Puteți înmulți două matrice numai dacă prima are exact același număr de coloane ca și a doua are rânduri. Valorile însele pot fi nu numai întregi, ci și fracționale. Odată ce aveți o defalcare a calculului pentru această problemă, puteți înțelege cum funcționează înmulțirea. Acest lucru vă va economisi timp și vă va ajuta să înțelegeți mai bine complexitățile de calcul.

Să presupunem că aveți două matrice și trebuie să găsiți produsul lor. Acest calculator online vă va ajuta să faceți acest lucru rapid și cu cea mai mare precizie. Nu numai că va înmulți două matrice fără dificultate în câteva minute, dar vă va permite și să înțelegeți mai detaliat algoritmul pentru aceste calcule. Astfel, utilizarea unui calculator online ajută la consolidarea materialului abordat în teorie. Puteți face și calculele manual mai întâi și apoi le verificați aici, este un antrenament excelent pentru creier.

Instrucțiunile pentru utilizarea acestui calculator online nu sunt dificile. Pentru a multiplica matrice online, mai întâi indicați numărul de coloane și rânduri disponibile în prima matrice făcând clic pe pictogramele „+” sau „-” din stânga matricei și dedesubtul acesteia. Apoi introduceți numerele. Repetați aceleași operații pentru a doua matrice. Apoi, tot ce trebuie să faceți este să faceți clic pe butonul „Calculați” - iar valoarea dorită se va deschide în fața dvs. împreună cu un algoritm de calcul detaliat.

constând din T linii şi n coloane se numește matricea mărimii n× m. Numerele O 11 , A 12 , ..., A mn se numesc ea elemente. Tabelul care denotă matricea este scris între paranteze și notat A = (a ij ).

Dacă numărul de rânduri ale unei matrice este egal cu numărul coloanelor sale, atunci matricea se numește pătrat, iar numărul rândurilor sale este egal cu numărul de coloane - în ordine matrice pătrată.

Setul tuturor elementelor unei matrice pătrate care se află pe segmentul care leagă colțul din stânga sus de colțul din dreapta jos se numește diagonala principala,și pe segmentul care leagă colțul din dreapta sus cu cel din stânga jos - diagonală laterală.

Matricea pătrată se numește diagonală, dacă toate elementele sale care nu se află pe diagonala principală sunt egale cu zero. Se numește o matrice pătrată în care elementele de-a lungul diagonalei principale sunt egale cu unu, iar restul sunt zerouri singur si este desemnat E.

Cele două matrici sunt numite egal dacă numărul rândurilor și coloanelor lor este egal și dacă elementele din locurile corespunzătoare acestor matrici sunt egale.

Se numește o matrice ale cărei elemente sunt toate zero nulși este notat cu N.

Prin definiție, a înmulți o matrice O pentru numărul r, aveți nevoie de fiecare element al matricei O inmultiti cu r.

Exemplu. Dată o matrice A =
, găsiți matricea 3 O.

3 A = 3
=

Suma matricelor OŞi ÎN se numește matrice C ale cărei elemente sunt egale cu sumele elementelor corespunzătoare ale matricelor OŞi ÎN. Pot fi adăugate numai matrice cu același număr de rânduri și coloane.

Exemplu. Matrici date A =
Şi ÎN =
. Găsiți matricea C = A + B.

C =

Proprietățile adunării matricei:

A+B=B+A

(A+B)+ C = A+ (B + C)

O + N = O

Produs Matrix O la matrice ÎN definit numai dacă numărul de coloane de matrice O egal cu numărul de rânduri ale matricei ÎN. Rezultatul înmulțirii este matricea AB, care are același număr de rânduri ca și în matrice O, și același număr de coloane ca și în matrice ÎN.

Produsul a două matrice O (m× p) Şi ÎN(p× n) numită matrice CU (m× n), ale căror elemente sunt determinate de regulă

CU ij =

Comentariu. Pentru a înmulți două matrici aveți nevoie de elemente iînmulțiți al treilea rând al primei matrice cu elemente j a doua coloană a celei de-a doua matrice și adăugați produsele rezultate. Să obținem elementul noii matrice cu indicele ij.

Exemplu. Datele matrice a și b. ;. Aflați produsul matricelor ab.

AB=

=
=

Exemplu. Matrici date OŞi ÎN. O=
Şi B = .

Soluţie: A =(2X3), ÎN= (3X2) => AB =(2X2)

AB=
 =
=

Proprietățile înmulțirii matriceale:

AB VA;

(AB)C=A(BC);

AE= EA= O

(AB)k = (AB)k= A(Bk)

(A+B)C = AB +BC

A(B+C) = AB + AC/

Matricea transpusă A T este o matrice în care sunt scrise rânduri în loc de coloane, iar coloanele sunt scrise în loc de rânduri.

Exemplu. Să fie dată matricea A=
, Atunci

O T =

Determinanți.

Determinant de ordinul doi corespunzătoare matricei O =
, numit numărul
=O 11 O 22 - O 12 O 21 .

Exemplu. Calculați folosind un determinant de ordinul doi.

= 1 · (-3) – 2 · 4 = -11.

Determinant de ordinul trei corespunzătoare matricei

O =
, numit numărul
=O 11 O 22 O 33 +a 12 O 23 O 31 + a 13 O 21 O 32 - A 13 O 22 O 31 - A 12 O 21 O 33 -O 11 O 23 O 32.

Pentru a ne aminti ce produse din partea dreaptă a egalității ar trebui luate cu semnul „+” și care cu semnul „-”, o regulă utilă se numește regula triunghiului, prezentată în Fig. 1.

« + » « - »

Figura 1.

Exemplu. Calculați determinant

A doua modalitate de a calcula determinanții de ordinul trei este de a adăuga primele două coloane, de a găsi produsele de-a lungul diagonalei principale și paralele cu aceasta și de-a lungul diagonalei secundare și paralele cu aceasta.

= O 11 O 22 O 33 +a 12 O 23 O 31 + a 13 O 21 O 32 - A 13 O 22 O 31 - A 12 O 21 O 33 -O 11 O 23 O 32.

Proprietățile determinanților:

Dacă două rânduri (coloane) sunt schimbate în determinant, semnul acestuia se va schimba în opus.

Dacă rândurile și coloanele din determinant sunt schimbate, atunci semnul și mărimea acestuia nu se vor schimba.

Dacă două drepte din determinant sunt proporționale (egale), atunci este egală cu zero.

Dacă orice rând (coloană) din determinant este înmulțit cu un anumit număr și adăugat la un alt rând (coloană), valoarea acestuia nu se va modifica.

Dacă în determinant elementele oricărui rând (coloană) au un factor comun, atunci acesta poate fi scos din semnul determinantului.

Dacă determinantul conține un rând sau o coloană nulă, atunci este egal cu zero.

Minor M ij element determinant O ij este un determinant obținut din original prin ștergere i- oh linii și j a-a coloană pe care se află acest element.

Complementul algebric A ij element determinant O ij numit minor înmulțit cu (-1) i + j .

A treia modalitate de a calcula determinanții este utilizarea teoremei de descompunere.

Teorema de descompunere: Determinantul este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) și a complementelor algebrice ale acestora.

Exemplu. Calculați determinantul de ordinul trei , extinzând determinantul în elementele primului rând.

= 5· (-1) 1+1 · + 3 · (-1) 1+2 ·
+ 2·(-1) 1+3 ·
= 68.

Același determinant poate fi calculat folosind proprietatea 4) și apoi poate fi aplicată teorema de descompunere. În exemplul nostru, creăm zerouri în prima coloană. Pentru a face acest lucru, adăugăm elementelor din primul rând elementele celui de-al doilea rând, înmulțite cu 5, iar la elementele celui de-al treilea rând adăugăm elementele celui de-al doilea rând, înmulțite cu 7. Și descompunem rezultatul rezultat. matrice în elementele primei coloane.

=
= 0
- (-1)
+0
=
=13 · 34 – 17 · 22 = 68.

În câteva secunde, serverul va oferi o soluție precisă. Înmulțirea matricei online va fi matrice, din care fiecare element este calculat ca un scalar lucru rândurile primei matrice la coloanele corespunzătoare ale celei de-a doua matrice conform regulii înmulțirea matriceală. La înmulțirea matriceală online, fiecare element al matricei rezultate va fi rezultatul multiplicare rânduri ale unei matrice la coloanele altei matrice conform regulii produs de matrici. Găsi munca online două matrici dimensiunile admisibile se rezumă la constatare matrici dimensiunea lor corespunzătoare. Operațiunea multiplicare online două matrici dimensiunile NxK și KxM se reduce la constatare matrici dimensiuni MxN. Elemente din aceasta matrici constituie un scalar lucru matrici multiplicate, acesta este rezultatul înmulțirea matriceală online. Sarcina de a găsi produse online matrix sau intervenție chirurgicală înmulțirea matriceală online este multiplicare rânduri la coloane matrici conform regulii înmulțirea matriceală. www.site găsește produs de matrici dimensiunile specificate în mod online. Înmulțirea matricei online a unei dimensiuni date este găsirea dimensiunii corespunzătoare a matricei, ale cărei elemente vor fi scalare fabrică rândurile și coloanele corespunzătoare matrici multiplicate. Găsind produse online matrix larg acceptat în teorie matrici, precum și algebra liniară. Produs matrice online este folosit pentru a determina matricea rezultată din multiplicare dat matrici. Pentru a calcula produs de matrici sau determina înmulțirea matriceală online, trebuie să petreci mult timp, în timp ce serverul nostru îl va găsi în câteva secunde produs matrice online din multiplicare două date matrice online. În acest caz, răspunsul la constatare produs de matrici vor fi corecte și cu suficientă acuratețe, chiar dacă numerele la înmulțirea matriceală online va fi irațional. Pe site www.site intrările de caractere sunt permise în elemente matrici, adică produs matrice online poate fi reprezentat în formă simbolică generală cu înmulțirea matriceală online. Este util să verificați răspunsul obținut atunci când rezolvați o problemă pe înmulțirea matriceală online folosind site-ul www.site. La efectuarea unei tranzacții înmulțirea matriceală online trebuie să fii atent și extrem de concentrat atunci când rezolvi o problemă. La rândul său, site-ul nostru vă va ajuta să vă verificați decizia cu privire la subiect înmulțirea matriceală online. Dacă nu aveți timp pentru verificări lungi ale problemelor rezolvate, atunci www.site va fi cu siguranță un instrument convenabil pentru verificare înmulțirea matriceală online.

În primul rând, CARE ar trebui să fie rezultatul înmulțirii a trei matrici? O pisică nu va da naștere unui șoarece. Dacă înmulțirea matricei este fezabilă, atunci rezultatul va fi și o matrice. Hmmm, ei bine, profesorul meu de algebră nu vede cum explic închiderea structurii algebrice în raport cu elementele sale =)

Produsul a trei matrici poate fi calculat în două moduri:

1) găsiți și apoi înmulțiți cu matricea „ce”: ;

2) fie mai întâi găsiți, apoi înmulțiți.

Rezultatele vor coincide cu siguranță, și în teorie această proprietate se numește asociativitate a înmulțirii matriceale:

Exemplul 6

Înmulțiți matrice în două moduri

Algoritm solutiiîn doi pași: găsim produsul a două matrici, apoi din nou găsim produsul a două matrici.

1) Folosiți formula

Acțiunea unu:

Actul doi:

2) Folosiți formula

Acțiunea unu:

Actul doi:

Răspuns:

Prima soluție este, desigur, mai familiară și standard, unde „totul pare să fie în ordine”. Apropo, referitor la comanda. În sarcina luată în considerare, apare adesea iluzia că vorbim despre un fel de permutări ale matricilor. Ei nu sunt aici. Vă reamintesc din nou că În general, MATRICILE NU POT FI PERMANENT PERMANENTE. Deci, în al doilea paragraf, în al doilea pas, efectuăm înmulțirea, dar în niciun caz nu facem . Cu numerele obișnuite, un astfel de număr ar funcționa, dar cu matrice nu ar funcționa.

Proprietatea înmulțirii asociative este adevărată nu numai pentru pătrat, ci și pentru matrici arbitrare - atâta timp cât acestea sunt înmulțite:

Exemplul 7

Aflați produsul a trei matrici

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. În soluția eșantion, calculele sunt efectuate în două moduri, analizează care cale este mai profitabilă și mai scurtă.

Proprietatea de asociativitate a înmulțirii matriceale se aplică și unui număr mai mare de factori.

Acum este momentul să ne întoarcem la puterile matricelor. Pătratul matricei este luat în considerare chiar de la început și este pe ordinea de zi.

Înmulțirea matricei- una dintre operaţiile principale asupra matricelor. Se numește matricea rezultată din operația de înmulțire produs de matrici.

Munca matrice de dimensiuni Matricea de dimensiuni se numește matrice de dimensiuni, ale cărei elemente sunt calculate prin formula

Operația de înmulțire a două matrice este fezabilă numai dacă numărul de coloane din primul factor este egal cu numărul de rânduri din al doilea; în acest caz se spune că forma matricelor convenit. În special, înmulțirea este întotdeauna fezabilă dacă ambii factori sunt matrici pătrate de același ordin.

Găsiți produse matrice ABŞi B.A., Dacă

Şi

Soluție: avem

înapoi la cuprins

(38)87.Ce operații se numesc comutative? Arătați cu exemple că înmulțirea matriceală nu este comutativă.

Commutativity = Commutativity.

Numerele obișnuite pot fi rearanjate: , iar matricele în general nu fac naveta: .

Ce matrice pot fi multiplicate?

Pentru ca o matrice să fie înmulțită cu o matrice, este necesar astfel încât numărul coloanelor matriceiegal cu numărul de rânduri ale matricei.

Exemplu: Este posibil să înmulțim o matrice cu o matrice?

Aceasta înseamnă că datele matricei pot fi multiplicate.

Dar dacă matricele sunt rearanjate, atunci, în acest caz, înmulțirea nu mai este posibilă!

Prin urmare, înmulțirea nu este posibilă:

Nu este atât de rar să întâlniți sarcini cu un truc, atunci când elevului i se cere să înmulțească matrici, a căror înmulțire este evident imposibilă.

Trebuie remarcat faptul că în unele cazuri este posibilă multiplicarea matricelor în ambele moduri. De exemplu, pentru matrice, și înmulțirea și înmulțirea sunt posibile

înapoi la cuprins

(39)88.Ce sunt matricele identitare și inverse? Cum se construiește matricea inversă (conform Gaussian)?

Fie a o matrice pătrată de ordinul n. Matricea sa inversă este o matrice A -1 astfel încât A -1 *A=E (aici A -1 și E sunt matrice pătrate de același ordin, cu E fiind matricea de identitate).

Această definiție nu implică deloc că există o matrice inversă pentru orice matrice A.

(0 0) – această linie duce la faptul că primul rând al produsului acestei matrice de oricare alta este format doar din zerouri (nu este cazul în matricea de identitate)

Găsirea matricei inverse folosind metoda Gaussiană.