9. Zgomot alb

9. Zgomot alb

• 9.1. Definiţia white noise.
• 9.2. Zgomot alb gaussian.
• 9.3. Surse fizice de zgomot alb.
• 9.4. Corelarea proceselor.

9.1. Definiţia white noise

• Un proces staționar, în sens restrâns, aleatoriu cu o funcție de densitate spectrală de putere egală cu o valoare constantă pozitivă se numește zgomot alb.
• Denumirea vine de la optică; culoarea albă este obținută prin amestecarea undelor de frecvențe diferite în domeniul vizibil.
• De obicei, într-un proces de zgomot alb așteptările matematice sunt zero, m = 0.
• Deoarece zgomotul alb este un proces staționar în sens restrâns, funcția sa de autocorelare depinde de un argument τ;
• KXX(τ) este par.

9.1. Definiţia white noise

• Funcția de densitate spectrală KXX(ω) este obținută din funcția de autocorelare prin transformarea Fourier și, deoarece funcția KXX(ω) este pară, se poate folosi transformata cosinus.
• Fie KXX(ω) = c > 0. Transformarea Fourier inversă (sau transformarea cosinus invers) a unei funcții constante este egală cu funcția δ cu coeficientul c

9.1. Definiţia white noise

• În consecință, zgomotul alb este un proces necorelat, variabile aleatoare X(t1) și X(t2), adică corelația lor este zero (aceste valori sunt liniar independente) pentru oricare. Distribuția variabilei aleatoare X(t0) în definiția zgomotului alb nu este specificată;
• Energia semnalului este proporțională cu integrala
• Rezultă că zgomotul alb nu există.

9.2. Zgomot alb gaussian

• Să considerăm un proces gaussian staționar necorelat.
• Fie așteptarea matematică a procesului a = 0, pătratul mediu egal cu σ. Apoi, din cauza așteptării matematice zero

• Dacă σ tinde spre infinit, atunci un astfel de proces gaussian tinde spre zgomot alb. Dar într-o aplicație reală, trebuie să ne limităm la o anumită valoare a rădăcină-medie-pătrată σ. Să setăm σ = 10 și să găsim densitatea spectrală a unui astfel de proces.

9.2. Zgomot alb gaussian

• Transformarea Fourier a funcției KXX(τ) a unui proces Gaussian poate fi găsită trecând la limita (deoarece ε tinde spre 0) transformata Fourier a unui impuls dreptunghiular R(σ2, ε, t) (vezi 3.8. Exemple de transformate Fourier).

În partea dreaptă se obține o funcție care, la ε 0, tinde spre funcția de densitate spectrală KXX(ω) a zgomotului alb.

9.2. Zgomot alb gaussian

• Grafice de aproximare a densității spectrale obținute din procesul Gaussian la σ = 10
• pentru ε = 1, 0,5, 0,1

9.2. Zgomot alb gaussian

• Funcția tinde spre o constantă, dar această constantă este zero. Cu toate acestea, într-un interval de frecvență limitat, funcția poate fi considerată aproximativ o constantă diferită de zero.
• Astfel, un proces gaussian staționar necorelat poate fi considerat ca o aproximare a zgomotului alb. Acesta este de fapt folosit în probleme practice.

9.2. Zgomot alb gaussian

• Folosind proprietatea de ergodicitate a procesului gaussian, estimăm funcțiile de autocorelare și densitate spectrală pentru o implementare cu n=1000 de măsurători.
• Graficul implementării unui proces gaussian necorelat la a = 0, σ = 10.

9.2. Zgomot alb gaussian

• Graficul de evaluare a funcției de autocorelare (funcție de autocorelare statistică) pentru n=1000, a = 0, σ = 10.

9.2. Zgomot alb gaussian

• Graficul funcției statistice a densității spectrale pentru n=1000, a = 0, σ = 10 (integrala a fost calculată prin metoda dreptunghiului, linia dreaptă roșie orizontală este valoarea medie a funcției)

9.2. Zgomot alb gaussian

• Ca o aproximare a zgomotului alb, se poate alege orice proces staționar necorelat (într-un sens destul de restrâns). De exemplu, puteți lua un proces discret D(t) cu două stări la fel de probabile +1 și -1, în momentele t = 0, 1, 2, ... procesul ia una dintre aceste stări. (O problemă: dacă calculați corelația distribuției comune a două astfel de cantități, se dovedește că nu este egală cu zero).
• Exercita. Aflați corelația distribuției articulare, caracteristicile procesului D(t) (așteptare matematică, dispersie, funcție de autocorelare, funcție de densitate spectrală).

9.3. Surse fizice de zgomot alb

• Zgomotul alb, ca și funcția δ, există doar ca o abstractizare matematică. Ambele concepte au apărut din fenomenele naturale, abstractul

Când luăm în considerare un proces gaussian, este adesea convenabil să-l reprezentăm ca suma funcției sale medii și a unui proces de zgomot cu medie zero. Astfel,

unde este un proces gaussian cu medie zero:

În cele mai interesante probleme aplicate, de exemplu în cazul zgomotului de împușcare [egalitatea], funcția medie este un semnal cunoscut (nu aleator), ci un proces de zgomot gaussian, staționar în sens restrâns. Mai mult, deoarece funcția de covarianță este egală cu funcția de corelație [vezi. formula]:

Astfel, transformata Fourier a funcției, adică densitatea spectrală de putere specifică complet un proces cu medie zero.

În multe aplicații ale teoriei comunicării, cineva se confruntă cu surse de zgomot fizic în care densitatea spectrală de putere a zgomotului gaussian suprapus semnalului util rămâne practic constantă până la frecvențe mult mai mari decât frecvențele fundamentale din semnalul însuși. În astfel de cazuri, din egalitățile (3.115) și (3.116) rezultă că valoarea medie pătrată a interferenței de zgomot poate fi redusă (fără efect nedorit asupra semnalului util) prin trecerea sumei semnalului și a zgomotului printr-un filtru; semnalul părăsește filtrul fără niciunul schimbări semnificative, iar zgomotul este în mare măsură suprimat (Fig. 3.27). Deoarece ne interesează doar densitatea spectrală de putere a zgomotului la ieșirea filtrului, pare de mică importanță care este spectrul de zgomot la intrare în regiunea în care se apropie de zero în afara benzii de trecere a filtrului. În conformitate cu aceasta, se presupune adesea că spectrul zgomotului de intrare este constant la toate frecvențele și introduce conceptul de zgomot gaussian alb, care este definit ca un proces gaussian staționar cu medie zero.

Smochin. 3.27. Zgomot gaussian de bandă largă pe intrările unui filtru de bandă îngustă. La ieșirea filtrului, exact același proces apare ca și cum ar fi furnizat zgomot alb la intrare.

și cu densitate spectrală de putere

În realitate, zgomotul alb poate fi doar fictiv, deoarece puterea sa medie totală trebuie să fie egală cu

ceea ce nu are rost. Utilitatea conceptului de zgomot alb rezultă din faptul că un astfel de zgomot, atunci când este trecut printr-un filtru liniar, pentru care

se transformă la ieșirea filtrului într-un proces gaussian staționar cu valoare medie zero, care nu este deloc lipsit de sens. Din egalitățile (3.114) și (3.132) obținem

de unde rezultă că

Această valoare este finită prin ipoteză (3,1336). În conformitate cu egalitățile (3.120) și (3.134a), funcția de corelare a procesului la ieșire

O altă derivație a egalității (3.125) se obține direct din expresia funcției de corelare a zgomotului alb. Rețineți că

Astfel, în conformitate cu egalitatea (3.111), procesul este dat de funcția de corelare

care, deși nu are sens fizic, este util și în calcule. Din egalitate (3.1366) rezultă că oricare două valori ale eșantionului de zgomot gaussian alb sunt independente statistic, indiferent cât de apropiate sunt alese momentele observării lor. Într-un fel, zgomotul gaussian alb descrie „aleatorie” supremă. Înlocuind expresia (3.1366) în relația (3.110a) la obținem

Smochin. 3.28. Trecerea zgomotului alb printr-un filtru trece-jos ideal.

Reprezentând funcția ca o transformată Fourier inversă și schimbând ordinea integrării, ajungem din nou la egalitate (3.135). Integrala din partea dreaptă a egalităților (3.137) este adesea numită „funcția de corelare” a funcției (deterministe)

Ca exemplu de aplicare a acestor rezultate, luați în considerare filtrul trece-jos ideal prezentat în Fig. 3.28, a cărei funcție de transfer este dată ca

Dacă zgomotul gaussian alb ajunge la intrarea acestui filtru, atunci funcția mediilor procesului la ieșire este determinată de egalitate

Distribuție normală, numit și distribuție gaussiană sau Gauss - Laplace- distribuția probabilității, care în cazul unidimensional este specificată de funcția de densitate de probabilitate care coincide cu funcția Gauss:

unde parametrul μ este așteptarea matematică (valoarea medie), mediana și modul de distribuție, iar parametrul σ este abaterea standard (σ² - dispersia) a distribuției.

Astfel, distribuția normală unidimensională este o familie de distribuții cu doi parametri. Cazul multivariat este descris în articolul „Distribuție normală multivariată”.

Distribuție normală standard se numește distribuție normală cu așteptări matematice μ = 0 și abaterea standard σ = 1.

Sens

Dacă se formează o anumită cantitate ca urmare a adunării a mai multor cantități aleatorii slab interdependente, fiecare dintre acestea având o contribuție mică relativ valoare totală, atunci distribuția centrată și normalizată a unei astfel de mărimi tinde să distributie normala.

Proprietăți

Momente

Dacă variabile aleatorii X 1 (\displaystyle X_(1))Şi X 2 (\displaystyle X_(2)) sunt independente și au o distribuție normală cu așteptări matematice μ 1 (\displaystyle \mu _(1))Şi μ 2 (\displaystyle \mu _(2))și variații σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2))Şi σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2))în consecință, atunci X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) are de asemenea o distribuție normală cu așteptări matematice μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) si varianta σ 1 2 + σ 2 2 .(\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).)

Rezultă că o variabilă aleatorie normală poate fi reprezentată ca suma unui număr arbitrar de variabile aleatoare normale independente.

Entropia maximă

Distribuția normală are entropia diferențială maximă dintre toate distribuțiile continue a căror varianță nu depășește o valoare dată.

Distribuția normală are entropia diferențială maximă dintre toate distribuțiile continue a căror varianță nu depășește o valoare dată. (Regula trei sigma 3 σ (\displaystyle 3\sigma ) ) - aproape toate valorile distribuite normal variabile aleatoare se află în interval(x ¯ - 3 σ ; x ¯ + 3 σ) (\displaystyle \left((\bar (x))-3\sigma ;(\bar (x))+3\sigma \right)) ) - aproape toate valorile. Mai strict - aproximativ cu o probabilitate de 0,9973 valoare variabila aleatoare se află în intervalul specificat (cu condiția ca valoarea x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))

adevărat și nu obținut ca urmare a prelucrării probei).

Modelarea variabilelor pseudoaleatoare normale Cele mai simple metode de modelare aproximativă se bazează pe teorema centrală a limitei. Și anume, dacă adăugați mai multe cantități independente distribuite identic cu varianță finită, atunci suma va fi distribuită aproximativ Amenda. De exemplu, dacă adăugați 100 de independente ca standard uniform variabile aleatoare distribuite, atunci distribuția sumei va fi aproximativă.

normal

Pentru generarea programatică de variabile pseudoaleatoare distribuite normal, este de preferat să folosiți transformarea Box-Muller. Vă permite să generați o valoare distribuită normal pe baza unei valori distribuite uniform.

• Relația cu alte distribuții
• Distribuția normală este o distribuție Pearson de tip XI. Raportul unei perechi de variabile aleatoare standard independente distribuite normal are o distribuție Cauchy. Adică dacă variabila aleatoare X (\displaystyle X) reprezintă relația X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z) (UndeŞi Y (\displaystyle Y) Z (\displaystyle Z)
• - variabile aleatoare normale standard independente), atunci va avea o distribuție Cauchy. Dacă z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k)) - variabile aleatoare normale standard independente în comun, adică z i ∼ N (0, 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)) x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) are o distribuție chi-pătrat cu k grade de libertate.
• Dacă variabila aleatoare Raportul unei perechi de variabile aleatoare standard independente distribuite normal are o distribuție Cauchy. Adică dacă variabila aleatoare este supus distribuției lognormale, atunci logaritmul său natural are o distribuție normală. Adică dacă X ∼ L o g N (μ, σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu,\sigma ^(2)\right)), Asta Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu,\sigma ^(2)\right) )). Și invers, dacă Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu,\sigma ^(2)\right)), Asta X = exp ⁡ (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu,\sigma ^(2) \corect)).
• Raportul pătratelor a două variabile aleatoare normale standard are o distribuție Fisher cu grade de libertate (1 , 1) (\displaystyle \left(1,1\right)).

Poveste

Pentru prima dată, distribuția normală ca limită a distribuției binomiale la p = 1 2 (\displaystyle p=(\tfrac (1)(2))) a apărut în 1738 în a doua ediţie a lucrării

A) Zgomot alb .

un proces aleator staționar cu o densitate spectrală de putere constantă la toate frecvențele se numește zgomot alb.

Conform teoremei Wiener-Khinchin, funcția de corelare a zgomotului alb este:

egal cu zero peste tot cu excepția unui punct
. Puterea medie (dispersia) a zgomotului alb este nelimitată.

Zgomotul alb este un proces corelat cu delta. Natura necorelată a valorilor instantanee ale unui astfel de semnal aleatoriu înseamnă o rată infinit de mare de schimbare în timp - indiferent cât de mic este intervalul , semnalul în acest timp se poate schimba cu orice valoare predeterminată.

Zgomotul alb este un model matematic abstract și procesul fizic corespunzător cu siguranță nu există în natură. Cu toate acestea, acest lucru nu ne împiedică să înlocuim aproximativ procesele aleatoare reale de bandă destul de largă cu zgomot alb în cazurile în care lățimea de bandă a circuitului afectat de semnalul aleator se dovedește a fi semnificativ mai îngustă decât lățimea efectivă a spectrului de zgomot.

B) Distribuție gaussiană (normală). .

În teoria semnalelor aleatorii, densitatea de probabilitate Gaussiană este de o importanță fundamentală.

(7.2)

Înlocuire variabilă
ofera:

(7.3)

Aici Ф este integrala de probabilitate

Graficul funcției F(x) arată ca o curbă monotonă variind de la 0 la 1.

16..Proces aleator de bandă îngustă. Distribuția Rayleigh. Legea Rayleigh-Rice.

Studiem proprietățile semnalelor aleatoare de bandă îngustă, în care densitatea spectrală de putere are un maxim pronunțat lângă o anumită frecvență , diferit de zero. Să definim funcția de corelare a unui proces aleator de bandă îngustă.

Considerăm un proces aleator staționar x(t), al cărui spectru de putere unilateral
concentrat în vecinătatea unei anumite frecvenţe >0. Conform teoremei Wiener-Khinchin, funcția de corelare a acestui proces

(7.4)

să deplasăm spectrul procesului din vecinătatea frecvenței în apropierea frecvenței zero,
(7.5)

Efectuând medierea folosind densitatea de probabilitate (7.22), găsim valoarea medie a anvelopei și dispersia acestuia:

(7.23)

(7.24)

Având o densitate de probabilitate unidimensională a anvelopei, este posibil să se rezolve o serie de probleme în teoria proceselor aleatoare de bandă îngustă, în special, pentru a găsi probabilitatea ca anvelopa să depășească un anumit nivel specificat.

Variabile aleatoare distribuite conform legii lui Rayleigh,

Cea mai simplă sarcină este de a găsi densitatea de probabilitate unidimensională a anvelopei oscilației totale. Crezând că un semnal util
, în timp ce zgomot, notăm expresia pentru implementarea procesului total X(t) . Acest proces aleatoriu este de bandă îngustă, astfel încât implementarea sa poate fi exprimată în termeni de modificare lentă a anvelopei U(t) și a fazei inițiale.
:

În noile variabile pe care le avem.

(7.26)

Acum, pentru a obține densitatea de probabilitate unidimensională a plicului, ar trebui să integrăm partea dreaptă a formulei (7.26) peste coordonatele unghiulare, în urma căreia găsim:

(7.27)

Această formulă exprimă o lege numită legea lui Rice. Rețineți că atunci când
, adică în absența unui semnal determinist, legea lui Rice devine legea lui Rayleigh.

Înlocuind această expresie în (7.27), avem

(7.28)

Aceste. anvelopa semnalului rezultat este distribuită în acest caz aproximativ normal cu dispersie și așteptări matematice
. Practic se crede că deja la
se normalizează anvelopa semnalului rezultat.