Definicija rastuće funkcije.

Funkcija y=f(x) povećava se tijekom intervala X, ako za bilo koji i nejednakost vrijedi. Drugim riječima, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Definicija opadajuće funkcije.

Funkcija y=f(x) smanjuje se na intervalu X, ako za bilo koji i nejednakost vrijedi . Drugim riječima, manja vrijednost funkcije odgovara većoj vrijednosti argumenta.

NAPOMENA: ako je funkcija definirana i kontinuirana na krajevima rastućeg ili opadajućeg intervala (a;b), odnosno kada x=a I x=b, tada su te točke uključene u interval povećanja ili opadanja. To nije u suprotnosti s definicijama rastuće i padajuće funkcije na intervalu X.

Na primjer, iz svojstava osnovnih elementarnih funkcija znamo da y=sinx definiran i kontinuiran za sve realne vrijednosti argumenta. Prema tome, iz porasta funkcije sinusa na intervalu, možemo ustvrditi da ona raste na intervalu.

Točke ekstrema, ekstremi funkcije.

Točka se zove maksimalna točka funkcije y=f(x), ako za sve x iz njegove okoline vrijedi nejednakost. Vrijednost funkcije u točki maksimuma naziva se maksimum funkcije i označavaju .

Točka se zove minimalna točka funkcije y=f(x), ako za sve x iz njegove okoline vrijedi nejednakost. Vrijednost funkcije u točki minimuma naziva se minimalna funkcija i označavaju .

Okolica točke shvaćena je kao interval , gdje je dovoljno mali pozitivan broj.

Pozivaju se minimalne i maksimalne točke ekstremne točke, a nazivaju se vrijednosti funkcije koje odgovaraju točkama ekstrema ekstremi funkcije.

Nemojte brkati ekstreme funkcije s najvećom i najmanjom vrijednošću funkcije.

Na prvoj slici najveća vrijednost funkcije na segmentu postiže se u točki maksimuma i jednaka je maksimumu funkcije, a na drugoj slici - najveća vrijednost funkcije postiže se u točki x=b, što nije maksimalna točka.

Dovoljni uvjeti za rastuće i padajuće funkcije.

Na temelju dovoljnih uvjeta (predznaka) za porast i pad funkcije nalaze se intervali porasta i pada funkcije.

Evo formulacija znakova rastućih i opadajućih funkcija na intervalu:

ako je izvod funkcije y=f(x) pozitivno za bilo koga x iz intervala X, tada funkcija raste za X;

ako je izvod funkcije y=f(x) negativno za bilo koga x iz intervala X, tada funkcija opada za X.

Dakle, za određivanje intervala povećanja i opadanja funkcije potrebno je:

Razmotrimo primjer pronalaženja intervala rastućih i opadajućih funkcija kako bismo objasnili algoritam.

Primjer.

Odredite intervale rastućih i padajućih funkcija.

Otopina.

Prvi korak je pronaći definiciju funkcije. U našem primjeru, izraz u nazivniku ne bi trebao ići na nulu, dakle, .

Prijeđimo na pronalaženje izvoda funkcije:

Da bismo odredili intervale rasta i opadanja funkcije na temelju dovoljnog kriterija, rješavamo nejednadžbe na domeni definicije. Poslužimo se generalizacijom metode intervala. Jedini pravi korijen brojnika je x = 2, a nazivnik ide na nulu na x=0. Te točke dijele područje definicije na intervale u kojima derivacija funkcije zadržava svoj predznak. Označimo te točke na brojevnom pravcu. Intervale u kojima je derivacija pozitivna ili negativna konvencionalno označavamo plusevima i minusima. Donje strelice shematski prikazuju porast ili pad funkcije na odgovarajućem intervalu.

Vrlo važne informacije o ponašanju funkcije daju rastući i opadajući intervali. Njihovo pronalaženje dio je procesa ispitivanja funkcije i crtanja grafikona. Osim toga, ekstremnim točkama u kojima dolazi do promjene od rastućeg prema padajućem ili od padajućeg do rastućeg pridaje se posebna pozornost pri pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti funkcije na određenom intervalu.

U ovom ćemo članku dati potrebne definicije, formulirati dovoljan kriterij za porast i pad funkcije na intervalu i dovoljne uvjete za postojanje ekstrema te cijelu tu teoriju primijeniti na rješavanje primjera i problema.

Navigacija po stranici.

Rastuća i padajuća funkcija na intervalu.

Definicija rastuće funkcije.

Funkcija y=f(x) raste na intervalu X ako za bilo koje i nejednakost vrijedi. Drugim riječima, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Definicija opadajuće funkcije.

Funkcija y=f(x) opada na intervalu X ako za bilo koje i nejednakost vrijedi . Drugim riječima, manja vrijednost funkcije odgovara većoj vrijednosti argumenta.

NAPOMENA: ako je funkcija definirana i kontinuirana na krajevima rastućeg ili padajućeg intervala (a;b), to jest na x=a i x=b, tada su te točke uključene u rastući ili padajući interval. Ovo nije u suprotnosti s definicijama rastuće i opadajuće funkcije na intervalu X.

Na primjer, iz svojstava osnovnih elementarnih funkcija znamo da je y=sinx definiran i kontinuiran za sve stvarne vrijednosti argumenta. Prema tome, iz porasta funkcije sinusa na intervalu, možemo ustvrditi da ona raste na intervalu.

Točke ekstrema, ekstremi funkcije.

Točka se zove maksimalna točka funkcija y=f(x) ako je nejednakost istinita za sve x u njenom susjedstvu. Vrijednost funkcije u točki maksimuma naziva se maksimum funkcije i označavaju .

Točka se zove minimalna točka funkcija y=f(x) ako je nejednakost istinita za sve x u njenom susjedstvu. Vrijednost funkcije u točki minimuma naziva se minimalna funkcija i označavaju .

Okolica točke shvaćena je kao interval , gdje je dovoljno mali pozitivan broj.

Pozivaju se minimalne i maksimalne točke ekstremne točke, a nazivaju se vrijednosti funkcije koje odgovaraju točkama ekstrema ekstremi funkcije.

Nemojte brkati ekstreme funkcije s najvećom i najmanjom vrijednošću funkcije.

Na prvoj slici najveća vrijednost funkcije na segmentu postiže se u točki maksimuma i jednaka je maksimumu funkcije, a na drugoj slici najveća vrijednost funkcije se postiže u točki x=b. , što nije najveća točka.

Dovoljni uvjeti za rastuće i padajuće funkcije.

Na temelju dovoljnih uvjeta (predznaka) porasta i opadanja funkcije nalaze se intervali porasta i opadanja funkcije.

Evo formulacija znakova rastućih i opadajućih funkcija na intervalu:

• ako je derivacija funkcije y=f(x) pozitivna za bilo koji x iz intervala X, tada funkcija raste za X;
• ako je derivacija funkcije y=f(x) negativna za bilo koji x iz intervala X, tada funkcija opada na X.

Dakle, za određivanje intervala povećanja i opadanja funkcije potrebno je:

Razmotrimo primjer pronalaženja intervala rastućih i opadajućih funkcija kako bismo objasnili algoritam.

Primjer.

Odredite intervale rastućih i padajućih funkcija.

Otopina.

Prvi korak je pronaći domenu definicije funkcije. U našem primjeru, izraz u nazivniku ne bi trebao ići na nulu, dakle, .

Prijeđimo na pronalaženje izvoda funkcije:

Da bismo odredili intervale rasta i opadanja funkcije na temelju dovoljnog kriterija, rješavamo nejednadžbe na domeni definicije. Poslužimo se generalizacijom metode intervala. Jedini pravi korijen brojnika je x = 2, a nazivnik ide na nulu kod x=0. Te točke dijele područje definicije na intervale u kojima derivacija funkcije zadržava svoj predznak. Označimo te točke na brojevnom pravcu. Intervale u kojima je derivacija pozitivna ili negativna konvencionalno označavamo plusevima i minusima. Donje strelice shematski prikazuju porast ili pad funkcije na odgovarajućem intervalu.

dakle, I .

U točki Funkcija x=2 je definirana i kontinuirana, pa je treba dodati i rastućim i opadajućim intervalima. U točki x=0 funkcija nije definirana, pa tu točku ne uključujemo u tražene intervale.

Predstavljamo graf funkcije kako bismo usporedili rezultate dobivene njome.

Odgovor:

Funkcija se povećava sa , opada na intervalu (0;2] .

Dovoljni uvjeti za ekstrem funkcije.

Da biste pronašli maksimume i minimume funkcije, možete koristiti bilo koji od tri znaka ekstrema, naravno, ako funkcija zadovoljava njihove uvjete. Najčešći i najprikladniji je prvi od njih.

Prvi dovoljan uvjet za ekstrem.

Neka je funkcija y=f(x) diferencijabilna u -okolici točke i kontinuirana u samoj točki.

Drugim riječima:

Algoritam za pronalaženje točaka ekstrema na temelju prvog znaka ekstrema funkcije.

• Nalazimo domenu definicije funkcije.
• Derivaciju funkcije nalazimo na domeni definicije.
• Određujemo nule brojnika, nule nazivnika derivacije i točke područja definicije u kojima derivacija ne postoji (sve navedene točke nazivamo točke mogućeg ekstrema, prolazeći kroz te točke, izvod može samo promijeniti predznak).
• Te točke dijele područje definicije funkcije na intervale u kojima derivacija zadržava svoj predznak. Na svakom od intervala određujemo predznake derivacije (npr. izračunavanjem vrijednosti derivacije funkcije u bilo kojoj točki pojedinog intervala).
• Odaberemo točke u kojima je funkcija kontinuirana i prolaskom kroz koje derivacija mijenja predznak - to su točke ekstrema.

Previše je riječi, pogledajmo bolje nekoliko primjera nalaženja točaka ekstrema i ekstrema funkcije pomoću prve dovoljan uvjet ekstrem funkcije.

Primjer.

Pronađite ekstreme funkcije.

Otopina.

Domena funkcije je cijeli skup realnih brojeva osim x=2.

Pronalaženje derivata:

Nule brojnika su točke x=-1 i x=5, nazivnik ide na nulu kod x=2. Označite te točke na brojevnoj osi

Određujemo predznake derivacije u svakom intervalu; da bismo to učinili, izračunavamo vrijednost derivacije u bilo kojoj od točaka svakog intervala, na primjer, u točkama x=-2, x=0, x=3 i x=6.

Dakle, na intervalu je derivacija pozitivna (na slici smo iznad tog intervala stavili znak plus). Također

Stoga iznad drugog intervala stavljamo minus, iznad trećeg minus, a iznad četvrtog plus.

Ostaje odabrati točke u kojima je funkcija kontinuirana i njezina derivacija mijenja predznak. To su točke ekstrema.

U točki x=-1 funkcija je neprekidna i derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, dakle, prema prvom predznaku ekstremuma, x=-1 je točka maksimuma, njoj odgovara maksimum funkcije .

U točki x=5 funkcija je neprekidna i derivacija mijenja predznak iz minus u plus, dakle, x=-1 je točka minimuma, njoj odgovara minimum funkcije .

Grafička ilustracija.

Odgovor:

NAPOMENA: prvi dovoljan kriterij za ekstrem ne zahtijeva diferencijabilnost funkcije u samoj točki.

Primjer.

Odredite točke ekstrema i ekstreme funkcije .

Otopina.

Domena funkcije je cijeli skup realnih brojeva. Sama funkcija se može napisati kao:

Nađimo izvod funkcije:

U točki x=0 izvod ne postoji, budući da se vrijednosti jednostranih granica ne podudaraju kada argument teži nuli:

U isto vrijeme, izvorna funkcija je kontinuirana u točki x=0 (vidi odjeljak o proučavanju funkcije za kontinuitet):

Pronađimo vrijednost argumenta pri kojoj izvod ide na nulu:

Označimo sve dobivene točke na brojevnom pravcu i odredimo predznak derivacije na svakom od intervala. Da bismo to učinili, izračunavamo vrijednosti derivata u proizvoljnim točkama svakog intervala, na primjer, na x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

tj.

Dakle, prema prvom znaku ekstrema, minimalne točke su , maksimalni broj bodova je .

Izračunavamo odgovarajuće minimume funkcije

Izračunavamo odgovarajuće maksimume funkcije

Grafička ilustracija.

Odgovor:

.

Drugi znak ekstrema funkcije.

Kao što vidite, ovaj znak ekstrema funkcije zahtijeva postojanje derivacije barem drugog reda u točki.

Napredak lekcije:

Aktivnosti učenika

Resursi

2 min

I. Organizacijski trenutak.

Pozdravlja učenikeprovjerava spremnost za nastavu i želi uspjeh.

Razmislite o cilju.

Bilježnice

5 min

II. Provjera domaće zadaće: nbh riješiti neriješene zadatke, objasniti.

Pokažu svoje znanje.

Stolovi

10 min

II. studiranje nova tema

Ako je derivacija zadane funkcije pozitivna za sve vrijednosti x u intervalu ( A;V), tj. f"(x) > 0, tada funkcija raste u tom intervalu.
Ako je derivacija zadane funkcije negativna za sve vrijednosti X u intervalu( A;V), tj. f"(x) < 0, то функция в этом интервале убывает.

Redoslijed nalaženja intervala monotonosti:

Odredi domenu definicije funkcije.

Pronađite prvu derivaciju funkcije.

Naći kritične točke, istražiti predznak prve derivacije u intervalima na koje pronađene kritične točke dijele područje definicije funkcije.

Odredite intervale monotonosti funkcija.

Ispitajmo predznak derivacije u dobivenim intervalima i prikažimo rješenje u obliku tablice.

Dovoljan uvjet za postojanje maksimuma je promjena predznaka derivacije pri prolasku kroz kritičnu točku iz “+” u “-”, a za minimum iz “-” u “+”. Ako se pri prolasku kroz kritičnu točku predznak derivacije ne promijeni, tada u ovoj točki nema ekstrema.

Razmotrimo nekoliko primjera proučavanja rastućih i opadajućih funkcija.

Odredite intervale rastuće i opadajuće funkcije

1) f(x) = 3- 0,5x,

2) f(x) = - x2+2x-3,

3) f(x) = 4x-5,

4) f(x) = 5x 2-3x+1.

(-∞;1)-povećava se, (1;+∞)-smanjuje

(-∞;+∞)-povećava

(-∞;0,3)-povećava se, (0,3;+∞)-smanjuje

(-∞;+∞)-opadajuća

Pokažite vještine.

Plakati

Formule

Udžbenik

min

IV. Konsolidacija znanja Rad s udžbenikom br.258,br.261

3. Pronađite stacionarne točke, t.j. točke gdje je f"( x) = 0 ili f"( x) ne postoji.
(Izvodnica je 0 na nulama brojnika, derivacija ne postoji na nulama nazivnika)

4. Položaj D( f) i ove točke na koordinatnoj liniji.

5. Odredite predznake derivacije na svakom od intervala

6. Primijenite znakove. 7. Zapišite odgovor.

3 min

V. Sažetak lekcije.samoprocjena učenika o rezultatima njihovih obrazovnih aktivnosti.Provodi refleksiju.

Što ste novo naučili u lekciji?

Bili smo tu za vas zanimljive točke?

Zapišite svoje mišljenje o lekciji na naljepnicama.

karte

2 min

VI.domaća zadaća. Objašnjava značajke domaća zadaća № 259, № 257

zabilježeno u dnevnicima.

Dnevnik

Neka je f kontinuirana na intervalu i diferencijabilna u unutarnjim točkama tog intervala. Tada postoji unutarnja točka iz tog segmenta takva da je tangenta na graf funkcije, povučena u točki s apscisom c, paralelna s tetivom AB, gdje su A(a;f(x)) i B(b; f(x)). Ili: na glatkom luku AB uvijek postoji točka c u kojoj je tangenta paralelna s tetivom koja spaja krajeve luka.

Neka je f kontinuirana na intervalu i diferencijabilna u unutarnjim točkama tog intervala. Zatim postoji unutarnja točka iz ovog segmenta takva da

Korolar 1: ako je funkcija f neprekidna na segmentu i njezina derivacija jednaka nuli unutar tog segmenta, tada je funkcija f konstantna na segmentu.

Korolar 2: Ako su funkcije f i g kontinuirane na intervalu i imaju iste izvodnice unutar tog intervala, tada se razlikuju za konstantni član.

2. Dovoljan znak povećanje funkcije:

Ako je f[/](x)>0 u svakoj točki intervala I, tada funkcija f raste na intervalu I.

3. Dovoljan znak opadajuće funkcije:

Ako je f[/](x)

Dokažimo ove znakove pomoću Lagrangeove formule:

Uzmimo bilo koja dva broja iz intervala. Neka bude. Prema Lagrangeovoj formuli postoji broj takav da.

Broj c pripada intervalu I, budući da točke pripadaju tom intervalu. Ako je f[/](x)>0 za, tada je f[/](c) >0, pa prema tome - to slijedi iz formule (1), jer ->0. Time je dokazano da funkcije f rastu na intervalu I. Ako je f[/](x) 0. Funkcija f opada na intervalu I je dokazana.

Primjer 1. pronaći intervale rastuće i opadajuće funkcije

2. Odredi derivaciju funkcije i njene kritične točke: ili

3. Označite točke ekstrema na numeričkoj osi i pronađite intervale porasta i opadanja funkcije

Odgovor: - funkcija se povećava

Funkcija se smanjuje

Primjer 2. Ispitajte rastuću (opadajuću) funkciju:

2. Odrediti derivaciju i ekstremne točke funkcije:

3. Označite kritičnu točku na brojevnoj osi i pronađite intervale porasta (opadanja) funkcije:

Odgovor: - funkcija je opadajuća

Funkcija se povećava

II. Kritične točke. Znakovi nalaženja maksimuma i minimuma funkcije.

1. Kritične točke

Definicija: kritične točke funkcije su unutarnje točke domene definicije funkcije u kojima je njezina derivacija nula ili ne postoji.

broj 1. Odredite kritične točke funkcije f: a) g(x) =

Odgovor: , gdje; , gdje je b) g(x) =

2. Znakovi nalaženja maksimuma i minimuma funkcije.

Znak maksimalnih funkcija:

Ako je funkcija f kontinuirana u točki x0, a f[/](x)>0 na intervalu (a; x0) i f[/](x)

Ili: ako u točki x0 derivacija promijeni predznak s plusa na minus, tada je x0 točka maksimuma.

Dokaz:

Derivacija f[/](x)>0 na intervalu (a;x0), a funkcija je neprekidna u točki x0, stoga funkcija f raste na intervalu (a;x0], a time i f(x)

Na intervalu [x0;c) funkcija opada, pa je stoga f(x)

Znakovi minimalne funkcije:

Ako je funkcija f kontinuirana u točki x0, a f[/](x) 0 na intervalu (x0;b), tada je točka x0 točka minimuma funkcije f.

Ili: ako u točki x0 derivacija promijeni predznak s minusa na plus, tada je x0 točka minimuma.

Dokaz:

Derivacija f[/](x) f (x0) za sve x iz intervala (a; x0).

Na intervalu [x0;b) funkcija f raste, pa je f(x) >f (x0) za sve iz intervala (a;b), odnosno x0 je točka minimuma f.

III. Druga derivacija. Znakovi konveksnosti i konkavnosti.

Neka u točki postoji druga derivacija. Zatim, ako, tada je točka minimalna točka, a ako, tada je točka maksimalna točka funkcije.

Ako, tada je izbočina usmjerena prema dolje. Ako, onda je izbočina usmjerena prema gore.

IV. Kose asimptote

Definicija: Ravna crta je kosa asimptota grafa funkcije, gdje je i

Jednadžba kose asimptote

Jednadžba okomitih asimptota kosih asimptota

V. Dizajn studije funkcije

1. Nađimo domenu definicije funkcije.

2. Ispitajte funkciju na parnost (neparnost).

3. Pronađite točke presjeka grafa s koordinatnim osima i odredite intervale konstantnog predznaka funkcije.

4. Nađi derivaciju.

5. Odredite točke ekstrema funkcije te intervale rasta i opadanja funkcije.

6. Napravite tablicu.

7. Nađite drugu derivaciju.

8. Odredite točke infleksije grafa funkcije i odredite intervale konveksnosti i konkavnosti tog grafa.

9. Odredite asimptote grafa funkcije, ako je potrebno.

10. Konstruirajte skicu grafa ove funkcije.

11. Pronađite skup vrijednosti funkcije.

VI. Primjeri za proučavanje funkcije

2). Ne može se govoriti o paritetu funkcije.

5) Nađite točke ekstrema funkcije i intervale rasta i opadanja funkcije:

Funkcija se povećava

Funkcija se smanjuje

6) Napravimo tablicu x

7) Nađite drugu derivaciju

8) Pronađite točke infleksije: ili

Izbočiti se

Ispupčiti prema dolje

9) Utvrdimo da kose asimptote ne postoje. nema kosih asimptota.

10) Raspored

; x=2 - vertikalna asimptota

2). Ne može se govoriti o paritetu funkcije

3) Pronađite točke presjeka grafa s osi OX.

Nađimo točke presjeka grafa s OU osi.

4) Pronađite izvod funkcije:

5) Nađite točke ekstrema funkcije te točke porasta i opadanja funkcije:

Funkcija se povećava

Funkcija se smanjuje

6) Napravimo tablicu x

7) Pronađite drugu derivaciju:

8) Pronađite točke infleksije: nema točaka infleksije

Ispupčiti prema dolje

Izbočiti se

Jednadžba kose asimptote

10) Raspored

Vertikalna asimptota

2) ne možemo govoriti o paritetu funkcije

Nema točaka sjecišta s osi OX.

Ne postoji. Ne postoje takve točke.

4) Pronađite izvod:

Funkcija se smanjuje

Funkcija se povećava

6) Napravimo tablicu:

7) Nacrtajmo funkciju:

Vertikalna asimptota

2) - ne možemo govoriti o paritetu funkcije

3) Pronađite točke presjeka grafa s osi OX.

Nađimo točke presjeka grafa s osi OY.

4) Pronađite izvod:

5) Odredite točke ekstrema funkcije i intervale rasta i opadanja funkcije.

Nema kritičnih točaka.

Nema max i min bodova.

6) Napravimo tablicu:

↘ 7) Pronađite drugu derivaciju:

8) Pronađite točke infleksije grafa funkcije i postavite intervale konveksnosti i konkavnosti:

Nema točaka infleksije.

Izbočiti se

Ispupčiti prema dolje

9) Pronađite kose asimptote:

Jednadžba horizontalne asimptote, budući da je k = 0.

10) Nacrtajmo funkciju:

;

- vertikalne asimptote

3) Pronađite točke presjeka grafa s osi OX.

Nađimo točke presjeka grafa s osi OY.

4) Pronađite izvod:

2) - funkcija je neparna, jer. Graf je simetričan oko ishodišta.

5) Nađite točke ekstrema i intervale porasta i opadanja funkcije:

Funkcija se smanjuje

Funkcija se povećava

6) Napravimo tablicu:

Nema rješenja.

↘ Nije imenica.

↗ 7) Pronađite kose asimptote:

Nema kosih asimptota.

8) Pronađite drugu derivaciju:

Ispupčiti prema dolje

Izbočiti se

9) Pronađite točke infleksije: ili ili

10) Izgradimo grafikon

VII. Povijesni podaci. Kraj je bio potpuno drugačijiživotni put

još jedan tvorac matematičke analize - Gottfried Wilhelm Leibniz (1646. - 1716.). Ali prvo o svemu. Njegovi su preci došli iz Poljske i nosili prezime Lubenitz. Nakon preseljenja u Leipzig, njihovo se prezime počelo izgovarati na njemački način. Zanimljivo je da je i samo ime ovog grada slavensko, što znači da je Leibniz rođen u obitelji profesora filozofije Rano je ostao bez roditelja: sa 6 godina ostao je bez oca, a sa 17 godina - bez majke. grčki jezici

, strast prema filozofiji i matematici. Odlikovala ga je velika znatiželja, mnoge predmete učio je sam, prije nego što ih je upoznao u školi. Pamćenje mu je bilo neujednačeno: lako je pamtio složene stvari i još gore - jednostavne; dugo nije mogao provoditi proračune, već je težio generalizacijama i apstrakcijama. A takvo pamćenje i način razmišljanja Leibniz je zadržao kroz cijeli život.

U dobi od 15 godina Leibniz je bio student na Filozofskom fakultetu na Sveučilištu u Leipzigu. Ovaj je fakultet bio pripravni za pravo i teologiju. Nakon briljantne diplome na Filozofskom, a zatim i na Pravnom fakultetu, 20-godišnji Leibniz nije uspio dobiti željeno mjesto u rodnom gradu. Konzervativna pravila na sveučilištu stvorila su materijalne prepreke stjecanju doktorata. Odlazi u Nürnberg i na tamošnjem sveučilištu s neviđenim uspjehom brani pravnu disertaciju za doktorat. Uočen je izniman talent mladog znanstvenika. U diplomatsku službu poziva ga izborni knez (princ koji ima pravo birati kralja) grada Mainza, a kasnije i vojvoda od Hannovera. Dok je bio u Parizu zbog posla za izbornog kneza, Leibniz se susreo s mnogim poznatim znanstvenicima. Rasprave probuditi njegov interes za matematiku. Kasnije se u pismu I. Bernoulliju prisjetio: >. Nakon završetka sveučilišta (1666.) Leibniz je objavio filozofsko-matematičko djelo >, pa je, govoreći o svom >, mislio na nepoznavanje najnovijih dostignuća matematike. Kako bi se upoznao s novim rezultatima i idejama koje su u to vrijeme nastale u matematici, obratio se za pomoć Huygensu. Savjetuje mu da pažljivo prouči brojna djela, a Leibniz se sa zavidnim žarom lati posla: proučava djela Saint-Vincenta i Wallisa, Descartesa i Pascala te se bavi vlastitim istraživanjem.

Ali kad diplomatskim poslom stigne u London i svoje rezultate izvijesti engleskim matematičarima, iznenadi se kada sazna da su im mnogi od tih rezultata već poznati iz Newtonova rukopisa, koji se čuva u Kraljevskom društvu. Leibniz preko tajnika ovog društva Oldenburga (1615. - 1677.) piše Newtonu o svom radu. U istom pismu traži od Newtona da izvijesti o svojim rezultatima. Kao odgovor, on prima (opet preko Oldenburga) dva pisma u kojima Newton objašnjava operacije diferencijacije i integracije pomoću serija.

Leibniz se nije žurio objaviti svoje rezultate na području novog računa, možda čekajući Newtonove objave. Ali 1683. Tschirnhauz je objavio članak o kvadraturi algebarskih krivulja. Ne spominje ime Leibniza, iako je Tschirnhaus njemu mnogo zaslužan u rješavanju tih pitanja. Da bi zadržao prednost u ovom području, Leibniz sljedeće godine objavljuje članak >, a godinu dana kasnije - >. Prvi od njih sadržavao je osnove diferencijalnog računa, drugi - integral.

Osnova nova znanost postavio je koncept diferencijala. Sada je diferencijal df(x0) funkcije y=f(x) u točki x0 dan formulom df(xo) = f"(xo)dx, gdje je f"(xb) derivacija izračunata u točki xo, njihov je prirast argumenta. Leibniz definira diferencijal kao jednu od krakova karakterističnog trokuta, o čemu je bilo riječi u prethodnom poglavlju (odjeljak 9). Iz slike 46 se vidi da su ove definicije ekvivalentne.

Leibniz daje pravila za izračunavanje diferencijala zbroja, razlike, umnoška, ​​kvocijenta, stupnja i rješava diferencijalne jednadžbe. Integral definira kao zbroj diferencijacija, ističući međusobnu inverznu prirodu operacija diferenciranja i integracije: >. Odakle svojstva integrala i metode njihova izračunavanja? U sljedećim člancima Leibniz je razvio novu analizu. Dokazao je da je svaka integrabilna funkcija ograničena (nužan uvjet za integrabilnost) i razvio algoritam za izračunavanje određenih vrsta integrala, posebice metodu za integraciju racionalnih funkcija. Važnost ove metode ne može se precijeniti, budući da se uz pomoć raznih zamjena integrala racionalnih funkcija može reducirati široka lepeza integrala. Pogledajmo ovu metodu detaljnije.

Da bi grafički riješio problem integriranja proizvoljnih funkcija, Leibniz je izumio (1693.) mehaničku napravu – integrator. Ako jednu iglu ovog uređaja pomičete po grafu funkcije, druga iscrtava graf antiderivacije.

Još uvijek koristimo algoritme i zapise koje je razvio Leibniz, kao i većinu matematičkih pojmova koje je on uveo: funkcija, varijabla, konstanta, koordinate, apscisa, algoritam, diferencijal, itd. Mnogi od ovih pojmova korišteni su prije, ali nisu imali specifično značenje koje im je dao Leibniz.

Početkom sljedećeg stoljeća izbila je žestoka rasprava o prioritetu izuma analize. Povod tome bio je Leibnizov prikaz (1704.) Newtonova djela, gdje je ukazao na ideološku podudarnost Newtonova i Fabryeva tumačenja infinitezimalnoga. Takva usporedba velikog Engleza s malo poznatim francuskim matematičarom O n o -reom Fabryjem (1607. - 1688.) izazvala je ogorčenje engleskih znanstvenika. (A Leibniz nije imao nikakve prikrivene motive; Fabryjeva je knjiga jednostavno bila jedna od rijetkih koje su mu pomogle eliminirati > tijekom pariškog razdoblja.) U tome su vidjeli omalovažavanje Newtonovih zasluga, i tako je počelo. U tom su sporu Newtonova prava branili engleski znanstvenici, a Leibnizova kontinentalni. Podršku Leibnizu od strane većine kontinentalnih matematičara objašnjavala je činjenica da su se njegovi zapisi pokazali toliko savršenima, a samo učenje tako pristupačnim, da su odmah našli pristaše među mnogim znanstvenicima u Europi, što je iznimno rijetko kada novi pojavljuje se teorija.

Očigledno je upravo taj spor imao na umu divni ruski pjesnik Valerij Brjusov kada je napisao sljedeće retke:

O Leibnize, o mudrače, tvorče proročkih knjiga! Ti si bio iznad svijeta, kao drevni proroci. Tvoja dob, čudeći se tebi, nije dostigla proročanstva I pomiješala lude prijekore s laskanjem.

Zapravo, tvrdnje obje strane bile su neutemeljene. Oba znanstvenika neovisno su došla do stvaranja diferencijalnog i integralnog računa, a pristupi su im bili potpuno različiti. Newton je koristio aparat redova snaga, a Leibniz koncept diferencijala. Žestoki spor doveo je do toga da su engleski matematičari ignorirali sve što je dolazilo od Leibniza i njegove škole, a kontinentalni matematičari ignorirali su rad Engleza. Budući da se kontinent oslanjao na Leibnizovu simboliku, koja je bila naprednija od Newtonove, a znanstvenike povezivale zajedničke ideje, objavljene i svima dostupne, kontinentalni matematičari u postnewtonovskom razdoblju daleko su prednjačili u odnosu na Engleze.

Međutim, u sudbini Leibniza kobnu je ulogu odigralo neprijateljstvo između engleskih i kontinentalnih matematičara. Vojvoda, kojemu je služio kao knjižničar, povjesničar i biograf, postavši engleskim kraljem (1714.) odlazi u London. Leibniz ga nije mogao slijediti zbog narušenih odnosa s engleskim matematičarima. Osim toga, knez je bio nezadovoljan svojim historiografom, smatrajući da nije posvećivao dovoljno pažnje svojim neposrednim službenim dužnostima. Leibniz je morao ostati raditi u Kneževoj knjižnici. Nemilost novookrunjenog engleskog kralja dovela je do činjenice da se krug znanstvenika znatno prorijedio. Dvije godine kasnije umro je, a na posljednjem putu ispratili su ga samo tajnik i grobari. Uvredljiva nepravda sudbine u odnosu na velikog znanstvenika, koji je učinio mnogo.

Unatoč golemoj zauzetosti oko sastavljanja povijesti kneževske kuće, koja se pretvorila u povijest zapadne Europe, i drugim obavezama koje su ga odvlačile od znanosti, Leibniz je ostavio mnoga djela iz matematike, filozofije, biologije, teorije znanja, politike, prava i lingvistika. Svestrani znanstvenik, dao je neprocjenjiv doprinos svakom od ovih područja. Ideje su izlijevale iz njega kao iz roga obilja: svako pismo, svaka bilješka ili članak sadržavali su nešto temeljno novo u razmatranom području znanosti, ponekad određujući njegov daljnji razvoj. Mnogo je učinjeno uz njegovo neposredno sudjelovanje. U Berlinu je organizirao znanstveno društvo, koje je kasnije pretvoreno u Berlinsku akademiju znanosti, i postao njezin prvi predsjednik. Bio je prvi strani član Pariške akademije znanosti. Leibniz se više puta susreo u Berlinu s Petrom I., za kojeg je razvio niz projekata za razvoj obrazovanja i uprave u Rusiji, kao i stvaranje Sanktpeterburške akademije znanosti.

Ali njegov najznačajniji doprinos bio je matematici. Ušavši u nju, uspio ju je potpuno transformirati. Nakon njegova rada i rada njegovih najbližih suradnika, ne samo da se javlja matematička analiza, nego cijela matematika ulazi u novo doba.

Znakovi lokalnog povećanja i smanjenja funkcije.

Jedan od glavnih zadataka proučavanja funkcije je pronaći intervale njezina porasta i pada. Takva se studija može lako provesti pomoću derivata. Formulirajmo odgovarajuće iskaze.

Dovoljan znak povećanja funkcije. Ako je f’(x) > 0 u svakoj točki intervala I, tada funkcija f raste za I.

Dovoljan znak opadajuće funkcije. Ako je f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Dokaz ovih znakova provodi se na temelju Lagrangeove formule (vidi paragraf 19). Uzmite bilo koja dva broja x 1 i x 2 iz intervala. Neka x 1 postoji broj c∈(x 1 , x 2 ), tako da

(1)

Broj c pripada intervalu I, budući da su točke x 1 i x 2 pripadaju I. Ako je f"(x)>0 za x∈I tada je f’(c)>0, pa stoga F(x 1 )) - to slijedi iz formule (1), budući da je x 2 - x 1 >0. Ovo dokazuje da funkcija f raste na I. Ako je f’ (x)<0 для х∈I то f"(с)<0, и потому f(x 1)>f (x 2 ) — slijedi iz formule (1), budući da je x 2 -x 1 >0. Dokazano je opadanje funkcije f na I.

Vizualno značenje znakova jasno je iz fizičkog razmišljanja (za sigurnost, uzmimo u obzir znak povećanja).

Neka točka koja se giba po osi ordinata u trenutku t ima ordinatu y = f(t). Tada je brzina te točke u trenutku t jednaka f"(t) (vidi. Trenutna brzina ). Ako je f’ (t)>0 u svakom trenutku vremena iz intervala t, tada se točka pomiče u pozitivnom smjeru osi ordinata, tj. ako je t 1 ). To znači da funkcija f raste na intervalu I.

Napomena 1.

Ako je funkcija f kontinuirana na bilo kojem kraju rastućeg (opadajućeg) intervala, tada je ta točka pripojena tom intervalu.

Napomena 2.

Za rješavanje nejednakosti f" (x)>0 i f" (x)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.

Nužni i dovoljni uvjeti postojanja ekstrema funkcije u točki.

Neophodan uvjet za ekstrem

Funkcija g(x) u točki ima ekstrem (maksimum ili minimum) ako je funkcija definirana u dvostranom susjedstvu točke i za sve točke x nekog područja: nejednakost je prema tome zadovoljena

(u slučaju maksimuma) ili (u slučaju minimuma).

Ekstrem funkcije može se pronaći iz uvjeta: ako derivacija postoji, tj. izjednačujemo prvu derivaciju funkcije s nulom.

Dovoljan uvjet za ekstrem

1) Prvi dovoljan uvjet:

a) f(x) je kontinuirana funkcija i definirana je u nekoj okolini točke tako da je prva derivacija u toj točki jednaka nuli ili ne postoji.

b) f(x) ima konačnu derivaciju u blizini specifikacije i kontinuitet funkcije

c) derivacija zadržava određeni predznak desno od točke i lijevo od iste točke, tada se točka može karakterizirati kako slijedi

Ovaj uvjet nije baš zgodan, jer morate provjeriti mnoge uvjete i zapamtiti tablicu, ali ako se ništa ne kaže o izvedenicama višeg reda, onda je to jedini način da se pronađe ekstrem funkcije.

2) Drugi dovoljan uvjet

Ako funkcija g(x) ima drugu derivaciju iu nekom trenutku je prva derivacija jednaka nuli, a druga derivacija je različita od nule. Zatim točka ekstrem funkcije g(x), a ako je , tada je točka maksimum; ako je , tada je točka minimum.