220400 Algebra i geometrija Tolstikov A.V.

Predavanja 16. Bilinearne i kvadratne forme.

Plan

1. Bilinearni oblik i njegova svojstva.

2. Kvadratni oblik. Matrica kvadratnog oblika. Transformacija koordinata.

3. Svođenje kvadratnog oblika na kanonski oblik. Lagrangeova metoda.

4. Zakon tromosti kvadratnih oblika.

5. Redukcija kvadratnog oblika u kanonski oblik korištenjem metode svojstvenih vrijednosti.

6. Silverstov kriterij za pozitivnu određenost kvadratne forme.

1. Kolegij analitičke geometrije i linearne algebre. M.: Nauka, 1984.

2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Elementi linearne algebre i analitičke geometrije. 1997. godine.

3. Voevodin V.V. Linearna algebra.. M.: Nauka 1980.

4. Zbirka zadataka za fakultete. Linearna algebra i osnove matematičke analize. ur. Efimova A.V., Demidovich B.P.. M.: Nauka, 1981.

5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Linearna algebra u pitanjima i problemima. M.: Fizmatlit, 2001.

, , , ,

1. Bilinearni oblik i njegova svojstva. Neka V - n-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem P.

Definicija 1.Bilinearni oblik, definirano na V, takvo se preslikavanje naziva g: V 2® P, koji svakom naručenom paru ( x , g ) vektori x , g od stavlja u V spoji broj iz polja P, označeno g(x , g ), a linearni u svakoj od varijabli x , g , tj. ima svojstva:

1) ("x , g , z Î V)g(x + g , z ) = g(x , z ) + g(g , z );

2) ("x , g Î V) ("a O P)g(a x , g ) = a g(x , g );

3) ("x , g , z Î V)g(x , g + z ) = g(x , g ) + g(x , z );

4) ("x , g Î V) ("a O P)g(x , a g ) = a g(x , g ).

Primjer 1. Bilo koji točkasti umnožak definiran na vektorskom prostoru V je bilinearni oblik.

2 . Funkcija h(x , g ) = 2x 1 g 1 - x 2 g 2 +x 2 g 1 gdje x = (x 1 ,x 2), g = (g 1 ,g 2)O R 2, bilinearni oblik na R 2 .

Definicija 2. Neka v = (v 1 , v 2 ,…, v n V.Matrica bilinearnog oblikag(x , g ) u odnosu na osnovuv nazvana matrica B=(b ij)n ´ n, čiji se elementi izračunavaju formulom b ij = g(v ja, v j):

Primjer 3. Bilinearna matrica h(x , g ) (vidi primjer 2) u odnosu na bazu e 1 = (1,0), e 2 = (0,1) jednako je .

Teorem 1. NekaX, Y - koordinatni stupci vektora redomx , g u osnoviv, B - matrica bilinearnog oblikag(x , g ) u odnosu na osnovuv. Tada se bilinearni oblik može napisati kao

g(x , g )=X t BY. (1)

Dokaz. Iz svojstava bilinearne forme dobivamo

Primjer 3. Bilinearni oblik h(x , g ) (vidi primjer 2) može se napisati u obliku h(x , g )=.

Teorem 2. Neka v = (v 1 , v 2 ,…, v n), u = (u 1 , u 2 ,…, u n) - dvije vektorske prostorne bazeV, T - matrica prijelaza iz bazev na osnovuu. Neka B= (b ij)n ´ n I S=(sa ij)n ´ n - bilinearne matriceg(x , g ) odnosno u odnosu na bazev iu. Zatim

S=T t BT.(2)

Dokaz. Po definiciji matrice prijelaza i matrice bilinearnog oblika nalazimo:



Definicija 2. Bilinearni oblik g(x , g ) se zove simetričan, Ako g(x , g ) = g(g , x ) za bilo koji x , g Î V.

Teorem 3. Bilinearni oblikg(x , g )- simetrična ako i samo ako je matrica bilinearnog oblika simetrična u odnosu na bilo koju bazu.

Dokaz. Neka v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - baza vektorskog prostora V,B= (b ij)n ´ n- matrice bilinearnog oblika g(x , g ) u odnosu na osnovu v. Neka bilinearni oblik g(x , g ) - simetričan. Tada je po definiciji 2 za bilo koje ja, j = 1, 2,…, n mi imamo b ij = g(v ja, v j) = g(v j, v ja) = b ji. Zatim matrica B- simetrično.

Obrnuto, neka matrica B- simetrično. Zatim B t= B i za bilo koje vektore x = x 1 v 1 + …+ x n v n =vX, g = g 1 v 1 + g 2 v 2 +…+ y n v n =vY Î V, prema formuli (1), dobivamo (uzimamo u obzir da je broj matrica reda 1, te se ne mijenja tijekom transpozicije)

g(x , g ) =g(x , g )t = (X t BY)t = Y t B t X = g(g , x ).

2. Kvadratni oblik. Matrica kvadratnog oblika. Transformacija koordinata.

Definicija 1.Kvadratni oblik definiran na V, zove se mapiranje f:V® P, koji za bilo koji vektor x iz V određuje jednakost f(x ) = g(x , x ), Gdje g(x , g ) je simetrična bilinearna forma definirana na V .

Svojstvo 1.Prema zadanom kvadratnom oblikuf(x )bilinearni oblik nalazi se jedinstveno pomoću formule

g(x , g ) = 1/2(f(x + g ) - f(x )-f(g )). (1)

Dokaz. Za bilo koje vektore x , g Î V dobivamo iz svojstava bilinearne forme

f(x + g ) = g(x + g , x + g ) = g(x , x + g ) + g(g , x + g ) = g(x , x ) + g(x , g ) + g(g , x ) + g(g , g ) = f(x ) + 2g(x , g ) + f(g ).

Iz ovoga slijedi formula (1). 

Definicija 2.Matrica kvadratnog oblikaf(x ) u odnosu na osnovuv = (v 1 , v 2 ,…, v n) je matrica odgovarajućeg simetričnog bilinearnog oblika g(x , g ) u odnosu na osnovu v.

Teorem 1. NekaX= (x 1 ,x 2 ,…, x n)t- koordinatni stupac vektorax u osnoviv, B - matrica kvadratnog oblikaf(x ) u odnosu na osnovuv. Zatim kvadratni oblikf(x )

Redukcija kvadratnih oblika

Razmotrimo najjednostavniju i najčešće korištenu u praksi metodu svođenja kvadratnog oblika na kanonski oblik, tzv. Lagrangeova metoda. Temelji se na izdvajanju potpunog kvadrata u kvadratnom obliku.

Teorem 10.1(Lagrangeov teorem) Bilo koji kvadratni oblik (10.1):

korištenjem nespecijalne linearne transformacije (10.4) može se svesti na kanonski oblik (10.6):

,

□ Provest ćemo dokaz teorema na konstruktivan način, koristeći Lagrangeovu metodu identificiranja potpunih kvadrata. Zadatak je pronaći nesingularnu matricu takvu da linearna transformacija (10.4) rezultira kvadratnom formom (10.6) kanonskog oblika. Ova matrica će se dobiti postupno kao produkt konačnog broja matrica posebne vrste.

Točka 1 (pripremna).

1.1. Odaberimo među varijablama onu koja je istodobno uključena u kvadratni oblik na kvadrat i na prvu potenciju (nazovimo je vodeća varijabla). Prijeđimo na točku 2.

1.2. Ako nema vodećih varijabli u kvadratnom obliku (za sve : ), tada odabiremo par varijabli čiji je umnožak uključen u obrazac s koeficijentom koji nije nula i prelazimo na korak 3.

1.3. Ako u kvadratnom obliku nema produkata suprotnih varijabli, tada je taj kvadratni oblik već prikazan u kanonskom obliku (10.6). Dokaz teorema je završen.

Točka 2 (odabir cijelog kvadrata).

2.1. Pomoću vodeće varijable odabiremo cijeli kvadrat. Bez gubitka općenitosti, pretpostavimo da je vodeća varijabla . Grupiranje pojmova koji sadrže , dobivamo

.

Odabir savršenog kvadrata prema varijabli u , dobivamo

.

Dakle, kao rezultat izoliranja cijelog kvadrata s varijablom, dobivamo zbroj kvadrata linearnog oblika

koji uključuje vodeću varijablu i kvadratni oblik iz varijabli , u koje vodeća varijabla više nije uključena. Napravimo promjenu varijabli (uvedimo nove varijable)

dobijemo matricu

() nesingularna linearna transformacija, uslijed koje kvadratni oblik (10.1) ima sljedeći oblik

S kvadratnim oblikom Napravimo isto kao u točki 1.

2.1. Ako je vodeća varijabla varijabla , tada to možete učiniti na dva načina: odaberite cijeli kvadrat za ovu varijablu ili izvršite preimenovanje (prenumeriranje) varijable:

s nesingularnom matricom transformacije:

.

Točka 3 (kreiranje vodeće varijable). Odabrani par varijabli zamijenimo zbrojem i razlikom dviju novih varijabli, a preostale stare varijable zamijenimo odgovarajućim novim varijablama. Ako je npr. u stavku 1. istaknut pojam

tada odgovarajuća promjena varijabli ima oblik

a u kvadratnom obliku (10.1) dobit će se vodeća varijabla.

Na primjer, u slučaju zamjene varijable:

matrica ove nesingularne linearne transformacije ima oblik

.

Kao rezultat gornjeg algoritma (sekvencijalna primjena točaka 1, 2, 3), kvadratni oblik (10.1) će se svesti na kanonski oblik (10.6).

Napominjemo da smo kao rezultat transformacija izvedenih na kvadratnoj formi (odabir kompletnog kvadrata, preimenovanje i kreiranje vodeće varijable) koristili elementarne nesingularne matrice tri tipa (to su matrice prijelaza iz baze u bazu). Tražena matrica nesingularne linearne transformacije (10.4), pod kojom oblik (10.1) ima kanonski oblik (10.6), dobiva se množenjem konačnog broja elementarnih nesingularnih matrica tri vrste. ■

Primjer 10.2. Dajte kvadratni oblik

u kanonski oblik Lagrangeovom metodom. Označite odgovarajuću nesingularnu linearnu transformaciju. Izvršite provjeru.

Otopina. Izaberimo vodeću varijablu (koeficijent). Grupiranje pojmova koji sadrže , I odabirom kompletnog kvadrata iz njega, dobivamo

gdje je naznačeno

Napravimo promjenu varijabli (uvedimo nove varijable)

Izražavanje starih varijabli u smislu novih:

dobijemo matricu