Definicija 10.4.Kanonski pogled kvadratni oblik(10.1) naziva se sljedeći oblik: . (10.4)

Pokažimo da u bazi vlastitih vektora kvadratni oblik (10.1) poprima kanonski oblik. Neka

Normalizirani svojstveni vektori koji odgovaraju svojstvenim vrijednostima λ 1 , λ 2 , λ 3 matrice (10.3) u ortonormalnoj bazi. Tada će matrica prijelaza sa stare baze na novu biti matrica

. U novoj osnovi matrica A poprimit će dijagonalni oblik (9.7) (po svojstvu svojstvenih vektora). Dakle, transformacija koordinata pomoću formula:

,

u novoj bazi dobivamo kanonski oblik kvadratnog oblika s koeficijentima jednakim svojstvenim vrijednostima λ 1, λ 2, λ 3:

Napomena 1. S geometrijskog gledišta, razmatrana koordinatna transformacija je rotacija koordinatnog sustava, kombinirajući stare koordinatne osi s novima.

Napomena 2. Ako se bilo koja svojstvena vrijednost matrice (10.3) podudara, možemo dodati jedinični vektor ortogonalno svakoj od njih odgovarajućim ortonormiranim svojstvenim vektorima i tako konstruirati bazu u kojoj kvadratni oblik poprima kanonski oblik.

Vodimo do kanonski oblik kvadratni oblik

x² + 5 g² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.

Njegova matrica ima oblik U primjeru koji se raspravlja u predavanju 9, svojstvene vrijednosti i ortonormirani svojstveni vektori ove matrice su pronađeni:

Kreirajmo matricu prijelaza na bazu od ovih vektora:

(promijenjen je redoslijed vektora tako da čine desnokretnu trojku). Transformirajmo koordinate pomoću formula:

Dakle, kvadratni oblik se svodi na kanonski oblik s koeficijentima jednakim svojstvenim vrijednostima matrice kvadratnog oblika.

Predavanje 11.

Krivulje drugog reda. Elipsa, hiperbola i parabola, njihova svojstva i kanonske jednadžbe. Svođenje jednadžbe drugog reda na kanonski oblik.

Definicija 11.1.Krivulje drugog reda na ravnini nazivaju se presjecišta kružnog stošca s ravninama koje ne prolaze njegovim vrhom.

Ako takva ravnina siječe sve generatrise jedne šupljine stošca, tada se u presjeku ispostavlja elipsa, na sjecištu generatrisa obiju šupljina – hiperbola, a ako je rezna ravnina paralelna s bilo kojom generatorom, tada je presjek stošca parabola.

Komentar. Sve krivulje drugog reda specificirane su jednadžbama drugog stupnja u dvije varijable.

Elipsa.

Definicija 11.2.Elipsa je skup točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti do dviju fiksnih točaka F 1 i F trikovi, je konstantna vrijednost.

Komentar. Kad se točke poklope F 1 i F 2 elipsa se pretvara u krug.

Izvedimo jednadžbu elipse odabirom Kartezijevog sustava

y M(x,y) koordinira tako da os Oh poklapao s ravnom linijom F 1 F 2, početak

r 1 r 2 koordinate – sa sredinom segmenta F 1 F 2. Neka duljina ovog

segment je jednak 2 S, zatim u odabranom koordinatnom sustavu

F 1 O F 2 x F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0). Neka točka M(x, y) leži na elipsi, i

zbroj udaljenosti od njega do F 1 i F 2 je jednako 2 A.

Zatim r 1 + r 2 = 2a, ali ,

dakle, uvodeći notaciju b² = a²- c² i nakon izvođenja jednostavnih algebarskih transformacija, dobivamo kanonska jednadžba elipse: (11.1)

Definicija 11.3.Ekscentričnost elipse naziva se veličina e=s/a (11.2)

Definicija 11.4.Ravnateljica D i elipsa koja odgovara fokusu F i F i u odnosu na os Oh okomito na os Oh na daljinu a/e od porijekla.

Komentar. S drugačijim izborom koordinatnog sustava, elipsa možda neće biti određena kanonska jednadžba(11.1), ali jednadžba drugog stupnja drugog tipa.

Svojstva elipse:

1) Elipsa ima dvije međusobno okomite osi simetrije (glavne osi elipse) i središte simetrije (središte elipse). Ako je elipsa dana kanonskom jednadžbom, tada su njezine glavne osi koordinatne osi, a njezino središte ishodište. Budući da su duljine segmenata formiranih sjecištem elipse s glavnim osima jednake 2 A i 2 b (2a>2b), tada se glavna os koja prolazi kroz žarišta naziva velika os elipse, a druga glavna os mala os.

2) Cijela elipsa je sadržana unutar pravokutnika

3) Ekscentricitet elipse e< 1.

Stvarno,

4) Direktrise elipse nalaze se izvan elipse (budući da je udaljenost od centra elipse do direktrise a/e, A e<1, следовательно, a/e>a, a cijela elipsa leži u pravokutniku)

5) Omjer udaljenosti r i od točke elipse do fokusa F i na daljinu d i od ove točke do direktrise koja odgovara žarištu jednaka je ekscentričnosti elipse.

Dokaz.

Udaljenosti od točke M(x, y) do žarišta elipse može se prikazati na sljedeći način:

Kreirajmo jednadžbe direktrise:

(D 1), (D 2). Zatim Odavde r i / d i = e, što je i trebalo dokazati.

Hiperbola.

Definicija 11.5.Hiperbola je skup točaka u ravnini za koje je modul razlike udaljenosti do dviju fiksnih točaka F 1 i F 2 ovog aviona, tzv trikovi, je konstantna vrijednost.

Izvedimo kanonsku jednadžbu hiperbole po analogiji s izvođenjem jednadžbe elipse, koristeći isti zapis.

|r 1 - r 2 | = 2a, odakle Ako oznacimo b² = c² - a², odavde možete dobiti

- jednadžba kanoničke hiperbole. (11.3)

Definicija 11.6.Ekscentričnost hiperbola se naziva količina e = c/a.

Definicija 11.7.Ravnateljica D i hiperbola koja odgovara fokusu F i, naziva se pravac koji se nalazi u istoj poluravnini s F i u odnosu na os Oh okomito na os Oh na daljinu a/e od porijekla.

Svojstva hiperbole:

1) Hiperbola ima dvije osi simetrije (glavne osi hiperbole) i centar simetrije (središte hiperbole). U ovom slučaju, jedna od tih osi siječe hiperbolu u dvije točke koje se nazivaju vrhovi hiperbole. Zove se prava os hiperbole (os Oh za kanonski izbor koordinatnog sustava). Druga os nema zajedničkih točaka s hiperbolom i naziva se njezina imaginarna os (u kanonskim koordinatama - os Oh). S obje njegove strane nalaze se desna i lijeva grana hiperbole. Fokusi hiperbole nalaze se na njezinoj realnoj osi.

2) Grane hiperbole imaju dvije asimptote, određene jednadžbama

3) Uz hiperbolu (11.3) možemo razmotriti i tzv. konjugiranu hiperbolu, definiranu kanonskom jednadžbom

za koje se realna i imaginarna os mijenjaju uz zadržavanje istih asimptota.

4) Ekscentricitet hiperbole e> 1.

5) Omjer udaljenosti r i od točke hiperbole do fokusa F i na daljinu d i od ove točke do direktrise koja odgovara žarištu jednaka je ekscentričnosti hiperbole.

Dokaz se može izvesti na isti način kao i za elipsu.

Parabola.

Definicija 11.8.Parabola je skup točaka na ravnini za koje je udaljenost do neke fiksne točke F ta je ravnina jednaka udaljenosti do neke fiksne ravne linije. Točka F nazvao fokus parabole, a pravac je njezin ravnateljice.

Za izvođenje jednadžbe parabole odabiremo kartezijansku

koordinatnog sustava tako da mu ishodište bude sredina

D M(x,y) okomito FD, izostavljen iz fokusa na direktivu

r su, a koordinatne osi su bile smještene paralelno i

okomito na redatelja. Neka duljina segmenta FD

D O F x je jednako r. Zatim iz jednakosti r = d slijedi da

jer

Koristeći algebarske transformacije, ova se jednadžba može svesti na oblik: g² = 2 px, (11.4)

nazvao jednadžba kanonske parabole. Veličina r nazvao parametar parabole.

Svojstva parabole:

1) Parabola ima os simetrije (os parabole). Točka u kojoj parabola siječe os naziva se vrh parabole. Ako je parabola dana kanonskom jednadžbom, tada je njezina os os Oh, a vrh je ishodište koordinata.

2) Cijela parabola nalazi se u desnoj poluravnini ravnine ooh

Komentar. Koristeći svojstva direktrisa elipse i hiperbole te definiciju parabole možemo dokazati sljedeću tvrdnju:

Skup točaka na ravnini za koje relacija e udaljenost do neke fiksne točke do udaljenosti do neke ravne linije je konstantna vrijednost, to je elipsa (s e<1), гиперболу (при e>1) ili parabola (sa e=1).

Povezane informacije.

220400 Algebra i geometrija Tolstikov A.V.

Predavanja 16. Bilinearne i kvadratne forme.

Plan

1. Bilinearni oblik i njegova svojstva.

2. Kvadratni oblik. Matrica kvadratnog oblika. Transformacija koordinata.

3. Svođenje kvadratnog oblika na kanonski oblik. Lagrangeova metoda.

4. Zakon tromosti kvadratnih oblika.

5. Redukcija kvadratnog oblika u kanonski oblik korištenjem metode svojstvenih vrijednosti.

6. Silverstov kriterij za pozitivnu određenost kvadratne forme.

1. Kolegij analitičke geometrije i linearne algebre. M.: Nauka, 1984.

2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Elementi linearne algebre i analitičke geometrije. 1997. godine.

3. Voevodin V.V. Linearna algebra.. M.: Nauka 1980.

4. Zbirka zadataka za fakultete. Linearna algebra i osnove matematičke analize. ur. Efimova A.V., Demidovich B.P.. M.: Nauka, 1981.

5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Linearna algebra u pitanjima i problemima. M.: Fizmatlit, 2001.

, , , ,

1. Bilinearni oblik i njegova svojstva. Neka V - n-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem P.

Definicija 1.Bilinearni oblik, definirano na V, takvo se preslikavanje naziva g: V 2® P, koji svakom naručenom paru ( x , g ) vektori x , g od stavlja u V spoji broj iz polja P, označeno g(x , g ), a linearni u svakoj od varijabli x , g , tj. ima svojstva:

1) ("x , g , z Î V)g(x + g , z ) = g(x , z ) + g(g , z );

2) ("x , g Î V) ("a O P)g(a x , g ) = a g(x , g );

3) ("x , g , z Î V)g(x , g + z ) = g(x , g ) + g(x , z );

4) ("x , g Î V) ("a O P)g(x , a g ) = a g(x , g ).

Primjer 1. Bilo koji točkasti umnožak definiran na vektorskom prostoru V je bilinearni oblik.

2 . Funkcija h(x , g ) = 2x 1 g 1 - x 2 g 2 +x 2 g 1 gdje x = (x 1 ,x 2), g = (g 1 ,g 2)O R 2, bilinearni oblik na R 2 .

Definicija 2. Neka v = (v 1 , v 2 ,…, v n V.Matrica bilinearnog oblikag(x , g ) u odnosu na osnovuv nazvana matrica B=(b ij)n ´ n, čiji se elementi izračunavaju formulom b ij = g(v ja, v j):

Primjer 3. Bilinearna matrica h(x , g ) (vidi primjer 2) u odnosu na bazu e 1 = (1,0), e 2 = (0,1) jednako je .

Teorem 1. NekaX, Y - koordinatni stupci vektora redomx , g u osnoviv, B - matrica bilinearnog oblikag(x , g ) u odnosu na osnovuv. Tada se bilinearni oblik može napisati kao

g(x , g )=X t BY. (1)

Dokaz. Iz svojstava bilinearne forme dobivamo

Primjer 3. Bilinearni oblik h(x , g ) (vidi primjer 2) može se napisati u obliku h(x , g )=.

Teorem 2. Neka v = (v 1 , v 2 ,…, v n), u = (u 1 , u 2 ,…, u n) - dvije vektorske prostorne bazeV, T - matrica prijelaza iz bazev na osnovuu. Neka B= (b ij)n ´ n I S=(sa ij)n ´ n - bilinearne matriceg(x , g ) odnosno u odnosu na bazev iu. Zatim

S=T t BT.(2)

Dokaz. Definiranjem matrice prijelaza i matrice bilinearnog oblika nalazimo:



Definicija 2. Bilinearni oblik g(x , g ) se zove simetričan, Ako g(x , g ) = g(g , x ) za bilo koji x , g Î V.

Teorem 3. Bilinearni oblikg(x , g )- simetrična ako i samo ako je matrica bilinearnog oblika simetrična u odnosu na bilo koju bazu.

Dokaz. Neka v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - baza vektorskog prostora V, B= (b ij)n ´ n- matrice bilinearnog oblika g(x , g ) u odnosu na osnovu v. Neka bilinearni oblik g(x , g ) - simetričan. Tada je po definiciji 2 za bilo koje ja, j = 1, 2,…, n mi imamo b ij = g(v ja, v j) = g(v j, v ja) = b ji. Zatim matrica B- simetrično.

Obrnuto, neka matrica B- simetrično. Zatim B t= B i za bilo koje vektore x = x 1 v 1 + …+ x n v n =vX, g = g 1 v 1 + g 2 v 2 +…+ y n v n =vY Î V, prema formuli (1), dobivamo (uzimamo u obzir da je broj matrica reda 1, te se ne mijenja tijekom transpozicije)

g(x , g ) =g(x , g )t = (X t BY)t = Y t B t X = g(g , x ).

2. Kvadratni oblik. Matrica kvadratnog oblika. Transformacija koordinata.

Definicija 1.Kvadratni oblik definiran na V, zove se mapiranje f:V® P, koji za bilo koji vektor x iz V određuje jednakost f(x ) = g(x , x ), Gdje g(x , g ) je simetrična bilinearna forma definirana na V .

Svojstvo 1.Prema zadanom kvadratnom oblikuf(x )bilinearni oblik nalazi se jedinstveno pomoću formule

g(x , g ) = 1/2(f(x + g ) - f(x )-f(g )). (1)

Dokaz. Za bilo koje vektore x , g Î V dobivamo iz svojstava bilinearne forme

f(x + g ) = g(x + g , x + g ) = g(x , x + g ) + g(g , x + g ) = g(x , x ) + g(x , g ) + g(g , x ) + g(g , g ) = f(x ) + 2g(x , g ) + f(g ).

Iz ovoga slijedi formula (1). 

Definicija 2.Matrica kvadratnog oblikaf(x ) u odnosu na osnovuv = (v 1 , v 2 ,…, v n) je matrica odgovarajućeg simetričnog bilinearnog oblika g(x , g ) u odnosu na osnovu v.

Teorem 1. NekaX= (x 1 ,x 2 ,…, x n)t- koordinatni stupac vektorax u osnoviv, B - matrica kvadratnog oblikaf(x ) u odnosu na osnovuv. Zatim kvadratni oblikf(x )

Zadan kvadratni oblik (2) A(x, x) = , gdje je x = (x 1 , x 2 , …, x n). Razmotrimo kvadratni oblik u prostoru R 3, tj x = (x 1 , x 2 , x 3), A(x, x) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(koristili smo uvjet simetrije oblika, naime A 12 = A 21 , A 13 = A 31 , A 23 = A 32). Napišimo matricu kvadratnog oblika A u osnovi ( e}, A(e) =
. Kada se baza mijenja, matrica kvadratnog oblika mijenja se prema formuli A(f) = C t A(e)C, Gdje C– matrica prijelaza iz baze ( e) na osnovu ( f), A C t– transponirana matrica C.

Definicija11.12. Oblik kvadratnog oblika s dijagonalnom matricom naziva se kanonski.

Pa neka A(f) =
, Zatim A"(x, x) =
+
+
, Gdje x" 1 , x" 2 , x" 3 – vektorske koordinate x u novoj osnovi ( f}.

Definicija11.13. Pusti unutra n V bira se takva osnova f = {f 1 , f 2 , …, f n), u kojem kvadratni oblik ima oblik

A(x, x) =
+
+ … +
, (3)

Gdje g 1 , g 2 , …, g n– vektorske koordinate x u osnovi ( f). Izraz (3) naziva se kanonski pogled kvadratni oblik. Koeficijenti  1, λ 2, …, λ n nazivaju se kanonski; zove se baza u kojoj kvadratni oblik ima kanonski oblik kanonska osnova.

Komentar. Ako je kvadratni oblik A(x, x) se svodi na kanonski oblik, onda, općenito govoreći, nisu svi koeficijenti  ja razlikuju se od nule. Rang kvadratne forme jednak je rangu njezine matrice u bilo kojoj bazi.

Neka je rang kvadratnog oblika A(x, x) je jednak r, Gdje r ≤ n. Matrica kvadratnog oblika u kanonskom obliku ima dijagonalni oblik. A(f) =
, budući da mu je rang jednak r, zatim među koeficijentima  ja mora postojati r, nije jednako nuli. Slijedi da je broj kanoničkih koeficijenata različitih od nule jednak rangu kvadratne forme.

Komentar. Linearna transformacija koordinata je prijelaz iz varijabli x 1 , x 2 , …, x n na varijable g 1 , g 2 , …, g n, u kojem se stare varijable izražavaju kroz nove varijable s nekim numeričkim koeficijentima.

x 1 = α 11 g 1 + α 12 g 2 + … + α 1 n g n ,

x 2 = α 2 1 g 1 + α 2 2 g 2 + … + α 2 n g n ,

………………………………

x 1 = α n 1 g 1 + α n 2 g 2 + … + α nn g n .

Budući da svaka bazna transformacija odgovara nedegeneriranoj linearnoj transformaciji koordinata, pitanje redukcije kvadratnog oblika na kanonski oblik može se riješiti odabirom odgovarajuće nedegenerirane transformacije koordinata.

Teorem 11.2 (glavni teorem o kvadratnim formama). Bilo koji kvadratni oblik A(x, x), navedeno u n-dimenzionalni vektorski prostor V, korištenjem nedegenerirane linearne transformacije koordinata može se svesti na kanonski oblik.

Dokaz. (Lagrangeova metoda) Ideja ove metode je sekvencijalno komplementiranje kvadratnog trinoma za svaku varijablu do potpunog kvadrata. Pretpostavit ćemo da A(x, x) ≠ 0 i u bazi e = {e 1 , e 2 , …, e n) ima oblik (2):

A(x, x) =
.

Ako A(x, x) = 0, tada ( a ij) = 0, odnosno oblik je već kanonski. Formula A(x, x) mogu se transformirati tako da koeficijent a 11 ≠ 0. Ako a 11 = 0, tada je koeficijent kvadrata druge varijable različit od nule, tada se prenumeriranjem varijabli može osigurati da a 11 ≠ 0. Prenumeriranje varijabli je nedegenerirana linearna transformacija. Ako su svi koeficijenti kvadriranih varijabli jednaki nuli, tada se potrebne transformacije dobivaju na sljedeći način. Neka npr. a 12 ≠ 0 (A(x, x) ≠ 0, dakle barem jedan koeficijent a ij≠ 0). Razmotrite transformaciju

x 1 = g 1 – g 2 ,

x 2 = g 1 + g 2 ,

x ja = g ja, na ja = 3, 4, …, n.

Ova transformacija je nedegenerirana, jer je determinanta njene matrice različita od nule
= = 2 ≠ 0.

Zatim 2 a 12 x 1 x 2 = 2 a 12 (g 1 – g 2)(g 1 + g 2) = 2
– 2
, odnosno u obliku A(x, x) odjednom će se pojaviti kvadrati dviju varijabli.

A(x, x) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Pretvorimo dodijeljeni iznos u oblik:

A(x, x) = a 11
, (5)

dok su koeficijenti a ij promijeniti u . Razmotrimo nedegeneriranu transformaciju

g 1 = x 1 + + … + ,

g 2 = x 2 ,

g n = x n .

Onda dobivamo

A(x, x) =
. (6).

Ako je kvadratni oblik
= 0, zatim pitanje lijevanja A(x, x) u kanonski oblik je riješen.

Ako ovaj oblik nije jednak nuli, tada ponavljamo razmišljanje, uzimajući u obzir transformacije koordinata g 2 , …, g n i to bez promjene koordinate g 1. Očito je da će te transformacije biti nedegenerirane. U konačnom broju koraka, kvadratni oblik A(x, x) svesti će se na kanonski oblik (3).

Komentar 1. Potrebna transformacija izvornih koordinata x 1 , x 2 , …, x n može se dobiti množenjem nedegeneriranih transformacija pronađenih u procesu zaključivanja: [ x] = A[g], [g] = B[z], [z] = C[t], zatim [ x] = AB[z] = ABC[t], odnosno [ x] = M[t], Gdje M = ABC.

Komentar 2. Neka A(x, x) = A(x, x) =
+
+ …+
, gdje je  ja ≠ 0, ja = 1, 2, …, r, i  1 > 0, λ 2 > 0, …, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ r < 0.

Razmotrimo nedegeneriranu transformaciju

g 1 = z 1 , g 2 = z 2 , …, g q = z q , g q +1 =
z q +1 , …, g r = z r , g r +1 = z r +1 , …, g n = z n. Kao rezultat A(x, x) će imati oblik: A(x, x) = + + … + – – … – koji se zove normalni oblik kvadratnog oblika.

Primjer11.1. Reducirajte kvadratni oblik na kanonski oblik A(x, x) = 2x 1 x 2 – 6x 2 x 3 + 2x 3 x 1 .

Otopina. Jer a 11 = 0, upotrijebite transformaciju

x 1 = g 1 – g 2 ,

x 2 = g 1 + g 2 ,

x 3 = g 3 .

Ova transformacija ima matricu A =
, to je [ x] = A[g] dobivamo A(x, x) = 2(g 1 – g 2)(g 1 + g 2) – 6(g 1 + g 2)g 3 + 2g 3 (g 1 – g 2) =

2– 2– 6g 1 g 3 – 6g 2 g 3 + 2g 3 g 1 – 2g 3 g 2 = 2– 2– 4g 1 g 3 – 8g 3 g 2 .

Budući da je koeficijent pri nije jednako nuli, možemo odabrati kvadrat jedne nepoznanice, neka bude g 1. Odaberimo sve pojmove koji sadrže g 1 .

A(x, x) = 2(– 2g 1 g 3) – 2– 8g 3 g 2 = 2(– 2g 1 g 3 + ) – 2– 2– 8g 3 g 2 = 2(g 1 – g 3) 2 – 2– 2– 8g 3 g 2 .

Izvršimo transformaciju čija je matrica jednaka B.

z 1 = g 1 – g 3 ,  g 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = g 2 ,  g 2 = z 2 ,

z 3 = g 3 ;  g 3 = z 3 .

B =
, [g] = B[z].

Dobivamo A(x, x) = 2– 2–– 8z 2 z 3. Izaberimo pojmove koji sadrže z 2. imamo A(x, x) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.

Izvođenje transformacije s matricom C:

t 1 = z 1 ,  z 1 = t 1 ,

t 2 = z 2 + 2z 3 ,  z 2 = t 2 – 2t 3 ,

t 3 = z 3 ;  z 3 = t 3 .

C =
, [z] = C[t].

Primljeno: A(x, x) = 2– 2+ 6kanonski oblik kvadratnog oblika, s [ x] = A[g], [g] = B[z], [z] = C[t], odavde [ x] = ABC[t];

ABC =


=
. Formule za pretvorbu su sljedeće

x 1 = t 1 – t 2 + t 3 ,

x 2 = t 1 + t 2 – t 3 ,

Redukcija kvadratnih oblika

Razmotrimo najjednostavniju i u praksi najčešće korištenu metodu svođenja kvadratnog oblika na kanonski oblik, tzv. Lagrangeova metoda. Temelji se na izdvajanju potpunog kvadrata u kvadratnom obliku.

Teorem 10.1(Lagrangeov teorem) Bilo koji kvadratni oblik (10.1):

korištenjem nespecijalne linearne transformacije (10.4) može se svesti na kanonski oblik (10.6):

,

□ Provest ćemo dokaz teorema na konstruktivan način, koristeći Lagrangeovu metodu identificiranja potpunih kvadrata. Zadatak je pronaći nesingularnu matricu takvu da linearna transformacija (10.4) rezultira kvadratnom formom (10.6) kanonskog oblika. Ova matrica će se dobiti postupno kao produkt konačnog broja matrica posebne vrste.

Točka 1 (pripremna).

1.1. Odaberimo među varijablama onu koja je istodobno uključena u kvadratni oblik na kvadrat i na prvu potenciju (nazovimo je vodeća varijabla). Prijeđimo na točku 2.

1.2. Ako nema vodećih varijabli u kvadratnom obliku (za sve : ), tada odabiremo par varijabli čiji je umnožak uključen u obrazac s koeficijentom koji nije nula i prelazimo na korak 3.

1.3. Ako u kvadratnom obliku nema produkata suprotnih varijabli, tada je taj kvadratni oblik već prikazan u kanonskom obliku (10.6). Dokaz teorema je završen.

Točka 2 (odabir cijelog kvadrata).

2.1. Pomoću vodeće varijable odabiremo cijeli kvadrat. Bez gubitka općenitosti, pretpostavimo da je vodeća varijabla . Grupiranje pojmova koji sadrže , dobivamo

.

Odabir savršenog kvadrata prema varijabli u , dobivamo

.

Dakle, kao rezultat izoliranja cijelog kvadrata s varijablom, dobivamo zbroj kvadrata linearnog oblika

koji uključuje vodeću varijablu i kvadratni oblik iz varijabli , u koje vodeća varijabla više nije uključena. Napravimo promjenu varijabli (uvedimo nove varijable)

dobijemo matricu

() nesingularna linearna transformacija, uslijed koje kvadratni oblik (10.1) ima sljedeći oblik

S kvadratnim oblikom Napravimo isto kao u točki 1.

2.1. Ako je vodeća varijabla varijabla , tada to možete učiniti na dva načina: odaberite cijeli kvadrat za ovu varijablu ili izvršite preimenovanje (prenumeriranje) varijable:

s nesingularnom matricom transformacije:

.

Točka 3 (kreiranje vodeće varijable). Odabrani par varijabli zamijenimo zbrojem i razlikom dviju novih varijabli, a preostale stare varijable zamijenimo odgovarajućim novim varijablama. Ako je npr. u stavku 1. istaknut pojam

tada odgovarajuća promjena varijabli ima oblik

a u kvadratnom obliku (10.1) dobit će se vodeća varijabla.

Na primjer, u slučaju mijenjanja varijabli:

matrica ove nesingularne linearne transformacije ima oblik

.

Kao rezultat gornjeg algoritma (sekvencijalna primjena točaka 1, 2, 3), kvadratni oblik (10.1) će se svesti na kanonski oblik (10.6).

Napominjemo da smo kao rezultat transformacija izvedenih na kvadratnoj formi (odabir kompletnog kvadrata, preimenovanje i kreiranje vodeće varijable) koristili elementarne nesingularne matrice tri tipa (to su matrice prijelaza iz baze u bazu). Tražena matrica nesingularne linearne transformacije (10.4), pod kojom oblik (10.1) ima kanonski oblik (10.6), dobiva se množenjem konačnog broja elementarnih nesingularnih matrica tri vrste. ■

Primjer 10.2. Dajte kvadratni oblik

u kanonski oblik Lagrangeovom metodom. Označite odgovarajuću nesingularnu linearnu transformaciju. Izvršite provjeru.

Otopina. Izaberimo vodeću varijablu (koeficijent). Grupiranje pojmova koji sadrže , I odabirom kompletnog kvadrata iz njega, dobivamo

gdje je naznačeno

Napravimo promjenu varijabli (uvedimo nove varijable)

Izražavanje starih varijabli u smislu novih:

dobijemo matricu