Formulați un semn de creștere a funcției. Semne de creștere și scădere locală a unei funcții
Fie f continuă pe un interval și diferențiabilă în punctele interioare ale acestui interval. Apoi există un punct intern din acest segment astfel încât tangenta la graficul funcției, desenată în punctul cu abscisa c, să fie paralelă cu coarda AB, unde A(a;f(x)) și B(b; f(x)). Sau: pe un arc neted AB există întotdeauna un punct c în care tangenta este paralelă cu coarda care leagă capetele arcului.
Fie f continuă pe un interval și diferențiabilă în punctele interioare ale acestui interval. Apoi există un punct interior din acest segment astfel încât
Corolarul 1: dacă o funcție f este continuă pe segment și derivata ei este egală cu zero în interiorul acestui segment, atunci funcția f este constantă pe segment.
Corolarul 2: Dacă funcțiile f și g sunt continue pe un interval și au aceleași derivate în interiorul acestui interval, atunci ele diferă printr-un termen constant.
2. Semn suficient functie de crestere:
Dacă f[/](x)>0 în fiecare punct al intervalului I, atunci funcția f crește pe intervalul I.
3. Un semn suficient de scădere a funcției:
Dacă f[/](x)
Să demonstrăm aceste semne folosind formula Lagrange:
Să luăm oricare două numere din interval. Lăsați-l să fie. Conform formulei lui Lagrange, există un număr astfel încât.
Numărul c aparține intervalului I, deoarece punctele aparțin acestui interval. Dacă f[/](x)>0 pentru, atunci f[/](c) >0 și, prin urmare, - aceasta rezultă din formula (1), deoarece ->0. Aceasta demonstrează că funcţiile f cresc pe intervalul I. Dacă f[/](x) 0. Funcţia f scade pe intervalul I se dovedeşte.
Exemplul 1. aflați intervalele funcției crescătoare și descrescătoare
2. Aflați derivata funcției și punctele sale critice: sau
3. Marcați punctele extreme pe axa numerică și găsiți intervalele de creștere și scădere ale funcției
Raspuns: - functia creste
Funcția este în scădere
Exemplul 2. Examinați funcția crescătoare (descrescătoare):
2. Aflați punctele derivate și extreme ale funcției:
3. Marcați punctul critic pe axa numerelor și găsiți intervalele de creștere (scădere) ale funcției:
Răspuns: - funcția este în scădere
Funcția crește
II. Puncte critice. Semne de găsire a maximului și minimului unei funcții.
1. Puncte critice
Definiție: punctele critice ale unei funcții sunt puncte interne ale domeniului de definiție al funcției la care derivata sa este zero sau nu există.
nr 1. Aflați punctele critice ale funcției f: a) g(x) =
Răspuns: , unde; , unde b) g(x) =
2. Semne de găsire a maximului și minimului unei funcții.
Semnul funcțiilor maxime:
Dacă funcția f este continuă în punctul x0 și f[/](x)>0 pe intervalul (a; x0) și f[/](x)
Sau: dacă în punctul x0 derivata își schimbă semnul din plus în minus, atunci x0 este punctul maxim.
Dovada:
Derivata f[/](x)>0 pe intervalul (a;x0), iar functia este continua in punctul x0, prin urmare functia f creste pe intervalul (a;x0], si deci f(x)
Pe intervalul [x0;c) funcția scade și, prin urmare, f(x)
Semne ale unei funcții minime:
Dacă funcția f este continuă în punctul x0 și f[/](x) 0 pe intervalul (x0;b), atunci punctul x0 este punctul minim al funcției f.
Sau: dacă în punctul x0 derivata își schimbă semnul din minus în plus, atunci x0 este punctul minim.
Dovada:
Derivată f[/](x) f (x0) pentru tot x din intervalul (a; x0).
Pe intervalul [x0;b), funcția f crește și, prin urmare, f(x) >f (x0) pentru toată lumea din intervalul (a;b), adică x0 este punctul minim al lui f.
III. Derivată a doua. Semne de convexitate și concavitate.
Să existe o derivată a doua la punct. Atunci, dacă, atunci punctul este punctul minim și dacă, atunci punctul este punctul maxim al funcției.
Dacă, atunci umflarea este îndreptată în jos. Dacă, atunci umflarea este îndreptată în sus.
IV. Asimptote oblice
Definiție: O linie dreaptă este asimptota înclinată a graficului unei funcții, unde și
Ecuația de asimptotă oblică
Ecuația asimptotelor verticale a asimptotei oblice
V. Proiectare Studiu Funcțional
1. Să găsim domeniul de definire al funcției.
2. Examinați funcția pentru egalitate (ciudățenie).
3. Aflați punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate și determinați intervalele de semn constant ale funcției.
4. Găsiți derivata.
5. Aflați punctele extreme ale funcției și intervalele de creștere și scădere ale funcției.
6. Faceți o masă.
7. Găsiți derivata a doua.
8. Aflați punctele de inflexiune ale graficului funcției și stabiliți intervalele de convexitate și concavitate ale acestui grafic.
9. Găsiți asimptote ale graficului funcției, dacă este necesar.
10. Construiți o schiță a graficului acestei funcții.
11. Găsiți setul de valori ale funcției.
VI. Exemple pentru studierea unei funcții
2). Este imposibil să vorbim despre paritatea funcției.
5) Aflați punctele extreme ale funcției și intervalele de creștere și scădere ale funcției:
Funcția crește
Funcția este în scădere
6) Să facem un tabel x
7) Aflați derivata a doua
8) Aflați punctele de inflexiune: sau
Bulă-te
Bulge jos
9) Să constatăm că asimptotele oblice nu există. nu există asimptote oblice.
10) Program
; x=2 - asimptotă verticală
2). Este imposibil să vorbim despre paritatea funcției
3) Aflați punctele de intersecție ale graficului cu axa OX.
Să găsim punctele de intersecție ale graficului cu axa OU.
4) Aflați derivata funcției:
5) Aflați punctele extreme ale funcției și punctele de creștere și scădere ale funcției:
Funcția crește
Funcția este în scădere
6) Să facem un tabel x
7) Găsiți derivata a doua:
8) Găsiți punctele de inflexiune: nu există puncte de inflexiune
Bulge jos
Bulă-te
Ecuația de asimptotă oblică
10) Program
Asimptotă verticală
2) nu putem vorbi despre paritatea funcției
Nu există puncte de intersecție cu axa OX.
Nu există. Nu există astfel de puncte.
4) Găsiți derivata:
Funcția este în scădere
Funcția crește
6) Să facem un tabel:
7) Să diagramăm funcția:
Asimptotă verticală
2) - nu putem vorbi despre paritatea funcției
3) Aflați punctele de intersecție ale graficului cu axa OX.
Să găsim punctele de intersecție ale graficului cu axa OY.
4) Găsiți derivata:
5) Aflați punctele extreme ale funcției și intervalele de creștere și scădere ale funcției.
Nu există puncte critice.
Nu există puncte maxime și minime.
6) Să facem un tabel:
↘ 7) Aflați derivata a doua:
8) Găsiți punctele de inflexiune ale graficului funcției și stabiliți intervalele de convexitate și concavitate:
Nu există puncte de inflexiune.
Bulă-te
Bulge jos
9) Găsiți asimptotele oblice:
Ecuația asimptotei orizontale, deoarece k = 0.
10) Să diagramăm funcția:
;
- asimptote verticale
3) Aflați punctele de intersecție ale graficului cu axa OX.
Să găsim punctele de intersecție ale graficului cu axa OY.
4) Găsiți derivata:
2) - funcția este impară, deoarece. Graficul este simetric față de origine.
5) Aflați punctele extreme și intervalele de creștere și scădere ale funcției:
Funcția este în scădere
Funcția crește
6) Să facem un tabel:
Nu există nicio soluție.
↘ Nu substantiv.
↗ 7) Aflați asimptotele oblice:
Nu există asimptote oblice.
8) Găsiți derivata a doua:
Bulge jos
Bulă-te
9) Aflați punctele de inflexiune: fie sau
10) Să construim un grafic
VII. Informații istorice. Finalul a fost complet diferit calea vieții
un alt creator de analiză matematică - Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716). Dar mai întâi lucrurile. Strămoșii săi au venit din Polonia și au purtat numele de familie Lubenitz. După ce s-au mutat la Leipzig, numele de familie a început să fie pronunțat în limba germană. Este interesant de remarcat că chiar numele acestui oraș este, de asemenea, slav, înseamnă că Leibniz s-a născut în familia unui profesor de filozofie din Leipzig Și-a pierdut devreme părinții: la vârsta de 6 ani a rămas fără tată, iar la 17 - fără mamă limbi grecesti
La vârsta de 15 ani, Leibniz era student la Facultatea de Filosofie a Universității din Leipzig. Această facultate a fost pregătitoare pentru drept și teologie. După ce a absolvit cu brio Facultatea de Filosofie și apoi Facultatea de Drept, Leibniz, în vârstă de 20 de ani, nu a reușit să obțină postul dorit în orașul natal. Regulile conservatoare ale universității au creat bariere materiale în calea obținerii unui doctorat. Merge la Nürnberg și la universitate de acolo își susține disertația juridică pentru un doctorat cu un succes fără precedent. Talentul extraordinar al tânărului om de știință a fost remarcat. Este invitat la serviciul diplomatic de către Electorul (prințul care are dreptul de a alege regele) orașului Mainz, iar mai târziu de către Ducele de Hanovra.
În timp ce se afla la Paris pentru afaceri pentru elector, Leibniz s-a întâlnit cu mulți oameni de știință celebri. Discuții diverse probleme i-a trezit interesul pentru matematică. Mai târziu, într-o scrisoare către I. Bernoulli, el a amintit: >. După ce a absolvit facultatea (1666), Leibniz a publicat o lucrare filozofică și matematică >, așa că atunci când vorbea despre > lui, a vrut să spună ignorarea ultimelor realizări ale matematicii. Pentru a se familiariza cu noi rezultate și idei care au apărut la acea vreme în matematică, a apelat la Huygens pentru ajutor. Îl sfătuiește să studieze cu atenție o serie de lucrări, iar Leibniz se apucă de afaceri cu un zel de invidiat: studiază lucrările lui Saint-Vincent și Wallis, Descartes și Pascal și se angajează în propriile sale cercetări.
Dar când ajunge la Londra pentru afaceri diplomatice și raportează rezultatele sale matematicienilor englezi, este surprins să afle că multe dintre aceste rezultate le sunt deja cunoscute din manuscrisul lui Newton, păstrat la Societatea Regală. Leibniz, prin secretarul acestei societăți, Oldenburg (1615 - 1677), îi scrie lui Newton despre opera sa. În aceeași scrisoare, el îi cere lui Newton să-și raporteze rezultatele. Ca răspuns, el primește (din nou prin Oldenburg) două scrisori în care Newton explică operațiile de diferențiere și integrare folosind seria.
Leibniz nu s-a grăbit să-și publice rezultatele în domeniul calculului nou, poate așteptând publicațiile lui Newton. Dar în 1683 Tschirnhauz a publicat un articol despre cuadratura curbelor algebrice. Nu menționează numele lui Leibniz, deși Tschirnhaus îi datora mult în rezolvarea acestor probleme. Pentru a menține palma în această zonă, Leibniz anul viitor publică un articol >, iar un an mai târziu - >. Primul dintre ele conținea elementele de bază ale calculului diferențial, al doilea - integral.
Baza noua stiinta el a stabilit conceptul de diferenţial. Acum diferența df(x0) a funcției y=f(x) în punctul x0 este dată de formula df(xo) = f"(xo)dx, unde f"(xb) este derivata calculată în punctul xo, lor este incrementul argumentului. Leibniz definește diferența ca fiind unul dintre catetele triunghiului caracteristic, despre care a fost discutat în capitolul anterior (secțiunea 9). Din figura 46 se poate observa că aceste definiții sunt echivalente.
Leibniz oferă reguli pentru calcularea diferenţialului unei sume, diferenţe, produs, coeficient, grad şi rezolvă ecuaţii diferenţiale. El defineşte integrala ca fiind suma diferenţierilor, subliniind caracterul invers reciproc al operaţiilor de diferenţiere şi integrare: >. De unde provin proprietățile integralelor și metodele de calcul ale acestora? În articolele ulterioare, Leibniz a dezvoltat o nouă analiză. El a demonstrat că orice funcție integrabilă este mărginită (o condiție necesară pentru integrabilitate) și a dezvoltat un algoritm pentru calcularea anumitor tipuri de integrale, în special, o metodă de integrare a funcțiilor raționale. Importanța acestei metode nu poate fi supraestimată, deoarece cu ajutorul diferitelor substituții la integrale ale funcțiilor raționale se poate reduce o mare varietate de integrale. Să ne uităm la această metodă mai detaliat.
Pentru a rezolva grafic problema integrării funcțiilor arbitrare, Leibniz a inventat (1693) un dispozitiv mecanic - un integrator. Dacă mutați un pin al acestui dispozitiv de-a lungul graficului funcției, celălalt desenează graficul antiderivatei.
Folosim în continuare algoritmii și notațiile dezvoltați de Leibniz, precum și majoritatea termenilor matematici introduși de el: funcție, variabilă, constantă, coordonate, abscisă, algoritm, diferențială etc. Mulți dintre acești termeni erau folosiți înainte, dar nu aveau sensul specific pe care le-a dat Leibniz.
La începutul secolului următor, a izbucnit o dezbatere aprinsă despre prioritatea inventării analizei. Motivul a fost recenzia lui Leibniz (1704) a operei lui Newton, unde a subliniat comunitatea ideologică a interpretării infinitezimalului de către Newton și Fabry. O asemenea comparație a marelui englez cu puțin cunoscutul matematician francez O n o -re Fabry (1607 - 1688) a provocat indignarea oamenilor de știință englezi. (Și Leibniz nu avea motive ascunse; cartea lui Fabry a fost pur și simplu una dintre puținele care l-au ajutat să elimine > în timpul perioadei pariziene.) Ei au văzut în aceasta o slăbire a meritelor lui Newton și așa a început. În această dispută, drepturile lui Newton au fost apărate de oamenii de știință englezi, iar ale lui Leibniz de către cei continentali. Sprijinul lui Leibniz de către majoritatea matematicienilor continentali s-a explicat prin faptul că notațiile sale s-au dovedit a fi atât de perfecte, iar învățătura în sine atât de accesibilă, încât au găsit imediat susținători printre mulți oameni de știință din Europa, ceea ce este extrem de rar când un nou apare teoria.
Aparent, tocmai această dispută a avut în vedere minunatul poet rus Valery Bryusov când a scris următoarele rânduri:
O, Leibniz, înțelept, creatorul de cărți profetice! Ai fost deasupra lumii, ca vechii profeți. Vârsta ta, minunându-se de tine, n-a ajuns la profeții Și a amestecat reproșuri nebune cu lingușirea.
De fapt, pretențiile ambelor părți erau nefondate. Ambii oameni de știință au ajuns în mod independent la crearea calculului diferențial și integral, iar abordările lor au fost complet diferite. Newton a folosit aparatul seriei de putere, iar Leibniz a folosit conceptul de diferenţial. Disputa aprinsă a dus la faptul că matematicienii englezi au ignorat tot ce a venit de la Leibniz și școala sa, iar matematicienii continentali au ignorat munca englezilor. Deoarece continentul s-a bazat pe simbolismul lui Leibniz, care era mai avansat decât cel al lui Newton, iar oamenii de știință erau uniți prin idei comune, publicate și accesibile tuturor, matematicienii continentali din perioada post-newtoniană au mers mult înainte în comparație cu englezii.
Cu toate acestea, în soarta lui Leibniz, dușmănia dintre matematicienii englezi și cei continentali a jucat un rol fatal. Ducele, pentru care a slujit ca bibliotecar, istoric și biograf, devenit rege englez (1714), a plecat la Londra. Leibniz nu l-a putut urmări din cauza relațiilor deteriorate cu matematicienii englezi. În plus, ducele era nemulțumit de istoriograful său, crezând că nu acordă suficientă atenție îndatoririlor sale oficiale directe. Leibniz a trebuit să rămână și să lucreze în biblioteca ducelui. Disfavorul regelui englez nou încoronat a dus la faptul că cercul savantului a fost foarte subțire. Doi ani mai târziu a murit, însoțit în ultima sa călătorie doar de secretarul său și de gropari. Nedreptatea ofensivă a sorții în raport cu marele om de știință, care a făcut multe.
În ciuda enormei sale ocupații în compilarea istoriei casei ducale, care s-a transformat în istoria Europei de Vest, și a altor responsabilități care i-au distrage atenția de la știință, Leibniz a lăsat multe lucrări despre matematică, filozofie, biologie, teoria cunoașterii, politică, drept și lingvistică. Un om de știință complet, el a adus contribuții neprețuite în fiecare dintre aceste domenii. Ideile se revărsau din el ca dintr-o cornul abundenței: fiecare scrisoare, fiecare notă sau articol conținea ceva fundamental nou în domeniul științei luate în considerare, determinând uneori dezvoltarea sa ulterioară. S-au făcut multe cu participarea lui directă. La Berlin, a organizat o societate științifică, care a fost transformată ulterior în Academia de Științe din Berlin și a devenit primul ei președinte. A fost primul membru străin al Academiei de Științe din Paris. Leibniz s-a întâlnit în mod repetat la Berlin cu Petru I, pentru care a dezvoltat o serie de proiecte pentru dezvoltarea educației și guvernării în Rusia, precum și crearea Academiei de Științe din Sankt Petersburg.
Dar cea mai semnificativă contribuție a lui a fost la matematică. După ce a intrat în ea, a fost capabil să o transforme complet. După munca lui și a celor mai apropiați asociați ai săi, nu numai că a apărut analiza matematică, dar toată matematica a intrat într-o nouă eră.
Semne de creștere și scădere locală a unei funcții.
Una dintre sarcinile principale ale studierii unei funcții este de a găsi intervalele de creștere și scădere a acesteia. Un astfel de studiu poate fi realizat cu ușurință folosind derivatul. Să formulăm afirmațiile corespunzătoare.
Un semn suficient de creștere a funcției.
Dacă f’(x) > 0 în fiecare punct al intervalului I, atunci funcția f crește cu I.
Un semn suficient de scădere a funcției.
Dacă f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
Dovada acestor semne se realizează pe baza formulei Lagrange (a se vedea paragraful 19). Luați oricare două numere x 1 și x 2 din interval. Fie x 1
(1)
Numărul c aparține intervalului I, deoarece punctele x 1 și x 2 aparțin lui I. Dacă f"(x)>0 pentru x∈I atunci f’(c)>0 și, prin urmare, F(x 1 )
Semnificația vizuală a semnelor este clară din raționamentul fizic (pentru certitudine, să luăm în considerare semnul creșterii).
Fie ca un punct care se deplasează de-a lungul axei ordonatelor la momentul t are o ordonată y = f(t). Atunci viteza acestui punct la momentul t este egală cu f"(t) (vezi. Viteza instantanee ). Dacă f’ (t)>0 în fiecare moment de timp din intervalul t, atunci punctul se mișcă în direcția pozitivă a axei ordonatelor, adică dacă t 1
Nota 1.
Dacă funcția f este continuă la orice capăt al intervalului crescător (descrescător), atunci acest punct este atașat acestui interval.
Nota 2.
Pentru a rezolva inegalitățile f" (x)>0 și f" (x)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.
Condiții necesare și suficiente pentru existența unui extremum al unei funcții într-un punct.
Condiție necesară pentru extremum
Funcția g(x) într-un punct are un extremum (maxim sau minim) dacă funcția este definită într-o vecinătate cu două fețe a punctului și pentru toate punctele x ale unei regiuni: , inegalitatea este satisfăcută corespunzător
(în caz de maxim) sau (în caz de minim).
Extremul funcției poate fi găsit din condiția: dacă derivata există, i.e. echivalăm prima derivată a funcției cu zero.
Condiție suficientă pentru un extremum
1) Prima condiție suficientă:
a) f(x) este o funcție continuă și este definită într-o vecinătate a unui punct, astfel încât derivata întâi în acest punct este egală cu zero sau nu există.
b) f(x) are o derivată finită în vecinătatea specificației și continuității funcției
c) derivata retine un anumit semn la dreapta unui punct si la stanga aceluiasi punct, atunci punctul poate fi caracterizat astfel
Această condiție nu este foarte convenabilă, deoarece trebuie să verificați multe condiții și să memorați tabelul, dar dacă nu se spune nimic despre derivatele de ordin superior, atunci aceasta este singura modalitate de a găsi extremul funcției.
2) A doua condiție suficientă
Dacă funcția g(x) are o derivată a doua și la un moment dat prima derivată este egală cu zero, iar derivata a doua este diferită de zero. Apoi punct extremul funcției g(x), iar dacă , atunci punctul este un maxim; dacă , atunci punctul este un minim.
Semne de creștere și scădere locală a unei funcții.
Una dintre sarcinile principale ale studierii unei funcții este de a găsi intervalele de creștere și scădere a acesteia. Un astfel de studiu poate fi realizat cu ușurință folosind derivatul. Să formulăm afirmațiile corespunzătoare.
Un semn suficient de creștere a funcției.
Dacă f’(x) > 0 în fiecare punct al intervalului I, atunci funcția f crește cu I.
Un semn suficient de scădere a funcției.
Dacă f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
Dovada acestor semne se realizează pe baza formulei Lagrange (a se vedea paragraful 19). Luați oricare două numere x 1 și x 2 din interval. Fie x 1
(1)
Numărul c aparține intervalului I, deoarece punctele x 1 și x 2 aparțin lui I. Dacă f"(x)>0 pentru x∈I atunci f’(c)>0 și, prin urmare, F(x 1 )
Semnificația vizuală a semnelor este clară din raționamentul fizic (pentru certitudine, să luăm în considerare semnul creșterii).
Fie ca un punct care se deplasează de-a lungul axei ordonatelor la momentul t are o ordonată y = f(t). Atunci viteza acestui punct la momentul t este egală cu f"(t) (vezi. Viteza instantanee ). Dacă f’ (t)>0 în fiecare moment de timp din intervalul t, atunci punctul se mișcă în direcția pozitivă a axei ordonatelor, adică dacă t 1
Nota 1.
Dacă funcția f este continuă la orice capăt al intervalului crescător (descrescător), atunci acest punct este atașat acestui interval.
Nota 2.
Pentru a rezolva inegalitățile f" (x)>0 și f" (x)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.
Condiții necesare și suficiente pentru existența unui extremum al unei funcții într-un punct.
Condiție necesară pentru extremum
Funcția g(x) într-un punct are un extremum (maxim sau minim) dacă funcția este definită într-o vecinătate cu două fețe a punctului și pentru toate punctele x ale unei regiuni: , inegalitatea este satisfăcută corespunzător
(în caz de maxim) sau (în caz de minim).
Extremul funcției poate fi găsit din condiția: dacă derivata există, i.e. echivalăm prima derivată a funcției cu zero.
Condiție suficientă pentru un extremum
1) Prima condiție suficientă:
a) f(x) este o funcție continuă și este definită într-o vecinătate a unui punct, astfel încât derivata întâi în acest punct este egală cu zero sau nu există.
b) f(x) are o derivată finită în vecinătatea specificației și continuității funcției
c) derivata retine un anumit semn la dreapta unui punct si la stanga aceluiasi punct, atunci punctul poate fi caracterizat astfel
Această condiție nu este foarte convenabilă, deoarece trebuie să verificați multe condiții și să memorați tabelul, dar dacă nu se spune nimic despre derivatele de ordin superior, atunci aceasta este singura modalitate de a găsi extremul funcției.
2) A doua condiție suficientă
Dacă funcția g(x) are o derivată a doua și la un moment dat prima derivată este egală cu zero, iar derivata a doua este diferită de zero. Apoi punct extremul funcției g(x), iar dacă , atunci punctul este un maxim; dacă , atunci punctul este un minim.
Definiția unei funcții crescătoare.
Funcţie y=f(x) crește pe interval X, dacă pentru oricare și 
inegalitatea este valabilă. Cu alte cuvinte, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției.
Definiția unei funcții descrescătoare.
Funcţie y=f(x) scade pe interval X, dacă pentru oricare și 
inegalitatea este valabilă 
. Cu alte cuvinte, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției.
NOTĂ: dacă funcția este definită și continuă la sfârșitul intervalului crescător sau descrescător (a;b), adică când x=aŞi x=b, atunci aceste puncte sunt incluse în intervalul de creștere sau scădere. Acest lucru nu contrazice definițiile unei funcții crescătoare și descrescătoare pe interval X.
De exemplu, din proprietățile funcțiilor elementare de bază știm că y=sinx definit și continuu pentru toate valorile reale ale argumentului. Prin urmare, din creșterea funcției sinus pe interval, putem afirma că aceasta crește pe interval.
Puncte extreme, extreme ale unei funcții.
Punctul se numește punct maxim funcții y=f(x), dacă pentru toată lumea x din vecinătatea ei inegalitatea este valabilă. Se numește valoarea funcției în punctul maxim maximul funcției si noteaza .
Punctul se numește punct minim funcții y=f(x), dacă pentru toată lumea x din vecinătatea ei inegalitatea este valabilă. Se numește valoarea funcției în punctul minim functie minima si noteaza .
Vecinătatea unui punct este înțeleasă ca interval 
, unde este un număr pozitiv suficient de mic.
Se numesc punctele minime și maxime puncte extremum, iar valorile funcției corespunzătoare punctelor extreme sunt numite extreme ale funcției.
Nu confundați extremele unei funcții cu cele mai mari și mai mici valori ale funcției.
În prima figură, cea mai mare valoare a funcției de pe segment este atinsă în punctul maxim și este egal cu maximul funcției, iar în a doua figură - cea mai mare valoare a funcției este atinsă în punctul x=b, ceea ce nu este un punct maxim.
Condiții suficiente pentru creșterea și scăderea funcțiilor.
Pe baza unor conditii (semne) suficiente pentru cresterea si scaderea unei functii se gasesc intervale de crestere si scadere a functiei.
Iată formulările semnelor funcțiilor crescătoare și descrescătoare pe un interval:
dacă derivata funcţiei y=f(x) pozitiv pentru oricine x din interval X, apoi funcția crește cu X;
dacă derivata funcţiei y=f(x) negativ pentru oricine x din interval X, apoi funcția scade cu X.
Astfel, pentru a determina intervalele de creștere și scădere a unei funcții, este necesar:
Să luăm în considerare un exemplu de găsire a intervalelor de funcții crescătoare și descrescătoare pentru a explica algoritmul.
Exemplu.
Aflați intervalele funcțiilor crescătoare și descrescătoare.
Soluţie.
Primul pas este să găsiți definiția funcției. În exemplul nostru, expresia din numitor nu ar trebui să meargă la zero, prin urmare, .
Să trecem la găsirea derivatei funcției: 
Pentru a determina intervalele de creștere și scădere ale unei funcții pe baza unui criteriu suficient, rezolvăm inegalități pe domeniul definiției. Să folosim o generalizare a metodei intervalului. Singura rădăcină reală a numărătorului este x = 2, iar numitorul ajunge la zero la x=0. Aceste puncte împart domeniul definiției în intervale în care derivata funcției își păstrează semnul. Să notăm aceste puncte pe linia numerică. În mod convențional notăm cu plusuri și minus intervalele la care derivata este pozitivă sau negativă. Săgețile de mai jos arată schematic creșterea sau scăderea funcției pe intervalul corespunzător. 
Progresul lecției:
Activitățile profesoruluiActivitati elevilor
Resurse
2 min
I. Moment organizatoric.
Salută eleviiverifică pregătirea pentru lecție și își dorește succes.
Reflectați asupra obiectivului.
Caiete
5 min
II. Verificarea temelor: nbh rezolva sarcinile nerezolvate, explica.
Demonstrați cunoștințele lor.
Mesele
10 min
II. Învățarea unui subiect nou
Dacă derivata unei anumite funcții este pozitivă pentru toate valorile lui x din interval ( O;V), adică f"(x) > 0, atunci funcția crește în acest interval.
Dacă derivata unei funcții date este negativă pentru toate valorile X in interval( O;V), adică f"(x) < 0, то функция в этом интервале убывает.
Ordinea găsirii intervalelor de monotonitate:
Găsiți domeniul de definire al funcției.
Găsiți prima derivată a funcției.
Găsiți punctele critice, investigați semnul derivatei întâi în intervalele în care punctele critice găsite împart domeniul de definire al funcției.
Găsiți intervalele de monotonitate ale funcțiilor.
Să examinăm semnul derivatei în intervalele rezultate și să prezentăm soluția sub forma unui tabel.
O condiție suficientă pentru existența unui maxim este schimbarea semnului derivatei la trecerea prin punctul critic de la „+” la „-”, iar pentru minim de la „-” la „+”. Dacă, la trecerea prin punctul critic, semnul derivatei nu se schimbă, atunci nu există un extremum în acest punct.
Să luăm în considerare câteva exemple de studiere a funcțiilor pentru creștere și scădere.
Aflați intervalele funcției crescătoare și descrescătoare
1) f(x) = 3- 0,5x,
2) f(x) = - x2+2x-3,
3) f(x) = 4x-5,
4) f(x) = 5x 2- 3x+1.
(-∞;1)-crește, (1;+∞)-descrește
(-∞;+∞)-crește
(-∞;0,3)-crește, (0,3;+∞)-descrește
(-∞;+∞)-descrescătoare
Demonstrați abilități.
postere
Formule
Manual
min
IV. Consolidarea cunoștințelor Lucrul cu manualul nr. 258, nr. 261
f). 2. Găsiți f"( x).3. Găsiți puncte staționare, de ex. punctele în care f"( x) = 0 sau f"( x) nu există.
(Derivata este 0 la zerourile numărătorului, derivata nu există la zerourile numitorului)
4. Poziția D( f) și aceste puncte de pe dreapta de coordonate.
5. Determinați semnele derivatei pe fiecare dintre intervale
6. Aplicați semne. 7. Notează răspunsul.
3 min
V. Rezumatul lecției.autoevaluarea de către elevi a rezultatelor activităților lor educaționale.Efectuează reflecția.
Ce nou ai învățat la lecție?
Au fost momente interesante pentru tine?
Notează-ți părerea despre lecție pe autocolante.
Carduri
2 min
VI.Teme pentru acasă. Explică caracteristicile temei nr. 259, nr. 257
consemnate în jurnale.
Jurnal