ARHIMEDS(ap 287-212 BC), lielākais sengrieķu matemātiķis un mehāniķis.

Dzīve.

Arhimēds, kura dzimtene ir Grieķijas pilsēta Sirakūzas Sicīlijas salā, bija tuvs karaļa Hiero līdzgaitnieks, kurš valdīja pilsētu (un, iespējams, viņa radinieku). Varbūt kādu laiku Arhimēds dzīvoja Aleksandrijā - slavenajā zinātniskais centrs tajā laikā. Tas, ka viņš vēstījumus par saviem atklājumiem adresējis ar Aleksandriju saistītiem matemātiķiem, piemēram, Eratostenam, apstiprina uzskatu, ka Arhimēds bija viens no aktīvajiem Eiklida pēctečiem, kas attīstīja Aleksandrijas skolas matemātikas tradīcijas. Atgriezies Sirakūzās, Arhimēds palika tur līdz savai nāvei, kad romieši ieņēma Sirakūzas 212. gadā pirms mūsu ēras.

Arhimēda dzimšanas datums (287. g. p.m.ē.) noteikts, pamatojoties uz 12. gadsimta bizantiešu vēsturnieka liecībām. Džons Cecs, saskaņā ar kuru viņš "dzīvoja septiņdesmit piecus gadus". Spilgtās viņa nāves bildes, ko aprakstījuši Līvijs, Plutarhs un Valērijs Maksims, atšķiras tikai detaļās, taču piekrīt, ka Arhimēdu, kurš dziļās domās nodarbojās ar ģeometriskām konstrukcijām, līdz nāvei uzlauza romiešu karavīrs. Turklāt Plutarhs ziņo, ka Arhimēds "tiek teikts, ka viņš novēlējis saviem radiniekiem un draugiem, lai viņi uz viņa kapa uzstādītu cilindru, kas aprakstīts ap lodi, norādot aprakstītā ķermeņa tilpuma attiecību pret uzrakstu", kas bija viens no viņa slavenākie atklājumi. Cicerons, kurš 75.g.pmē. Es biju Sicīlijā, es atradu kapakmeni, kas skatījās no ērkšķainajiem krūmiem, un uz tā bija bumba un cilindrs.

Arhimēda slepkavība, ko veica romieši.

Leģendas par Arhimēdu.

Arhimēda vārds mūsdienās saistās galvenokārt ar viņa ievērojamajiem matemātikas darbiem, taču senatnē viņš kļuva slavens arī kā dažādu mehānisko ierīču un instrumentu izgudrotājs, par ko vēsta vēlākā laikmetā dzīvojuši autori. Tiesa, Arhimēda autorība daudzos gadījumos tiek apšaubīta. Tātad tiek uzskatīts, ka Arhimēds bija tā sauktā izgudrotājs. Arhimēda skrūve, kas kalpoja ūdens pacelšanai uz laukiem un bija kuģu un gaisa dzenskrūvju prototips, lai gan, acīmredzot, šāda veida ierīce tika izmantota agrāk. Ko saka Plutarhs Marsela dzīves. Tajā teikts, ka, atbildot uz karaļa Hiero lūgumu parādīt, kā smagu kravu var pārvietot ar nelielu spēku, Arhimēds “paņēma trīsmastu kravas kuģi, kuru iepriekš daudzi cilvēki ar lielām grūtībām bija izvilkuši krastā, iesēdināja uz tā daudz cilvēku. un iekrauj to ar parastu kravu. Pēc tam Arhimēds apsēdās no attāluma un sāka bez piepūles vilkt pāri skriemeli izmesto virvi, liekot kuģim viegli un gludi, it kā uz ūdens, “peldēt” viņam pretī. Tieši saistībā ar šo stāstu Plutarhs citē Arhimēda piezīmi, ka "ja būtu cita Zeme, viņš pārvietotu mūsējo, pārceļoties uz to" (slavenāku šī apgalvojuma versiju ziņo Aleksandrijas Paps: "Dod man kur stāvēt, un es pārvietošu Zemi "). Apšaubāms ir arī Vitruvija stāsta autentiskums, ka karalis Hiero esot uzdevis Arhimēdam pārbaudīt, vai viņa kronis nav izgatavots no tīra zelta, vai juvelieris piesavinājies daļu zelta, sakausējot to ar sudrabu. “Domādams par šo problēmu, Arhimēds reiz iegāja pirtī un tur, ienirstot vannā, pamanīja, ka pārplūstošais ūdens daudzums ir vienāds ar viņa ķermeņa izspiestā ūdens daudzumu. Šis novērojums mudināja Arhimēdu atrisināt vainaga problēmu, un viņš, ne mirkli nevilcinoties, izlēca no vannas un, it kā būtu kails, metās mājās, pilnā balsī kliedzot par savu atklājumu: “Eureka! Eureka!" (Grieķu valodā: “Atrasts! Atrasts!”).”

Uzticamāka ir Pappusa liecība, ka darbs piederēja Arhimēdam Par ražošanu[debesu]sfēras, kas, iespējams, bija par planetārija modeļa izveidi, kas atveidoja Saules, Mēness un planētu redzamās kustības, kā arī, iespējams, zvaigžņu globusu, kas attēlo zvaigznājus. Jebkurā gadījumā Cicerons ziņo, ka abus instrumentus Marsels sagūstījis kā trofejas Sirakūzās. Visbeidzot Polibijs, Līvijs, Plutarhs un Cecs ziņo par grandiozajām ballistiskajām un citām mašīnām, kuras uzbūvēja Arhimēds, lai atvairītu romiešus.

Matemātiskie darbi.

Saglabājušos Arhimēda matemātiskos darbus var iedalīt trīs grupās. Pirmās grupas darbi galvenokārt ir veltīti teorēmu pierādīšanai par līklīniju figūru vai ķermeņu laukumiem un tilpumiem. Tas ietver traktātus Par bumbu un cilindru, Par apļa mērīšanu, Par konoīdiem un sferoīdiem, Par spirālēm Un Par parabolas kvadrātu. Otro grupu veido statisko un hidrostatisko problēmu ģeometriskās analīzes darbi: Par plaknes figūru līdzsvaru, Par peldošiem ķermeņiem. Trešajā grupā ietilpst dažādi matemātiskie darbi: Par teorēmu mehāniskās pierādīšanas metodi, Smilšu graudu aprēķins, Vērša problēma un saglabājies tikai fragmentos Vēders. Ir vēl viens darbs - Grāmata par pieņēmumiem(vai Lemmu grāmata), saglabāts tikai tulkojumā arābu valodā. Lai gan tas tiek piedēvēts Arhimēdam, pašreizējā formā tas nepārprotami ir cita autora (jo tekstā ir atsauces uz Arhimēdu), taču tas var sniegt pierādījumus, kas attiecas uz Arhimēdu. Ir pazuduši vairāki citi senie grieķu un arābu matemātiķu darbi, kurus Arhimēdam piedēvējuši.

Pie mums nonākušie darbi nav saglabājuši savu sākotnējo formu. Tātad, acīmredzot, traktāta I grāmata Par plaknes figūru līdzsvaru ir fragments no lielāka darba Mehāniskie elementi; turklāt tā ievērojami atšķiras no II grāmatas, kas nepārprotami tika uzrakstīta vēlāk. Pierādījums, ko savā esejā minēja Arhimēds Par bumbu un cilindru, tika zaudēts līdz 2. gs. AD Darbs Par apļa mērīšanuļoti atšķiras no sākotnējās versijas, un II teikums tajā, visticamāk, ir aizgūts no cita darba. Nosaukums Par parabolas kvadrātu Diez vai tas varēja piederēt pašam Arhimēdam, jo ​​viņa laikā vārds “parabola” vēl netika lietots kā viena no konusveida griezumiem. Tādu darbu teksti kā Par bumbu un cilindru Un Par apļa mērīšanu, visticamāk, tika veiktas izmaiņas tulkošanas procesā no doriešu-sicīliešu valodas uz Atikas dialektu.

Pierādot teorēmas par figūru laukumiem un ķermeņu tilpumiem, ko ierobežo izliektas līnijas vai virsmas, Arhimēds pastāvīgi izmanto metodi, kas pazīstama kā "izsmelšanas metode". To, iespējams, izgudroja Eudokss (darbības ziedu laiki ap 370. gadu pirms mūsu ēras) - vismaz tā domāja pats Arhimēds. Arī Eiklīds ik pa laikam ķeras pie šīs metodes XII grāmatā. Sākās. Pierādījums ar izsmelšanu būtībā ir netiešs pierādījums ar pretrunu. Citiem vārdiem sakot, apgalvojums “A ir vienāds ar B” tiek uzskatīts par patiesu, ja pieņem pretēju apgalvojumu “A nav vienāds ar B”, noved pie pretrunas. Izsmelšanas metodes galvenā ideja ir tāda, ka figūrā, kuras laukums vai tilpums ir jāatrod, tiek ierakstītas (vai aprakstītas ap to, vai ierakstītas un aprakstītas tajā pašā laikā) pareizās figūras. Ierakstīto vai aprakstīto figūru laukums vai tilpums tiek palielināts vai samazināts, līdz starpība starp meklējamo laukumu vai tilpumu un ierakstītās figūras laukumu vai tilpumu kļūst mazāka par doto vērtību. Izmantojot izdevību dažādas iespējas izsmelšanas metodi, Arhimēds spēja pierādīt dažādas teorēmas, kas mūsdienu apzīmējumos ir ekvivalentas attiecībām S = 4p r 2 bumbiņas virsmas laukumam, V = 4/3p r 3 tā tilpumam, teorēma, ka parabolas segmenta laukums ir vienāds ar 4/3 trijstūra laukuma ar tādu pašu pamatni un augstumu kā segmentam, kā arī daudzas citas interesantas teorēmas.

Ir skaidrs, ka, izmantojot izsmelšanas metodi (kas vairāk ir pierādīšanas, nevis jaunu attiecību atklāšanas metode), Arhimēdam noteikti bija kāda cita metode, kas ļautu viņam atrast formulas, kas veido viņa pierādīto teorēmu saturu. . Viena no formulu atrašanas metodēm ir atklāta viņa traktātā Par teorēmu pierādīšanas mehānisko metodi. Traktāts iezīmē mehānisko metodi, kurā Arhimēds garīgi līdzsvaroja ģeometriskas figūras, it kā guļ uz svariem. Līdzsvarojis figūru ar nezināmu laukumu vai tilpumu ar figūru ar zināmu laukumu vai tilpumu, Arhimēds atzīmēja relatīvos attālumus no šo divu figūru smaguma centriem līdz līdzsvara stara piekares punktam un saskaņā ar likumu sviru, atrada vajadzīgo laukumu vai tilpumu, izsakot tos attiecīgi caur zināmās figūras laukumu vai tilpumu. Viens no izsmelšanas metodē izmantotajiem pamatpieņēmumiem ir tāds, ka laukums tiek uzskatīts par ārkārtīgi liela “materiālu” līniju kopuma summu, kas atrodas cieši blakus viena otrai, un tilpums tiek uzskatīts par plaknes sekciju summu, kas ir arī cieši blakus viens otram. Arhimēds uzskatīja, ka viņa mehāniskajai metodei nav demonstratīvas vērtības, bet tā ļāva iegūt provizorisku rezultātu, ko vēlāk varēja pierādīt ar stingrākām ģeometriskām metodēm.

Lai gan Arhimēds galvenokārt bija ģeometrs, viņš veica vairākas interesantas ekskursijas skaitlisko aprēķinu jomā, pat ja viņa izmantotās metodes nebija pilnīgi skaidras. Esejas III teikumā Par apļa mērīšanu viņš konstatēja, ka skaitlis p ir mazāks un lielāks par . No pierādījuma ir skaidrs, ka viņam bija algoritms aptuveno vērtību iegūšanai kvadrātsaknes no liela skaita. Interesanti atzīmēt, ka viņš sniedz arī aptuvenu skaitļa aplēsi, proti: . Darbā, kas pazīstams kā Smilšu graudu aprēķins, Arhimēds nosaka oriģinālu sistēmu lielu skaitļu attēlošanai, kas ļāva viņam pierakstīt skaitli , kur pats R vienāds ar . Viņam šī sistēma bija vajadzīga, lai aprēķinātu, cik smilšu graudu būs nepieciešams, lai piepildītu Visumu.

Darbā Par spirāli Arhimēds pētīja ts īpašības. Arhimēda spirāle, pierakstīja spirāles punktu raksturīgo īpašību polārajās koordinātēs, deva šai spirālei pieskares konstrukciju, kā arī noteica tās laukumu.

Fizikas vēsturē Arhimēds ir pazīstams kā viens no ģeometrijas veiksmīgas pielietošanas statikā un hidrostatikā pamatlicējiem. Esejas I grāmatā Par plaknes figūru līdzsvaru viņš sniedz tīri ģeometrisku sviras likuma atvasinājumu. Būtībā viņa pierādījums ir balstīts uz sviras vispārējā gadījuma samazināšanu ar rokām, kas ir apgriezti proporcionālas tiem pieliktajiem spēkiem, līdz īpašajam gadījumam, kad svira ir vienāda ar vienādiem spēkiem. Viss pierādījums no sākuma līdz beigām ir caurstrāvots ar ģeometriskās simetrijas ideju.

Savā esejā Par peldošiem ķermeņiem Arhimēds izmantoja līdzīgu metodi hidrostatikas problēmu risināšanai. Balstoties uz diviem ģeometriskā valodā formulētiem pieņēmumiem, Arhimēds pierāda teorēmas (priekšlikumus) par ķermeņu iegremdētās daļas izmēru un ķermeņu svaru šķidrumā ar lielāku un mazāku blīvumu nekā pašam ķermenim. VII teikumā, kas runā par ķermeņiem, kas blīvāki par šķidrumu, t.s Arhimēda likums, saskaņā ar kuru "jebkurš ķermenis, kas iegremdēts šķidrumā, salīdzinājumā ar tā svaru gaisā zaudē tikpat daudz, cik tas ir izspiests šķidrumam". II grāmata satur smalkus apsvērumus par paraboloīda peldošo segmentu stabilitāti.

Arhimēda ietekme.

Atšķirībā no Eiklida, Arhimēdu senatnē atcerējās tikai reizēm. Ja mēs kaut ko zinām par viņa darbiem, tad tikai pateicoties interesei, kāda tiem bija par Konstantinopoli 6.-9.gs. 5. gadsimta beigās dzimušais matemātiķis Eitokijs komentēja vismaz trīs Arhimēda darbus, šķietami tolaik slavenākos: Par bumbu un cilindru, Par apļa mērīšanu Un Par plaknes figūru līdzsvaru. Arhimēda darbus un Eutocia komentārus pētīja un mācīja matemātiķi Anthimius of Trallus un Isidore of Miletus, Sv. katedrāles arhitekti. Sofija, kas uzcelta Konstantinopolē imperatora Justiniāna valdīšanas laikā. Matemātikas mācīšanas reforma, kas tika veikta Konstantinopolē 9. gs. Šķiet, ka Leo no Saloniku ir devis ieguldījumu Arhimēda darbu kolekcijā. Tad viņš kļuva pazīstams musulmaņu matemātiķiem. Tagad mēs redzam, ka arābu autoriem pietrūka daži no svarīgākajiem Arhimēda darbiem, piemēram, Par parabolas kvadrātu, Par spirālēm, Par konoīdiem un sferoīdiem, Smilšu graudu aprēķins Un Par metodi. Bet kopumā arābi apguva citos Arhimēda darbos izklāstītās metodes un bieži tās lieliski izmantoja.

Viduslaiku latīņu valodā runājošie zinātnieki pirmo reizi par Arhimēdu dzirdēja 12. gadsimtā, kad parādījās divi viņa darba tulkojumi no arābu valodas latīņu valodā. Par apļa mērīšanu. Labākais tulkojums bija slavenā tulkotāja Džerara no Kremonas tulkojums, un tas kalpoja par pamatu daudzām ekspozīcijām un paplašinātām versijām nākamo trīs gadsimtu laikā. Džerardam piederēja arī traktāta tulkojums Mozus dēlu vārdi 9. gadsimta arābu matemātiķis. Banu Musa, kas citēja teorēmas no Arhimēda darba Par bumbu un cilindru ar pierādījumu, kas līdzīgs Arhimēda sniegtajam. 13. gadsimta sākumā. Džons de Tinemuets tulkoja darbu Par izliektām virsmām, kas liecina, ka autors bija pazīstams ar citu Arhimēda darbu - Par bumbu un cilindru. 1269. gadā dominikānis Viljams no Mērbekas no sengrieķu valodas tulkoja visu Arhimēda darbu korpusu, izņemot Smilšu graudu aprēķins, Metode un īsas esejas Vērša problēma Un Vēders. Tulkošanai Viljams no Mērbekas izmantoja divus no trim mums zināmajiem bizantiešu manuskriptiem (manuskripti A un B). Mēs varam izsekot visu trīs vēsturei. Pirmais no tiem (manuskripts A), kas ir visu renesanses laikā izgatavoto kopiju avots, šķiet, ir pazudis ap 1544. gadu. Otrais manuskripts (Manuscript B), kas satur Arhimēda darbus par mehāniku, tostarp Par peldošiem ķermeņiem, pazuda 14. gadsimtā. No tā netika izgatavotas nekādas kopijas. Trešais manuskripts (manuskripts C) bija zināms tikai 1899. gadā, un to sāka pētīt tikai 1906. gadā. Tieši C manuskripts kļuva par vērtīgu atradumu, jo tajā bija lieliska eseja. Par metodi, agrāk zināms tikai no fragmentāriem fragmentiem, un sengrieķu tekstu Par peldošiem ķermeņiem, pazuda pēc pazušanas 14. gadsimtā. manuskripts B, kuru tulkojumā latīņu valodā izmantoja Viljams no Mērbekas. Šis tulkojums bija apgrozībā 14. gadsimtā. Parīzē. To izmantoja arī Jēkabs no Kremonas, kad 15. gadsimta vidū. viņš uzņēmās jauns tulkojums Arhimēda darbu korpuss, kas iekļauts manuskriptā A (t.i., izņemot darbu Par peldošiem ķermeņiem). Tieši šis tulkojums, nedaudz koriģēts Regiomontanus, tika publicēts 1644. gadā pirmajā Arhimēda darbu grieķu izdevumā, lai gan daži Viljama no Mērbekas tulkojumi tika publicēti 1501. un 1543. gadā. Pēc 1544. gada Arhimēda slava sāka pieaugt, un viņa metodes būtiski ietekmēja arī tādus zinātniekus kā Saimons Stīvins un Galileo tādējādi, kaut arī netieši, ietekmēja mūsdienu mehānikas veidošanos.

Arhimēds, kura dzimtene ir Grieķijas pilsēta Sirakūzas Sicīlijas salā, bija tuvs karaļa Hiero līdzgaitnieks, kurš valdīja pilsētu (un, iespējams, viņa radinieku). Varbūt Arhimēds kādu laiku dzīvoja Aleksandrijā, tā laika slavenajā zinātnes centrā. Tas, ka viņš vēstījumus par saviem atklājumiem adresējis matemātiķiem, kas saistīti ar Aleksandriju, piemēram, Eratostenam, apstiprina uzskatu, ka Arhimēds bija viens no aktīvajiem Eiklida pēctečiem, kurš attīstīja Aleksandrijas skolas matemātikas tradīcijas. Atgriezies Sirakūzās, Arhimēds palika tur līdz savai nāvei, kad romieši ieņēma Sirakūzas 212. gadā pirms mūsu ēras.

Arhimēda dzimšanas datums (287. g. p.m.ē.) noteikts, pamatojoties uz 12. gadsimta bizantiešu vēsturnieka liecībām. Džons Cecs, saskaņā ar kuru viņš "dzīvoja septiņdesmit piecus gadus". Līvija, Plutarha, Valērija Maksima un Cets spilgtās nāves bildes atšķiras tikai detaļās, taču piekrīt, ka ģeometriskās konstrukcijās iegremdēto Arhimēdu līdz nāvei uzlauza romiešu karavīrs. Turklāt Plutarhs ziņo, ka Arhimēds "tiek teikts, ka viņš novēlējis saviem radiniekiem un draugiem, lai viņi uz viņa kapa uzstādītu cilindru, kas aprakstīts ap lodi, norādot aprakstītā ķermeņa tilpuma attiecību pret uzrakstu", kas bija viens no viņa slavenākie atklājumi. Cicerons, kurš 75.g.pmē. Biju Sicīlijā, atklāju no ērkšķaina krūma apakšas lūrošu kapakmeni un uz tā - bumbiņu un cilindru.

Arhimēda leģendas . Lai gan Arhimēda zinātnieka slava galvenokārt ir saistīta ar viņa ievērojamajiem matemātikas darbiem, viņa reputācija senatnē balstījās arī uz dažāda veida mehāniskajām ierīcēm un instrumentiem, kas viņam tika piedēvēti, kā to bieži ziņo vēlākā laikmetā dzīvojušie autori. Tātad tiek uzskatīts, ka Arhimēds bija tā sauktā izgudrotājs. Arhimēda skrūve, kas kalpoja ūdens pacelšanai uz laukiem un bija kuģu un gaisa dzenskrūvju prototips, lai gan, acīmredzot, šāda veida ierīce tika izmantota agrāk. Ko saka Plutarhs Marsela dzīves. Tajā teikts, ka, atbildot uz karaļa Hiero lūgumu parādīt, kā smagu kravu var pārvietot ar nelielu spēku, Arhimēds “paņēma trīsmastu kravas kuģi, kuru iepriekš daudzi cilvēki ar lielām grūtībām bija izvilkuši krastā, iesēdināja uz tā daudz cilvēku. un iekrauj to ar parastu kravu. Pēc tam Arhimēds apsēdās no attāluma un sāka viegli kustināt skriemeļa galu uz priekšu un atpakaļ, liekot kuģim viegli un gludi virzīties viņam pretī, it kā uz ūdens virsmas. Tieši saistībā ar šo stāstu Plutarhs citē Arhimēda piezīmi, ka "ja būtu cita zeme, viņš pārvietotu mūsējo, pārceļoties uz to" (slavenāku šī apgalvojuma versiju ziņo Aleksandrijas Paps: "Dod man kur stāvēt, un es pārvietošu Zemi "). Apšaubāms ir arī Vitruvija stāsta autentiskums, ka karalis Hiero esot uzdevis Arhimēdam pārbaudīt, vai viņa kronis nav izgatavots no tīra zelta, vai juvelieris piesavinājies daļu zelta, sakausējot to ar sudrabu. “Domādams par šo problēmu, Arhimēds reiz iegāja pirtī un tur, apsēžoties vannā, pamanīja, ka pārplūstošais ūdens daudzums ir vienāds ar viņa ķermeņa izspiestā ūdens daudzumu. Šis novērojums mudināja Arhimēdu atrisināt vainaga problēmu, un viņš, ne mirkli nevilcinoties, izlēca no vannas un, it kā būtu kails, metās mājās, pilnā balsī kliedzot par savu atklājumu: “Eureka! Eureka!" (Grieķu: “Atrasts! Atrasts!”).

Uzticamāka ir Pappusa liecība, ka darbs piederēja Arhimēdam Par ražošanu[debesu]sfēras, kas, iespējams, bija par planetārija modeļa izveidi, kas atveidoja Saules, Mēness un planētu redzamās kustības, kā arī, iespējams, zvaigžņu globusu, kas attēlo zvaigznājus. Jebkurā gadījumā Cicerons ziņo, ka abus instrumentus Marsels sagūstījis kā trofejas Sirakūzās. Visbeidzot, Polibijs, Līvijs, Plutarhs un Cecs ziņo par muļķīgām ballistiskām un citām mašīnām, kuras uzbūvējis Arhimēds, lai atvairītu romiešus.

Matemātiskie darbi. Saglabājušos Arhimēda matemātiskos darbus var iedalīt trīs grupās. Pirmās grupas darbi galvenokārt ir veltīti teorēmu pierādīšanai par līklīniju figūru vai ķermeņu laukumiem un tilpumiem. Tas ietver traktātus Par bumbu un cilindru, Par apļa mērīšanu, Par konoīdiem un sferoīdiem, Par spirālēm Un Par parabolas kvadrātu. Otro grupu veido statisko un hidrostatisko problēmu ģeometriskās analīzes darbi: Par plaknes figūru līdzsvaru, Par peldošiem ķermeņiem. Trešajā grupā ietilpst dažādi matemātiskie darbi: Par teorēmu mehāniskās pierādīšanas metodi, Smilšu graudu aprēķins, Vērša problēma un saglabājies tikai fragmentos Vēders. Ir vēl viens darbs - Grāmata par pieņēmumiem(vai Lemmu grāmata), saglabāts tikai tulkojumā arābu valodā. Lai gan tas tiek piedēvēts Arhimēdam, pašreizējā formā tas nepārprotami ir cita autora (jo tekstā ir atsauces uz Arhimēdu), taču tas var sniegt pierādījumus, kas attiecas uz Arhimēdu. Ir pazuduši vairāki citi senie grieķu un arābu matemātiķu darbi, kurus Arhimēdam piedēvējuši.

Pie mums nonākušie darbi nav saglabājuši savu sākotnējo formu. Tātad, acīmredzot, traktāta I grāmata Par plaknes figūru līdzsvaru ir fragments no lielāka darba Mehāniskie elementi; turklāt tā ievērojami atšķiras no II grāmatas, kas nepārprotami tika uzrakstīta vēlāk. Pierādījums, ko savā esejā minēja Arhimēds Par bumbu un cilindru, tika zaudēts līdz 2. gs. AD Darbs Par apļa mērīšanuļoti atšķiras no sākotnējās versijas, un II teikums tajā, visticamāk, ir aizgūts no cita darba. Nosaukums Par parabolas kvadrātu Diez vai tas varēja piederēt pašam Arhimēdam, jo ​​viņa laikā vārds “parabola” vēl netika lietots kā viena no konusveida griezumiem. Tādu darbu teksti kā Par bumbu un cilindru Un Par apļa mērīšanu, visticamāk, tika veiktas izmaiņas tulkošanas procesā no doriešu-sicīliešu valodas uz Atikas dialektu.

Pierādot teorēmas par figūru laukumiem un ķermeņu tilpumiem, ko ierobežo izliektas līnijas vai virsmas, Arhimēds pastāvīgi izmanto metodi, kas pazīstama kā "izsmelšanas metode". To, iespējams, izgudroja Eudokss (darbības ziedu laiki ap 370. gadu pirms mūsu ēras) - vismaz tā domāja pats Arhimēds. Arī Eiklīds ik pa laikam ķeras pie šīs metodes XII grāmatā. Sākās. Pierādījums ar izsmelšanu būtībā ir netiešs pierādījums ar pretrunu. Citiem vārdiem sakot, ja teorēma ir uzrakstīta relācijas “A ir vienāds ar B” formā, tā tiek uzskatīta par patiesu, ja pretrunas pieņemšana “A nav vienāds ar B” noved pie pretrunas. Izsmelšanas metodes galvenā ideja ir tāda, ka figūrā, kuras laukums vai tilpums ir jāatrod, tiek ierakstītas (vai aprakstītas ap to, vai ierakstītas un aprakstītas tajā pašā laikā) pareizās figūras. Ierakstīto vai aprakstīto figūru laukums vai tilpums tiek palielināts vai samazināts, līdz starpība starp meklējamo laukumu vai tilpumu un ierakstītās figūras laukumu vai tilpumu kļūst mazāka par doto vērtību. Izmantojot dažādus izsmelšanas metodes variantus, Arhimēds spēja pierādīt dažādas teorēmas, kas mūsdienu apzīmējumos ir līdzvērtīgas attiecībām. S = 4pr 2 bumbiņas virsmai, V = 4/3pr 3 tā tilpumam, teorēma, ka parabolas segmenta laukums ir vienāds ar 4/3 trijstūra laukuma ar tādu pašu pamatni un augstumu kā segmentam, kā arī daudzas citas interesantas teorēmas.

Ir skaidrs, ka, izmantojot izsmelšanas metodi (kas vairāk ir pierādīšanas, nevis jaunu attiecību atklāšanas metode), Arhimēdam noteikti bija kāda cita metode, kas ļautu viņam atrast formulas, kas veido viņa pierādīto teorēmu saturu. . Viena no formulu atrašanas metodēm ir atklāta viņa traktātā Par teorēmu pierādīšanas mehānisko metodi. Traktāts iezīmē mehānisku metodi, kurā Arhimēds garīgi līdzsvaroja ģeometriskas figūras, it kā guļot uz svariem. Līdzsvarojis figūru ar nezināmu laukumu vai tilpumu ar figūru ar zināmu laukumu vai tilpumu, Arhimēds atzīmēja relatīvos attālumus no šo divu figūru smaguma centriem līdz līdzsvara stara piekares punktam un saskaņā ar likumu sviru, atrada vajadzīgo laukumu vai tilpumu, izsakot tos attiecīgi caur zināmu skaitļu laukumu vai tilpumu. Viens no pamatpieņēmumiem, ko izmanto izsmelšanas metodē, ir tāds, ka laukums tiek uzskatīts par lineāro segmentu summu, bet tilpums - par plaknes posmu summu. Arhimēds uzskatīja, ka viņa mehāniskajai metodei nebija demonstratīva spēka, bet ļāva viņam atrast provizorisku rezultātu, ko vēlāk varēja pierādīt ar stingrākām ģeometriskām metodēm.

Lai gan Arhimēds galvenokārt bija ģeometrs, viņš veica vairākas interesantas ekskursijas skaitlisko aprēķinu jomā, pat ja viņa izmantotās metodes nebija pilnīgi skaidras. Esejas III teikumā Par apļa mērīšanu viņš konstatēja, ka skaitlis p ir mazāks un lielāks par . No pierādījumiem ir skaidrs, ka viņam bija algoritms lielu skaitļu kvadrātsakņu aptuveno vērtību iegūšanai. Interesanti atzīmēt, ka viņš sniedz arī aptuvenu skaitļa aplēsi, proti: . Darbā, kas pazīstams kā Smilšu graudu aprēķins, Arhimēds nosaka oriģinālu sistēmu lielu skaitļu attēlošanai, kas ļāva viņam pierakstīt skaitli , kur pats R vienāds ar . Viņam šī sistēma bija vajadzīga, lai aprēķinātu, cik smilšu graudu būs nepieciešams, lai piepildītu Visumu.

Darbā Par spirāli Arhimēds pētīja ts īpašības. Arhimēda spirāle, pierakstīja spirāles punktu raksturīgo īpašību polārajās koordinātēs, deva šai spirālei pieskares konstrukciju, kā arī noteica tās laukumu.

Fizikas vēsturē Arhimēds ir pazīstams kā viens no ģeometrijas veiksmīgas pielietošanas statikā un hidrostatikā pamatlicējiem. Esejas I grāmatā Par plaknes figūru līdzsvaru viņš sniedz tīri ģeometrisku sviras likuma atvasinājumu. Būtībā viņa pierādījums ir balstīts uz sviras vispārējā gadījuma samazināšanu ar rokām, kas ir apgriezti proporcionālas tiem pieliktajiem spēkiem, līdz īpašajam gadījumam, kad svira ir vienāda ar vienādiem spēkiem. Viss pierādījums no sākuma līdz beigām ir caurstrāvots ar ģeometriskās simetrijas ideju.

Savā esejā Par peldošiem ķermeņiem Arhimēds izmantoja līdzīgu metodi hidrostatikas problēmu risināšanai. Pamatojoties uz diviem sākotnējiem ģeometriskā valodā formulētiem pieņēmumiem, Arhimēds pierāda teorēmas (priekšlikumus) par ķermeņu iegremdētās daļas izmēru un ķermeņu svaru šķidrumā ar lielāku un mazāku blīvumu nekā pašam ķermenim. VII teikumā, kas runā par ķermeņiem, kas blīvāki par šķidrumu, t.s Arhimēda likums, saskaņā ar kuru "jebkurš ķermenis, kas iegremdēts šķidrumā, salīdzinājumā ar tā svaru gaisā zaudē tikpat daudz, cik tas ir izspiests šķidrumam". II grāmata satur smalkus apsvērumus par paraboloīda peldošo segmentu stabilitāti.

Arhimēda ietekme. Atšķirībā no Eiklida, Arhimēdu senatnē atcerējās tikai reizēm. Ja mēs kaut ko zinām par viņa darbiem, tad tikai pateicoties interesei, kāda tiem bija par Konstantinopoli 6.–9. gadsimtā. 5. gadsimta beigās dzimušais matemātiķis Eitokijs komentēja vismaz trīs Arhimēda darbus, šķietami tolaik slavenākos: Par bumbu un cilindru, Par apļa mērīšanu Un Par plaknes figūru līdzsvaru. Arhimēda darbus un Eutocia komentārus pētīja un mācīja matemātiķi Anthimius of Trallus un Isidore of Miletus, Sv. katedrāles arhitekti. Sofija, kas uzcelta Konstantinopolē imperatora Justiniāna valdīšanas laikā. Matemātikas mācīšanas reforma, kas tika veikta Konstantinopolē 9. gs. Šķiet, ka Leo no Saloniku ir devis ieguldījumu Arhimēda darbu kolekcijā. Tad viņš kļuva pazīstams musulmaņu matemātiķiem. Tagad mēs redzam, ka arābu autoriem pietrūka daži no svarīgākajiem Arhimēda darbiem, piemēram, Par parabolas kvadrātu, Par spirālēm, Par konoīdiem un sferoīdiem, Smilšu graudu aprēķins Un Par metodi. Bet kopumā arābi apguva citos Arhimēda darbos izklāstītās metodes un bieži tās lieliski izmantoja.

Viduslaiku latīņu valodā runājošie zinātnieki pirmo reizi par Arhimēdu dzirdēja 12. gadsimtā, kad parādījās divi viņa darba tulkojumi no arābu valodas latīņu valodā. Par apļa mērīšanu.. Labākais tulkojums piederēja slavenajam tulkotājam Džerardam no Kremonas, un nākamo trīs gadsimtu laikā tas kalpoja par pamatu daudzām ekspozīcijām un paplašinātām versijām. Džerardam piederēja arī traktāta tulkojums Mozus dēlu vārdi 9. gadsimta arābu matemātiķis. Banu Musa, kas citēja teorēmas no Arhimēda darba Par bumbu un cilindru ar pierādījumu, kas līdzīgs Arhimēda sniegtajam. 13. gadsimta sākumā. Džons de Tinemuets tulkoja darbu Par izliektām virsmām, kas liecina, ka autors bija pazīstams ar citu Arhimēda darbu - Par bumbu un cilindru. 1269. gadā dominikānis Viljams no Mērbekas no sengrieķu valodas tulkoja visu Arhimēda darbu korpusu, izņemot Smilšu graudu aprēķins, Metode un īsas esejas Vērša problēma Un Vēders. Tulkošanai Viljams no Mērbekas izmantoja divus no trim mums zināmajiem bizantiešu manuskriptiem (manuskripti A un B). Mēs varam izsekot visu trīs vēsturei. Pirmais no tiem (manuskripts A), kas ir visu renesanses laikā izgatavoto kopiju avots, šķiet, ir pazudis ap 1544. gadu. Otrais manuskripts (Manuscript B), kas satur Arhimēda darbus par mehāniku, tostarp Par peldošiem ķermeņiem, pazuda 14. gadsimtā. No tā netika izgatavotas nekādas kopijas. Trešais manuskripts (manuskripts C) bija zināms tikai 1899. gadā, un to sāka pētīt tikai 1906. gadā. Tieši C manuskripts kļuva par vērtīgu atradumu, jo tajā bija lieliska eseja. Par metodi, agrāk zināms tikai no fragmentāriem fragmentiem, un sengrieķu tekstu Par peldošiem ķermeņiem, pazuda pēc pazušanas 14. gadsimtā. manuskripts B, kuru tulkojumā latīņu valodā izmantoja Viljams no Mērbekas. Šis tulkojums bija apgrozībā 14. gadsimtā. Parīzē. To izmantoja arī Jēkabs no Kremonas, kad 15. gadsimta vidū. viņš veica jaunu A manuskriptā iekļautā Arhimēda darbu korpusa tulkojumu (t.i., izņemot darbu Par peldošiem ķermeņiem). Tieši šis tulkojums, nedaudz koriģēts Regiomontanus, tika publicēts 1644. gadā pirmajā Arhimēda darbu grieķu izdevumā, lai gan daži Viljama no Mērbekas tulkojumi tika publicēti 1501. un 1543. gadā. Pēc 1544. gada Arhimēda slava sāka pieaugt, un viņa metodes būtiski ietekmēja tādus zinātniekus kā Saimons Stīvins un Galileo, un tādējādi, kaut arī netieši, ietekmēja mūsdienu mehānikas veidošanos.

Dabaszinātņu vēsture hellēnisma un Romas impērijas laikmetā Rožanskis Ivans Dmitrijevičs

Arhimēds

Arhimēds senajā zinātnē ieņem unikālu vietu. Šī pozīcija ir definēta kā raksturīgās iezīmes savu personību un zinātniskās darbības virzienu, bet galvenokārt ar to, ka no visiem senajiem domātājiem savā domāšanas veidā, interesēs un centienos viņš bija vistuvāk mūsdienu zinātnieka tipam. Arhimēds sevī apvienoja, no vienas puses, izcilu matemātiķi, kurš iezīmēja principiāli jaunus šīs zinātnes attīstības ceļus, un, no otras puses, ievērojamu inženieri, kurš tehnisko prasmju ziņā pārspēja visus savus priekšgājējus un laikabiedrus. Būtiskākais šajā asociācijā bija tas, ka viņa teorētiskās studijas un viņa inženiertehniskā darbība nepavisam nepārstāvēja divas atsevišķas, nepārklājas interešu jomas; gluži pretēji, viņa zinātnisko darbību lielā mērā stimulēja tā laika tehniskā prakse; no otras puses, viņa mehāniskās konstrukcijas (vismaz kādā daļā) bija pakārtotas viņu nodarbojušo teorētisko problēmu risināšanas vai ilustrācijas uzdevumiem. Kas attiecas uz teorijas un prakses vienotību, tad šajā ziņā Arhimēdam, iespējams, bija tikai viens priekštecis - Milētas Talss, bet tas, kas ar Talu vēl bija sākuma stadijā, Arhimēdā ieguva nobrieduša un pilnasinīga ziedēšanas iezīmes. Neskatoties uz to, Arhimēds nevarēja iziet ārpus senā pasaules tēla rāmjiem, un, neskatoties uz visu tā plašumu, viņam bija raksturīga zināma aprobežotība, kas sakņojas tā laika pasaules skatījumā. No kā tas sastāvēja, parādīs turpmākā prezentācija.

Arhimēds, astronoma Fidija dēls, dzimis Sirakūzās 287. gadā pirms mūsu ēras. e. Iepriekš minētā viņa zinātniskā talanta īpašība parādījās, šķiet, diezgan agri: gūstot tam laikam izcilu matemātisko apmācību, tajā pašā laikā viņš jau no paša sākuma izjuta lielu interesi par dažāda veida tehniskām problēmām. Jau savos pirmajos zinātniskajos darbos viņš šo problēmu risinājumam piegāja no eksaktās (matemātikas) zinātnes pozīcijām.

Viņam ne viss uzreiz izdevās. Herona “Mehānikā”, kas mums ir nonākusi arābu valodā, ir garš izvilkums no Arhimēda darba ar nosaukumu “Atbalstu grāmata”, kas acīmredzot bija viņa pirmais zinātniskais darbs. Šajā darbā Arhimēds atrisina uz vairākiem balstiem balstītas sijas spiediena sadalījuma problēmu. Viņš uzskata, ka daudzbalstu sijas svars katram laidumam ir vienmērīgi sadalīts starp balstiem, kas ierobežo šo laidumu. Tā, piemēram, trīs balstu gadījumā, kas atbalsta siju AC punktos A, B Un AR, Arhimēds izmanto šo atbalstu A AB, par atbalstu AR nospiež pusi no svara saule, un puse no svara spiež uz vidējo balstu AB plus puse no svara Sv. Tādējādi izrādās, ka puse no kopējā sijas svara nospiež vidējo balstu, lai kur tas atrastos. Secinājums ir pilnīgi nepareizs.

Šī un citas Arhimēda kļūdas šajā darbā (ja, protams, pieņemam, ka šīs kļūdas piederēja pašam Arhimēdam, nevis Hēronam, kurš tekstu pārstāstīja) acīmredzot bija izskaidrojamas ar to, ka viņš tobrīd vēl nebija. saprata smaguma centra jēdzienu un nesaprata, ka ķermeņa svaru var uzskatīt par koncentrētu vienā punktā. No otras puses, Arhimēda secinājumu praktiskā pārbaude senajiem cilvēkiem radīja ievērojamas grūtības.

Vairāku balstu sijas apsvēršana noved pie Arhimēda gadījuma, kad stienis balstās uz vienu punktu, t.i.: sviru. Mēs zinām, ka vienā vai otrā veidā svira bija sens līdzeklis smagu priekšmetu celšanai un pārvietošanai. Cilvēki ir izmantojuši sviru kopš neatminamiem laikiem, taču viņi to izmantoja tīri empīriski, neuzdodot jautājumu par to, kas bija šī vienkāršā rīka efektivitātes iemesls. Iepriekš mēs redzējām, ka mēģinājums teorētiski izprast sviras darbību bija ietverts pseidoaristoteliskajā “Mehāniskajās problēmās”. Bet tas bija tikai mēģinājums, kas joprojām ir tālu no patiesi zinātniskas teorijas. Šo teoriju pirmais radīja Arhimēds.

Diemžēl Arhimēda darbs, kurā viņš pirmo reizi izklāstīja sviras teoriju, mūs nav sasniedzis. Iespējams, ka šis konkrētais darbs bija Pappus (???? ??????) piesauktā eseja “Par svirām”. Iespējams arī, ka pirms tā tapis cits darbs - “Par gravitācijas centriem” (????????????), ko Simplicijs piemin komentāros Aristoteļa traktātam “Par debesīm”. Iespējams arī, ka abi šie nosaukumi attiecas uz vienu un to pašu darbu. Vienā vai otrā veidā, pirms Arhimēda sviras teorijas izveides bija izpratne par smaguma centra jēdzienu. Iepriekšējā laikmeta zinātnieki šo jēdzienu nezināja; mēs to neatrodam ne Aristotelī, ne Mehāniskajās problēmās. Tiesa, Herona “Mehānikā” ir šāda noslēpumaina frāze: “Stoiķis Posidonijs deva smaguma centram jeb momentam fizisku skaidrojumu, sakot, ka smaguma centrs jeb moments ir tāds punkts, ka, ja dotā slodze ir apturēta no pēdējā, tas būs pie tā ir sadalīts divās vienādās daļās. Tāpēc Arhimēds un viņa sekotāji mehānikā sīkāk izpētīja šo pozīciju un noteica atšķirību starp balstiekārtas punktu un smaguma centru.

Šī frāze lika dažiem zinātniekiem (Anglijā - T. L. Hīts, šeit - S. Ya. Lurie) apgalvot, ka tā sākotnējā formā smaguma centra jēdzienu formulēja kāds 3. gadsimta sākuma stoiķis. BC e. Pozidonijs, kuru tomēr nevajadzētu jaukt ar slaveno Rodas Pozidoniju, kurš dzīvoja 1. gs. BC e. Taču par tādu stoiķi mēs neko vairāk nezinām. Vienīgais 3. gadsimta sākuma stoiķis. BC, kura vārdu mēs zinām, bija stoiķu skolas dibinātājs Zenons no Kicijas. Daudz saprātīgāk būtu pieņemt, ka Herona tekstā mums ir darīšana ar ierasto neskaidrību izklāsta secībā vēlīnās senatnes autoru vidū, kas rada iespaidu, ka Posidonijs dzīvojis pirms Arhimēda.

Precīzu smaguma centra definīciju sniedz Papp. Nav šaubu, ka šī definīcija pieder pašam Arhimēdam (lai gan Pappus tieši to nenorāda).

"Noteikta ķermeņa smaguma centrs ir noteikts punkts, kas atrodas tā iekšpusē, un kuram ir tāda īpašība, ka, garīgi pakarinot no tā smagu ķermeni, tas paliek miera stāvoklī un saglabā sākotnējo stāvokli."

Izmantojot šo definīciju, Arhimēds varētu formulēt spēka momenta jēdzienu, noteikt sviras līdzsvara nosacījumus un uz tā pamata sniegt sviras skalu teoriju. Kā viņš sākotnēji to darīja un vai izmantoja aksiomātisko metodi, ko izmantoja savos vēlākajos darbos, mēs nezinām. Agrākais no pilnīgajiem Arhimēda darbiem, kas mūs sasnieguši - “Par parabolas kvadrātu” - paredz jau zināmo sviras teoriju.

Arhimēdam nozīmīgs bija ceļojums uz Aleksandriju, kas neapšaubāmi stimulēja viņa turpmāko darbu. Mēs uzskatām par pilnīgi nepārliecinošu I. N. Veselovska pieņēmumu, ka šis ceļojums tika veikts, kad Arhimēds bija jau apmēram piecdesmit gadus vecs, un tikai pēc tam viņš pievērsās tīrās matemātikas uzdevumiem. Nekas neliedz atzīt, ka Arhimēda uzturēšanās Aleksandrijā sakrita ar pirmā pūniešu kara laiku (264–241 p.m.ē.), kurā Sirakūzas nepiedalījās, ieņemot izdevīgu neitrālu stāvokli. Ēģiptes galvaspilsētā Arhimēds satika izcilo Aleksandrijas skolas zinātnieku Kononu, kurš ieņēma galma astronoma amatu karaļa Ptolemaja III Eiergeta vadībā. Konons bija divdesmit gadus vecāks par Arhimēdu; būdams izcils ģeometrs, viņš jauno Sirakūzas iedzīvotāju iepazīstināja ar problēmu loku, kas bija Aleksandrijas matemātiķu uzmanības centrā. Pēc atgriešanās Sirakūzās Arhimēds turpināja uzturēt kontaktus ar Kononu, vēstulēs informējot viņu par viņa notikuma rezultātiem. zinātniskie pētījumi. Diemžēl līdz mums nav nonākuši ne Aleksandrijas laika Arhimēda darbi, ne viņa vēstules Kononam. Kad Konons nomira (apmēram 240.g.pmē.), Arhimēds sāka sarakstīties ar Konona skolnieku Dositeju. Saglabājušās četras Arhimēda vēstules Dozitejam (“Parabolas kvadrāts”, “Uz lodes un cilindra”, “Par konoīdiem un sferoīdiem” un “Par spirālēm”), kuras var pieskaitīt pie svarīgākajiem Arhimēda matemātikas darbiem. sava brieduma perioda: tajos lielākais senatnes zinātnieks paredz mūsdienu integrāļa un diferenciāļa aprēķinu idejas.

Vēl viens Aleksandrijas zinātnieks, ar kuru Arhimēds turpināja uzturēt kontaktus pēc atgriešanās dzimtenē, bija slavenais Kirēnas Eratostens, kurš vēlāk (no 234.g.pmē.) kļuva par Aleksandrijas bibliotēkas vadītāju. Tālāk tiks aplūkota Arhimēda vēstule Eratostenam (tā sauktais “Efods”), kas ir nonākusi līdz mums.

Jāatzīmē, ka, atrodoties Aleksandrijā, Arhimēds nepārtrauca savas inženierijas darbības. Par to liecina Arhimēda izgudrotā mašīna Ēģiptes lauku laistīšanai: tā ir tā sauktā Arhimēda skrūve jeb “gliemezis”, kas vēlāk plaši izplatījās senajā lauksaimniecībā.

Tagad mēs pievēršamies tiem Arhimēda darbiem, kuros viņš izveido saikni starp matemātiku un mehāniku, pierādot tīri matemātiskus apgalvojumus, izmantojot mehāniskas metodes. Šī bija grieķu matemātikai iepriekš nezināma procedūra, kuru pirmo reizi izgudroja Arhimēds: tā kļuva iespējama, pamatojoties uz Arhimēda darbu pie statikas un, galvenokārt, uz sviras teoriju, kurā šī mehānikas joma tika pārveidota par precīza matemātikas zinātne. Vispirms apskatīsim vienu no agrākajiem Arhimēda darbiem, kas mūs sasnieguši (lai gan rakstīšanas laika ziņā tas vēl nebija agrs), proti, “Parabolas kvadratūra”. Kā jau norādīts iepriekš, šis darbs tika uzrakstīts kā vēstule Konona studentam Dozitejam. Lūk, tā sākums: “Arhimēds novēl Dozitejam labklājību! Uzzinot par Konona nāvi, kurš mūsu labā visu darīja draudzības dēļ, un to, ka esi Kononam tuvs un zinošs ģeometrijā, ļoti noskuma par mirušo gan kā draugs, gan kā izcils matemātiķis. Tāpēc mēs nolēmām rakstīt jums, tāpat kā mēs parasti rakstījām Kononam, un nosūtīt dažas ģeometriskās teorēmas, kas iepriekš palika nezināmas, bet tagad esam ieguvušas; tos vispirms atklājām mēs ar mehāniskām metodēm, un pēc tam arī ģeometriski pierādījām... Vispirms iezīmējam pierādīšanai nepieciešamās konusveida griezumu pamatīpašības.”

Parabolu teorijas teorēmas, kuras Arhimēds izmanto šajā darbā, acīmredzot ir pierādījis Eiklīds vai cits, mazāk slavens tā paša laika matemātiķis Aristeass. Abi rakstīja esejas par konisku griezumu īpašībām, kuras mūs nav sasniegušas; Vēlāk viņu iegūtie rezultāti tika iekļauti Pergas (??????) Apollonija slavenajā darbā. Mēs redzam, ka Arhimēds labi pārzināja savu priekšgājēju matemātiskos darbus.

Tālāk mēs atrisinām problēmu, kā atrast segmenta laukumu, ko ierobežo parabola un taisne. Kā redzams no iepriekš minētā citāta, Arhimēds šo problēmu atrisina ar divām metodēm, un viņš uzskata, ka tikai otrā, ģeometriskā, metode atbilst stingras matemātikas prasībām. Bet mūs galvenokārt interesē pirmā, būtībā heiristiskā metode, kuru pats Arhimēds nosauca par mehānisko, jo tā patiešām parāda Arhimēda domāšanai raksturīgo organisko saikni starp matemātiku un mehāniku. Būdams inženieris, Arhimēds padarīja mehāniku par eksakto matemātisko zinātni, bet tajā pašā laikā, būdams matemātiķis, viņš domāja ar attēlu un jēdzienu palīdzību, kas ņemti no mehānikas jomas.

Burtiski neatkārtojot Arhimēdu, mēs izsekosim galvenos posmus paraboliskā segmenta laukuma formulas iegūšanai, izmantojot mehānisko metodi.

Apsveriet parabolisko segmentu, ko ierobežo parabolas gabals??? un segments?? (6. att.). Tiek izvirzīts uzdevums: izteikt šī segmenta laukumu caur tajā ierakstītā trīsstūra laukumu???.

Rīsi. 6. Parabolas laukuma noteikšana ar mehānisko metodi

Parabolas ass

Pieskare parabolai punktā?

Taisna līnija, kas ir paralēla parabolas asij, kas iet caur punktu?.

Taisne, kas iet caur punktu? un parabolas virsotne?, un ??=??,

Taisne, kas ir paralēla parabolas asij, kas iet caur patvaļīgu punktu, kas atrodas uz segmenta??.

Viena no parabolas īpašībām, kas pierādīta konusveida griezumu teorijā, ir:

??/?? = ??/?? vai??/?? = ??/??

no kura, starp citu, izriet:

(tātad ?? ir trijstūra mediāna???). Tālāk:

??/?? = ??/?? = ??/?? = ??/??

Līdz šim ir tīra ģeometrija, bet no šī brīža sākas mehānika. Arhimēds piedāvā iedomāties parabolisko segmentu??? un trīsstūris??? kā divas materiāla plāksnes, kas uzliktas viena uz otru un kuru svaru nosaka to laukums. Mēs uzskatīsim segmentu?0 par bezgalīgi plānu segmenta joslu, vai ne? kā tā pati trīsstūra sloksne. Šo sloksņu svars tiks noteikts pēc to garuma. Pārvietosim sloksni?0 uz punktu? tādā veidā, lai tas ieņemtu pozīciju ??, un tā vidusdaļa (un līdz ar to arī smaguma centrs) sakristu ar punktu ?. Tad vienādojumu (1) var interpretēt kā līdzsvara nosacījumu svirai, kuras rokas ir vienādas?? Un?? un uz kuru galiem piekaras slodzes?? Un??.

Tas attiecas arī uz visām pārējām segmenta svītrām, kas pārklājas??? un trīsstūris???. Pārnesot visas joslas, kas veido segmentu, uz punktu ?, mēs varam secināt, ka kopējais svars paraboliskais segments tiks līdzsvarots ar trīsstūra svaru, ja pieņemsim, ka tā smaguma centrs sakrīt ar mūsu sviras labās rokas galu. Savos iepriekšējos darbos Arhimēds parādīja, ka trīsstūra smaguma centrs sakrīt ar tā mediānu krustpunktu. Lai šis punkts būtu? Tad segmenta un trīsstūra līdzsvara nosacījumu var uzrakstīt šādi:

segmentu svars 2??/svars treug. ??? = segmentu laukums. ???/laukuma trīsstūris ??? = ??/??

No ģeometrijas mēs to zinām?? = 1/3??. Tādējādi·: segmentu laukums. ???/laukuma trīsstūris ??? = ??/??? = 1/3

Trijstūra laukums??? = 1/2 * ?? * ??,

No zīmējuma taču ir skaidrs, ka?? = 2?? = 4??. Rezultātā mēs nonākam pie galīgās atbildes:

segmentu laukums ??? = 4/3 (1/2 * ?? * ??) = 4/3 laukuma. treug. ???

Neskatoties uz mehāniskās metodes stingrības trūkumu, iegūtās attiecības izrādās absolūti precīzas. Neskatoties uz to, traktāta otrajā daļā Arhimēds sniedz otru (ģeometrisko) pierādījumu, kur tāds pats rezultāts tiek iegūts, izmantojot Eudoxus izsmelšanas metodi (7. att.). Tajā pašā laikā Arhimēds norāda, ka pierādīšanas gaitā viņš izmanto šādu pieņēmumu:

"Ja ir divas nevienādas platības, tad nemitīgi pievienojot sev pārpalikumu, par kuru lielāka platība pārsniedz mazāko, var iegūt platību, kas būtu lielāka par jebkuru doto ierobežoto platību."

Rīsi. 7. Parabolas laukuma noteikšana ar “izsmelšanas” metodi

Arhimēds ziņo, ka "šo lemmu izmantoja arī agrākie ģeometri". Acīmredzot viņš domā Eudoksu un Eiklīdu. Eudokss, kurš pirmo reizi un visvispārīgākajā formā (jebkuriem daudzumiem, un ne tikai jomām) formulēja šo nostāju, izmantoja to, lai attīstītu savu attiecību teoriju, kas izklāstīta Eiklida elementu piektajā grāmatā; savukārt Eiklīds to izmantoja, lai pierādītu teorēmas par apļa laukumu un sfēras, piramīdas un konusa tilpumiem (divpadsmitā elementu grāmata). Tādējādi šīs pozīcijas autors patiesībā bija Eudokss, lai gan vēlākajā matemātiskajā literatūrā to sauca par "Arhimēda aksiomu".

Tās pašas problēmas ģeometriskā pierādījuma galvenā ideja ir šāda. Atkal tiek aplūkots paraboliskais segments, kurā ierakstīts trijstūris??? Apzīmēsim šī trīsstūra laukumu ar burtu A un liekam K=4/3 A. Segmenta laukums var būt vienāds ar K, vai nav vienāds K. Pēdējā gadījumā to var būt vai nu vairāk K, vai mazāk K. Arhimēds

parāda, ka abi šie pieņēmumi noved pie absurda. Tas tiek darīts šādi.

Sadalot segmenta pamatni četrās vienādās daļās (2.att.), zīmēsim vertikālos segmentus?? || ?? || ?? un būvēt uz sāniem?? Un?? trīsstūri??? Un???. Nav grūti parādīt (un Arhimēds to dara), ka šo divu trīsstūru kopējā platība būs četras reizes mazāka A. Līdzīgi sadalot ?? astoņās vienādās daļās, balstoties uz segmentiem ??, ??, ?? Un?? četri trīsstūri, kuru kopējā platība būs vienāda ar vienu sešpadsmito daļu A. Turpinot šo procedūru n reizes, mēs atklājam, ka daudzstūra laukums, kas ierakstīts segmentā, kuru no apakšas ierobežo pamatne ?? un augšā ar lauztu līniju, kas sastāv no 2 n+1 segmentiem, tiks izteikta ar segmenta vārdu summu. ģeometriskā progresija

A + A/4 + A/4 2 +… +A/4n

Mēs uzreiz redzam, kad n->? šīs summas ierobežojums būs izteiksme:

A/(1–1/4) =4/3 A =K

Tomēr Arhimēda laikmetā viņi vēl nezināja, kā darboties ar bezgalīgām sērijām, tāpēc Arhimēds aprobežojās ar virknes apsvēršanu ar ierobežotu terminu skaitu un parādīja, ka atšķirība starp K un šīs rindas summa būs vienāda ar vienu trešdaļu no sērijas pēdējā termiņa (t.i., mūsu apzīmējumā 1/3 * A/4n). Ir skaidrs, ka, palielinot sērijas vienumu skaitu, mēs varam samazināt šo starpību par jebkuru iepriekš noteiktu vērtību. No otras puses, šī atšķirība atspoguļo atlikušo mazo segmentu laukumu, ar kuru paraboliskā segmenta laukums???? pārsniedz šajā segmentā ierakstītā daudzstūra laukumu, kas izveidots iepriekš minētajā veidā no secīgi dilstošiem trijstūriem. No tā izriet, ka paraboliskā segmenta laukums ir ????? nevar pārsniegt K ar ierobežotu vērtību, jo tad izrādītos, ka ierakstītā daudzstūra laukums, kas izteikts ar summu (3), varētu kļūt lielāks K, kam, kā mēs redzējām, nevar būt pārtikas. Ir skaidrs, ka K nevar pārsniegt paraboliskā segmenta laukumu???? uz galīgu vērtību, jo tad ierakstītā daudzstūra laukums var kļūt lielāks par laukumu?????, kas arī ir absurds. Tāpēc paraboliskā segmenta laukums???? vienāds ar K= 4/3 A.

Mēs apzināti apstājāmies, lai izskatītu traktātu “Parabolas kvadratūra”, lai parādītu atšķirību starp Arhimēda izmantotajām mehāniskajām un ģeometriskajām pierādīšanas metodēm. Turpmākajās vēstulēs Dozitejam (divi burti “Uz bumbiņas un cilindra”, pēc tam “Uz konoīdiem un sferoīdiem” un “Uz spirālēm”) vairs neatrodam mehānisko metodi, bet ģeometriskā metode tiek ievērojami uzlabota. Proti, atšķirībā no Eudoxus izsmelšanas metodes (kuras piemērs ir Arhimēda izmantotā procedūra “Parabolas kvadrātā”), Arhimēda uzlabotā metode sastāvēja no tā, ka nosakāmais daudzums atradās starp divām integrālām summām, kuru starpība var būt mazāka par jebkuru iepriekš noteiktu daudzumu. Vēlamā vērtība tika atrasta kā abu summu vispārīgā robeža ar neierobežotu terminu skaita pieaugumu, kas bija līdzvērtīga aprēķināšanas problēmai noteikts integrālis. Nosakot bumbiņas virsmu, atrodot paraboloīda un hiperboloīda segmentu tilpumu, kā arī apgriezienu elipsoīdu, Arhimēds faktiski aprēķināja integrāļus:

Izmantojot to pašu metodi, Arhimēds atrisināja arī sarežģītākas problēmas - noteica loku garumus un vairāku izliektu virsmu laukumus.

Grūti pateikt, vai Arhimēds saprata, ka katrā no viņa aplūkotajām problēmām mēs runājām par vienu un to pašu matemātisko jēdzienu - noteikta integrāļa jēdzienu. Jebkurā gadījumā viņam vēl nebija līdzekļu, ko dot vispārīga definīcija neatņemama.

Līdztekus laukumu un tilpumu aprēķināšanas metodēm Arhimēds izstrādāja metodi līknes pieskares noteikšanai, ko var uzskatīt par diferenciālrēķina paredzēšanu, jo patiesībā ir jāatrod atvasinājums. Nez kāpēc šī metode parādās tikai vēstulē "On Spirals", kur to izmanto, lai noteiktu spirāles pieskari? = ?? (tā sauktā Arhimēda spirāle), tomēr Arhimēda argumentācija ir vispārīga un ir piemērojama jebkurai diferencējamai līknei. Arhimēds izmanto to pašu metodi, lai atrastu algebrisko izteiksmju galējās vērtības, kuras var izteikt ģeometrisku līkņu veidā. Jo īpaši, izmantojot mūsdienu terminoloģiju, mēs varam teikt, ka viņš veica pilnīgu pētījumu par noteikta veida kubiskā vienādojuma pozitīvo sakņu esamību. Ārkārtējo vērtību noteikšanas problēmu Arhimēds samazina līdz problēmai, kā atrast attiecīgās līknes pieskares.

Arhimēda matemātiskajām metodēm bija milzīga ietekme uz mūsdienu matemātikas attīstību. Pieminēsim tādu 17.gadsimta matemātiķu darbus kā Luka Valerio (“Trīs grāmatas par smaguma centru”, 1604), Gregorijs Senvinsents (“Ģeometriskais darbs par riņķa kvadrātu un konusa griezumiem”, izdots g. 1647), Pols Guldins (četras grāmatas “Par smaguma centru”, 1635–1641), Bonaventura Cavalieri (“Ģeometrija izstrādāta jaunā veidā ar nedalāma nepārtrauktības palīdzību”, 1635; kā arī šī darba turpinājums - "Seši ģeometriskie pētījumi", 1647), Evangelista Torricelli ("Ģeometriskie darbi", 1644) un citi. Visos šajos darbos tika izmantotas un izstrādātas procedūras, ko līdzīgu Arhimēda problēmu risināšanai izmantoja, un tādējādi sagatavoja lielo revolūciju matemātikā, kas izteikta bezgalīgi mazas analīzes radīšanā Ņūtona un Leibnica darbos. Var tikai piekrist I. N. Veselovskim, kurš Arhimēdu nosauca par "17. gadsimta vadošo matemātiķi".

Pāreja uz tīri ģeometriskiem pierādījumiem nenozīmēja, ka Arhimēds pārstāja atpazīt uz mehāniskām analoģijām balstītas metodes heiristisko vērtību. Tas skaidri izriet no viņa vēlīnā, salīdzinoši nesen atklātā darba, kas saņēma nosaukumu “Efods” (tā pilns nosaukums grieķu valodā ir: ???? ??? ????????? ????????? ? ??????????? Šī darba rokrakstu vienā no Jeruzalemes klosteriem atklāja Sanktpēterburgas universitātes privātais asociētais profesors, pēc tautības grieķis Papadopuls Keramevs, kurš redzēja, ka zem kāda garīga satura tekstiem uz pergamenta ir cits, daudz. vecāks teksts. Šis palimpsests tika rūpīgi pētīts 1906.–1908. slavenais dāņu filologs I. L. Heibergs, kurš konstatēja, ka oriģināltekstā ir būtiska daļa no traktāta “Par peldošiem ķermeņiem”, kā arī “Efods”, kas agrāk bija zināms tikai no atsevišķiem citātiem Herona “Metrikā”. Šāda ievērojama pergamenta atklāšana un lasīšana neapšaubāmi ir viens no nozīmīgākajiem mūsu gadsimta klasiskās filoloģijas atklājumiem.

Efods ir uzrakstīts Arhimēda vēstules veidā Eratostenam. Tajā Arhimēds sniedz veselu virkni teorēmu, kuru pierādījumus viņš pirmo reizi atrada ar mehānisku metodi (starp tiem, starp citu, ir arī teorēma par parabolas kvadrātu). Vēstules ievaddaļā Arhimēds par to raksta šādi: “Zinot, ka esat ... izglītots cilvēks un pamatoti ieņemat izcilu vietu filozofijā un ka dažkārt varat novērtēt arī matemātikas teoriju, es uzskatīju par nepieciešamu. ... ieskicēt jums kādu īpašu metodi, ar kuras palīdzību jūs ar mehānikas palīdzību varēsiet atrast dažas matemātiskas teorēmas. Esmu pārliecināts, ka šī metode jums būs ne mazāk noderīga, lai pierādītu pašas teorēmas. Patiešām, daļa no tā, ko iepriekš redzēju ar mehānikas palīdzību, vēlāk tika pierādīta arī ģeometriski, jo pārbaude ar šīs metodes palīdzību vēl nav pierādījums, bet izmantojot šo metodi, lai iegūtu kādu priekšstatu par to, kas ir tiek pētīts, un tad atrast pašu pierādījumu ir daudz ērtāk nekā veikt pētījumu, neko nezinot. Tāpēc attiecībā uz tām teorēmām par konusu un piramīdu, kurām Eudokss pirmais atrada pierādījumu, proti, ka katrs konuss veido trešo cilindra daļu, bet piramīda - prizmas trešo daļu ar tādu pašu pamatni un vienāds augums, ievērojamu goda daļu atvēlēšu Demokritam, kurš pirmais pauda šo nostāju attiecībā uz minētajiem skaitļiem, kaut arī bez pierādījumiem. Un mums gadījās atrast teorēmas, kas tagad publicētas, izmantojot to pašu metodi kā iepriekšējās; Tāpēc nolēmu uzrakstīt par šo metodi un to publiskot, no vienas puses, lai mani iepriekšējie pieminējumi par to nepaliktu tukša frāze, no otras puses, jo esmu pārliecināts, ka tā var dot ievērojamu labumu matemātikā. ; Pieļauju, ka daži mūsdienu vai topošie matemātiķi, izmantojot norādīto metodi, varēs atrast citas teorēmas, kas mums vēl nav ienākušas prātā.

Ar teorētisko mehāniku tieši saistīts Arhimēda traktāts “Par plaknes figūru līdzsvaru” (???? ????????? ??????????). Tas sastāv no divām daļām. Pirmajā daļā Arhimēds sniedz stingri aksiomātisku sviras līdzsvara likuma atvasinājumu un nosaka paralelograma, trijstūra un trapeces smaguma centrus. Otrajā daļā tiek aprēķināti paraboliskā segmenta un paraboliskās trapeces smaguma centri.

Ir dažādi viedokļi par šīs esejas rakstīšanas laiku. Angļu matemātikas vēsturnieks T. L. Hīts un šeit S. Lurijs uzskatīja, ka traktāta “Par plakņu figūru līdzsvaru” pirmā daļa datēta ar Arhimēda darba sākumposmu, kad viņš bija aizņemts ar problēmām. smaguma centram un sviras līdzsvaram. Hīts traktāta otro daļu datē ar vēlāku laiku, kad jau bija uzrakstīta “Parabolas kvadratūra”. I. N. Veselovskis izteica nepiekrišanu šādam traktāta sadalījumam divos dažādos laikos tapušos darbos un minēja vairākus apsvērumus par šo jautājumu, kas mums šķiet diezgan smags. Īsumā šie apsvērumi ir sekojoši.

Gan pirmā, gan otrā traktāta daļa pēc stila krasi atšķiras no agrīnā perioda Arhimēda darbiem. Tā, piemēram, “Parabolas kvadrātā” joprojām ir ļoti pamanāma mehāniskā bāze, uz kuras ir veidots pirmais pierādījums: runa ir par svirām, piekārtiem atsvariem, līdzsvaru, kas tiek pieņemts kā praktiski iespējams, t.i., stabils utt. Nav. no tā nav iekļauts traktātā “Par plakņu figūru līdzsvaru”. Tas sākas ar septiņu aksiomu formulēšanu, no kurām sviras likums tiek iegūts ar tīru dedukcijas palīdzību. Šīs ir aksiomas:

"1. Vienādos garumos vienādi svari tiek līdzsvaroti, bet nevienādos garumos tie nav līdzsvaroti, bet atsver svarus garākā garumā.

2. Ja, balansējot svarus pie kādiem garumiem, kādam no atsvariem kaut kas tiek pievienots, tad tie netiks līdzsvaroti, bet svars, kuram tas tika pievienots, atsvērs.

3. Tieši tāpat, ja kādam no atsvariem kaut ko atņems, tie netiks līdzsvaroti, bet svars, no kura netika noņemts, atsvērs.

4. Kad vienādas un līdzīgas plakanas figūras tiek apvienotas savā starpā, arī to smaguma centri izlīdzinās viens ar otru.

5. Nevienādām, bet līdzīgām figūrām smaguma centri atradīsies līdzīgi. (Ar līdzīgu punktu izvietojumu līdzīgos attēlos mēs domājam tādu, kurā taisnas līnijas, kas novilktas no šiem punktiem līdz vienādu leņķu virsotnēm, veido vienādus leņķus ar attiecīgajām malām.)

6. Ja daudzumi ir līdzsvaroti dažos garumos, tad vienādi tiks līdzsvaroti vienādos garumos.

7. Jebkurā figūrā, kuras perimetrs visur ir izliekts vienā virzienā, smaguma centram jāatrodas figūras iekšpusē.”

Mēs redzam, ka šīs aksiomas skaidri iedalās divās grupās. Pirmajā grupā ietilpst pirmā, otrā, trešā un sestā aksioma, kas ir sviras teorijas pamatā. Ceturtās, piektās un septiņās aksiomas runā par plaknes figūru smaguma centriem, un pats smaguma centra jēdziens tiek uzskatīts par labi zināmu. Saikne starp abām aksiomu grupām kļūst acīmredzama turpmāko pierādījumu gaitā, un šiem pierādījumiem ir ārkārtīgi formāls raksturs: fiziskās sviras vietu ieņem vienkāršas ģeometriskas līnijas, un pats līdzsvars kļūst kaut kā neskaidrs, abstrakti matemātisks; teorēmas lielākoties tiek pierādītas ar pretrunām, un tas vienlīdz attiecas gan uz traktāta pirmo, gan otro daļu. Pirmās grāmatas materiāls sagatavo visu nepieciešamo otrās grāmatas teorēmu pierādīšanai, un starp abu daļu teikumiem ir cieša loģiska saikne.

Līdz ar to jāpieņem tēze, ka traktāts “Par plakņu figūru līdzsvaru” tapis diezgan vēlu. Šajā darbā Arhimēds nolēma dot stingru matemātiskā forma rezultātus, ko viņš bija ieguvis daudz agrāk.

Ņemiet vērā, ka E. Maks, kurš neuzticējās jebkādai formālo deduktīvo metožu pielietošanai mehānikā, uzskatīja, ka Arhimēda sviras teorijas loģiskā stingrība ir iedomāta. Pēc viņa domām, traktāta sestās un septītās teorēmas, kurās teikts, ka gan samērīgi, gan nesamērojami lielumi ir līdzsvaroti svariem apgriezti proporcionālā garumā, nevar izsecināt no iepriekš minētajām septiņām aksiomām, neizmantojot eksperimentālos datus. To viņš par to rakstīja Mehānikā.

“Lai gan Arhimēda un turpmāko pētnieku iegūtie rezultāti pirmajā mirklī šķiet ārkārtīgi pārsteidzoši, tomēr, rūpīgāk pārbaudot, mums rodas šaubas par to pareizību. No viena pieņēmuma par vienādu slodžu līdzsvaru vienādos attālumos, tiek iegūta apgrieztā proporcionalitāte starp slodzi un sviras sviru! Kā tas ir iespējams? Kādreiz vien līdzsvara atkarība no slodzes un attāluma jau bija neiespējama izgudrot no mums pašiem, bet vajadzēja aizņemties no pieredzes, tad vēl mazāk varēsim ar spekulatīviem līdzekļiem atrast šīs atkarības formu, proporcionalitāti.”

Mača viedoklis izraisīja dzīvas debates zinātnes vēsturnieku vidū. Mums nav iespējas pakavēties pie šīs diskusijas, jo tā aizņemtu pārāk daudz vietas; Aprobežosimies ar atsauci uz I. N. Veselovski, kurš apgalvoja, ka Arhimēda pierādījumi izrādās pilnīgi nevainojami, ja saprotat sestās aksiomas nozīmi, kas no pirmā acu uzmetiena šķiet tīra tautoloģija (tieši tā, acīmredzot, ir Maks. to uztvēra). Šī nozīme ir šāda: "Noteiktā punktā pieliktās slodzes darbību nosaka tikai tās lielums, tas ir, tā nav atkarīga no tās formas vai orientācijas."

Šādi saprotot, sestā aksioma ļauj aizstāt vairākas masas ar vienu, kas novietota to smaguma centrā; šajā ziņā to izmanto Arhimēds, pierādot pirmās grāmatas sestās un septītās grāmatas teorēmas (kā arī pirmās un otrās grāmatas teorēmas). Sviras likuma pierādījums tagad iegūst pilnīgi stingru loģisku formu.

Tā vai citādi Arhimēda traktāts “Par plakņu figūru līdzsvaru” vairākus gadsimtus tika uzskatīts par matemātiskās stingrības modeli. Kopā ar vēstulēm Dozitejam to rūpīgi pētīja 17. gadsimta matemātiķi, kuru vidū bez iepriekš uzskaitītajiem zinātniekiem bija arī tādi milži kā Galilejs un Huigenss.

Īpašu vietu Arhimēda zinātniskajā mantojumā ieņem traktāts “Par peldošiem ķermeņiem” (???? ??? ?????????), kas sastāv no divām grāmatām. Šis acīmredzot ir viens no pēdējiem, ja ne pats pēdējais diženā Sirakūzas darbs. Šo pieņēmumu atbalsta otrās grāmatas beigu acīmredzamais nepabeigtais raksturs. Neskatoties uz to, šo traktātu var uzskatīt par, iespējams, augstāko Arhimēda sasniegumu, norādot, ka līdz pat savu dienu beigām (ko, kā zināms, pārtrauca neveiksmīgais romiešu karavīra zobena sitiens), Arhimēds bija savas radošās darbības plaukumā. potenciāls.

Interesanta ir šī traktāta vēlākā vēsture. 13. gadsimtā viens no retajiem tā laika ekspertiem grieķu valoda- Vilhelms Mērbeke (miris 1282. gadā) pēc Akvīnas Toma lūguma veica vairāku Arhimēda (kā arī citu grieķu zinātnieku) darbu tulkojumu latīņu valodā. Starp tulkotajiem darbiem bija traktāts “Par peldošajiem ķermeņiem”. Drīz pēc tam traktāta grieķu manuskripts kaut kādā veidā tika pazaudēts. Vairākus gadsimtus traktāts bija zināms tikai Merkebes tulkojumā. Un tikai 20. gadsimta sākumā. Apmēram trīs ceturtdaļas no traktāta sākotnējā teksta Heibergs atklāja tajā pašā palimpsestā, uz kura tika uzrakstīts Efods.

Pirmā traktāta daļa “Par peldošiem ķermeņiem” sākas ar pieņēmumu, ko varētu saukt par fizisku aksiomu, ja tajā nebūtu visa fiziskā jēdziena:

"Pieņemsim, ka šķidrums ir tāds, ka no tā daļiņām, kas atrodas vienā līmenī un blakus viena otrai, mazāk saspiestās tiek izspiestas vairāk saspiestās, un ka katru tā daļiņu saspiež šķidruma svece augšpusē. to, ja vien šķidrums nav ievietots kādā traukā un to nesaspiež nekas cits.

Šķidruma uzskatīšana par vidi, ko var uzskatīt par neskaitāmu daļiņu kopumu, kas atrodas blakus viena otrai, vēlāk kļuva par vispārpieņemtu paņēmienu kontinuuma fizikā un tam nav nekāda sakara ar anatomiju. Arhimēdā mēs pirmo reizi sastopamies ar šo tehniku.

Mūsu citēto pieņēmumu Arhimēds izmanto, lai iegūtu vairākas svarīgas teorēmas. Pirmie divi no tiem nosaka šādu šķidruma īpašību: "Jebkura šķidruma virsmai, stacionāram, būs bumbiņas forma, kuras centrs sakrīt ar Zemes centru." Tagad mēs zinām, ka šī īpašība (kuru, starp citu, Aristotelis formulēja savā traktātā “Par debesīm”) ir aptuvens raksturs un nav novērota šķidrumos, kas ir slēgti šauros traukos. Bet šķidrumiem, kas atrodas lielos baseinos, ezeriem, jūrām un okeāniem, Arhimēda pierādītā teorēma noteikti ir patiesa.

Atzīmēsim, ka šī teorēma tā laika zinātnieku vidū neguva tūlītēju atzinību, lai gan šķiet, ka tās ir loģiskas sekas nostājai, ka Zeme ir sfēriska. Viņai nepiekrita pat Arhimēda draugs Eratostens - tas pats Eratostens, kurš pirmais saņēma precīzus datus par zemeslodes izmēru. Pirmajā Strabo ģeogrāfijas grāmatā mēs atrodam šādus pierādījumus: “Vai tagad nav smieklīgi redzēt, kā matemātiķis Eratostens atsakās atzīt principu, ko Arhimēds iedibināja savā esejā “Par peldošiem ķermeņiem”, ka jebkura šķidruma virsma atrodas miera stāvoklī. ir sfēras formā, kuras centrs sakrīt ar Zemes centru, taču šis ir princips, ko tagad pieņem visi, kas kaut mazāko zina par matemātiku.

Tālāk Arhimēda traktātā ir piecas teorēmas, kuras arī citēsim burtiski: “III. Ķermeņi, kas ir vienlīdz smagi ar šķidrumu, nolaižot šajā šķidrumā, tiek iegremdēti tā, ka neviena daļa no tiem neizvirzās virs šķidruma virsmas un nepārvietosies uz leju...<…>IV. Par šķidrumu vieglāks ķermenis, nolaists šajā šķidrumā, nav pilnībā iegremdēts, bet daļa no tā paliek virs šķidruma virsmas...<…>V. Ķermenis, kas ir vieglāks par šķidrumu, nolaists šajā šķidrumā, tiek iegremdēts tik ļoti, ka iegremdētajam (ķermeņa daļai) atbilstošajam šķidruma tilpumam ir svars, kas vienāds ar visa ķermeņa svaru...<…>VI. Ķermeņi, kas ir vieglāki par šķidrumu, ar varu nolaisti šajā šķidrumā, tiks stumti uz augšu ar spēku, kas vienāds ar svaru, par kādu šķidrums, kam ir vienāds tilpums ar ķermeni, būs smagāks par šo ķermeni...<….>VII. Ķermeņi, kas ir smagāki par šķidrumu, nolaisti šajā šķidrumā, nogrims, līdz sasniegs pašu dibenu, un šķidrumā tie kļūs vieglāki pēc šķidruma svara tilpumā, kas vienāds ar iegremdētā ķermeņa tilpumu ... "

Šīs teorēmas veido pamatu jauna zinātne, kuru izveidoja Arhimēds un vēlāk saņēma nosaukumu hidrostatika. Pierādījis šīs teorēmas, Arhimēds savu vārdu iemūžināja uz visiem laikiem, jo ​​tajos ietverto fizisko likumu tagad katrs skolēns pazīst kā Arhimēda likumu.

Tālākā traktāta daļa ir Arhimēda likuma piemērošana dažiem īpašiem gadījumiem. Pirmās grāmatas beigās Arhimēds aplūko līdzsvara nosacījumus lodītes segmentam, kas iegremdēts šķidrumā un kura blīvums ir mazāks par lodītes blīvumu. šķidrums (saskaņā ar Arhimēda formulējumu - "vieglāks par šķidrumu"),

Trakta otrā daļa sākas ar šādu teorēmu:

"Ja šajā šķidrumā tiek nolaists kāds ķermenis, kas ir vieglāks par šķidrumu, gravitācijas ziņā tas būs tādās pašās attiecībās ar šķidrumu kā tilpumam, kas iegremdēts zem šķidruma līmeņa, ir viss tilpums."

Šī teorēma ir tiešas Arhimēda likuma sekas, un to pašlaik sauc par “hidrometra principu”. Pēc tam Arhimēds detalizēti pārbauda šķidrumā iegremdēta taisnstūra konoīda līdzsvara apstākļus (ar taisnstūrveida konoīdu viņš saprot apgriezienu paraboloīda segmentu, kas nogriezts ar plakni, kas ir perpendikulāra asij). Tajā pašā laikā Arhimēds izskata dažādus gadījumus: kad segmenta pamatne neskar šķidrumu, kad tas vienā punktā pieskaras šķidrumam, kad tas ir pilnībā iegremdēts šķidrumā utt. Šis apsvērums tekstā, kas ir nācis līdz mums izrādās ne gluži pilnīgs, kas liek pieņemt, ka traktātu “Par peldošajiem ķermeņiem” nepabeidza Arhimēds. Arhimēda darbu pielikumā I. N. Veselovskis parāda, kas varētu stāvēt nerakstītajā traktāta daļā, un sniedz pilnīgu Arhimēda pētījumu rezultātu formulējumu.

Šeit mēs nevaram iedziļināties metodes detaļās, ko izmantoja Arhimēds, apsverot atsevišķus peldoša paraboloīda līdzsvara gadījumus. Šīs metodes matemātiskā puse ir pārsteidzoša ar tās vienkāršību un eleganci; Kas attiecas uz tā fizisko pamatu, tas ir šāds. Arhimēds atrod līdzsvara stāvokli, nosakot, vai paraboloīds, novirzījies no šīs pozīcijas, atgriezīsies tajā vai nē. Ja tā, tad atrastā pozīcija atbilst stabila līdzsvara pozīcijai. Principā šī metode tikai detaļās atšķiras no 19. gadsimta otrajā pusē izstrādātās metodes. Franču matemātiķis K. Dupins un Maskavas universitātes profesors A. Davydovs, kuriem peldošo ķermeņu līdzsvara problēma bija tīri praktiska saistībā ar kuģu stabilitātes teoriju. Arhimēdam šī problēma bija tīri teorētiska, un viņš acīmredzot nedomāja par tās iespējamo praktisko pielietojumu. Šī piezīme attiecas arī uz citiem rezultātiem, ko Arhimēds ieguva savos matemātiskajos darbos. Nav nejaušība, ka no visiem šiem rezultātiem Arhimēds īpaši lepojās ar teorēmu, ko viņš pierādīja, ka lodes tilpums ir vienāds ar 2/3 no ap to aprakstītā cilindra tilpuma, kā rezultātā tika uzstādīts kapa piemineklis. uz viņa kapa, kurā attēlota cilindrā ierakstīta bumba. Šiem atklājumiem, no Arhimēda viedokļa, bija neatkarīga vērtība, un tie nekādā veidā nebija atkarīgi no to iespējamās praktiskās lietderības. Šajā sakarā Arhimēdu pilnībā aizrāva senās zinātnes tradīcijas, kas apliecināja teorētiskās spekulācijas pārākumu pār jebkāda veida praktisku darbību. Tas, ka viņš bija izcils inženieris, nekādi nemainīja viņa vispārējos teorētiskos principus.

Tikmēr Arhimēda veikto pētījumu par likumiem, kas regulē šķidrumos iegremdētās struktūras, acīmredzot stimulēja praktiskas problēmas. To apgalvojot, mēs nedomājam labi zināmo leģendu, kas aprakstīta Vitruvija traktātā. Metode, kuru, pēc Vitruvija teiktā, izmantoja Arhimēds, lai noteiktu sudraba piejaukumu karaļa Hiero zelta kronī, ir ārkārtīgi neprecīza un tai nav nekāda sakara ar Arhimēda likumu par peldošiem ķermeņiem. Vēlāki avoti izklāstīja citu metodi, kas balstīta uz Arhimēda principu un neapšaubāmi ir precīzāka. Bet kāda ir šo ziņojumu ticamība, un vai tie neatspoguļoja vēlāku Arhimēda eksperimenta rekonstrukciju? Mēs to nezinām.

Svarīgāks šajā kontekstā ir vēsturnieka Polībija vēstījums (vēlāk to atkārtoja Tits Līvijs un Plutarhs), saskaņā ar kuru Sirakūzu aizstāvēšanas laikā Arhimēds ar īpaši konstruētas dzelzs “ķepas” palīdzību pacēlis un apgāzis romiešu kuģus. Ja šī ziņa bija patiesa, tad aprēķinos, kas bija jāveic, lai izveidotu šādu mehānismu, bija jāņem vērā Arhimēda likums.

Kas attiecas uz citiem Arhimēda inženiertehniskajiem izgudrojumiem, papildus jau iepriekš minētajam “gliemežam” lauku laistīšanai un neskaitot Saules šķietamā diametra noteikšanas ierīci, ko pats Arhimēds aprakstījis “Psammitā” (šo ierīci var uzskatīt pirmā zinātniski mērierīce, kas mums zināma no literatūras instalācijas), ietver šādas antīko autoru pieminētās ierīces: 1. “Debess sfēra” jeb planetārijs, ko vēlāk aprakstīja Cicerons. Pēc Arhimēda nāves romiešu komandieris Marcells viņu aizveda uz Romu, kur vairākus gadsimtus viņš kalpoja kā vispārējas apbrīnas objekts. Pēdējā šī planetārija pieminēšana ir ietverta romiešu dzejnieka Klaudiāna (ap 400) epigrammā, no kuras mēs jo īpaši uzzinām, ka šo planetāriju darbināja kaut kāds pneimatisks mehānisms. Šāda mehānisma klātbūtne būtiski atšķīra Arhimēda planetāriju no primitīvākajām "debesu sfērām", ko radīja grieķu astronomi, sākot ar Eudoksu, lai imitētu debess ķermeņu kustības.

2. Hidrauliskās ērģeles, kuras Tertuliāns minēja kā vienu no tehnikas brīnumiem. Tomēr jāatzīmē, ka senāki avoti par šādu ērģeļu izgudrotāju nosauc Aleksandrijas inženieri Ktesibiusu, par kuru mēs runāsim tālāk.

Acīmredzot Arhimēds tikai uzlaboja Ktesibija izgudrotās ērģeles.

3. Daudzi militārie ieroči, kas tika izmantoti Sirakūzu aizsardzībā. Īpašu interesi (un, godīgi sakot, vislielākās šaubas) viņu vidū rada jau minētā “ķepa”, kas sagūstīja un apgāza romiešu kuģus. Atlikušie ieroči, acīmredzot, atšķīrās no līdzīgām tā laika karos izmantotajām ierīcēm tikai ar sitiena precizitāti, ko uzsver visi vēsturnieki, kuri rakstīja par romiešu Sirakūzu aplenkumu.

No visa iepriekš minētā izriet, ka kopumā Arhimēda tehniskie sasniegumi saskanēja ar tā laika seno tehnoloģiju attīstību. Būtiskā atšķirība starp Arhimēdu un viņa mūsdienu inženieriem, piemēram, Ktesibiju un Filonu, bija tā, ka, būdams hellēnisma laikmeta lielākais zinātnieks, viņš spēja izprast vairāku elementāru mehānismu darbību, ar kuriem cilvēks jau sen bija nodarbojies savā ikdienas praksē. un tādējādi lika pamatus teorētiskās mehānikas attīstībai - zinātnei, ko senatne agrāk nepazina, bet kas kļuva par izšķirošu faktoru materiālu ražošanas progresā mūsdienās.