sunt 2 * 2 * 3. Produsul lor este 12. Acest număr este cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 36. Se găsește și cel mai mare divizor comun a trei sau mai multe numere.

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun

2) dintre factorii incluși în extinderea unuia dintre aceste numere, bifați pe cei care nu sunt incluși în extinderea altor numere;
3) găsiți produsul factorilor rămași.

Dacă toate numerele date sunt divizibile cu unul dintre ele, atunci acest număr este cel mai mare divizor comun numere date.
De exemplu, cel mai mare divizor comun al numerelor 15, 45, 75 și 180 este numărul 15, deoarece toate celelalte numere sunt divizibile cu acesta: 45, 75 și 180.

Cel mai mic multiplu comun (LCM)

Definiţie. Cel mai mic multiplu comun (LCM) numerele naturale a și b sunt cel mai mic număr natural care este multiplu atât al lui a cât și al lui b. Cel mai mic multiplu comun (MCM) al numerelor 75 și 60 poate fi găsit fără a scrie multiplii acestor numere la rând. Pentru a face acest lucru, să factorăm 75 și 60 în factori primi: 75 = 3 * 5 * 5 și 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Să scriem factorii incluși în extinderea primului dintre aceste numere și să adăugăm la ei factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr (adică, combinăm factorii).
Obținem cinci factori 2 * 2 * 3 * 5 * 5, al căror produs este 300. Acest număr este cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60.

De asemenea, ei găsesc cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere.

La găsi cel mai mic multiplu comun mai multe numere naturale, aveți nevoie de:
1) factorizează-le în factori primi;
2) notează factorii incluși în extinderea unuia dintre numere;
3) adăugați la ei factorii lipsă din expansiunile numerelor rămase;
4) găsiți produsul factorilor rezultați.

Rețineți că dacă unul dintre aceste numere este divizibil cu toate celelalte numere, atunci acest număr este cel mai mic multiplu comun al acestor numere.
De exemplu, cel mai mic multiplu comun al numerelor 12, 15, 20 și 60 este 60 deoarece este divizibil cu toate aceste numere.

Pitagora (sec. VI î.Hr.) și studenții săi au studiat problema divizibilității numerelor. Ei au numit un număr egal cu suma tuturor divizorilor săi (fără numărul în sine) număr perfect. De exemplu, numerele 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sunt perfecte. Următoarele numere perfecte sunt 496, 8128, 33.550.336 Pitagoreii cunoșteau doar primele trei numere perfecte. Al patrulea - 8128 - a devenit cunoscut în secolul I. n. e. Al cincilea - 33.550.336 - a fost găsit în secolul al XV-lea. Până în 1983, erau deja cunoscute 27 de numere perfecte. Dar oamenii de știință încă nu știu dacă există numere perfecte impare sau dacă există un număr perfect cel mai mare.
Interesul matematicienilor antici pentru numerele prime provine din faptul că orice număr este fie prim, fie poate fi reprezentat ca un produs. numere prime, adică numerele prime sunt ca cărămizile din care sunt construite restul numerelor naturale.
Probabil ați observat că numerele prime din seria numerelor naturale apar neuniform - în unele părți ale seriei sunt mai multe, în altele - mai puține. Dar cu cât ne deplasăm mai departe de-a lungul seriei de numere, cu atât numerele prime sunt mai puțin comune. Apare întrebarea: există un ultim (cel mai mare) număr prim? Matematicianul grec antic Euclid (secolul al III-lea î.Hr.), în cartea sa „Elemente”, care a fost principalul manual de matematică timp de două mii de ani, a demonstrat că există infinit de numere prime, adică în spatele fiecărui număr prim se află un prim și mai mare. număr.
Pentru a găsi numere prime, un alt matematician grec al aceluiași timp, Eratosthenes, a venit cu această metodă. El a notat toate numerele de la 1 la un anumit număr, apoi a tăiat unul, care nu este nici prim, nici compus, apoi a tăiat printr-unul toate numerele care vin după 2 (numere care sunt multipli ai lui 2, adică 4, 6, 8 etc.). Primul număr rămas după 2 a fost 3. Apoi, după doi, toate numerele care vin după 3 (numerele care erau multipli ai lui 3, adică 6, 9, 12 etc.) au fost tăiate. până la urmă au rămas neîncrucișate doar numerele prime.