Slični dokumenti

Vraćanje grafova iz zadanih matrica susjedstva vrhova. Konstrukcija za svaki graf matrice rubne susjednosti, incidencije, dosegljivosti, protudohvatljivosti. Pronalaženje sastava grafova. Određivanje lokalnih stupnjeva vrhova grafa. Traženje baze podataka grafova.

laboratorijski rad, dodan 01.09.2009


Opis zadanog grafa skupovima vrhova V i lukova X, popisima susjedstva, matricom incidencije i susjedstva. Matrica težine odgovarajućeg neusmjerenog grafa. Određivanje stabla najkraćeg puta pomoću Dijkstrinog algoritma. Pronalaženje stabala na grafu.

kolegij, dodan 30.09.2014


Pojam "grafa" i njegova matrična reprezentacija. Svojstva matrica susjedstva i incidencije. Svojstva ruta, lanaca i petlji. Problem pronalaženja središnjih vrhova grafa, njegove metričke karakteristike. Primjena teorije grafova u područjima znanosti i tehnologije.

kolegij, dodan 09.05.2015


Algoritam za prijelaz na grafički prikaz za neusmjereni graf. Broj vrhova u neusmjerenom grafu. Čitanje iz matrice susjedstva. Veze između vrhova u matrici. Postavljanje koordinata vrhova ovisno o broju sektora.

laboratorijski rad, dodano 29.04.2011


Matematički opis sustava automatskog upravljanja pomoću grafova. Izrada grafa i njegova transformacija, oslobađanje od razlika. Optimizacija usmjerenih i neusmjerenih grafova, kompilacija matrica susjedstva i incidencije.

laboratorijski rad, dodan 11.03.2012


Usmjereni i neusmjereni grafovi: opće karakteristike, posebni vrhovi i bridovi, polustupnjevi vrhova, susjedstvo, incidencija, dohvatljivost, matrice povezanosti. Numeričke karakteristike svakog grafa, obilaženje prvo u dubinu i širinu, baza ciklusa.

kolegij, dodan 14.05.2012


Provjera valjanosti identiteta ili inkluzija pomoću algebre skupova i Euler-Vennovih dijagrama. Predstavljanje grafa i matrice relacije koja ima svojstva refleksivnosti, tranzitivnosti i antisimetričnosti. Učenje neusmjerenog grafa.

test, dodan 05.05.2013


Skup je skup elemenata ujedinjenih prema nekom svojstvu. Na skupovima su definirane operacije koje su umnogome slične aritmetici. Skupovne operacije interpretiraju se geometrijski pomoću Euler-Vennovih dijagrama.

sažetak, dodan 03.02.2009


Konstrukcija dijagrama pseudografa, matrice incidencije i matrice susjedstva vrhova. Vraćanje stabla iz vektora pomoću Prüfer algoritma. Konstrukcija tablice istinitosti za funkciju i savršene konjunktivne i disjunktivne normalne forme.

test, dodan 25.09.2013


Metode rješavanja diskretnih matematičkih problema. Izračun najkraćeg puta između parova svih vrhova u usmjerenim i neusmjerenim grafovima korištenjem Floydovog algoritma. Analiza problema i metode za njegovo rješavanje. Razvoj i karakteristike programa.

Za vizualno predstavljanje skupova koriste se Euler–Vennovi dijagrami (nazvani po matematičarima Leonhardu Euleru (1707–1783) i Johnu Vennu (1834–1923)). Skupovi su označeni regijama na ravnini, a elementi skupa su konvencionalno smješteni unutar tih regija. Često su svi skupovi u dijagramu smješteni unutar pravokutnika, koji predstavlja univerzalni skup. Ako element pripada više od jednog skupa, tada se regije koje odgovaraju takvim skupovima moraju preklapati tako da zajednički element može istovremeno biti u odgovarajućim regijama. Izbor oblika površina koje predstavljaju skupove u dijagramima može biti proizvoljan (krugovi, poligoni itd.).

Na primjer, korištenjem Euler-Vennovih dijagrama moguće je pokazati da je skup podskup skupa (slika 3).

Ilustrirajmo gore uvedene operacije na skupovima pomoću Euler–Vennovih dijagrama: a) unija skupova i; b) presjek skupa; c) set razlika (bez); d) dodavanje skupa univerzalnom skupu (sl. 4, A, b, V, G).

Primjer 1. Dokažite identičnost pomoću Euler–Vennovih dijagrama.

Otopina

Konstruirajmo komplement skupa univerzalnom skupu (sl. 5, A). Skup odgovara zasjenjenom području (Sl. 5, b). Dakle, jasno je da su u Euler–Vennovim dijagramima skupovi i prikazani na isti način, dakle.

Primjer 2. Pokaži to.

Otopina

Konstruirajmo skup koji odgovara lijevoj strani zadanog identiteta. Skup je predstavljen osjenčanim područjem na sl. 6, A. Skup odgovara osjenčanom području na sl. 6, b.

Skup predstavlja područje osjenčano u oba prethodna dijagrama, zbog čega je prikazan na sl. 6, V tamnije područje.

Konstruirajmo skup koji odgovara desnoj strani zadanog identiteta.

Skupovi i predstavljeni su osjenčanim područjem na sl. 7, A i 7, b odnosno.

Skup je prikazan osjenčanim područjem na sl. 7, V.

Uspoređujući sl. 6, V i riža 7, V, vidimo da su Euler–Vennovi dijagrami prikazani na isti način, dakle .

Pitanja i zadaci za samostalno rješavanje

1. Nacrtajte skupove koristeći Euler–Vennov dijagram:

2. Opišite skupove koji odgovaraju osjenčanim dijelovima na sl. 8, A, b, V, G, koristeći Euler-Vennove dijagrame:

3. Koristeći Euler-Vennove dijagrame, pokažite da:

1.4. Svojstva skupovnih operacija

Gore uvedene skupovne operacije imaju sljedeća svojstva.

1. – komutativnost.

2. – asocijativnost.

3. – distributivnost.

4. – idempotencija.

5. – zakoni identiteta.

6. – zakoni komplementa.

7. – de Morganovi zakoni.

8. – zakoni apsorpcije.

9. – zakonitosti lijepljenja.

10. - Poretskyjevi zakoni.

Primjer 1. Na temelju svojstava skupovnih operacija pojednostaviti izraz.

Otopina

= /de Morganov zakon/ =

= = /zakon distributivnosti/ =

= = /zakon komutativnosti/ =

= = /zakon distributivnosti/ =

/zakon komutativnosti/ =

/zakoni zbrajanja/ =

= /zakoni komutativnosti i identiteta/ =

= = /definicija simetrične razlike/ =.

Kao što je već spomenuto, kardinalnost konačnog skupa je broj njegovih elemenata. Sljedeći teorem daje jednostavno pravilo za izračunavanje snage unije dva skupa.

Teorem uključenja i isključenja. Kardinalnost unije dvaju skupova jednaka je razlici između zbroja kardinalnosti tih skupova i kardinalnosti njihovog presjeka, tj.

Dokaz

Dokaz tvrdnje najprikladnije je grafički ilustrirati. Kao što je prikazano na sl. 9, skup se sastoji od podskupova:,and, koji nemaju zajedničkih elemenata. Stoga, i.

Uvedimo sljedeću oznaku:

Q.E.D.

Primjer 2. Svaki od 63 studenta prve godine studija računarstva na Sveučilištu može pohađati dodatna predavanja. Ako njih 16 pohađa i računovodstveni tečaj, 37 poslovni tečaj, a 5 studira obje ove discipline, koliko učenika uopće ne ide na tu dodatnu nastavu?

Otopina

Uvedimo sljedeću oznaku:

Dakle, to je broj studenata koji ne pohađaju dodatne kolegije.

Napomena 1. Teorem uključivanja i isključenja može se formulirati za slučaj tri skupa:

Primjer 3. Na predmetu studira 42 studenta. Od toga je 16 uključeno u atletsku sekciju, 24 u nogometnu sekciju, 15 u šahovsku sekciju, 11 u atletsku i nogometnu sekciju; 8 – u atletici i šahu; 12 – i u nogometu i u šahu; i 6 – u sva tri odjeljka. Ostatak učenika zanima turizam. Koliko je studenata turista?

Otopina

Uvedimo sljedeću oznaku:

Od uvjeta problema: ,,,,,,i.

Odakle, odnosno – broj studenata koji se bave turizmom.

Napomena 2. Pri rješavanju navedenih problema zgodno je koristiti Euler–Vennove dijagrame.

Problemi koje treba samostalno riješiti

Dokažite identitet koristeći svojstva skupovnih operacija:

2. U blagovaonicu je na ručak došlo 33 ljudi. Juhu je naručilo 10 osoba, pilav 16, kompot 30, sva tri jela 7 osoba, juhu i pilav 8 osoba, juhu i kompot 14 osoba. Koliko je ljudi naručilo pilav i kompot?

3. U studentskoj grupi engleski uči 12 osoba, 13 – njemački, 16 – francuski, 4 – samo engleski i njemački, 3 – samo engleski i francuski, 5 – sva tri jezika. U grupi nema studenata koji govore samo engleski. Dvije osobe uče samo njemački, šest osoba uči samo francuski. Jedan student u grupi ne uči nijedan od navedenih jezika. Koliko je učenika u grupi?

Ljudsko razmišljanje je strukturirano na takav način da se čini da se svijet sastoji od pojedinačnih "objekata". Filozofi su odavno znali da je svijet jedinstvena neraskidiva cjelina, a odabir objekata u njemu nije ništa više od proizvoljnog čina našeg razmišljanja, koji nam omogućuje da oblikujemo sliku dostupnu racionalnoj analizi. No, kako god bilo, izbor predmeta i njihove zbirke - prirodan način organizaciju našeg razmišljanja, pa ne čudi što je u osnovi glavnog alata za opisivanje egzaktnog znanja – matematike.

Pojam skupa jedan je od temeljnih nedefiniranih pojmova matematike. U najmanju ruku, ono što se zna o skupu je da se sastoji od elemenata. Definitivno prihvaćamo sljedeće formulacije.

Definicija. Pod mnoštvom S razumjet ćemo svaku kolekciju definiranih i prepoznatljivih objekata, zamišljenih kao jedinstvena cjelina. Ti se objekti nazivaju elementima skupa S.

Definicija. Pod skupom podrazumijevamo sjedinjenje u jedinstvenu cjelinu određenih potpuno razlučivih predmeta (objekata), koji se tada nazivaju elementima skupa koji tvore.

Obično se skupovi označavaju velikim slovima latinica: A, B, C, ...; a elementi skupova su ispisani malim slovima: a, b, c, … .

Ako objekt X je element skupa M, onda to kažu X pripada M: Hm. Inače se kaže da X ne pripada M: Hm.

U ovoj intuitivnoj definiciji, koja pripada njemačkom matematičaru G. Cantoru, bitna je činjenica da se sama zbirka objekata smatra jednim objektom, shvaćenim kao jedinstvena cjelina. Što se tiče samih predmeta, koji se mogu uključiti u set, postoji velika sloboda u pogledu njih.

Primjer 1

To bi mogli biti mnogi studenti koji studiraju na sveučilištu, mnogi prosti brojevi itd.

Definicija. Mnogi A naziva podskup skupa U, ako je svaki element iz A je element U(označiti). Ako A je podskup U I U nije podskup A, onda to kažu A je strogi (pravi) podskup U(označiti).

Definicija. Skup koji ne sadrži elemente naziva se praznim (označava se sa Æ); Mnogi U naziva se univerzalnim, odnosno svi skupovi koji se razmatraju su njegov podskup.

Razmotrimo dvije definicije jednakosti skupova.

Definicija. Setovi A I U smatraju se jednakima ako se sastoje od istih elemenata, napiši A=B, inače A¹ U.

Definicija. Setovi A I U smatraju se jednakima ako

Postoje sljedeće načini definiranja skupova :

1) navođenje elemenata: M = (a 1 , a 2 , …, a k} , tj. popis njegovih elemenata;

2) karakterističan predikat: M = (x | P(x)} (opis karakterističnih svojstava koje njegovi elementi moraju imati);

postupak generiranja: M = { x | x= f} , koji opisuje metodu za dobivanje elemenata skupa iz već dobivenih elemenata ili drugih objekata. U ovom slučaju elementi skupa su svi objekti koji mogu biti

1) konstruiraju se ovim postupkom. Na primjer, skup svih cijelih brojeva koji su potencije dvojke.

Komentar. Kod definiranja skupova nabrajanjem, oznake elemenata obično se stavljaju u vitičaste zagrade i odvajaju zarezima. Nabrajanjem se mogu odrediti samo konačni skupovi (broj elemenata skupa je konačan, inače se skup naziva beskonačnim). Karakteristični predikat je neki uvjet izražen u obliku logičke izjave ili procedure koja vraća logičku vrijednost. Ako je za dati element ispunjen uvjet, tada on pripada definiranom skupu, u protivnom ne pripada. Procedura generiranja je procedura koja, kada se pokrene, generira neke objekte koji su elementi skupa koji se definira. Beskonačni skupovi definirani su karakterističnim predikatom ili postupkom generiranja.

Primjer 2

1) M = (1, 2, 3, 4)– navođenje elemenata skupa.

2) karakterističan je predikat.

Definicija. Kardinalnost konačnog skupa A je broj njegovih elemenata.

Kardinalnost skupa se označava sa: | A|.

Primjer 3

|| = 0; |{}| = 1.

Definicija. Za skupove se kaže da su jednake kardinalnosti ako im se kardinaliteti podudaraju.

Definicija. Skup svih podskupova skupa A naziva se Boolean P(A).

Poznato je da ako skup A sadrži n elemenata, zatim skup P(A) sadrži 2 n elementi. U tom smislu se također koristi oznaka za set-stupanj skupa A u obliku 2 A.

Primjer 4

A = (0, 1, 2),P(A) = { , {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}} .

Skupovi se mogu geometrijski prikazati pomoću Euler-Vennovih dijagrama. Konstrukcija dijagrama sastoji se od crtanja velikog pravokutnika koji predstavlja univerzalni skup U, a unutar njega - krugovi (ili neki drugi zatvoreni likovi) koji predstavljaju skupove. Oblici se moraju presijecati na najopćenitiji način koji zahtijeva problem i moraju biti odgovarajuće označeni. Točke koje leže unutar različitih područja dijagrama mogu se smatrati elementima odgovarajućih skupova. S konstruiranim dijagramom možete zasjeniti određena područja kako biste označili novoformirane skupove.

Skupovne operacije se smatraju dobivanjem novih skupova iz postojećih.

Definicija. Unija skupova A I U je skup koji se sastoji od svih onih elemenata koji pripadaju barem jednom od skupova A,U(Slika 1.1):

Riža. 1.1. Euler-Vennov dijagram za unificiranje

Definicija. Presjek skupova A I U je skup koji se sastoji od svih onih i samo onih elemenata koji istovremeno pripadaju skupu A, i mnogi U(Slika 1.2):

Riža. 1.2. Euler-Vennov dijagram za presjek

Definicija. Set razlika A I U naziva se skup svih tih i samo tih elemenata A, koji nisu sadržani u U(Slika 1.3):

Riža. 1.3. Euler-Vennov dijagram za razliku

Definicija. Razlika simetričnog skupa A I U je skup elemenata tih skupova koji pripadaju ili samo skupu A, ili samo na set U(Slika 1.4):

Riža. 1.4. Euler-Vennov dijagram za simetričnu razliku

Definicija. Apsolutna nadopuna kompletu A je skup svih onih elemenata koji ne pripadaju skupu A(Slika 1.5):

Riža. 1.5. Euler-Vennov dijagram za apsolutni komplement

Primjer 5

Pomoću Euler-Vennovih dijagrama dokazujemo identitet:

Razmotrimo lijeva strana odnose i izvrši radnje redom:

1) pronaći sjecište skupova U I S() (Slika 1.6, a);

2) naći uniju dobivenog skupa sa skupom A() (Slika 1.6, b).

Razmotrimo desnu stranu relacije :

1) pronaći uniju skupova A I U(Slika 1.6, c);

2) pronaći uniju skupova A I S(riža.

3) pronaći sjecište posljednja dva skupa i ( ) (Sl. 6, d):

U oba slučaja (slika 1.6, b) i (slika 1.6, e) dobivamo jednake skupove. Dakle, izvorna relacija vrijedi.

Riža. 1.6. Dokaz identiteta pomoću Euler-Vennovih dijagrama

Razmotrimo osnovne identitete algebre skupova. Za proizvoljne skupove A,U, I S vrijede sljedeće relacije (tablica 1.11):

Tablica 1.11 Osnovni identiteti algebre skupova

Priča

Definicija 1

Leonhardu Euleru postavljeno je pitanje: je li moguće, šetajući Königsbergom, obići sve gradske mostove, a da ni jednim od njih ne prođete dva puta. Uključen je plan grada sa sedam mostova.

U pismu jednom talijanskom matematičaru kojeg je poznavao, Euler je dao kratko i lijepo rješenje problema königsberških mostova: s takvim rasporedom problem je nerješiv. Ujedno je naznačio da mu se pitanje čini zanimljivim jer... “Ni geometrija ni algebra nisu dovoljne da se to riješi...”.

Prilikom rješavanja mnogih zadataka L. Euler je skupove prikazivao kružnicama, po čemu su i dobili naziv "Eulerove kružnice". Ovu metodu ranije je koristio njemački filozof i matematičar Gottfried Leibniz, koji je njima geometrijski objašnjavao logičke veze između pojmova, ali su češće koristili linearne dijagrame. Euler je prilično temeljito razvio metodu. Grafičke metode postale su posebno poznate zahvaljujući engleski logičar i filozof John Venn, koji je uveo Vennove dijagrame i slične dijagrame često nazivamo Euler-Vennovi dijagrami. Koriste se u mnogim poljima, na primjer, u teoriji skupova, teoriji vjerojatnosti, logici, statistici i informatici.

Princip dijagramiranja

Do sada su se Euler-Vennovi dijagrami široko koristili za shematski prikaz svih mogućih sjecišta nekoliko skupova. Dijagrami prikazuju svih $2^n$ kombinacija n svojstava. Na primjer, kada $n=3$ dijagram prikazuje tri kružnice sa središtima u vrhovima jednakostraničnog trokuta i istog polumjera, koji je približno jednak duljini stranice trokuta.

Logičke operacije definiraju tablice istinitosti. Dijagram prikazuje krug s nazivom skupa koji predstavlja, na primjer $A$. Područje u sredini kruga $A$ će predstavljati istinitost izraza $A$, a područje izvan kruga će označavati laž. Za prikaz logičke operacije osjenčana su samo ona područja u kojima su vrijednosti logičke operacije za skupove $A$ i $B$ istinite.

Na primjer, konjunkcija dvaju skupova $A$ i $B$ istinita je samo ako su oba skupa istinita. U ovom slučaju, u dijagramu, rezultat konjunkcije $A$ i $B$ bit će područje u sredini krugova, koje istovremeno pripada skupu $A$ i skupu $B$ (sjecište skupova).

Slika 1. Konjunkcija skupova $A$ i $B$

Korištenje Euler-Vennovih dijagrama za dokazivanje logičkih jednakosti

Pogledajmo kako se metoda konstruiranja Euler-Vennovih dijagrama koristi za dokazivanje logičkih jednakosti.

Dokažimo De Morganov zakon koji je opisan jednakošću:

Dokaz:

Slika 4. Inverzija $A$

Slika 5. Inverzija $B$

Slika 6. Konjunkcija inverzija $A$ i $B$

Nakon što usporedimo područje za prikaz lijevog i desnog dijela, vidimo da su jednaki. Iz ovoga slijedi valjanost logičke jednakosti. De Morganov zakon je dokazan pomoću Euler-Vennovog dijagrama.

Rješavanje problema traženja informacija na Internetu pomoću Euler-Vennovih dijagrama

Za traženje informacija na Internetu prikladno je koristiti upite za pretraživanje s logičkim poveznicima, koji su po značenju slični veznicima "i", "ili" u ruskom jeziku. Značenje logičkih veznika postaje jasnije ako se ilustriraju Euler-Vennovim dijagramima.

Primjer 1

Tablica prikazuje primjere upita prema poslužitelju pretraživanja. Svaki zahtjev ima svoju šifru - slovo od $A$ do $B$. Morate rasporediti kodove zahtjeva silaznim redoslijedom prema broju pronađenih stranica za svaki zahtjev.

Slika 7.

Otopina:

Izgradimo Euler-Vennov dijagram za svaki zahtjev:

Slika 8.

Odgovor: BVA.

Rješavanje logičkog smislenog problema korištenjem Euler-Vennovih dijagrama

Primjer 2

Tijekom zimskih praznika od 36$, 2$ učenici razreda nisu išli u kino, kazalište ili cirkus. $25$ ljudi je išlo u kino, $11$ ljudi je išlo u kazalište, $17$ ljudi je išlo u cirkus; i u kinu i u kazalištu - 6$; i u kino i u cirkus - 10$; a u kazalište i cirkus - 4$.

Koliko je ljudi bilo u kinu, kazalištu i cirkusu?

Otopina:

Označimo s $x$ broj djece koja su bila u kinu, kazalištu i cirkusu.

Napravimo dijagram i saznajmo broj momaka u svakom području:

Slika 9.

Nisam bio u kazalištu, kinu ili cirkusu - 2$ po osobi.

Dakle, $36 - 2 = $34 ljudi. prisustvovao događajima.

$6$ ljudi je išlo u kino i kazalište, što znači samo u kino i kazalište ($6 - x)$ ljudi.

U kino i cirkus je išlo 10$ ljudi, znači samo u kino i cirkus (10$ - x$) ljudi.

$4$ ljudi je išlo u kazalište i cirkus, što znači da je samo $4 - x$ ljudi išlo u kazalište i cirkus.

U kino je išlo 25$ ljudi, što znači da je samo u kino otišlo 25$ - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$.

Slično tome, samo ($1+x$) ljudi je išlo u kazalište.

Samo ($3+x$) ljudi je išlo u cirkus.

Dakle, otišli smo u kazalište, kino i cirkus:

$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = $34;

one. samo je jedna osoba išla u kazalište, kino i cirkus.

Priča

Definicija 1

Leonhardu Euleru postavljeno je pitanje: je li moguće, šetajući Königsbergom, obići sve gradske mostove, a da ni jednim od njih ne prođete dva puta. Uključen je plan grada sa sedam mostova.

U pismu jednom talijanskom matematičaru kojeg je poznavao, Euler je dao kratko i lijepo rješenje problema königsberških mostova: s takvim rasporedom problem je nerješiv. Ujedno je naznačio da mu se pitanje čini zanimljivim jer... “Ni geometrija ni algebra nisu dovoljne da se to riješi...”.

Prilikom rješavanja mnogih zadataka L. Euler je skupove prikazivao kružnicama, po čemu su i dobili naziv "Eulerove kružnice". Ovu metodu ranije je koristio njemački filozof i matematičar Gottfried Leibniz, koji je njima geometrijski objašnjavao logičke veze između pojmova, ali su češće koristili linearne dijagrame. Euler je prilično temeljito razvio metodu. Grafičke metode postale su posebno poznate zahvaljujući engleskom logičaru i filozofu Johnu Vennu, koji je uveo Vennove dijagrame, a slične dijagrame često nazivamo Euler-Vennovi dijagrami. Koriste se u mnogim poljima, na primjer, u teoriji skupova, teoriji vjerojatnosti, logici, statistici i informatici.

Princip dijagramiranja

Do sada su se Euler-Vennovi dijagrami široko koristili za shematski prikaz svih mogućih sjecišta nekoliko skupova. Dijagrami prikazuju svih $2^n$ kombinacija n svojstava. Na primjer, kada $n=3$ dijagram prikazuje tri kružnice sa središtima u vrhovima jednakostraničnog trokuta i istog polumjera, koji je približno jednak duljini stranice trokuta.

Logičke operacije definiraju tablice istinitosti. Dijagram prikazuje krug s nazivom skupa koji predstavlja, na primjer $A$. Područje u sredini kruga $A$ će predstavljati istinitost izraza $A$, a područje izvan kruga će označavati laž. Za prikaz logičke operacije osjenčana su samo ona područja u kojima su vrijednosti logičke operacije za skupove $A$ i $B$ istinite.

Na primjer, konjunkcija dvaju skupova $A$ i $B$ istinita je samo ako su oba skupa istinita. U ovom slučaju, u dijagramu, rezultat konjunkcije $A$ i $B$ bit će područje u sredini krugova, koje istovremeno pripada skupu $A$ i skupu $B$ (sjecište skupova).

Slika 1. Konjunkcija skupova $A$ i $B$

Korištenje Euler-Vennovih dijagrama za dokazivanje logičkih jednakosti

Pogledajmo kako se metoda konstruiranja Euler-Vennovih dijagrama koristi za dokazivanje logičkih jednakosti.

Dokažimo De Morganov zakon koji je opisan jednakošću:

Dokaz:

Slika 4. Inverzija $A$

Slika 5. Inverzija $B$

Slika 6. Konjunkcija inverzija $A$ i $B$

Nakon što usporedimo područje za prikaz lijevog i desnog dijela, vidimo da su jednaki. Iz ovoga slijedi valjanost logičke jednakosti. De Morganov zakon je dokazan pomoću Euler-Vennovog dijagrama.

Rješavanje problema traženja informacija na Internetu pomoću Euler-Vennovih dijagrama

Za traženje informacija na Internetu prikladno je koristiti upite za pretraživanje s logičkim poveznicima, koji su po značenju slični veznicima "i", "ili" u ruskom jeziku. Značenje logičkih veznika postaje jasnije ako se ilustriraju Euler-Vennovim dijagramima.

Primjer 1

Tablica prikazuje primjere upita prema poslužitelju pretraživanja. Svaki zahtjev ima svoju šifru - slovo od $A$ do $B$. Morate rasporediti kodove zahtjeva silaznim redoslijedom prema broju pronađenih stranica za svaki zahtjev.

Slika 7.

Otopina:

Izgradimo Euler-Vennov dijagram za svaki zahtjev:

Slika 8.

Odgovor: BVA.

Rješavanje logičkog smislenog problema korištenjem Euler-Vennovih dijagrama

Primjer 2

Tijekom zimskih praznika od 36$, 2$ učenici razreda nisu išli u kino, kazalište ili cirkus. $25$ ljudi je išlo u kino, $11$ ljudi je išlo u kazalište, $17$ ljudi je išlo u cirkus; i u kinu i u kazalištu - 6$; i u kino i u cirkus - 10$; a u kazalište i cirkus - 4$.

Koliko je ljudi bilo u kinu, kazalištu i cirkusu?

Otopina:

Označimo s $x$ broj djece koja su bila u kinu, kazalištu i cirkusu.

Napravimo dijagram i saznajmo broj momaka u svakom području:

Slika 9.

Nisam bio u kazalištu, kinu ili cirkusu - 2$ po osobi.

Dakle, $36 - 2 = $34 ljudi. prisustvovao događajima.

$6$ ljudi je išlo u kino i kazalište, što znači samo u kino i kazalište ($6 - x)$ ljudi.

U kino i cirkus je išlo 10$ ljudi, znači samo u kino i cirkus (10$ - x$) ljudi.

$4$ ljudi je išlo u kazalište i cirkus, što znači da je samo $4 - x$ ljudi išlo u kazalište i cirkus.

U kino je išlo 25$ ljudi, što znači da je samo u kino otišlo 25$ - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$.

Slično tome, samo ($1+x$) ljudi je išlo u kazalište.

Samo ($3+x$) ljudi je išlo u cirkus.

Dakle, otišli smo u kazalište, kino i cirkus:

$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = $34;

one. samo je jedna osoba išla u kazalište, kino i cirkus.