Prezentare pentru o lecție de matematică în clasa a IX-a pe tema „Trinomul pătrat și rădăcinile sale” care conține sarcini pentru un nivel aprofundat de studiu al subiectului. Prezentarea este concepută pentru utilizare continuă pe tot parcursul lecției. Misiuni de diferite tipuri în conținut.

Descărcați:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Itemul planului Itemul planului Itemul planului Itemul planului Actualizarea cunoștințelor Studierea temei lecției Referință enciclopedică Minutul dinamic Teme pentru acasă Trinomul pătrat și rădăcinile sale au fost pregătite de un profesor de matematică: 1КК Natalya Fedorovna Radchenko

Actualizarea cunoștințelor Studierea temei lecției Referință enciclopedică Minutul dinamic Teme Actualizarea cunoștințelor ◊ 1 Repetarea materialului despre funcții; ◊ 2 Fundamente teoretice rezolvarea ecuațiilor pătratice; ◊ 3 Teorema lui Vieta; ◊ 4 Total.

Actualizarea cunoștințelor Repetarea materialului: dintre aceste funcții, indicați funcțiile liniare descrescătoare: y= x²+12 y= -x-24 y= 9x+8 h= 23-23x h= 1/x² g= (x+16)² g = - 3

Actualizarea cunoștințelor Cum se determină prezența și numărul de rădăcini ale unei ecuații pătratice? Cum se calculează discriminantul unei ecuații pătratice D = 2. Numiți formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice D>0, apoi x 1,2 = D = 0, apoi x =

Actualizarea cunoștințelor t² - 2t – 3 = 0 3. Calculați discriminantul și răspundeți la întrebarea „Câte rădăcini are ecuația pătratică?” D= 16 >0, două rădăcini Care este produsul rădăcinilor? X 1  x 2 = - 3 5. Care este suma rădăcinilor ecuației? X 1 + x 2 = 2 6. Ce se poate spune despre semnele rădăcinilor? Rădăcini de diferite semne 7. Găsiți rădăcinile prin selecție. X 1 = 3, x 2 = -1

Studierea temei lecției ◊ 1 Raportarea temei lecției; ◊ 2 Fundamentele teoretice ale conceptului „Trinom pătrat și rădăcinile sale”; ◊ 3 Afirmații ale marilor gânditori despre matematică; ◊ 4 Analiza exemplelor de subiecte; Studierea temei lecției Referință enciclopedică Minutul dinamic Teme pentru acasă

Trinom pătrat și rădăcinile sale Un trinom pătrat este un polinom de forma ax² + bx + c, unde x este o variabilă, a, b și c sunt unele numere și a≠ 0. Rădăcina unui trinom pătratic este valoarea unei variabile la care valoarea acestui trinom este zero. Pentru a găsi rădăcinile trinomului pătratic ax² + bx + c, trebuie să rezolvați ecuația pătratică ax² + bx + c =0.

Trinomul pătrat și rădăcinile sale Nu este suficient să ai o minte bună, principalul este să-l folosești bine. R. Descartes Toată lumea ar trebui să fie capabilă să gândească consecvent, să judece în mod demonstrabil și să respingă concluziile incorecte: un fizician și un poet, un tractorist și un chimist. E. Kolman

Referință enciclopedică ◊ 1 Conceptul de „parametru”; ◊ 2 Sensul cuvântului „parametru” în dicționarele și dicționarul rusesc cuvinte străine; ◊ 3 Desemnarea și domeniul de aplicare al parametrului; ◊ 4 Exemple cu parametri. Referință enciclopedică Minutul dinamic Teme pentru acasă

Parametru de referință enciclopedică (din grecescul παραμετρέω - măsoară, plec). O cantitate inclusă într-o formulă matematică și menținând o valoare constantă în cadrul unui fenomen sau pentru o anumită sarcină..., (mat.) Parametrul este o valoare constantă, exprimată printr-o literă, păstrându-și valoarea constantă numai în condițiile unei sarcina dată... „Dicționar de cuvinte străine”. 3. La ce valoare a parametrului m are o singură rădăcină trinomul pătrat 2x ² + 2тх – m – 0,5? Găsiți această rădăcină.

Pauză dinamică ◊ 1 Rezolvarea unei „probleme problemă”; ◊ 2 Context istoric: scrisoare din trecut; Temă pentru minut dinamic

Pauză dinamică La ce valoare a parametrului t are trinomul pătrat 2х ² + 2тх – т – 0,5 = 0 și are o singură rădăcină? Găsiți această rădăcină. Ecuația pătratică are o rădăcină D=0 D= b² - 4ac; a=2, b=2m, c= - m – 0,5 D= (2m)² - 4  2  (- m – 0,5) = 4m² + 8m +4 D=0, 4m² + 8m +4 = 0 m² + 2m +1 = 0 (m + 1)² = 0 m= - 1 Înlocuiți valoarea găsită a lui m în ecuația inițială: 2x ² - 2x + 1 – 0,5 = 0 4x ² - 4x + 1 = 0 ( 2x – 1 )² =0 2x -1 =0 x = 0,5

Pauză dinamică La teme, elevii de clasa a VIII-a au fost rugați să găsească rădăcinile unui trinom pătratic (x² - 5x +7) ² - 2(x² - 5x +7) - 3 După ce s-a gândit, Vitya a raționat astfel: mai întâi trebuie să deschideți parantezele, apoi aduceți termeni similari. Dar Styopa a spus că există o modalitate mai simplă de a o rezolva și nu este deloc necesară deschiderea parantezelor. Ajută-l pe Vita să găsească o soluție rațională

Pauza dinamică Problemele de găsire a rădăcinilor unui trinom pătratic și de compunere a ecuațiilor pătratice se găsesc deja în papirusurile matematice egiptene antice. Regula generală găsirea rădăcinilor și rezolvarea ecuațiilor de forma: ax ² + bx = c, unde a > 0, b și c sunt oricare, a fost formulată de Brahmagupta (secolul al VII-lea d.Hr.). Brahmagupta nu știa încă că o ecuație pătratică poate avea și o rădăcină negativă. Bhaskara Acharya (secolul al XII-lea) a formulat relațiile dintre coeficienții ecuației. A făcut multe probleme.

Generalizare, teme ◊ 1 Rezolvarea exercițiilor cu un parametru: diverse tipuri sarcini; ◊ 2 Rezumatul temei studiate; ◊ 3 Tema pentru acasă: după nivel. Teme pentru acasă

Generalizare, teme Găsiți rădăcinile trinomului pătratic (x-4)² +(4y-12)². Aflați valorile parametrului a pentru fiecare dintre care trinomul pătratic x²+ 4 x + 2ax+8a+1 are o soluție. Temă pentru acasă: p.3; Grupa 1: Nr. 45 (c, d), Nr. 49 (c, d); Grupa 2: a) aflați valoarea parametrului a la care trinomul pătrat x²-6x+2ax+4a nu are soluție; b) găsiți rădăcinile trinomului pătratic (2x-6)²+(3y-12)²

sursa șablonului Natalia Vladimirovna Chernakova Profesor de chimie și biologie, Instituția de învățământ de stat NPO Regiunea Arhangelsk „Școala profesională nr. 31” „http://pedsovet.su/”

Tema „Trinomul pătrat și rădăcinile sale” este studiată la cursul de algebră de clasa a IX-a. Ca orice altă lecție de matematică, o lecție pe această temă necesită instrumente și metode de predare speciale. Vizibilitatea este necesară. Aceasta include această lecție video, care a fost concepută special pentru a ușura munca profesorului.

Această lecție durează 6:36 minute. În acest timp, autorul reușește să dezvăluie complet subiectul. Profesorul va trebui doar să selecteze sarcini pe subiect pentru a consolida materialul.

Lecția începe prin a arăta exemple de polinoame cu o variabilă. Apoi, pe ecran apare definiția rădăcinii polinomului. Această definiție este susținută de un exemplu în care este necesar să se găsească rădăcinile unui polinom. După rezolvarea ecuației, autorul obține rădăcinile polinomului.

Următoarea este o remarcă că trinoamele pătratice includ și acele polinoame de gradul doi în care al doilea, al treilea sau ambii coeficienți, cu excepția celui principal, sunt egali cu zero. Această informație este susținută de un exemplu în care coeficientul liber este zero.

Autorul explică apoi cum să găsiți rădăcinile unui trinom pătratic. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați o ecuație pătratică. Iar autorul sugerează să verificați acest lucru folosind un exemplu în care este dat un trinom pătratic. Trebuie să-i găsim rădăcinile. Soluția este construită pe baza soluției ecuației pătratice obținute din trinomul pătratic dat. Soluția este scrisă pe ecran în detaliu, clar și înțeles. În timp ce rezolvă acest exemplu, autorul își amintește cum să rezolve o ecuație pătratică, scrie formulele și obține rezultatul. Răspunsul este înregistrat pe ecran.

Autorul a explicat găsirea rădăcinilor unui trinom pătrat pe baza unui exemplu. Când elevii înțeleg esența, pot trece la puncte mai generale, ceea ce face autorul. Prin urmare, el rezumă în continuare toate cele de mai sus. În termeni generaliÎn limbajul matematic, autorul notează regula pentru găsirea rădăcinilor unui trinom pătrat.

Următoarea este o remarcă că în unele probleme este mai convenabil să scrieți trinomul pătratic puțin diferit. Această intrare este afișată pe ecran. Adică, rezultă că dintr-un trinom pătrat se poate extrage un binom pătrat. Se propune să luăm în considerare o astfel de transformare cu un exemplu. Soluția pentru acest exemplu este afișată pe ecran. Ca și în exemplul anterior, soluția este construită în detaliu cu toate explicațiile necesare. Autorul ia în considerare apoi o problemă care folosește informațiile tocmai date. Aceasta este o problemă de demonstrație geometrică. Soluția conține o ilustrație sub formă de desen. Soluția problemei este descrisă în detaliu și clar.

Aceasta încheie lecția. Dar profesorul poate selecta sarcini pe baza abilităților elevilor care vor corespunde subiectului dat.

Această lecție video poate fi folosită ca o explicație a materialelor noi în lecțiile de algebră. Este perfect pentru ca elevii să se pregătească independent pentru lecție.

Descompunere trinoame pătrate multiplicatorii se referă la sarcinile școlare cu care toată lumea se confruntă mai devreme sau mai târziu. Cum se face? Care este formula pentru factorizarea unui trinom pătratic? Să ne dăm seama pas cu pas folosind exemple.

Formula generala

Trinoamele pătratice sunt factorizate prin rezolvarea unei ecuații pătratice. Aceasta este o problemă simplă care poate fi rezolvată prin mai multe metode - prin găsirea discriminantului folosind teorema lui Vieta, există și o soluție grafică. Primele două metode sunt studiate în liceu.

Formula generală arată astfel:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritm pentru finalizarea sarcinii

Pentru a factoriza trinoamele pătratice, trebuie să cunoașteți teorema lui Vita, să aveți un program de soluții la îndemână, să puteți găsi o soluție grafic sau să căutați rădăcinile unei ecuații de gradul doi folosind formula discriminantă. Dacă este dat un trinom pătratic și trebuie factorizat, algoritmul este următorul:

1) Echivalați expresia originală cu zero pentru a obține o ecuație.

2) Dați termeni similari (dacă este necesar).

3) Găsiți rădăcinile folosind orice metodă cunoscută. Metoda grafică este utilizată cel mai bine dacă se știe dinainte că rădăcinile sunt numere întregi și numere mici. Trebuie amintit că numărul de rădăcini este egal cu gradul maxim ecuație, adică ecuația pătratică are două rădăcini.

4) Înlocuiți valoarea Xîn expresia (1).

5) Notați factorizarea trinoamelor pătratice.

Exemple

Practica vă permite să înțelegeți în sfârșit cum este îndeplinită această sarcină. Următoarele exemple ilustrează factorizarea unui trinom pătratic:

este necesar să extindem expresia:

Să recurgem la algoritmul nostru:

1) x 2 -17x+32=0

2) termenii similari sunt redusi

3) folosind formula lui Vieta, este dificil să găsiți rădăcini pentru acest exemplu, așa că este mai bine să folosiți expresia pentru discriminant:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Să înlocuim rădăcinile găsite în formula de bază pentru descompunere:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Atunci răspunsul va fi astfel:

x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

Să verificăm dacă soluțiile găsite de discriminant corespund formulelor Vieta:

14,845 . 2,155=32

Pentru aceste rădăcini se aplică teorema lui Vieta, au fost găsite corect, ceea ce înseamnă că factorizarea pe care am obținut-o este și ea corectă.

Să extindem în mod similar 12x 2 + 7x-6.

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337)1/2

În cazul precedent, soluțiile nu erau întregi, ci numere reale, care sunt ușor de găsit dacă ai un calculator în fața ta. Acum să ne uităm la mai multe exemplu complex, în care rădăcinile vor fi complexe: factor x 2 + 4x + 9. Folosind formula lui Vieta, rădăcinile nu pot fi găsite, iar discriminantul este negativ. Rădăcinile vor fi pe planul complex.

D=-20

Pe baza acesteia, obținem rădăcinile care ne interesează -4+2i*5 1/2 și -4-2i * 5 1/2 deoarece (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Obținem descompunerea dorită prin înlocuirea rădăcinilor în formula generală.

Un alt exemplu: trebuie să factorizați expresia 23x 2 -14x+7.

Avem ecuația 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Aceasta înseamnă că rădăcinile sunt 14+21.166i și 14-21.166i. Raspunsul va fi:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21.166i )*(X- 14+21.166i ).

Să dăm un exemplu care poate fi rezolvat fără ajutorul unui discriminant.

Să presupunem că trebuie să extindem ecuația pătratică x 2 -32x+255. Evident, se poate rezolva și folosind un discriminant, dar în acest caz este mai rapid să găsești rădăcinile.

x 1 =15

x 2 =17

Mijloace x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).

Extinderea polinoamelor pentru a obține un produs poate părea uneori confuză. Dar nu este atât de dificil dacă înțelegeți procesul pas cu pas. Articolul descrie în detaliu modul de factorizare a unui trinom pătratic.

Mulți oameni nu înțeleg cum să factorizeze un trinom pătrat și de ce se face acest lucru. La început poate părea un exercițiu inutil. Dar în matematică nimic nu se face degeaba. Transformarea este necesară pentru a simplifica expresia și ușurința de calcul.

Un polinom de forma – ax²+bx+c, numit trinom pătratic. Termenul „a” trebuie să fie negativ sau pozitiv. În practică, această expresie se numește ecuație pătratică. Prin urmare, uneori o spun diferit: cum se extinde o ecuație pătratică.

Interesant! Un polinom se numește pătrat datorită gradului său cel mai mare, pătratul. Și un trinom - din cauza celor 3 componente.

Alte tipuri de polinoame:

• binom liniar (6x+8);
• cvadrinom cub (x³+4x²-2x+9).

Factorizarea unui trinom pătratic

În primul rând, expresia este egală cu zero, apoi trebuie să găsiți valorile rădăcinilor x1 și x2. Poate să nu existe rădăcini, pot fi una sau două rădăcini. Prezența rădăcinilor este determinată de discriminant. Trebuie să-i cunoașteți formula pe de rost: D=b²-4ac.

Dacă rezultatul D este negativ, nu există rădăcini. Dacă este pozitiv, există două rădăcini. Dacă rezultatul este zero, rădăcina este una. Rădăcinile sunt de asemenea calculate folosind formula.

Dacă, la calcularea discriminantului, rezultatul este zero, puteți utiliza oricare dintre formule. În practică, formula este pur și simplu scurtată: -b / 2a.

Formule pentru sensuri diferite discriminatorii diferă.

Dacă D este pozitiv:

Dacă D este zero:

Calculatoare online

Pe Internet există calculator online. Poate fi folosit pentru a efectua factorizarea. Unele resurse oferă posibilitatea de a vizualiza soluția pas cu pas. Astfel de servicii vă ajută să înțelegeți mai bine subiectul, dar trebuie să încercați să îl înțelegeți bine.

Video util: Factorizarea unui trinom pătratic

Exemple

Vă invităm să vizionați exemple simple, cum se factorizează o ecuație pătratică.

Exemplul 1

Acest lucru arată clar că rezultatul este doi x deoarece D este pozitiv. Ele trebuie înlocuite în formulă. Dacă rădăcinile se dovedesc a fi negative, semnul din formulă se schimbă în opus.

Cunoaștem formula pentru factorizarea unui trinom pătratic: a(x-x1)(x-x2). Punem valorile între paranteze: (x+3)(x+2/3). Nu există un număr înaintea unui termen într-o putere. Asta înseamnă că există unul acolo, coboară.

Exemplul 2

Acest exemplu arată clar cum se rezolvă o ecuație care are o rădăcină.

Inlocuim valoarea rezultata:

Exemplul 3

Dat: 5x²+3x+7

Mai întâi, să calculăm discriminantul, ca în cazurile anterioare.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Discriminantul este negativ, ceea ce înseamnă că nu există rădăcini.

După ce primiți rezultatul, ar trebui să deschideți parantezele și să verificați rezultatul. Ar trebui să apară trinomul original.

Soluție alternativă

Unii oameni nu au putut niciodată să se împrietenească cu discriminatorul. Există o altă modalitate de a factoriza un trinom pătratic. Pentru comoditate, metoda este prezentată cu un exemplu.

Dat: x²+3x-10

Știm că ar trebui să obținem 2 paranteze: (_)(_). Când expresia arată astfel: x²+bx+c, la începutul fiecărei paranteze punem x: (x_)(x_). Cele două numere rămase sunt produsul care dă „c”, adică în acest caz -10. Singura modalitate de a afla ce numere sunt acestea este prin selecție. Numerele înlocuite trebuie să corespundă termenului rămas.

De exemplu, înmulțirea următoarelor numere dă -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nu.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nu.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nu.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Se potrivește.

Aceasta înseamnă că transformarea expresiei x2+3x-10 arată astfel: (x-2)(x+5).

Important! Ar trebui să aveți grijă să nu confundați semnele.

Extinderea unui trinom complex

Dacă „a” este mai mare decât unu, încep dificultățile. Dar totul nu este atât de dificil pe cât pare.

Pentru a factoriza, mai întâi trebuie să vedeți dacă ceva poate fi luat în considerare.

De exemplu, având în vedere expresia: 3x²+9x-30. Aici numărul 3 este scos din paranteze:

3(x²+3x-10). Rezultatul este deja binecunoscutul trinom. Răspunsul arată astfel: 3(x-2)(x+5)

Cum se descompune dacă termenul care este în pătrat este negativ? În acest caz, numărul -1 este scos din paranteze. De exemplu: -x²-10x-8. Expresia va arăta astfel:

Schema diferă puțin de cea anterioară. Sunt doar câteva lucruri noi. Să presupunem că expresia este dată: 2x²+7x+3. Răspunsul este scris și în 2 paranteze care trebuie completate (_)(_). În a 2-a paranteză este scris x, iar în prima ce a mai rămas. Arata astfel: (2x_)(x_). În caz contrar, schema anterioară se repetă.

Numărul 3 este dat de numerele:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Rezolvăm ecuații prin înlocuirea acestor numere. Ultima opțiune este potrivită. Aceasta înseamnă că transformarea expresiei 2x²+7x+3 arată astfel: (2x+1)(x+3).

Alte cazuri

Nu este întotdeauna posibilă convertirea unei expresii. Cu a doua metodă, nu este necesară rezolvarea ecuației. Dar posibilitatea transformării termenilor într-un produs este verificată doar prin discriminant.

Merită să exersați pentru a decide ecuații pătratice astfel încât să nu apară dificultăți la utilizarea formulelor.

Video util: factorizarea unui trinom

Concluzie

Îl poți folosi în orice fel. Dar este mai bine să le exersați pe ambele până când devin automate. De asemenea, să învețe cum să rezolvi bine ecuațiile pătratice și să factorii polinoame este necesară pentru cei care intenționează să-și conecteze viața cu matematica. Toate următoarele subiecte matematice sunt construite pe aceasta.

Găsirea rădăcinilor unui trinom pătratic

Obiective: introduceți conceptul de trinom pătratic și rădăcinile acestuia; dezvolta capacitatea de a găsi rădăcinile unui trinom pătratic.

Progresul lecției

I. Moment organizatoric.

II. Lucru oral.

Care dintre numere: –2; –1; 1; 2 – sunt rădăcinile ecuațiilor?

a) 8 X+ 16 = 0; V) X 2 + 3X – 4 = 0;

b) 5 X 2 – 5 = 0; G) X 3 – 3X – 2 = 0.

III. Explicația noului material.

Explicația noului material trebuie efectuată conform următoarei scheme:

1) Introduceți conceptul de rădăcină a unui polinom.

2) Introduceți conceptul de trinom pătratic și rădăcinile acestuia.

3) Analizați întrebarea numărului posibil de rădăcini ale unui trinom pătrat.

Problema izolării pătratului unui binom de un trinom pătrat este cel mai bine discutată în lecția următoare.

La fiecare etapă de explicare a noului material, este necesar să se ofere studenților o sarcină orală pentru a-și testa stăpânirea punctelor principale ale teoriei.

Sarcina 1. Care dintre numere: –1; 1; ; 0 – sunt rădăcinile polinomului X 4 + 2X 2 – 3?

Sarcina 2. Care dintre următoarele polinoame sunt trinoame pătratice?

1) 2X 2 + 5X – 1; 6) X 2 – X – ;

2) 2X – ; 7) 3 – 4X + X 2 ;

3) 4X 2 + 2X + X 3 ; 8) X + 4X 2 ;

4) 3X 2 – ; 9) + 3X – 6;

5) 5X 2 – 3X; 10) 7X 2 .

Care trinoame pătratice au rădăcina 0?

Sarcina 3. Poate un trinom pătrat să aibă trei rădăcini? De ce? Câte rădăcini are un trinom pătrat? X 2 + X – 5?

IV. Formarea deprinderilor și abilităților.

Exerciții:

1. № 55, № 56, № 58.

2. Nr. 59 (a, c, d), Nr. 60 (a, c).

În această sarcină nu trebuie să căutați rădăcinile trinoamelor pătratice. Este suficient să le găsiți discriminanții și să răspundeți la întrebarea pusă.

a) 5 X 2 – 8X + 3 = 0;

D 1 = 16 – 15 = 1;

D 1 0, ceea ce înseamnă că acest trinom pătratic are două rădăcini.

b) 9 X 2 + 6X + 1 = 0;

D 1 = 9 – 9 = 0;

D 1 = 0, ceea ce înseamnă că trinomul pătrat are o rădăcină.

c) –7 X 2 + 6X – 2 = 0;

7X 2 – 6X + 2 = 0;

D 1 = 9 – 14 = –5;

Dacă a mai rămas timp, poți face numărul 63.

Soluţie

Lasă topor 2 + bx + c este un trinom pătratic dat. Din moment ce o+ b +
+ c= 0, atunci una dintre rădăcinile acestui trinom este egală cu 1. După teorema lui Vieta, a doua rădăcină este egală cu . Conform condiției, Cu = 4O, deci a doua rădăcină a acestui trinom pătratic este egală cu
.

RĂSPUNS: 1 și 4.

V. Rezumatul lecției.

Întrebări frecvente:

– Care este rădăcina unui polinom?

– Care polinom se numește trinom pătratic?

– Cum se află rădăcinile unui trinom pătratic?

– Care este discriminantul unui trinom pătratic?

– Câte rădăcini poate avea un trinom pătrat? De ce depinde asta?

Teme pentru acasă: Nr. 57, Nr. 59 (b, d, f), Nr. 60 (b, d), Nr. 62.