Nodarbība 32-33. Apgrieztās trigonometriskās funkcijas

Mērķis: Apsveriet apgrieztās trigonometriskās funkcijas un to izmantošanu trigonometrisko vienādojumu risinājumu rakstīšanai.

I. Nodarbību tēmas un mērķa komunikācija

II. Jauna materiāla apgūšana

1. Apgrieztās trigonometriskās funkcijas

Sāksim diskusiju par šo tēmu ar šādu piemēru.

1. piemērs

Atrisināsim vienādojumu: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.

a) Uz ordinātu ass uzzīmējam vērtību 1/2 un konstruējam leņķus x 1 un x2, kuriem grēks x = 1/2. Šajā gadījumā x1 + x2 = π, no kurienes x2 = π – x 1 . Izmantojot trigonometrisko funkciju vērtību tabulu, mēs atrodam vērtību x1 = π/6, tadŅemsim vērā sinusa funkcijas periodiskumu un pierakstīsim šī vienādojuma risinājumus:kur k ∈ Z.

b) Acīmredzot vienādojuma risināšanas algoritms grēks x = a ir tāds pats kā iepriekšējā punktā. Protams, tagad vērtība a tiek attēlota pa ordinātu asi. Ir nepieciešams kaut kā norādīt leņķi x1. Mēs vienojāmies šo leņķi apzīmēt ar simbolu arcsin A. Tad šī vienādojuma risinājumus var ierakstīt formāŠīs divas formulas var apvienot vienā: kurā

Pārējās apgrieztās trigonometriskās funkcijas tiek ieviestas līdzīgi.

Ļoti bieži ir nepieciešams noteikt leņķa lielumu par zināma vērtība tā trigonometriskā funkcija. Šāda problēma ir daudzvērtīga – ir neskaitāmi leņķi, kuru trigonometriskās funkcijas ir vienādas ar vienu un to pašu vērtību. Tāpēc, pamatojoties uz trigonometrisko funkciju monotonitāti, tiek ieviestas šādas apgrieztās trigonometriskās funkcijas, lai unikāli noteiktu leņķus.

Skaitļa a arcsīns (arcsin , kura sinuss ir vienāds ar a, t.i.

Skaitļa loka kosinuss a (arccos a) ir leņķis a no intervāla, kura kosinuss ir vienāds ar a, t.i.

Skaitļa arktangenss a(arctg a) - šāds leņķis a no intervālakuras tangenss ir vienāds ar a, t.i.tg a = a.

Skaitļa arkotangents a(arcctg a) ir leņķis a no intervāla (0; π), kura kotangenss ir vienāds ar a, t.i. ctg a = a.

2. piemērs

Atradīsim:

Ņemot vērā apgriezto trigonometrisko funkciju definīcijas, iegūstam:

3. piemērs

Aprēķināsim

Ļaujiet leņķim a = arcsin 3/5, tad pēc definīcijas sin a = 3/5 un . Tāpēc mums ir jāatrod cos A. Izmantojot pamata trigonometrisko identitāti, mēs iegūstam:Tiek ņemts vērā, ka cos a ≥ 0. Tātad,

Sniegsim vairākus tipiskākus piemērus, kas saistīti ar apgriezto trigonometrisko funkciju definīcijām un pamatīpašībām.

4. piemērs

Atradīsim funkcijas definīcijas apgabalu

Lai funkcija y būtu definēta, ir jāapmierina nevienādībakas ir līdzvērtīga nevienlīdzību sistēmaiPirmās nevienādības risinājums ir intervāls x∈ (-∞; +∞), otrais -Šis intervāls un ir risinājums nevienlīdzību sistēmai un līdz ar to funkcijas definīcijas joma

5. piemērs

Atradīsim funkcijas maiņas apgabalu

Apskatīsim funkcijas uzvedību z = 2x - x2 (skatīt attēlu).

Ir skaidrs, ka z ∈ (-∞; 1]. Ņemot vērā, ka arguments z loka kotangentes funkcija mainās norādītajās robežās, no tabulas datiem mēs to iegūstamTātad pārmaiņu zona

6. piemērs

Pierādīsim, ka funkcija y = arctg x nepāra. ĻaujietTad tg a = -x vai x = - tg a = tg (- a), un Tāpēc - a = arctg x vai a = - arctg X. Tādējādi mēs to redzamt.i., y(x) ir nepāra funkcija.

7. piemērs

Izteiksim caur visām apgrieztajām trigonometriskajām funkcijām

Ļaujiet Ir skaidrs, ka Tad kopš

Ieviesīsim leņķi Jo Tas

Tāpat tāpēc Un

Tātad,

8. piemērs

Izveidosim funkcijas y = grafiku cos(arcsin x).

Apzīmēsim a = arcsin x, tad Ņemsim vērā, ka x = sin a un y = cos a, t.i., x 2 + y2 = 1, un ierobežojumi x (x∈ [-1; 1]) un y (y ≥ 0). Tad funkcijas y = grafiks cos (arcsin x) ir pusloks.

9. piemērs

Izveidosim funkcijas y = grafiku arccos (cos x ).

Kopš cos funkcijas x mainās intervālā [-1; 1], tad funkcija y ir definēta uz visas skaitliskās ass un mainās segmentā . Paturēsim prātā, ka y = arccos (cosx) = x segmentā; funkcija y ir vienmērīga un periodiska ar periodu 2π. Ņemot vērā, ka funkcijai ir šīs īpašības cos x Tagad ir viegli izveidot grafiku.

Ļaujiet mums atzīmēt dažas noderīgas vienādības:

10. piemērs

Atradīsim funkcijas mazākās un lielākās vērtības Apzīmēsim Tad Iegūsim funkciju Šai funkcijai punktā ir minimums z = π/4, un tas ir vienāds ar Vislielākā funkcijas vērtība tiek sasniegta punktā z = -π/2, un tas ir vienāds Tādējādi un

11. piemērs

Atrisināsim vienādojumu

Ņemsim to vērā Tad vienādojums izskatās šādi:vai kur Pēc arctangenta definīcijas mēs iegūstam:

2. Vienkāršu trigonometrisko vienādojumu risināšana

Līdzīgi kā 1. piemērā, jūs varat iegūt atrisinājumus vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem.

12. piemērs

Atrisināsim vienādojumu

Tā kā sinusa funkcija ir nepāra, mēs rakstām vienādojumu formāŠī vienādojuma risinājumi:no kurienes mēs to atrodam?

13. piemērs

Atrisināsim vienādojumu

Izmantojot doto formulu, mēs pierakstām vienādojuma risinājumus:un mēs atradīsim

Ievērojiet, ka īpašos gadījumos (a = 0; ±1), risinot vienādojumus sin x = a un cos x = bet to ir vieglāk un ērtāk lietot, ja tas nav vispārīgas formulas, un pierakstiet risinājumus, pamatojoties uz vienības apli:

vienādojumam sin x = 1 risinājums

vienādojumam sin x = 0 risinājumi x = π k;

vienādojumam sin x = -1 risinājums

cos vienādojumam x = 1 risinājumi x = 2π k ;

vienādojumam cos x = 0 risinājumi

vienādojuma cos x = -1 risinājums

14. piemērs

Atrisināsim vienādojumu

Tā kā šajā piemērā ir īpašs vienādojuma gadījums, mēs rakstīsim risinājumu, izmantojot atbilstošo formulu:no kurienes mēs to atrodam?

III. Kontroljautājumi (frontālā aptauja)

1. Definējiet un uzskaitiet apgriezto trigonometrisko funkciju galvenās īpašības.

2. Dodiet apgriezto trigonometrisko funkciju grafikus.

3. Vienkāršu trigonometrisko vienādojumu risināšana.

IV. Nodarbības uzdevums

§ 15, Nr.3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16, Nr.4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17, Nr.3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).

V. Mājas darbs

§ 15, Nr. 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;

16. §, 4. punkts (c, d); 7 (b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);

§ 17, Nr. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. Radošie uzdevumi

1. Atrodiet funkcijas domēnu:

Atbildes:

2. Atrodiet funkcijas diapazonu:

Atbildes:

3. Uzzīmējiet funkcijas grafiku:

VII. Nodarbību apkopošana

Apgrieztās trigonometriskās funkcijas ir matemātiskas funkcijas, kas ir apgrieztās trigonometriskās funkcijas.

Funkcija y=arcsin(x)

Skaitļa α arcsinuss ir skaitlis α no intervāla [-π/2;π/2], kura sinuss ir vienāds ar α.
Funkcijas grafiks
Funkcija у= sin⁡(x) intervālā [-π/2;π/2] ir stingri pieaugoša un nepārtraukta; tāpēc viņai ir apgrieztā funkcija, stingri pieaugot un nepārtraukti.
Funkcijas y= sin⁡(x), kur x ∈[-π/2;π/2], apgriezto funkciju sauc par arcsinusu un apzīmē ar y=arcsin(x), kur x∈[-1;1 ].
Tātad saskaņā ar apgrieztās funkcijas definīciju arcsinusa definīcijas domēns ir segments [-1;1], un vērtību kopa ir segments [-π/2;π/2].
Ņemiet vērā, ka funkcijas y=arcsin(x), kur x ∈[-1;1] grafiks ir simetrisks funkcijas y= sin(⁡x) grafikam, kur x∈[-π/2;π /2], attiecībā pret koordinātu leņķu bisektrisi pirmajā un trešajā ceturksnī.

Funkciju diapazons y=arcsin(x).

Piemērs Nr.1.

Atrast arcsin(1/2)?

Tā kā funkcijas arcsin(x) vērtību diapazons ietilpst intervālā [-π/2;π/2], tad piemērota ir tikai vērtība π/6, tāpēc arcsin(1/2) =π/. 6.
Atbilde:π/6

Piemērs Nr.2.
Vai atrast arcsin(-(√3)/2)?

Tā kā vērtību diapazons arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], tad ir piemērota tikai vērtība –π/3, tāpēc arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

Funkcija y=arccos(x)

Skaitļa α loka kosinuss ir skaitlis α no intervāla, kura kosinuss ir vienāds ar α.

Funkcijas grafiks

Funkcija y= cos(⁡x) segmentā ir stingri dilstoša un nepārtraukta; tāpēc tai ir apgriezta funkcija, stingri dilstoša un nepārtraukta.
Tiek izsaukta apgrieztā funkcija funkcijai y= cos⁡x, kur x ∈ loka kosinuss un apzīmē ar y=arccos(x),kur x ∈[-1;1].
Tātad saskaņā ar apgrieztās funkcijas definīciju loka kosinusa definīcijas domēns ir segments [-1;1], un vērtību kopa ir segments.
Ņemiet vērā, ka funkcijas y=arccos(x) grafiks, kur x ∈[-1;1] ir simetrisks funkcijas y= cos(⁡x) grafikam, kur x ∈ attiecībā pret funkcijas bisektrisi. pirmā un trešā ceturkšņa koordinātu leņķi.

Funkciju diapazons y=arccos(x).

Piemērs Nr.3.

Vai atrast arccos (1/2)?

Tā kā funkcijas arccos(x) vērtību diapazons pieder pie intervāla, tad ir piemērota tikai vērtība 3π/4, tāpēc arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

Atbilde: 3π/4

Funkcija y=arctg(x)

Skaitļa α arktangenss ir skaitlis α no intervāla [-π/2;π/2], kura tangenss ir vienāds ar α.

Funkcijas grafiks

Pieskares funkcija ir nepārtraukta un stingri pieaug intervālā (-π/2;π/2); tāpēc tai ir apgriezta funkcija, kas ir nepārtraukta un stingri pieaugoša.
Apgrieztā funkcija funkcijai y= tan⁡(x), kur x∈(-π/2;π/2); sauc par arktangensu un apzīmē ar y=arctg(x), kur x∈R.
Tātad saskaņā ar apgrieztās funkcijas definīciju arktangenta definīcijas domēns ir intervāls (-∞;+∞), un vērtību kopa ir intervāls
(-π/2;π/2).
Ņemiet vērā, ka funkcijas y=arctg(x), kur x∈R, grafiks ir simetrisks funkcijas y= tan⁡x grafikam, kur x ∈ (-π/2;π/2), attiecībā pret pirmās un trešās ceturkšņa koordinātu leņķu bisektrise.

Funkcijas y=arctg(x) diapazons.

Piemērs Nr.5?

Atrodiet arctan((√3)/3).

Tā kā vērtību diapazons arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), tad ir piemērota tikai vērtība π/6, tāpēc arctg((√3)/3) =π/6.
Piemērs Nr.6.
Vai atrast arctg(-1)?

Tā kā vērtību diapazons arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), tad ir piemērota tikai vērtība –π/4, tāpēc arctg(-1) = – π/4.

Funkcija y=arcctg(x)

Funkcijas grafiks

Intervālā (0;π) kotangences funkcija stingri samazinās; turklāt tas ir nepārtraukts katrā šī intervāla punktā; tāpēc uz intervāla (0;π) šai funkcijai ir apgrieztā funkcija, kas ir stingri dilstoša un nepārtraukta.
Funkcijas y=ctg(x), kur x ∈(0;π), apgriezto funkciju sauc par arkotangensu un apzīmē ar y=arcctg(x), kur x∈R.
Tātad saskaņā ar apgrieztās funkcijas definīciju loka kotangensa definīcijas domēns būs R, un ar komplektu vērtības  – intervāls (0;π).Funkcijas y=arcctg(x) grafiks, kur x∈R ir simetrisks funkcijas y=ctg(x) x∈(0;π), relatīvs grafikam. uz pirmā un trešā ceturkšņa koordinātu leņķu bisektrisi.

Funkciju diapazons y=arcctg(x).

Piemērs Nr.8.
Vai atrast arcctg(-(√3)/3)?

Tā kā vērtību diapazons ir arcctg(x) x∈(0;π), tad piemērota ir tikai vērtība 2π/3, tāpēc arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

Redaktores: Ageeva Ļubova Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Apgrieztās trigonometriskās funkcijas tiek plaši izmantoti matemātiskajā analīzē. Tomēr lielākajai daļai vidusskolēnu uzdevumi, kas saistīti ar šāda veida funkcijām, rada ievērojamas grūtības. Tas galvenokārt saistīts ar to, ka daudzās mācību grāmatās un mācību grāmatasŠāda veida problēmām tiek pievērsta pārāk maza uzmanība. Un, ja studenti vismaz kaut kā tiek galā ar apgriezto trigonometrisko funkciju vērtību aprēķināšanas problēmām, tad vienādojumi un nevienādības, kas satur šādas funkcijas, lielākoties bērnus mulsina. Patiesībā tas nav pārsteidzoši, jo praktiski nevienā mācību grāmatā nav paskaidrots, kā atrisināt pat visvienkāršākos vienādojumus un nevienādības, kas satur apgrieztas trigonometriskās funkcijas.

Apskatīsim vairākus vienādojumus un nevienādības, kas ietver apgrieztās trigonometriskās funkcijas, un atrisināsim tos ar detalizētiem paskaidrojumiem.

1. piemērs.

Atrisiniet vienādojumu: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

Risinājums.

Izsakot no vienādojuma apgriezto trigonometrisko funkciju, mēs iegūstam:

arccos (2x + 3) = 5π/6. Tagad izmantosim loka kosinusa definīciju.

Noteikta skaitļa a loka kosinuss, kas pieder segmentam no -1 līdz 1, ir tāds leņķis y no segmenta no 0 līdz π, ka tā kosinuss ir vienāds ar skaitli x. Tāpēc mēs to varam rakstīt šādi:

2x + 3 = cos 5π/6.

Uzrakstīsim iegūtā vienādojuma labo pusi, izmantojot samazinājuma formulu:

2x + 3 = cos (π – π/6).

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 – √3/2.

Samazināsim labo pusi līdz kopsaucējam.

2x = -(6 + √3) / 2;

x = -(6 + √3) / 4.

Atbilde: -(6 + √3) / 4 .

2. piemērs.

Atrisiniet vienādojumu: cos (arccos (4x – 9)) = x 2 – 5x + 5.

Risinājums.

Tā kā cos (arcсos x) = x ar x piederību [-1; 1], tad šis vienādojums ir līdzvērtīgs sistēmai:

(4x – 9 = x 2 – 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.

Atrisināsim sistēmā iekļauto vienādojumu.

4x – 9 = x 2 – 5x + 5.

Tas ir kvadrātveida, tāpēc mēs to iegūstam

x 2 – 9x + 14 = 0;

D = 81 – 4 14 = 25;

x 1 = (9 + 5) / 2 = 7;

x 2 = (9–5) / 2 = 2.

Atrisināsim sistēmā iekļauto dubultnevienādību.

1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Pievienojiet 9 visām daļām, mums ir:

8 ≤ 4x ≤ 10. Sadalot katru skaitli ar 4, iegūstam:

2 ≤ x ≤ 2,5.

Tagad apvienosim saņemtās atbildes. Ir viegli redzēt, ka sakne x = 7 neapmierina atbildi uz nevienādību. Tāpēc vienīgais vienādojuma risinājums ir x = 2.

Atbilde: 2.

3. piemērs.

Atrisiniet vienādojumu: tg (arctg (0,5 – x)) = x 2 – 4x + 2,5.

Risinājums.

Tā kā tg (arctg x) = x visiem reālajiem skaitļiem, šis vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam:

0,5 – x = x 2 – 4x + 2,5.

Atrisināsim rezultātu kvadrātvienādojums izmantojot diskriminantu, iepriekš ievietojot to standarta formā.

x 2 – 3x + 2 = 0;

D = 9 – 4 2 = 1;

x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;

x 2 = (3–1) / 2 = 1.

Atbilde: 1; 2.

4. piemērs.

Atrisiniet vienādojumu: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).

Risinājums.

Tā kā arcctg f(x) = arcctg g(x) tad un tikai tad, ja f(x) = g(x), tad

2x – 1 = x 2 /2 + x/2. Atrisināsim iegūto kvadrātvienādojumu:

4x – 2 = x 2 + x;

x 2 – 3x + 2 = 0.

Ar Vietas teorēmu mēs to iegūstam

x = 1 vai x = 2.

Atbilde: 1; 2.

5. piemērs.

Atrisiniet vienādojumu: arcsin (2x - 15) = arcsin (x 2 - 6x - 8).

Risinājums.

Tā kā vienādojums formā arcsin f(x) = arcsin g(x) ir ekvivalents sistēmai

(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],

tad sākotnējais vienādojums ir līdzvērtīgs sistēmai:

(2x – 15 = x 2 – 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.

Atrisināsim iegūto sistēmu:

(x 2 – 8x + 7 = 0,
(14 ≤ 2 x ≤ 16.

No pirmā vienādojuma, izmantojot Vietas teorēmu, mēs iegūstam, ka x = 1 vai x = 7. Atrisinot sistēmas otro nevienādību, mēs atklājam, ka 7 ≤ x ≤ 8. Līdz ar to gala rezultātam ir piemērota tikai sakne x = 7. atbildi.

Atbilde: 7.

6. piemērs.

Atrisiniet vienādojumu: (arccos x) 2 – 6 arccos x + 8 = 0.

Risinājums.

Lai arccos x = t, tad t pieder segmentam un vienādojums iegūst šādu formu:

t 2 – 6t + 8 = 0. Atrisiniet iegūto kvadrātvienādojumu, izmantojot Vietas teorēmu, konstatējam, ka t = 2 vai t = 4.

Tā kā t = 4 nepieder segmentam, iegūstam, ka t = 2, t.i. arccos x = 2, kas nozīmē x = cos 2.

Atbilde: cos 2.

7. piemērs.

Atrisiniet vienādojumu: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.

Risinājums.

Izmantosim vienādību arcsin x + arccos x = π/2 un ierakstīsim vienādojumu formā

(arksīns x) 2 + (π/2 – arcsin x) 2 = 5π 2 /36.

Pieņemsim, ka arcsin x = t, tad t pieder segmentam [-π/2; π/2], un vienādojumam ir šāda forma:

t 2 + (π/2 – t) 2 = 5π 2 /36.

Atrisināsim iegūto vienādojumu:

t 2 + π 2 /4 – πt + t 2 = 5π 2 /36;

2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. Reizinot katru terminu ar 9, lai vienādojumā atbrīvotos no daļām, iegūstam:

18t 2 – 9πt + π 2 = 0.

Atradīsim diskriminantu un atrisināsim iegūto vienādojumu:

D = (-9π) 2 – 4 · 18 · π 2 = 9π 2 .

t = (9π – 3π) / 2 18 vai t = (9π + 3π) / 2 18;

t = 6π/36 vai t = 12π/36.

Pēc samazināšanas mums ir:

t = π/6 vai t = π/3. Tad

arcsin x = π/6 vai arcsin x = π/3.

Tādējādi x = sin π/6 vai x = sin π/3. Tas ir, x = 1/2 vai x = √3/2.

Atbilde: 1/2; √3/2.

8. piemērs.

Atrodiet izteiksmes vērtību 5nx 0, kur n ir sakņu skaits un x 0 ir vienādojuma 2 arcsin x = - π – (x + 1) 2 negatīvā sakne.

Risinājums.

Tā kā -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, tad -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Turklāt (x + 1) 2 ≥ 0 visiem reālajiem x,
tad -(x + 1) 2 ≤ 0 un -π – (x + 1) 2 ≤ -π.

Tādējādi vienādojumam var būt atrisinājums, ja abas tā malas vienlaikus ir vienādas ar –π, t.i. vienādojums ir līdzvērtīgs sistēmai:

(2 arcsin x = -π,
(-π – (x + 1) 2 = -π.

Atrisināsim iegūto vienādojumu sistēmu:

(arksīns x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.

No otrā vienādojuma mēs iegūstam, ka x = -1, attiecīgi n = 1, tad 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5.

Atbilde: -5.

Kā liecina prakse, spēja atrisināt vienādojumus ar apgrieztām trigonometriskām funkcijām ir nepieciešams nosacījums sekmīgi nokārtojis eksāmenus. Tāpēc apmācība šādu problēmu risināšanā ir vienkārši nepieciešama un obligāta, gatavojoties vienotajam valsts eksāmenam.

Vai joprojām ir jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt vienādojumus?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja -.
Pirmā nodarbība bez maksas!

blog.site, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz oriģinālo avotu.

Dotas apgriezto trigonometrisko funkciju definīcijas un to grafiki. Kā arī formulas, kas savieno apgrieztās trigonometriskās funkcijas, formulas summām un starpībām.

Apgriezto trigonometrisko funkciju definīcija

Tā kā trigonometriskās funkcijas ir periodiskas, to apgrieztās funkcijas nav unikālas. Tātad, vienādojums y = grēks x, attiecībā uz doto , ir bezgalīgi daudz sakņu. Patiešām, sinusa periodiskuma dēļ, ja x ir šāda sakne, tad tā ir x + 2πn(kur n ir vesels skaitlis) būs arī vienādojuma sakne. Tādējādi apgrieztās trigonometriskās funkcijas ir daudzvērtīgas. Lai atvieglotu darbu ar tiem, tiek ieviests to galveno nozīmju jēdziens. Apsveriet, piemēram, sinusu: y = grēks x. Ja mēs ierobežojam argumentu x ar intervālu , tad uz tā funkcija y = grēks x palielinās monotoni. Tāpēc tai ir unikāla apgrieztā funkcija, ko sauc par arcsinusu: x = arcsin y.

Ja nav norādīts citādi, ar apgrieztām trigonometriskām funkcijām mēs saprotam to galvenās vērtības, kuras nosaka tālāk norādītās definīcijas.

Arcsine ( y = arcsin x) ir sinusa apgrieztā funkcija ( x = siny

Loka kosinuss ( y = arccos x) ir kosinusa apgrieztā funkcija ( x = cos y), kam ir definīcijas domēns un vērtību kopa.

Arktangenss ( y = arctan x) ir pieskares apgrieztā funkcija ( x = tg y), kam ir definīcijas domēns un vērtību kopa.

Arkotangenss ( y = arcctg x) ir kotangenta apgrieztā funkcija ( x = ctg y), kam ir definīcijas domēns un vērtību kopa.

Apgriezto trigonometrisko funkciju grafiki

Apgriezto trigonometrisko funkciju grafikus iegūst no trigonometrisko funkciju grafikiem ar spoguļatstarošanos attiecībā pret taisni y = x. Skatīt sadaļas Sinuss, kosinuss , Pieskares, kotangenss.

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctan x

y = arcctg x

Pamatformulas

Šeit īpaša uzmanība jāpievērš intervāliem, kuriem formulas ir derīgas.

arcsin(sin x) = x plkst
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x plkst
cos(arccos x) = x

arctan(tg x) = x plkst
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x plkst
ctg(arcctg x) = x

Formulas, kas attiecas uz apgrieztām trigonometriskām funkcijām

Summu un starpības formulas

pie vai

un

un

pie vai

un

un

plkst

plkst

plkst

plkst