Učitelj najviša kategorija: Minaichenko N.S., gimnazija br. 24, Sevastopolj

Lekcija u 8. razredu: "Kvadratni trinom i njegovi korijeni"

Vrsta lekcije : lekcija novih znanja.

Cilj lekcije:

organizirati aktivnosti učenika za učvršćivanje i razvijanje znanja o razgradnji kvadratni trinom o linearnim faktorima, reducirajući razlomci;

razvijati vještine primjene znanja o svim metodama rastavljanja na faktore: stavljanju u zagrade, korištenju formula za skraćeno množenje i metodama grupiranja radi pripreme za uspješno polaganje ispita iz algebre;

stvoriti uvjete za razvoj spoznajni interes subjektu, formacija logično razmišljanje i samokontrola pri korištenju faktorizacije.

Oprema: multimedijski projektor, platno, prezentacija: “Korijeni kvadratnog trinoma”, križaljka, test, brošure.

Osnovni pojmovi . Rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore.

Samostalna aktivnost učenika. Primjena teorema o faktorizaciji kvadratnog trinoma u rješavanju zadataka.

Plan lekcije

Odgovori na pitanja studenata

IV. Primarni test usvojenosti znanja. Odraz

Poruka učiteljice.

Studentska poruka

V. domaća zadaća

Zapisivanje na ploču

Metodološki komentar:

Ova tema je temeljna u odjeljku "Identične transformacije algebarskih izraza." Stoga je važno da učenici automatski mogu ne samo vidjeti formule faktorizacije u primjerima, već ih i primijeniti u drugim zadacima: kao što su rješavanje jednadžbi, transformacija izraza, dokazivanje identiteta.

Ova se tema usredotočuje na rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore:

sjekira+ bx + c = a(x – x)(x – x),

gdje su x i x – korijenje kvadratna jednadžba ax + bx + c = 0.

To vam omogućuje da proširite vidno polje učenika, naučite ga razmišljati u nestandardnoj situaciji, koristeći materijal koji se proučava, tj. pomoću formule za rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore:

sposobnost redukcije algebarskih razlomaka;

sposobnost pojednostavljivanja algebarskih izraza;

sposobnost rješavanja jednadžbi;

sposobnost dokazivanja identiteta.

Glavni sadržaj lekcije:

a) 3x + 5x – 2;

b) –x + 16x – 15;

c) x – 12x + 24;

d) –5x + 6x – 1.

№2. Smanjite razlomak:

№3. Pojednostavite izraz:

№4. Riješite jednadžbu:

b)

Napredak lekcije:

I. Etapa obnavljanja znanja.

Motivacija za aktivnosti učenja.

a) iz povijesti:

b) križaljka:

Zagrijavanje-vježbanje uma – križaljka:

Vodoravno:

1) Korijen drugog stupnja zove se.... (kvadrat)

2) Vrijednosti varijable pri kojima jednadžba postaje prava jednakost (korijeni)

3) Jednakost koja sadrži nepoznanicu naziva se... (jednadžba)

4) Indijski znanstvenik, koji je postavio opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi (Brahmagupta)

5) Koeficijenti kvadratne jednadžbe su... (brojevi)

6) Starogrčki znanstvenik koji je izumio geometrijsku metodu za rješavanje jednadžbi (Euklid)

7) Teorem koji povezuje koeficijente i korijene kvadratne jednadžbe (Vieta)

8) “diskriminanta”, određivanje korijena kvadratne jednadžbe – to je... (diskriminanta)

Dodatno:

Ako je D>0, koliko korijena? (dva)

Ako je D=0, koliko korijena? (jedan)

Ako D<0, сколько корней? (нет действительных корней)

Vodoravna i okomita tema lekcije: “Kvadratni trinom”

b) motivacija:

Ova tema je temeljna u odjeljku "Identične transformacije algebarskih izraza." Stoga je važno da automatski možete ne samo vidjeti formule faktorizacije u primjerima, već i primijeniti ih u drugim zadacima: kao što je smanjivanje razlomaka, rješavanje jednadžbi, transformacija izraza, dokazivanje identiteta.

Danas ćemo se usredotočiti na rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore:

II. Učenje novog gradiva.

Tema: Kvadratni trinom i njegovi korijeni.

Opća teorija polinoma mnogih varijabli daleko nadilazi okvire školskog tečaja. Stoga ćemo se ograničiti na proučavanje polinoma jedne realne varijable, i to samo u najjednostavnijim slučajevima. Razmotrimo polinome jedne varijable svedene na standardni oblik.

Korijen polinoma je vrijednost varijable pri kojoj je vrijednost polinoma jednaka nuli. To znači da da biste pronašli korijene polinoma, morate ga izjednačiti s nulom, tj. riješiti jednadžbu.

Korijen polinoma prvog stupnja
lako pronaći
. Ispitivanje:
.

Korijeni kvadratnog trinoma mogu se pronaći rješavanjem jednadžbe:
.

Koristeći formulu za korijene kvadratne jednadžbe nalazimo:

;

Ako I -korijeni kvadratnog trinoma
, Gdje ≠ 0,

to .

Dokaz:

Izvršimo sljedeće transformacije kvadratnog trinoma:

=
=
=

=
=
=

=
=

Budući da diskriminant
, dobivamo:

=
=

Primijenimo formulu razlike kvadrata u zagradama i dobijemo:

=
=
,

jer
;
. Teorem je dokazan.

Dobivena formula naziva se formularastavljanje kvadratnog trinoma na faktore.

III. Formiranje vještina i sposobnosti.

№1. Faktoriziraj kvadratni trinom:

Otopina:

Odgovor: 3x+5x–2=3(x+2)(x-)=(x+2)(3x-1)

Na ploči:

b) –5x + 6x – 1;

Dodatno:

c) x – 12x + 24;

d) –x + 16x – 15.

№2. Smanjite razlomak:

A)

№4. Riješite jednadžbu:

b)

IV. Primarni test usvojenosti znanja.

A) Test.

Opcija 1.

1. Nađite korijene kvadratnog trinoma:2x 2 -9x-5

Odgovor:

2. Kojim polinomom treba zamijeniti elipsu da bi jednakost bila točna:

b) Međusobna provjera opcija (odgovori a parametri ocjenjivanja su ilustrirani).

c) Odraz.

V. Domaća zadaća.

Tema “Kvadratni trinom i njegovi korijeni” obrađuje se u kolegiju algebre 9. razreda. Kao i svaka druga lekcija matematike, lekcija na ovu temu zahtijeva posebne nastavne alate i metode. Vidljivost je neophodna. To uključuje ovu video lekciju koja je osmišljena posebno kako bi učitelju olakšala rad.

Ova lekcija traje 6:36 minuta. Za to vrijeme autor uspijeva u potpunosti razotkriti temu. Učitelj će samo morati odabrati zadatke na temu kako bi učvrstio gradivo.

Lekcija počinje pokazivanjem primjera polinoma s jednom varijablom. Tada se na ekranu pojavljuje definicija korijena polinoma. Ova definicija potkrijepljena je primjerom gdje je potrebno pronaći korijene polinoma. Rješavanjem jednadžbe autor dobiva korijene polinoma.

Slijedi napomena da se u kvadratne trinome ubrajaju i oni polinomi drugog stupnja kod kojih su drugi, treći ili oba koeficijenta, osim vodećeg, jednaki nuli. Ovaj podatak je potkrijepljen primjerom gdje je slobodni koeficijent nula.

Autor zatim objašnjava kako pronaći korijene kvadratnog trinoma. Da biste to učinili, trebate riješiti kvadratnu jednadžbu. A autor predlaže da se to provjeri na primjeru gdje je dan kvadratni trinom. Moramo pronaći njegove korijene. Rješenje se konstruira na temelju rješenja kvadratne jednadžbe dobivene iz zadanog kvadratnog trinoma. Rješenje je detaljno, jasno i razumljivo ispisano na ekranu. Rješavajući ovaj primjer, autor se prisjeća kako se rješava kvadratna jednadžba, zapisuje formule i dobiva rezultat. Odgovor se bilježi na ekranu.

Autor je na primjeru objasnio iznalaženje korijena kvadratnog trinoma. Kada učenici shvate bit, mogu prijeći na općenitije stvari, što autor i čini. Stoga dalje sažima sve navedeno. Općenito, matematičkim jezikom, autor zapisuje pravilo za pronalaženje korijena kvadratnog trinoma.

Slijedi napomena da je u nekim zadacima praktičnije kvadratni trinom pisati malo drugačije. Ovaj unos je prikazan na ekranu. To jest, ispada da se iz kvadratnog trinoma može izdvojiti kvadratni binom. Predlaže se razmotriti takvu transformaciju s primjerom. Rješenje ovog primjera prikazano je na ekranu. Kao iu prethodnom primjeru, rješenje je detaljno konstruirano sa svim potrebnim objašnjenjima. Autor zatim razmatra problem koji koristi upravo dane informacije. Ovo je problem geometrijskog dokaza. Rješenje sadrži ilustraciju u obliku crteža. Rješenje problema je detaljno i jasno opisano.

Ovo zaključuje lekciju. Ali nastavnik može odabrati zadatke na temelju sposobnosti učenika koji će odgovarati zadanoj temi.

Ova video lekcija može se koristiti kao objašnjenje novog gradiva na satovima algebre. Savršena je za učenike da se samostalno pripreme za nastavu.

Prezentacija za sat matematike u 9. razredu na temu "Kvadratni trinom i njegovi korijeni" sadrži zadatke za dublju razinu proučavanja predmeta. Prezentacija je osmišljena za kontinuiranu upotrebu tijekom cijele lekcije. Zadaci različitog sadržaja.

preuzimanje:

Pregled:

Kako biste koristili preglede prezentacije, stvorite Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Točka plana Točka plana Točka plana Točka plana Točka plana Obnavljanje znanja Proučavanje teme lekcije Enciklopedijska uputnica Dinamička minuta Domaća zadaća Kvadratni trinom i njegove korijene pripremila je učiteljica matematike: 1KK Radčenko Natalija Fedorovna.

Obnavljanje znanja Proučavanje teme sata Enciklopedijska uputnica Dinamička minuta Domaća zadaća Obnavljanje znanja ◊ 1 Ponavljanje gradiva o funkcijama; ◊ 2 Teorijske osnove rješavanje kvadratnih jednadžbi; ◊ 3 Vietin teorem; ◊ 4 Ukupno.

Obnavljanje znanja Ponavljanje gradiva: među ovim funkcijama naznačiti linearno opadajuće funkcije: y= x²+12 y= -x-24 y= 9x+8 h= 23-23x h= 1/x² g= (x+16)² g = - 3

Aktualizacija znanja Kako se utvrđuje prisutnost i broj korijena kvadratne jednadžbe? Kako izračunati diskriminantu kvadratne jednadžbe D = 2. Navedite formule za korijene kvadratne jednadžbe D>0, zatim x 1,2 = D = 0, zatim x =

Obnavljanje znanja t² - 2t – 3 = 0 3. Izračunaj diskriminantu i odgovori na pitanje “Koliko korijena ima kvadratna jednadžba?” D= 16 >0, dva korijena Koliki je umnožak korijena? X 1  x 2 = - 3 5. Koliki je zbroj korijena jednadžbe? X 1 + x 2 = 2 6. Što se može reći o predznacima korijena? Korijeni različitih predznaka 7. Pronađite korijene odabirom. X 1 = 3, x 2 = -1

Proučavanje teme lekcije ◊ 1 Izvještavanje o temi lekcije; ◊ 2 Teorijske osnove pojma “Kvadratni trinom i njegovi korijeni”; ◊ 3 izjave velikih mislilaca o matematici; ◊ 4 Analiza primjera tema; Proučavanje teme lekcije Enciklopedijska referenca Dinamička minuta Domaća zadaća

Kvadratni trinom i njegovi korijeni Kvadratni trinom je polinom oblika ax² + bx + c, gdje je x varijabla, a, b i c neki brojevi, a a≠ 0. Korijen kvadratnog trinoma je vrijednost varijable pri kojoj je vrijednost tog trinoma nula Da biste pronašli korijene kvadratnog trinoma ax² + bx + c, trebate riješiti kvadratnu jednadžbu ax² + bx + c =0.

Kvadratni trinom i njegovi korijeni Nije dovoljno imati dobar um, glavno je dobro ga koristiti. R. Descartes Svatko bi trebao moći dosljedno misliti, dokazivo suditi i pobijati netočne zaključke: fizičar i pjesnik, traktorist i kemičar. E. Kolman

Enciklopedijska uputnica ◊ 1 Pojam “parametra”; ◊ 2 Značenje riječi "parametar" u ruskim rječnicima i rječniku strane riječi; ◊ 3 Oznaka i područje primjene parametra; ◊ 4 primjera s parametrima. Enciklopedijska uputnica Dinamička minuta Domaća zadaća

Enciklopedijska referenca PARAMETAR (od grčkog παραμετρέω - mjerim, ostavljam). Veličina uključena u matematičku formulu koja održava konstantnu vrijednost unutar jedne pojave ili za određeni zadatak..., (mat.) Parametar je konstantna vrijednost, izražena slovom, koja zadržava svoju konstantnu vrijednost samo pod uvjetima zadani zadatak... “Rječnik stranih riječi.” 3. Pri kojoj vrijednosti parametra m kvadratni trinom 2x ² + 2th – m – 0,5 ima jedan korijen? Pronađite ovaj korijen.

Dinamička pauza ◊ 1 Rješavanje “problema”; ◊ 2 Povijesna pozadina: pismo iz prošlosti; Domaća zadaća od dinamičnih minuta

Dinamička pauza Pri kojoj vrijednosti parametra t kvadratni tročlan 2h ² + 2th – t – 0,5 = 0 ima jedan korijen? Pronađite ovaj korijen. Kvadratna jednadžba ima jedan korijen D=0 D= b² - 4ac; a=2, b=2m, c= - m – 0,5 D= (2m)² - 4  2  (- m – 0,5) = 4m² + 8m +4 D=0, 4m² + 8m +4 = 0 m² + 2m +1 = 0 (m + 1)² = 0 m= - 1 Zamijenite pronađenu vrijednost m u izvornu jednadžbu: 2x ² - 2x + 1 – 0,5 = 0 4x ² - 4x + 1 = 0 ( 2x – 1 ) ² =0 2x -1 =0 x = 0,5

Dinamička pauza U domaćoj zadaći učenici 8. razreda trebali su pronaći korijene kvadratnog trinoma (x² - 5x +7) ² - 2(x² - 5x +7) - 3 Nakon razmišljanja, Vitya je zaključio na sljedeći način: prvo morate otvorite zagrade, zatim donesite slične uvjete . Ali Styopa je rekao da postoji jednostavniji način da se to riješi i da uopće nije potrebno otvarati zagrade. Pomozite Viti pronaći racionalno rješenje

Dinamička pauza Problemi traženja korijena kvadratnog trinoma i sastavljanja kvadratnih jednadžbi nalaze se već u staroegipatskim matematičkim papirusima. Opće pravilo pronalaženje korijena i rješavanje jednadžbi oblika: ax ² + bx = c, gdje su a > 0, b i c bilo koji, formulirao je Brahmagupta (7. stoljeće nove ere). Brahmagupta još nije znao da kvadratna jednadžba može imati i negativan korijen. Bhaskara Acharya (12. stoljeće) formulirao je odnose između koeficijenata jednadžbe. Napravio puno problema.

Generalizacija, domaća zadaća ◊ 1 Rješavanje zadataka s parametrom: razne vrste zadaci; ◊ 2 Sažetak teme koja se proučava; ◊ 3 Domaća zadaća: po razini. domaća zadaća

Generalizacija, domaća zadaća Pronađite korijene kvadratnog trinoma (x-4)² +(4y-12)². Nađite vrijednosti parametra a za svaku od kojih kvadratni trinom x²+ 4 x + 2ax+8a+1 ima jedno rješenje. Domaća zadaća: str.3; 1. skupina: br. 45 (c, d), br. 49 (c, d); 2. skupina: a) pronaći vrijednost parametra a pri kojoj kvadratni trinom x²-6x+2ax+4a nema rješenja; b) pronađite korijene kvadratnog trinoma (2x-6)²+(3y-12)²

izvor predloška Natalia Vladimirovna Chernakova Učiteljica kemije i biologije, Državna obrazovna ustanova NPO Arkhangelsk Region “Strukovna škola br. 31” “http://pedsovet.su/”

Nalaženje korijena kvadratnog trinoma

Ciljevi: uvesti pojam kvadratnog trinoma i njegovih korijena; razvijati sposobnost pronalaženja korijena kvadratnog trinoma.

Napredak lekcije

I. Organizacijski trenutak.

II. Usmeni rad.

Koji od brojeva: –2; –1; 1; 2 – jesu li korijeni jednadžbi?

a) 8 X+ 16 = 0; V) X 2 + 3X – 4 = 0;

b) 5 X 2 – 5 = 0; G) X 3 – 3X – 2 = 0.

III. Objašnjenje novog gradiva.

Objašnjenje novog materijala treba provesti prema sljedećoj shemi:

1) Uvesti pojam korijena polinoma.

2) Uvesti pojam kvadratnog trinoma i njegovih korijena.

3) Analizirati pitanje mogućeg broja korijena kvadratnog trinoma.

O pitanju izdvajanja kvadrata binoma od kvadratnog trinoma najbolje je raspravljati u sljedećoj lekciji.

U svakoj fazi objašnjavanja novog gradiva potrebno je učenicima ponuditi usmeni zadatak kako bi se provjerilo njihovo ovladavanje glavnim točkama teorije.

Zadatak 1. Koji od brojeva: –1; 1; ; 0 – su korijeni polinoma X 4 + 2X 2 – 3?

Zadatak 2. Koji su od sljedećih polinoma kvadratni trinomi?

1) 2X 2 + 5X – 1; 6) X 2 – X – ;

2) 2X – ; 7) 3 – 4X + X 2 ;

3) 4X 2 + 2X + X 3 ; 8) X + 4X 2 ;

4) 3X 2 – ; 9) + 3X – 6;

5) 5X 2 – 3X; 10) 7X 2 .

Koji kvadratni trinomi imaju korijen 0?

Zadatak 3. Može li kvadratni trinom imati tri korijena? Zašto? Koliko korijena ima kvadratni trinom? X 2 + X – 5?

IV. Formiranje vještina i sposobnosti.

Vježbe:

1. № 55, № 56, № 58.

2. br. 59 (a, c, d), br. 60 (a, c).

U ovom zadatku ne trebate tražiti korijene kvadratnih trinoma. Dovoljno je pronaći njihovu diskriminantu i odgovoriti na postavljeno pitanje.

a) 5 X 2 – 8X + 3 = 0;

D 1 = 16 – 15 = 1;

D 1 0, što znači da ovaj kvadratni trinom ima dva korijena.

b) 9 X 2 + 6X + 1 = 0;

D 1 = 9 – 9 = 0;

D 1 = 0, što znači da kvadratni trinom ima jedan korijen.

c) –7 X 2 + 6X – 2 = 0;

7X 2 – 6X + 2 = 0;

D 1 = 9 – 14 = –5;

Ako ostane vremena, možete raditi br. 63.

Otopina

Neka sjekira 2 + bx + c je zadani kvadratni trinom. Od a+ b +
+ c= 0, tada je jedan od korijena ovog trinoma jednak 1. Prema Vietinom teoremu, drugi korijen je jednak . Prema stanju, S = 4A, pa je drugi korijen ovog kvadratnog trinoma jednak
.

ODGOVOR: 1 i 4.

V. Sažetak lekcije.

Često postavljana pitanja:

– Što je korijen polinoma?

– Koji se polinom naziva kvadratni trinom?

– Kako pronaći korijene kvadratnog trinoma?

– Što je diskriminant kvadratnog trinoma?

– Koliko korijena može imati kvadratni trinom? O čemu ovo ovisi?

domaća zadaća: br. 57, br. 59 (b, d, f), br. 60 (b, d), br. 62.

Možete pronaći korijen kvadratnog trinoma koristeći diskriminant. Osim toga, za reducirani polinom drugog stupnja vrijedi Vietin teorem koji se temelji na omjeru koeficijenata.

upute

• Kvadratne jednadžbe prilično su opsežna tema u školskoj algebri. Lijeva strana takva jednadžba je polinom drugog stupnja oblika A x² + B x + C, tj. izraz triju monoma različitih stupnjeva nepoznatog x. Da biste pronašli korijen kvadratnog trinoma, morate izračunati vrijednost x pri kojoj je ovaj izraz jednak nuli.
• Da biste riješili kvadratnu jednadžbu, morate pronaći diskriminantu. Njegova formula je posljedica izdvajanja potpunog kvadrata polinoma i predstavlja određeni omjer njegovih koeficijenata: D = B² – 4 A C.
• Diskriminant može poprimiti različite vrijednosti, uključujući i negativnu vrijednost. I ako mlađi školarci može s olakšanjem reći da takva jednadžba nema korijena, onda ih srednjoškolci već znaju odrediti na temelju teorije kompleksnih brojeva. Dakle, mogu postojati tri opcije: Diskriminanta – pozitivan broj. Tada su korijeni jednadžbe jednaki: x1 = (-B + √D)/2 A; x2 = (-B - √D)/2 A;
  Diskriminant je otišao na nulu. Teoretski, iu ovom slučaju jednadžba ima dva korijena, ali praktički su isti: x1 = x2 = -B/2 A;
  Diskriminant je manji od nule. U izračun se uvodi određena vrijednost i² = -1, koja nam omogućuje da napišemo složeno rješenje: x1 = (-B + i √|D|)/2 A; x2 = (-B - i √|D|)/2 A.
• Diskriminantna metoda vrijedi za svaku kvadratnu jednadžbu, ali postoje situacije kada je preporučljivo koristiti više brz način, posebno za male cjelobrojne koeficijente. Ova se metoda naziva Vietin teorem i sastoji se od para odnosa između koeficijenata u reduciranom trinomu: x² + P x + Q
  x1 + x2 = -P;
  x1 x2 = Q. Ostaje samo pronaći korijene.
• Treba napomenuti da se jednadžba može svesti na sličan oblik. Da biste to učinili, trebate podijeliti sve članove trinoma s koeficijentom najveće potencije A: A x² + B x + C |A
  x² + B/A x + C/A
  x1 + x2 = -B/A;
  x1 x2 = C/A.