Prezentacija za sat matematike u 9. razredu na temu "Kvadratni trinom i njegovi korijeni" sa sadržajem zadataka na dubljoj razini proučavanja predmeta. Prezentacija je osmišljena za kontinuiranu upotrebu tijekom cijele lekcije. Zadaci različitog sadržaja.

preuzimanje:

Pregled:

Kako biste koristili preglede prezentacije, stvorite Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Točka plana Točka plana Točka plana Točka plana Točka plana Obnavljanje znanja Proučavanje teme sata Enciklopedijska uputnica Dinamička minuta. domaća zadaća Kvadratni trinom i njegove korijene pripremila je učiteljica matematike: 1KK Natalija Fedorovna Radčenko

Obnavljanje znanja Proučavanje teme sata Enciklopedijska uputnica Dinamička minuta Domaća zadaća Obnavljanje znanja ◊ 1 Ponavljanje gradiva o funkcijama; ◊ 2 Teorijske osnove rješavanje kvadratnih jednadžbi; ◊ 3 Vietin teorem; ◊ 4 Ukupno.

Obnavljanje znanja Ponavljanje gradiva: među ovim funkcijama naznačiti linearno opadajuće funkcije: y= x²+12 y= -x-24 y= 9x+8 h= 23-23x h= 1/x² g= (x+16)² g = - 3

Aktualizacija znanja Kako se utvrđuje prisutnost i broj korijena kvadratne jednadžbe? Kako izračunati diskriminantu kvadratne jednadžbe D = 2. Navedite formule za korijene kvadratne jednadžbe D>0, zatim x 1,2 = D = 0, zatim x =

Obnavljanje znanja t² - 2t – 3 = 0 3. Izračunaj diskriminantu i odgovori na pitanje “Koliko korijena ima kvadratna jednadžba?” D= 16 >0, dva korijena Koliki je umnožak korijena? X 1  x 2 = - 3 5. Koliki je zbroj korijena jednadžbe? X 1 + x 2 = 2 6. Što se može reći o predznacima korijena? Korijeni različitih predznaka 7. Odabirom pronađi korijene. X 1 = 3, x 2 = -1

Proučavanje teme lekcije ◊ 1 Izvještavanje o temi lekcije; ◊ 2 Teorijske osnove pojma “Kvadratni trinom i njegovi korijeni”; ◊ 3 izjave velikih mislilaca o matematici; ◊ 4 Analiza primjera tema; Proučavanje teme lekcije Enciklopedijska referenca Dinamička minuta Domaća zadaća

Kvadratni trinom i njegovi korijeni Kvadratni trinom je polinom oblika ax² + bx + c, gdje je x varijabla, a, b i c neki brojevi, a a≠ 0. Korijen kvadratnog trinoma je vrijednost varijable pri kojoj je vrijednost tog trinoma nula Da biste pronašli korijene kvadratnog trinoma ax² + bx + c, trebate riješiti kvadratnu jednadžbu ax² + bx + c =0.

Kvadratni trinom i njegovi korijeni Nije dovoljno imati dobar um, glavno je dobro ga koristiti. R. Descartes Svatko bi trebao biti sposoban dosljedno misliti, prosuđivati ​​dokazima i pobijati netočne zaključke: fizičar i pjesnik, traktorist i kemičar. E. Kolman

Enciklopedijska uputnica ◊ 1 Pojam “parametra”; ◊ 2 Značenje riječi "parametar" u ruskim rječnicima i rječniku strane riječi; ◊ 3 Oznaka i područje primjene parametra; ◊ 4 primjera s parametrima. Enciklopedijska uputnica Dinamička minuta Domaća zadaća

Enciklopedijska referenca PARAMETAR (od grčkog παραμετρέω - mjerim, ostavljam). Veličina uključena u matematičku formulu koja održava konstantnu vrijednost unutar jedne pojave ili za određeni zadatak..., (mat.) Parametar je konstantna vrijednost, izražena slovom, koja zadržava svoju konstantnu vrijednost samo pod uvjetima zadani zadatak... “Rječnik stranih riječi.” 3. Pri kojoj vrijednosti parametra m kvadratni trinom 2x ² + 2th – m – 0,5 ima jedan korijen? Pronađite ovaj korijen.

Dinamička pauza ◊ 1 Rješavanje “problema”; ◊ 2 Povijesna pozadina: pismo iz prošlosti; Domaća zadaća od dinamičnih minuta

Dinamička pauza Pri kojoj vrijednosti parametra t kvadratni trinom 2x ² + 2th – t – 0,5 = 0 ima jedan korijen? Pronađite ovaj korijen. Kvadratna jednadžba ima jedan korijen D=0 D= b² - 4ac; a=2, b=2m, c= - m – 0,5 D= (2m)² - 4  2  (- m – 0,5) = 4m² + 8m +4 D=0, 4m² + 8m +4 = 0 m² + 2m +1 = 0 (m + 1)² = 0 m= - 1 Zamijenite pronađenu vrijednost m u izvornu jednadžbu: 2x ² - 2x + 1 – 0,5 = 0 4x ² - 4x + 1 = 0 ( 2x – 1 ) ² =0 2x -1 =0 x = 0,5

Dinamička pauza U domaćoj zadaći učenici 8. razreda trebali su pronaći korijene kvadratnog trinoma (x² - 5x +7) ² - 2(x² - 5x +7) - 3 Nakon razmišljanja, Vitya je zaključio na sljedeći način: prvo morate otvorite zagrade, zatim donesite slične uvjete . Ali Styopa je rekao da postoji jednostavniji način da se to riješi i da uopće nije potrebno otvarati zagrade. Pomozite Viti pronaći racionalno rješenje

Dinamička pauza Problemi traženja korijena kvadratnog trinoma i sastavljanja kvadratnih jednadžbi nalaze se već u staroegipatskim matematičkim papirusima. Opće pravilo pronalaženje korijena i rješavanje jednadžbi oblika: ax ² + bx = c, gdje su a > 0, b i c bilo koje, formulirao je Brahmagupta (7. stoljeće nove ere). Brahmagupta još nije znao da kvadratna jednadžba može imati i negativan korijen. Bhaskara Acharya (12. stoljeće) formulirao je odnose između koeficijenata jednadžbe. Napravio puno problema.

Generalizacija, domaća zadaća ◊ 1 Rješavanje zadataka s parametrom: razne vrste zadaci; ◊ 2 Sažetak teme koja se proučava; ◊ 3 Domaća zadaća: po razini. domaća zadaća

Generalizacija, domaća zadaća Pronađite korijene kvadratnog trinoma (x-4)² +(4y-12)². Nađite vrijednosti parametra a za svaku od kojih kvadratni trinom x²+ 4 x + 2ax+8a+1 ima jedno rješenje. Domaća zadaća: str.3; 1. skupina: br. 45 (c, d), br. 49 (c, d); 2. skupina: a) pronaći vrijednost parametra a pri kojoj kvadratni trinom x²-6x+2ax+4a nema rješenja; b) pronađite korijene kvadratnog trinoma (2x-6)²+(3y-12)²

izvor predloška Natalia Vladimirovna Chernakova Učiteljica kemije i biologije, Državna obrazovna ustanova NPO Arkhangelsk Region “Strukovna škola br. 31” “http://pedsovet.su/”

Tema “Kvadratni trinom i njegovi korijeni” obrađuje se u kolegiju algebre 9. razreda. Kao i svaka druga lekcija matematike, lekcija na ovu temu zahtijeva posebne nastavne alate i metode. Vidljivost je neophodna. Jedan od njih je ovaj video tutorial koji je osmišljen posebno kako bi učitelju olakšao rad.

Ova lekcija traje 6:36 minuta. Za to vrijeme autor uspijeva u potpunosti razotkriti temu. Učitelj će samo morati odabrati zadatke na temu kako bi učvrstio gradivo.

Lekcija počinje pokazivanjem primjera polinoma s jednom varijablom. Tada se na ekranu pojavljuje definicija korijena polinoma. Ova definicija potkrijepljena je primjerom gdje je potrebno pronaći korijene polinoma. Rješavanjem jednadžbe autor dobiva korijene polinoma.

Slijedi napomena da se u kvadratne trinome ubrajaju i oni polinomi drugog stupnja kod kojih su drugi, treći ili oba koeficijenta, osim vodećeg, jednaki nuli. Ovaj podatak je potkrijepljen primjerom gdje je slobodni koeficijent nula.

Autor zatim objašnjava kako pronaći korijene kvadratnog trinoma. Da biste to učinili, morate riješiti kvadratnu jednadžbu. A autor predlaže da se to provjeri na primjeru gdje je dan kvadratni trinom. Moramo pronaći njegove korijene. Rješenje se konstruira na temelju rješenja kvadratne jednadžbe dobivene iz zadanog kvadratnog trinoma. Rješenje je detaljno, jasno i razumljivo ispisano na ekranu. Rješavajući ovaj primjer, autor se prisjeća kako se rješava kvadratna jednadžba, zapisuje formule i dobiva rezultat. Odgovor se bilježi na ekranu.

Autor je na primjeru objasnio iznalaženje korijena kvadratnog trinoma. Kada učenici shvate bit, mogu prijeći na općenitije stvari, što autor i čini. Stoga dalje sažima sve navedeno. U općim crtama Matematičkim jezikom autor zapisuje pravilo za traženje korijena kvadratnog trinoma.

Slijedi napomena da je u nekim zadacima praktičnije kvadratni trinom pisati malo drugačije. Ovaj unos je prikazan na ekranu. To jest, ispada da se iz kvadratnog trinoma može izdvojiti kvadratni binom. Predlaže se razmotriti takvu transformaciju s primjerom. Rješenje ovog primjera prikazano je na ekranu. Kao iu prethodnom primjeru, rješenje je detaljno konstruirano sa svim potrebnim objašnjenjima. Autor zatim razmatra problem koji koristi upravo dane informacije. Ovo je problem geometrijskog dokaza. Rješenje sadrži ilustraciju u obliku crteža. Rješenje problema je detaljno i jasno opisano.

Ovo zaključuje lekciju. Ali nastavnik može odabrati zadatke na temelju sposobnosti učenika koji će odgovarati zadanoj temi.

Ova video lekcija može se koristiti kao objašnjenje novog gradiva na satovima algebre. Savršena je za učenike da se samostalno pripreme za nastavu.

Raspad kvadratni trinomi množitelji odnosi se na školske zadatke s kojima se svi prije ili kasnije susreću. Kako to učiniti? Koja je formula za rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore? Shvatimo to korak po korak uz pomoć primjera.

Opća formula

Kvadratni trinomi faktoriziraju se rješavanjem kvadratne jednadžbe. Ovo je jednostavan problem koji se može riješiti na nekoliko metoda - pronalaženjem diskriminante pomoću Vietinog teorema postoji i grafičko rješenje. Prve dvije metode uče se u srednjoj školi.

Opća formula izgleda ovako:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritam za izvršavanje zadatka

Kako biste rastavili kvadratne trinome na faktore, morate znati Vitin teorem, imati pri ruci program za rješavanje, biti u mogućnosti pronaći rješenje grafički ili tražiti korijene jednadžbe drugog stupnja koristeći diskriminantnu formulu. Ako je dan kvadratni trinom i treba ga faktorizirati, algoritam je sljedeći:

1) Izjednačite izvorni izraz s nulom da dobijete jednadžbu.

2) Navedite slične pojmove (ako je potrebno).

3) Pronađite korijene bilo kojom poznatom metodom. Grafičku metodu najbolje je koristiti ako se unaprijed zna da su korijeni cijeli i mali brojevi. Mora se zapamtiti da je broj korijena jednak maksimalni stupanj jednadžba, odnosno kvadratna jednadžba ima dva korijena.

4) Zamijenite vrijednost X u izraz (1).

5) Zapiši faktorizaciju kvadratnih trinoma.

Primjeri

Praksa vam omogućuje da konačno shvatite kako se ovaj zadatak izvodi. Primjeri ilustriraju faktorizaciju kvadratnog trinoma:

potrebno je proširiti izraz:

Pribjegnimo našem algoritmu:

1) x 2 -17x+32=0

2) slični termini su smanjeni

3) koristeći Vietinu formulu, teško je pronaći korijene za ovaj primjer, pa je bolje koristiti izraz za diskriminant:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Zamijenimo korijene koje smo pronašli u osnovnu formulu za rastavljanje:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Tada će odgovor biti ovakav:

x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

Provjerimo da li rješenja koja je pronašao diskriminant odgovaraju Vietinim formulama:

14,845 . 2,155=32

Za ove korijene primjenjuje se Vietin teorem, oni su točno pronađeni, što znači da je faktorizacija koju smo dobili također točna.

Slično, proširujemo 12x 2 + 7x-6.

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 = -7-(337)1/2

U prethodnom slučaju rješenja su bili necijeli, već realni brojevi, koje je lako pronaći ako pred sobom imate kalkulator. Sada pogledajmo više složen primjer, u kojem će korijeni biti složeni: faktor x 2 + 4x + 9. Vietinom formulom ne mogu se pronaći korijeni, a diskriminant je negativan. Korijeni će biti na kompleksnoj ravnini.

D=-20

Na temelju toga dobivamo korijene koji nas zanimaju -4+2i*5 1/2 i -4-2i * 5 1/2 budući da je (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Željenu dekompoziciju dobivamo zamjenom korijena u opću formulu.

Još jedan primjer: morate faktorizirati izraz 23x 2 -14x+7.

Imamo jednadžbu 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

To znači da su korijeni 14+21.166i i 14-21.166i. Odgovor će biti:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Navedimo primjer koji se može riješiti bez pomoći diskriminante.

Recimo da trebamo proširiti kvadratnu jednadžbu x 2 -32x+255. Očito, to se također može riješiti pomoću diskriminante, ali u ovom slučaju je brže pronaći korijene.

x 1 =15

x 2 =17

Sredstva x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).

Proširivanje polinoma da bi se dobio produkt ponekad može izgledati zbunjujuće. Ali nije tako teško ako proces razumijete korak po korak. Članak detaljno opisuje kako faktorizirati kvadratni trinom.

Mnogi ljudi ne razumiju kako faktorizirati kvadratni trinom i zašto se to radi. Isprva se to može činiti kao uzaludna vježba. Ali u matematici se ništa ne radi uzalud. Transformacija je neophodna radi pojednostavljenja izraza i lakšeg izračuna.

Polinom oblika – ax²+bx+c, naziva se kvadratni trinom. Izraz "a" mora biti negativan ili pozitivan. U praksi se ovaj izraz naziva kvadratna jednadžba. Stoga ponekad kažu drugačije: kako proširiti kvadratnu jednadžbu.

Zanimljiv! Polinom se naziva kvadratom zbog svog najvećeg stupnja, kvadrata. I trinom - zbog 3 komponente.

Neke druge vrste polinoma:

• linearni binom (6x+8);
• kubni kvadrinom (x³+4x²-2x+9).

Rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore

Prvo, izraz je jednak nuli, a zatim morate pronaći vrijednosti korijena x1 i x2. Možda nema korijena, može biti jedan ili dva korijena. Prisutnost korijena određena je diskriminantom. Njegovu formulu morate znati napamet: D=b²-4ac.

Ako je rezultat D negativan, nema korijena. Ako je pozitivan, postoje dva korijena. Ako je rezultat nula, korijen je jedan. Korijeni se također izračunavaju pomoću formule.

Ako je pri izračunavanju diskriminante rezultat nula, možete koristiti bilo koju od formula. U praksi se formula jednostavno skraćuje: -b / 2a.

Formule za različita značenja diskriminanti se razlikuju.

Ako je D pozitivan:

Ako je D nula:

Online kalkulatori

Na Internetu postoji online kalkulator. Može se koristiti za izvođenje faktorizacije. Neki resursi pružaju mogućnost pregleda rješenja korak po korak. Takve usluge pomažu boljem razumijevanju teme, ali morate je pokušati dobro razumjeti.

Koristan video: Rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore

Primjeri

Pozivamo vas da pogledate jednostavni primjeri, kako faktorizirati kvadratnu jednadžbu.

Primjer 1

Ovo jasno pokazuje da je rezultat dva x jer je D pozitivan. Treba ih zamijeniti u formulu. Ako se korijeni pokažu negativni, predznak u formuli mijenja se u suprotan.

Znamo formulu za rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore: a(x-x1)(x-x2). Stavljamo vrijednosti u zagrade: (x+3)(x+2/3). Ne postoji broj ispred člana u potenciji. To znači da postoji jedan tamo, ide dolje.

Primjer 2

Ovaj primjer jasno pokazuje kako riješiti jednadžbu koja ima jedan korijen.

Zamjenjujemo dobivenu vrijednost:

Primjer 3

Dano: 5x²+3x+7

Prvo izračunajmo diskriminantu, kao u prethodnim slučajevima.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminanta je negativna, što znači da nema korijena.

Nakon primitka rezultata otvorite zagrade i provjerite rezultat. Trebao bi se pojaviti izvorni trinom.

Alternativno rješenje

Neki ljudi se nikada nisu uspjeli sprijateljiti s diskriminatorom. Postoji još jedan način faktorizacije kvadratnog trinoma. Radi praktičnosti, metoda je prikazana s primjerom.

Zadano je: x²+3x-10

Znamo da bismo trebali dobiti 2 zagrade: (_)(_). Kada izraz izgleda ovako: x²+bx+c, na početku svake zagrade stavljamo x: (x_)(x_). Preostala dva broja su umnožak koji daje "c", tj. u ovom slučaju -10. Jedini način da saznate koji su to brojevi je odabirom. Zamijenjeni brojevi moraju odgovarati preostalom pojmu.

Na primjer, množenje sljedećih brojeva daje -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Ne.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Ne.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Ne.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Odgovara.

To znači da transformacija izraza x2+3x-10 izgleda ovako: (x-2)(x+5).

Važno! Trebate paziti da ne pobrkate znakove.

Proširenje kompleksnog trinoma

Ako je "a" veće od jedan, počinju poteškoće. Ali sve nije tako teško kao što se čini.

Za rastavljanje na faktore prvo morate vidjeti može li se nešto rastaviti na faktore.

Na primjer, dat je izraz: 3x²+9x-30. Ovdje je broj 3 izvučen iz zagrade:

3(x²+3x-10). Rezultat je već dobro poznati trinom. Odgovor izgleda ovako: 3(x-2)(x+5)

Kako rastaviti ako je član koji se nalazi u kvadratu negativan? U ovom slučaju, broj -1 je izdvojen iz zagrada. Na primjer: -x²-10x-8. Izraz će tada izgledati ovako:

Shema se malo razlikuje od prethodne. Ima samo nekoliko novih stvari. Recimo da je dan izraz: 2x²+7x+3. Odgovor je također upisan u 2 zagrade koje je potrebno popuniti (_)(_). U 2. zagradi je napisano x, a u 1. ono što je ostalo. To izgleda ovako: (2x_)(x_). Inače se ponavlja prethodna shema.

Broj 3 je dan brojevima:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Jednadžbe rješavamo zamjenom ovih brojeva. Posljednja opcija je prikladna. To znači da transformacija izraza 2x²+7x+3 izgleda ovako: (2x+1)(x+3).

Ostali slučajevi

Nije uvijek moguće pretvoriti izraz. Kod druge metode rješavanje jednadžbe nije potrebno. Ali mogućnost pretvaranja termina u produkt provjerava se samo preko diskriminante.

Za odluku vrijedi vježbati kvadratne jednadžbe tako da nema poteškoća pri korištenju formula.

Koristan video: rastavljanje trinoma na faktore

Zaključak

Možete ga koristiti na bilo koji način. Ali bolje je vježbati oboje dok ne postanu automatski. Također, naučiti kako dobro rješavati kvadratne jednadžbe i faktorirati polinome potrebno je za one koji planiraju svoj život povezati s matematikom. Sve sljedeće matematičke teme izgrađene su na tome.

Nalaženje korijena kvadratnog trinoma

Ciljevi: uvesti pojam kvadratnog trinoma i njegovih korijena; razvijati sposobnost pronalaženja korijena kvadratnog trinoma.

Napredak lekcije

I. Organizacijski trenutak.

II. Usmeni rad.

Koji od brojeva: –2; –1; 1; 2 – jesu li korijeni jednadžbi?

a) 8 X+ 16 = 0; V) X 2 + 3X – 4 = 0;

b) 5 X 2 – 5 = 0; G) X 3 – 3X – 2 = 0.

III. Objašnjenje novog gradiva.

Objašnjenje novog materijala treba provesti prema sljedećoj shemi:

1) Uvesti pojam korijena polinoma.

2) Uvesti pojam kvadratnog trinoma i njegovih korijena.

3) Analizirati pitanje mogućeg broja korijena kvadratnog trinoma.

O pitanju izdvajanja kvadrata binoma od kvadratnog trinoma najbolje je raspravljati u sljedećoj lekciji.

U svakoj fazi objašnjavanja novog gradiva potrebno je učenicima ponuditi usmeni zadatak kako bi se provjerilo njihovo razumijevanje glavnih točaka teorije.

Zadatak 1. Koji od brojeva: –1; 1; ; 0 – su korijeni polinoma X 4 + 2X 2 – 3?

Zadatak 2. Koji su od sljedećih polinoma kvadratni trinomi?

1) 2X 2 + 5X – 1; 6) X 2 – X – ;

2) 2X – ; 7) 3 – 4X + X 2 ;

3) 4X 2 + 2X + X 3 ; 8) X + 4X 2 ;

4) 3X 2 – ; 9) + 3X – 6;

5) 5X 2 – 3X; 10) 7X 2 .

Koji kvadratni trinomi imaju korijen 0?

Zadatak 3. Može li kvadratni trinom imati tri korijena? Zašto? Koliko korijena ima kvadratni trinom? X 2 + X – 5?

IV. Formiranje vještina i sposobnosti.

Vježbe:

1. № 55, № 56, № 58.

2. br. 59 (a, c, d), br. 60 (a, c).

U ovom zadatku ne trebate tražiti korijene kvadratnih trinoma. Dovoljno je pronaći njihovu diskriminantu i odgovoriti na postavljeno pitanje.

a) 5 X 2 – 8X + 3 = 0;

D 1 = 16 – 15 = 1;

D 1 0, što znači da ovaj kvadratni trinom ima dva korijena.

b) 9 X 2 + 6X + 1 = 0;

D 1 = 9 – 9 = 0;

D 1 = 0, što znači da kvadratni trinom ima jedan korijen.

c) –7 X 2 + 6X – 2 = 0;

7X 2 – 6X + 2 = 0;

D 1 = 9 – 14 = –5;

Ako ostane vremena, možete raditi br. 63.

Otopina

Neka sjekira 2 + bx + c je zadani kvadratni trinom. Jer a+ b +
+c= 0, tada je jedan od korijena ovog trinoma jednak 1. Prema Vietinom teoremu, drugi korijen je jednak . Prema stanju, S = 4A, pa je drugi korijen ovog kvadratnog trinoma jednak
.

ODGOVOR: 1 i 4.

V. Sažetak lekcije.

Često postavljana pitanja:

– Što je korijen polinoma?

– Koji se polinom naziva kvadratni trinom?

– Kako pronaći korijene kvadratnog trinoma?

– Što je diskriminant kvadratnog trinoma?

– Koliko korijena može imati kvadratni trinom? O čemu ovo ovisi?

domaća zadaća: br. 57, br. 59 (b, d, f), br. 60 (b, d), br. 62.