je poliedar koji se sastoji od baze piramide i presjeka paralelnog s njom. Možemo reći da je krnja piramida ona piramida kojoj je vrh odrezan. Ova figura ima mnoga jedinstvena svojstva:

• Bočne strane piramide su trapezi;
• Bočni bridovi pravilne krnje piramide iste su duljine i nagnuti prema bazi pod istim kutom;
• Baze su slični poligoni;
• U pravilnoj krnjoj piramidi, lica su identični jednakokračni trapezi, čija je površina jednaka. Oni su također nagnuti prema bazi pod jednim kutom.

Formula za bočnu površinu krnje piramide je zbroj površina njezinih stranica:

Budući da su stranice krnje piramide trapezi, za izračun parametara morat ćete koristiti formulu područje trapeza. Za pravilnu krnju piramidu možete primijeniti drugačiju formulu za izračunavanje površine. Budući da su mu sve stranice, lica i kutovi na bazi jednaki, moguće je primijeniti opsege baze i apoteme, te također izvesti površinu kroz kut na bazi.

Ako su prema uvjetima u pravilnoj krnjoj piramidi zadani apotem (visina stranice) i duljine stranica baze, tada se površina može izračunati preko poluproizvoda zbroja opsega piramide. osnove i apotem:

Pogledajmo primjer izračuna bočne površine krnje piramide.
Zadana je pravilna peterokutna piramida. Apotema l= 5 cm, duljina ruba u velikoj bazi je a= 6 cm, a rub je na manjoj bazi b= 4 cm. Izračunajte površinu krnje piramide.

Prvo, pronađimo opsege baza. Budući da nam je dana peterokutna piramida, razumijemo da su baze peterokuti. To znači da baze sadrže lik s pet identičnih stranica. Nađimo opseg veće baze:

Na isti način nalazimo opseg manje baze:

Sada možemo izračunati površinu pravilne krnje piramide. Zamijenite podatke u formulu:

Tako smo izračunali površinu pravilne krnje piramide kroz obod i apotemu.

Drugi način za izračunavanje bočne površine pravilne piramide je formula kroz kutove na bazi i površinu samih baza.

Pogledajmo primjer izračuna. Zapamtite da se ova formula odnosi samo na pravilnu krnju piramidu.

Neka je dana pravilna četverokutna piramida. Brid donje osnovke je a = 6 cm, a brid gornje osnovke je b = 4 cm Diedarski kut pri osnovci je β = 60°. Odredite površinu bočne površine pravilne krnje piramide.

Prvo, izračunajmo površinu baza. Budući da je piramida pravilna, svi bridovi baza su međusobno jednaki. S obzirom da je baza četverokut, razumijemo da će biti potrebno izračunati površina trga. To je umnožak širine i duljine, ali kada se na kvadrat ove vrijednosti su iste. Nađimo površinu veće baze:


Sada koristimo pronađene vrijednosti za izračunavanje bočne površine.

Poznavajući nekoliko jednostavnih formula, lako smo izračunali površinu bočnog trapeza krnje piramide koristeći različite vrijednosti.

Sposobnost izračunavanja volumena prostornih figura važna je pri rješavanju niza praktičnih problema u geometriji. Jedna od najčešćih figura je piramida. U ovom ćemo članku razmotriti i pune i krnje piramide.

Piramida kao trodimenzionalni lik

Svi znaju za egipatske piramide, tako da dobro znaju o kakvoj ćemo figuri govoriti. Međutim, egipatske kamene strukture samo su poseban slučaj ogromne klase piramida.

Geometrijski objekt koji se razmatra u općem slučaju je poligonalna baza, čiji je svaki vrh povezan s određenom točkom u prostoru koja ne pripada ravnini baze. Ova definicija rezultira figurom koja se sastoji od jednog n-kuta i n trokuta.

Bilo koja piramida sastoji se od n+1 stranica, 2*n bridova i n+1 vrhova. Budući da je predmetna figura savršeni poliedar, broj označenih elemenata poštuje Eulerovu jednakost:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Poligon koji se nalazi u podnožju daje ime piramide, na primjer, trokutasta, peterokutna i tako dalje. Skup piramida s različitim bazama prikazan je na slici ispod.

Točka u kojoj se spaja n trokuta figure naziva se vrhom piramide. Ako se okomica spusti s nje na podnožje i siječe je u geometrijskom središtu, tada će se takav lik nazvati ravnom linijom. Ako ovaj uvjet nije ispunjen, tada nastaje kosa piramida.

Ravni lik čiju osnovicu čini jednakostranični (ekvikutni) n-kut nazivamo pravilnim.

Formula za volumen piramide

Za izračun volumena piramide koristit ćemo se integralnim računom. Da bismo to učinili, podijelimo lik rezanjem ravnina paralelnih s bazom u beskonačan broj tankih slojeva. Na donjoj slici prikazana je četverokutna piramida visine h i stranice duljine L, kod koje je tanki sloj presjeka označen četverokutom.

Površina svakog takvog sloja može se izračunati pomoću formule:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Ovdje je A 0 područje baze, z je vrijednost okomite koordinate. Vidi se da ako je z = 0, tada formula daje vrijednost A 0 .

Da biste dobili formulu za volumen piramide, trebali biste izračunati integral po cijeloj visini figure, to jest:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Zamjenom ovisnosti A(z) i izračunavanjem antiderivacije dolazimo do izraza:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.

Dobili smo formulu za volumen piramide. Da biste pronašli vrijednost V, samo pomnožite visinu figure s površinom baze, a zatim rezultat podijelite s tri.

Imajte na umu da je dobiveni izraz valjan za izračunavanje volumena piramide proizvoljnog tipa. To jest, može biti nagnut, a njegova baza može biti proizvoljan n-kut.

i njegov volumen

Primljeno u paragrafu iznad opća formula jer se volumen može razjasniti u slučaju piramide s ispravnom bazom. Područje takve baze izračunava se prema sljedećoj formuli:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Ovdje je L duljina stranice pravilnog mnogokuta s n vrhova. Simbol pi je broj pi.

Zamjenom izraza za A 0 u opću formulu dobivamo volumen pravilne piramide:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Na primjer, za trokutastu piramidu ova formula rezultira sljedećim izrazom:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

Za pravilnu četverokutnu piramidu, formula volumena ima oblik:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.

Određivanje volumena pravilnih piramida zahtijeva poznavanje stranice njihove baze i visine figure.

Krnja piramida

Pretpostavimo da smo uzeli proizvoljnu piramidu i odrezali joj dio bočne plohe na kojoj se nalazi vrh. Preostala figura naziva se krnja piramida. Već se sastoji od dvije n-kutne baze i n trapeza koji ih spajaju. Ako je rezna ravnina bila paralelna s bazom figure, tada se formira krnja piramida sa sličnim paralelnim bazama. Odnosno, duljine stranica jedne od njih mogu se dobiti množenjem duljina druge s određenim koeficijentom k.

Gornja slika prikazuje krnji pravilni. Vidi se da mu gornju bazu, kao i donju, čini pravilan šesterokut.

Formula koja se može izvesti korištenjem integralnog računa sličnog gornjem je:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Gdje su A 0 i A 1 površine donje (velike) odnosno gornje (male) baze. Varijabla h označava visinu krnje piramide.

Volumen Keopsove piramide

Zanimljivo je riješiti problem određivanja volumena najveće egipatske piramide u sebi.

Godine 1984. britanski egiptolozi Mark Lehner i Jon Goodman ustanovili su točne dimenzije Keopsove piramide. Njegova izvorna visina bila je 146,50 metara (trenutno oko 137 metara). Prosječna duljina svake od četiri strane strukture bila je 230,363 metra. Baza piramide je kvadratna s visokom preciznošću.

Odredimo pomoću navedenih brojki volumen ovog kamenog diva. Budući da je piramida pravilnog četverokuta, za nju vrijedi formula:

Zamjenom brojeva dobivamo:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.

Zapremina Keopsove piramide je gotovo 2,6 milijuna m3. Usporedbe radi, napominjemo da olimpijski bazen ima volumen od 2,5 tisuće m 3. Odnosno, za popunjavanje cijele Keopsove piramide trebat će vam više od 1000 takvih bazena!

• 29.05.2016

  Titrajni krug je električni krug koji sadrži induktor, kondenzator i izvor električne energije. Kad su elementi kruga spojeni u seriju, oscilatorni krug se naziva serijski, a kod paralelnog spoja naziva se paralelni. Oscilatorni krug - najjednostavniji sustav, u kojem se mogu pojaviti slobodne elektromagnetske oscilacije. Rezonantna frekvencija kruga određena je takozvanom Thomsonovom formulom: ƒ = 1/(2π√(LC)) Za ...

• 20.09.2014

  Prijemnik je dizajniran za prijem signala u DV rasponu (150 kHz…300 kHz). Glavna značajka prijemnik u anteni koja ima veću induktivnost od konvencionalne magnetske antene. To omogućuje korištenje kapaciteta kondenzatora za ugađanje u rasponu od 4...20 pF, a također takav prijemnik ima prihvatljivu osjetljivost i blagi dobitak na RF putu. Prijemnik radi za slušalice (slušalice), ima napajanje...

• 24.09.2014

  Ovaj uređaj je dizajniran za praćenje razine tekućine u spremnicima; čim tekućina poraste na zadanu razinu, uređaj će početi emitirati kontinuirani zvučni signal; kada razina tekućine dosegne kritičnu razinu, uređaj će početi emitirati isprekidani signal. Indikator se sastoji od 2 generatora, njima upravlja senzorski element E. Postavljen je u spremnik na razini do ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 je digitalni višeprogramski mjerač vremena dizajniran za rad s indikatorom ILC3-5\7. Omogućuje brojanje i prikaz trenutnog vremena u satima i minutama, dan u tjednu i broj kontrolnog kanala (9 alarma). Strujni krug budilice prikazan je na slici. Mikrokrug je podešen na sat. rezonator Q1 na 32768Hz. hrana negativna, ukupni plus ide na...

Piramida. Krnja piramida

Piramida je poliedar, čija je jedna strana poligon ( baza ), a sva ostala lica su trokuti sa zajedničkim vrhom ( bočna lica ) (Slika 15). Piramida se zove ispraviti , ako je njezina baza pravilan mnogokut, a vrh piramide projiciran u središte baze (slika 16). Trokutasta piramida kojoj su svi bridovi jednaki naziva se tetraedar .

Bočno rebro piramide je stranica bočne plohe koja ne pripada osnovici Visina piramida je udaljenost od njenog vrha do ravnine baze. Svi bočni bridovi pravilne piramide su međusobno jednaki, sve su bočne strane jednaki jednakokračni trokuti. Visina bočne plohe pravilne piramide povučena iz vrha naziva se apotema . Dijagonalni presjek naziva se presjek piramide ravninom koja prolazi kroz dva bočna brida koji ne pripadaju istoj plohi.

Bočna površina piramida je zbroj površina svih bočnih strana. Ukupna površina naziva se zbroj površina svih bočnih stranica i baze.

Teoremi

1. Ako su u piramidi svi bočni bridovi podjednako nagnuti prema ravnini baze, tada se vrh piramide projicira u središte kružnice opisane blizu baze.

2. Ako u piramidi svi bočni bridovi imaju jednake duljine, tada se vrh piramide projicira u središte kružnice opisane blizu baze.

3. Ako su sva lica u piramidi jednako nagnuta prema ravnini baze, tada se vrh piramide projicira u središte kružnice upisane u bazu.

Za izračun obujma proizvoljne piramide ispravna je formula:

Gdje V- volumen;

S baza– osnovna površina;

H– visina piramide.

Za pravilnu piramidu točne su sljedeće formule:

Gdje str– osnovni opseg;

h a– apotema;

H- visina;

S puna

S strana

S baza– osnovna površina;

V– volumen pravilne piramide.

Krnja piramida naziva se dio piramide zatvoren između baze i sječne ravnine paralelne s bazom piramide (slika 17). Pravilna krnja piramida je dio pravilne piramide zatvoren između baze i sjecišta paralelne s bazom piramide.

Razlozi krnja piramida – slični poligoni. Bočna lica – trapezi. Visina krnje piramide je udaljenost između njezinih baza. Dijagonalno krnja piramida je segment koji povezuje njezine vrhove koji ne leže na istoj plohi. Dijagonalni presjek presjek je krnje piramide ravninom koja prolazi kroz dva bočna brida koji ne pripadaju istoj plohi.

Za krnju piramidu vrijede sljedeće formule:

(4)

Gdje S 1 , S 2 – područja gornje i donje baze;

S puna– ukupna površina;

S strana– površina bočne površine;

H- visina;

V– volumen krnje piramide.

Za pravilnu krnju piramidu točna je formula:

Gdje str 1 , str 2 – obodi baza;

h a– apotem pravilne krnje piramide.

Primjer 1. U pravilnoj trokutastoj piramidi diedralni kut na bazi je 60º. Odredite tangens kuta nagiba bočnog brida na ravninu baze.

Otopina. Napravimo crtež (slika 18).

Piramida je pravilna, što znači da se u osnovi nalazi jednakostranični trokut, a sve bočne strane su jednaki jednakokračni trokuti. Diedarski kut pri bazi je kut nagiba bočne strane piramide prema ravnini baze. Linijski kut je kut a između dvije okomice itd. Vrh piramide je projiciran u središte trokuta (središte opisane kružnice i upisane kružnice trokuta ABC). Kut nagiba bočnog ruba (npr S.B.) je kut između samog brida i njegove projekcije na ravninu baze. Za rebro S.B. ovaj kut će biti kut SBD. Da biste pronašli tangentu morate znati krake TAKO I O.B.. Neka duljina segmenta BD jednako 3 A. Točka OKO segment BD dijeli se na dijelove: i Od nalazimo TAKO: Od nalazimo:

Odgovor:

Primjer 2. Odredi obujam pravilne krnje četverokutne piramide ako su dijagonale njezinih baza jednake cm i cm, a visina 4 cm.

Otopina. Za pronalaženje volumena krnje piramide koristimo formulu (4). Da biste pronašli područje baza, morate pronaći stranice osnovnih kvadrata, znajući njihove dijagonale. Stranice baza jednake su 2 cm odnosno 8 cm. To znači površine baza i Zamjenom svih podataka u formulu izračunavamo volumen krnje piramide:

Odgovor: 112 cm 3.

Primjer 3. Odredite površinu bočne strane pravilne trokutaste krnje piramide čije su stranice baza 10 cm i 4 cm, a visina piramide 2 cm.

Otopina. Napravimo crtež (slika 19).

Bočna strana ove piramide je jednakokračan trapez. Da biste izračunali površinu trapeza, morate znati bazu i visinu. Osnove su date prema stanju, samo visina ostaje nepoznata. Odakle ćemo je pronaći A 1 E okomito od točke A 1 na ravnini donje baze, A 1 D– okomito od A 1 osoba AC. A 1 E= 2 cm, jer je to visina piramide. Pronaći DE Napravimo dodatni crtež koji prikazuje pogled odozgo (slika 20). Točka OKO– projekcija središta gornje i donje baze. budući (vidi sliku 20) i S druge strane U REDU– polumjer upisan u krug i OM– radijus upisan u krug:

MK = DE.

Prema Pitagorinom teoremu iz

Bočno područje lica:

Odgovor:

Primjer 4. U osnovi piramide nalazi se jednakokračni trapez čije su osnovice A I b (a> b). Svaka bočna strana tvori kut jednak ravnini baze piramide j. Pronađite ukupnu površinu piramide.

Otopina. Napravimo crtež (slika 21). Ukupna površina piramide SABCD jednak zbroju površina i površine trapeza ABCD.

Poslužimo se tvrdnjom da ako su sve stranice piramide jednako nagnute prema ravnini baze, tada se vrh projicira u središte kružnice upisane u bazu. Točka OKO– projekcija vrha S u podnožju piramide. Trokut TRAVNJAK je ortogonalna projekcija trokuta CSD na ravninu baze. Koristeći teorem o području ortogonalne projekcije ravnog lika, dobivamo:

Isto tako znači Dakle, problem je smanjen na pronalaženje površine trapeza ABCD. Nacrtajmo trapez ABCD zasebno (slika 22). Točka OKO– središte kružnice upisane u trapez.

Kako se krug može upisati u trapez, tada ili Iz Pitagorine teoreme imamo

Poliedar kojemu je jedna ploha mnogokut, a sve ostale plohe su trokuti sa zajedničkim vrhom, naziva se piramida.

Ovi trokuti koji čine piramidu nazivaju se bočna lica, a preostali poligon je osnova piramide.

U podnožju piramide leži geometrijski lik– n-gon. U ovom slučaju, piramida se također naziva n-ugljik.

Trokutasta piramida čiji su svi bridovi jednaki naziva se tetraedar.

Bridovi piramide koji ne pripadaju bazi nazivaju se bočno, a njihova zajednička točka je vrh piramide. Ostali rubovi piramide obično se nazivaju stranke u osnovi.

Piramida se zove ispraviti, ako ima pravilni mnogokut na svojoj bazi i svi bočni bridovi su međusobno jednaki.

Udaljenost od vrha piramide do ravnine baze naziva se visina piramide. Možemo reći da je visina piramide isječak okomit na bazu, čiji su krajevi na vrhu piramide i na ravnini baze.

Za svaku piramidu vrijede sljedeće formule:

1) S puni = S strana + S glavni, Gdje

S total – površina ukupne površine piramide;

S strana – područje bočne površine, tj. zbroj površina svih bočnih stranica piramide;

S main – područje baze piramide.

2) V = 1/3 S baze N, Gdje

V – volumen piramide;

H – visina piramide.

Za pravilna piramida odvija se:

S strana = 1/2 P glavni h, Gdje

P main – opseg baze piramide;

h je duljina apoteme, odnosno duljina visine bočne strane spuštene s vrha piramide.

Dio piramide zatvoren između dvije ravnine - ravnine baze i ravnine presjeka paralelne s osnovicom naziva se krnja piramida.

Baza piramide i presjek piramide paralelnom ravninom nazivaju se razloga krnja piramida. Preostala lica se zovu bočno. Razmak između ravnina baza naziva se visina krnja piramida. Bridovi koji ne pripadaju bazama nazivaju se bočno.

Osim toga, baza krnje piramide slični n-kuti. Ako su osnovice krnje piramide pravilni mnogokuti, a svi bočni bridovi međusobno jednaki, tada se takva krnja piramida naziva ispraviti.

Za proizvoljna krnja piramida primjenjuju se sljedeće formule:

1) S puni = S strana + S 1 + S 2, Gdje

S total – ukupna površina;

S strana – područje bočne površine, tj. zbroj površina svih bočnih stranica krnje piramide, koje su trapezi;

S 1, S 2 – osnovne površine;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H, Gdje

V – volumen krnje piramide;

H – visina krnje piramide.

Za pravilna krnja piramida također imamo:

S strana = 1/2 (P 1 + P 2) h, Gdje

P 1, P 2 – perimetri baza;

h – apotem (visina bočne strane koja je trapez).

Razmotrimo nekoliko problema koji uključuju krnju piramidu.

Zadatak 1.

U trokutastoj krnjoj piramidi visine jednake 10, stranice jedne od baza su 27, 29 i 52. Odredite obujam krnje piramide ako je opseg druge baze 72.

Otopina.

Razmotrite krnju piramidu ABCA 1 B 1 C 1 prikazanu na Slika 1.

1. Volumen krnje piramide može se pronaći pomoću formule

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), gdje je S 1 površina jedne od baza, može se pronaći pomoću Heronove formule

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

jer Zadatak daje duljine triju stranica trokuta.

Imamo: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270.

2. Piramida je krnja, što znači da slični poligoni leže u bazama. U našem slučaju trokut ABC sličan je trokutu A 1 B 1 C 1. Osim toga, koeficijent sličnosti može se pronaći kao omjer opsega trokuta koji se razmatraju, a omjer njihovih područja bit će jednak kvadratu koeficijenta sličnosti. Tako imamo:

S 1 / S 2 = (P 1) 2 / (P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. Stoga je S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120.

Dakle, V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Odgovor: 1900.

Zadatak 2.

U trokutastoj krnjoj piramidi ravnina je povučena kroz stranicu gornje baze paralelno sa suprotnim bočnim rubom. U kojem omjeru je podijeljen volumen krnje piramide ako su joj stranice baza u omjeru 1:2?

Otopina.

Razmotrimo ABCA 1 B 1 C 1 - krnju piramidu prikazanu na riža. 2.

Kako su stranice u osnovicama u omjeru 1:2, to su i površine baza u omjeru 1:4 (trokut ABC sličan je trokutu A 1 B 1 C 1).

Tada je volumen krnje piramide:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, gdje je S 2 – površina gornje baze, h – visina.

Ali volumen prizme ADEA 1 B 1 C 1 je V 1 = S 2 h i, prema tome,

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.

Dakle, V 2: V 1 = 3: 4.

Odgovor: 3:4.

Zadatak 3.

Stranice baza pravilne četverokutne krnje piramide jednake su 2 i 1, a visina je 3. Kroz sjecište dijagonala piramide povučena je ravnina, paralelna s bazama piramide, koja dijeli piramidu na dva dijela. Pronađite volumen svakog od njih.

Otopina.

Razmotrite krnju piramidu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prikazanu na riža. 3.

Označimo O 1 O 2 = x, tada je OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.

Promotrimo trokut B 1 O 2 D 1 i trokut BO 2 D:

kut B 1 O 2 D 1 jednak je kutu BO 2 D kao vertikali;

kut BDO 2 jednak je kutu D 1 B 1 O 2 i kut O 2 VD jednak je kutu B 1 D 1 O 2 koji leži unakrsno na B 1 D 1 || BD i sekante B₁D odnosno BD1.

Dakle, trokut B 1 O 2 D 1 sličan je trokutu BO 2 D i omjer stranica je:

V1D 1 /VD = O 1 O 2 /OO 2 ili 1/2 = x/(x – 3), odakle je x = 1.

Promotrimo trokut B 1 D 1 B i trokut LO 2 B: kut B je zajednički, a postoji i par jednakostraničkih kutova u B 1 D 1 || LM, što znači da je trokut B 1 D 1 B sličan trokutu LO 2 B, odakle je B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, tj.

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Tada je S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Dakle, V 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Odgovor: 152/27; 37/27.

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvorni izvor je obavezna.