1.4. Diskret və davamlı sistemlər Sistemin vəziyyəti onun bütün alt sistemlərinin, yəni elementar altsistemlərin vəziyyətlərinin çoxluğu vasitəsilə müəyyən edilir. İki növ elementar alt sistem var: sonlu və sonsuz sayda mümkün vəziyyətlərlə. Alt sistemlər

Davamlı kəsrlər 1572-ci ildə italyan riyaziyyatçısı Bombelli tərəfindən təqdim edilmişdir. Davamlı kəsrlərin müasir qeydini 1613-cü ildə italyan riyaziyyatçısı Kataldi tapmışdır. 18-ci əsrin ən böyük riyaziyyatçısı Leonardo Euler davamlı kəsrlər nəzəriyyəsini ilk dəfə izah edən, diferensial tənliklərin həlli üçün onlardan istifadə məsələsini qaldıran, onları funksiyaların genişlənməsinə tətbiq edən, sonsuz hasilləri təmsil edən və mühüm ümumiləşdirməni verən ilk şəxs olmuşdur. onlardan.

Eylerin davamlı kəsrlər nəzəriyyəsi üzrə işini M.Sofronov (1729-1760), akademik V.M. Viskovaty (1779-1819), D. Bernoulli (1700-1782) və s.. Bu nəzəriyyənin bir çox mühüm nəticələri davam edən kəsrlərdən istifadə edərək diferensial tənliklərin təxmini həlli üsulunu tapmış fransız riyaziyyatçısı Laqranca aiddir.

Evklid alqoritmi istənilən rasional ədədin davamlı kəsr şəklində təsvirini (və ya parçalanması) tapmağa imkan verir. Davamlı kəsrin elementləri kimi bərabərliklər sistemində (1) ardıcıl bölmələrin natamam hissələri alınır, buna görə də davam edən kəsrin elementlərinə natamam hissələr də deyilir. Bundan əlavə, (2) sisteminin bərabərlikləri göstərir ki, davam edən kəsrə parçalanma prosesi ardıcıl olaraq bütün hissənin ayrılmasından və kəsr hissəsinin tərsinə çevrilməsindən ibarətdir.

Sonuncu nöqteyi-nəzər birincidən daha ümumidir, çünki o, təkcə rasional ədədin deyil, həm də istənilən həqiqi ədədin davamlı kəsr genişlənməsinə şamil edilir.

Rasional ədədin parçalanması açıq şəkildə sonlu sayda elementə malikdir, çünki a-nın b-yə ardıcıl bölünməsi üçün Evklid alqoritmi sonludur.

Aydındır ki, hər bir davam edən kəsr müəyyən rasional ədədi təmsil edir, yəni müəyyən rasional ədədə bərabərdir. Ancaq sual yaranır: eyni rasional ədədin davam edən kəsrlə müxtəlif təsvirləri varmı? Belə çıxır ki, yoxdur, tələb etsəniz, var.

Davamlı kəsrlər - hər bir həddi adi kəsr olan ardıcıllıq, ikinci həddi birinciyə əlavə edilərsə, davamlı (və ya davam edən) kəsr yaradır və üçüncüdən başlayaraq hər kəsir əvvəlkinin məxrəcinə əlavə edilir. kəsir. Məsələn, 1, 1/2, 2/3, 3/4, ..., n/(n + 1), ... ardıcıllığı davam edən kəsir yaradır, burada sonundakı ellips prosesin qeyri-müəyyən müddətə davam etdiyini göstərir. . Öz növbəsində, davam edən kəsr uyğun fraksiyalar adlanan başqa bir fraksiya ardıcıllığına səbəb olur. Nümunəmizdə birinci, ikinci, üçüncü və dördüncü uyğun kəsrlər bərabərdir və onlar natamam hissələr ardıcıllığından sadə qaydadan istifadə etməklə 1, 1/2, 2/3, 3/4, ... Birincisi hamısı, birinci və ikinci uyğun fraksiyaları 1/1 və 3/2 yazırıq. Üçüncü uyğun fraksiya (2?1 + 3?3)/(2?1 + 3?2) və ya 11/8-ə bərabərdir, onun payı birinci və ikinci uyğun olanların saylarının hasillərinin cəminə bərabərdir. kəsrlər, müvafiq olaraq üçüncü natamam hissənin payına və məxrəcinə vurulur və məxrəc birinci və ikinci natamam hissənin məxrəclərinin hasillərinin cəminə bərabərdir, müvafiq olaraq üçüncü natamam hissənin payına və məxrəcinə vurulur. Dördüncü uyğun fraksiya eyni şəkildə dördüncü natamam hissədən 3/4 və ikinci və üçüncü uyğun kəsrlərdən alınır: (3?3 + 4?11)/(3?2 + 4?8) və ya 53/38. Bu qaydaya əməl edərək, ilk yeddi uyğun fraksiyanı tapırıq: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 və 16687/11986. Onları onluq kəsrlər şəklində yazaq (altı onluq yerlə): 1.000000; 1,500000; 1,375000; 1.397368; 1,391892; 1.392247 və 1.392208. Davamlı kəsrimizin dəyəri ilk rəqəmləri 1,3922 olan x rəqəmi olacaq. Uyğun fraksiyalar x-in ən yaxşı yaxınlaşmasıdır. Üstəlik, onlar növbə ilə x sayından ya kiçik, ya da böyük olurlar (tək olanlar x-dən böyükdür, hətta olanlar isə kiçikdir). İki müsbət tam ədədin nisbətini sonlu davamlı kəsr kimi göstərmək üçün ən böyük ümumi bölən metodundan istifadə etməlisiniz. Məsələn, 50/11 nisbətini götürək. 50 = 4?11 + 6 və ya 11/50 = 1/(4 + 6/11) olduğundan və oxşar şəkildə 6/11 = 1/(1 + 5/6) və ya 5/6 = 1/(1 + 1) /5), alırıq: Davamlı kəsrlər irrasional ədədləri rasional ədədlərə yaxınlaşdırmaq üçün istifadə olunur. Tutaq ki, x irrasional ədəddir (yəni iki tam ədədin nisbəti kimi göstərilə bilməz). Onda, əgər n0 x-dən kiçik olan ən böyük tam ədəddirsə, x = n0 + (x - n0), burada x - n0 1-dən kiçik müsbət ədəddir, ona görə də onun tərsi x1 1-dən böyükdür və x = n0 + 1/x1. Əgər n1 x1-dən kiçik olan ən böyük tam ədəddirsə, onda x1 = n1 + (x1 - n1), burada x1 - n1 1-dən kiçik müsbət ədəddir, ona görə də onun tərsi x2 1-dən böyükdür və x1 = n1 + 1/x2 . Əgər n2 x2-dən kiçik olan ən böyük tam ədəddirsə, x2 = n2 + 1/x3, burada x3 1-dən böyükdür və s. Nəticə olaraq, x-in təxminləri olan davamlı kəsrin n0, 1/n1, 1/n2, ... natamam hissələrin ardıcıllığını addım-addım tapırıq. Bunu bir misalla izah edək. Tutaq ki, ilk 6 uyğun fraksiya 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70-dir. Onluqlar şəklində yazdıqda aşağıdakı təxmini qiymətləri verirlər: 1000; 1500; 1400; 1,417; 1,4137; 1.41428. Davamlı kəsrin qismən hissələri 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1, ... olur. İrrasional ədəd tam əmsallı kvadrat tənliyin köküdür, o halda ki, onun qismən davam edən fraksiyalara qismən genişlənməsi dövri xarakter daşıyır. Davamlı kəsrlər funksiyalar nəzəriyyəsi, divergent sıralar, momentlər məsələsi, diferensial tənliklər və sonsuz matrislər kimi riyaziyyatın bir çox sahələri ilə sıx bağlıdır. Əgər x iti bucağın radian ölçüsüdürsə, onda x bucağının tangensi 0, x/1, ?x2/3, ?x2/7, ?x2/9 qismən hissələrlə davam edən kəsrin qiymətinə bərabərdir. , ..., və əgər x müsbət ədəddirsə, onda 1 + x-in natural loqarifmi 0, x/1, 12x/2, 12x/3, 22x/4 qismən hissələri olan davam edən kəsrin qiymətinə bərabərdir. , 22x/5, 32x/6, …. X2dy/dx + y = 1 + x diferensial tənliyinin güc seriyası şəklində formal həlli 1 + x - 1!x2 + 2!x3 - 3!x4 + ... divergent qüvvə seriyasıdır. Bu güc seriyası 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1, ... qismən hissələrlə davamlı kəsrə çevrilə bilər və bu da öz növbəsində istifadə edilə bilər. x2dy/dx + y = 1 + x həlli diferensial tənliyini almaq üçün.

Bilik bazasında yaxşı işinizi göndərin sadədir. Aşağıdakı formadan istifadə edin

Tədris və işlərində bilik bazasından istifadə edən tələbələr, aspirantlar, gənc alimlər Sizə çox minnətdar olacaqlar.

haqqında yerləşdirilib http://allbest.ru

KEMEROVSK RESMİ TƏHSİL VƏ ELMLƏR Şöbəsi

Dövlət orta peşə təhsili müəssisəsi Tom-Usinsk Enerji Nəqliyyat Kolleci

riyaziyyat fənni üzrə

Davamlı fraksiyalar

Tamamlandı:

TRUC-1-14 qrupunun tələbəsi

Juleva Daria

Yoxlandı:

riyaziyyat müəllimi

Kemerova S.I.

Giriş

1. Davamlı kəsrlərin tarixi

2. Davamlı fraksiya genişlənməsi

3. Həqiqi ədədlərin rasional ədədlərə yaxınlaşması

4. Davamlı kəsrlərin tətbiqi

5. Qızıl nisbətin xassələri

Biblioqrafiya

Giriş

Davamlı kəsr (və ya davam edən kəsr) formanın riyazi ifadəsidir

burada a0 tam ədəddir, digər bütün an isə natural ədəddir (müsbət tam ədədlər). İstənilən real ədəd davamlı kəsr kimi təqdim edilə bilər (sonlu və ya sonsuz). Ədəd yalnız və yalnız rasional olarsa, sonlu davamlı kəsr kimi təqdim edilə bilər. Ədəd yalnız və yalnız kvadratik irrasionallıq olduqda dövri davamlı kəsrlə təmsil olunur.

1. Davamlı fraksiyaların tarixi

Davamlı kəsrlər 1572-ci ildə italyan riyaziyyatçısı Bombelli tərəfindən təqdim edilmişdir. Davamlı kəsrlərin müasir qeydini 1613-cü ildə italyan riyaziyyatçısı Kataldi tapmışdır. 18-ci əsrin ən böyük riyaziyyatçısı Leonardo Euler davamlı kəsrlər nəzəriyyəsini ilk dəfə izah edən, diferensial tənliklərin həlli üçün onlardan istifadə məsələsini qaldıran, onları funksiyaların genişlənməsinə tətbiq edən, sonsuz hasilləri təmsil edən və mühüm ümumiləşdirməni verən ilk şəxs olmuşdur. onlardan.

Eylerin davamlı kəsrlər nəzəriyyəsi üzrə işini M.Sofronov (1729-1760), akademik V.M. Viskovaty (1779-1819), D. Bernoulli (1700-1782) və s.. Bu nəzəriyyənin bir çox mühüm nəticələri davam edən kəsrlərdən istifadə edərək diferensial tənliklərin təxmini həlli üsulunu tapmış fransız riyaziyyatçısı Laqranca aiddir.

Evklid alqoritmi istənilən rasional ədədin davamlı kəsr şəklində təsvirini (və ya parçalanması) tapmağa imkan verir. Davamlı kəsrin elementləri kimi bərabərliklər sistemində ardıcıl bölmələrin natamam əmsalları alınır, buna görə də davam edən kəsrin elementlərinə natamam hissələr də deyilir. Bundan əlavə, sistemin bərabərlikləri göstərir ki, davamlı kəsrə parçalanma prosesi ardıcıl olaraq bütün hissənin ayrılmasından və kəsr hissəsinin tərsinə çevrilməsindən ibarətdir.

2. Davamlı fraksiya genişlənməsi

Sonuncu nöqteyi-nəzər birincidən daha ümumidir, çünki o, təkcə rasional ədədin deyil, həm də istənilən həqiqi ədədin davamlı kəsr genişlənməsinə şamil edilir.

Rasional ədədin parçalanması açıq şəkildə sonlu sayda elementə malikdir, çünki a-nın b-yə ardıcıl bölünməsi üçün Evklid alqoritmi sonludur.

Aydındır ki, hər bir davam edən kəsr müəyyən rasional ədədi təmsil edir, yəni müəyyən rasional ədədə bərabərdir. Ancaq sual yaranır: eyni rasional ədədin davam edən kəsrlə müxtəlif təsvirləri varmı? Belə çıxır ki, yoxdur, tələb etsəniz, var.

Davamlı kəsrlər - hər bir həddi adi kəsr olan ardıcıllıq, ikinci həddi birinciyə əlavə edilərsə, davamlı (və ya davam edən) kəsr yaradır və üçüncüdən başlayaraq hər kəsir əvvəlkinin məxrəcinə əlavə edilir. kəsir.

İstənilən həqiqi ədəd (sonlu və ya sonsuz, dövri və ya dövri olmayan) davamlı kəsrlə təmsil oluna bilər.

burada ədədin tam hissəsini bildirir.

Rasional ədəd üçün bu genişlənmə bəzi n üçün sıfıra çatdıqda bitir. Bu halda o, sonlu davamlı kəsrlə təmsil olunur.

İrrasional üçün bütün kəmiyyətlər sıfırdan fərqli olacaq və genişlənmə prosesi qeyri-müəyyən müddətə davam etdirilə bilər. Bu halda o, sonsuz davamlı kəsr kimi görünür.

Rasional ədədlər üçün Evklid alqoritmi davamlı kəsr genişlənməsini tez bir zamanda əldə etmək üçün istifadə edilə bilər.

3. İçəri yaxınlaşırəlavə nömrələrrasionallığa

Davamlı fraksiyalar real ədədlər üçün yaxşı rasional təxminləri səmərəli şəkildə tapmağa imkan verir. Məhz, əgər həqiqi ədəd davamlı kəsrə parçalanırsa, onda onun uyğun fraksiyaları bərabərsizliyi təmin edəcəkdir.

Buradan, xüsusən də belədir:

· məxrəci aşmayan bütün kəsrlər üçün uyğun kəsr ən yaxşı təxmindir;

· hər hansı irrasional ədədin irrasionallıq ölçüsü 2-dən az deyil.

4. Davamlı fraksiyaların tətbiqi

Təqvim nəzəriyyəsi

Günəş təqvimini hazırlayarkən 365,2421988-ə bərabər olan bir ildə günlərin sayının rasional təxminisini tapmaq lazımdır... Bu ədədin kəsr hissəsi üçün uyğun kəsrləri hesablayaq:

Birinci fraksiya o deməkdir ki, hər 4 ildən bir əlavə gün əlavə etmək lazımdır; Bu prinsip Julian təqviminin əsasını təşkil etdi. Bu halda 1 günlük xəta 128 il ərzində yığılır. İkinci dəyər (7/29) heç vaxt istifadə olunmayıb. Üçüncü fraksiya (8/33), yəni 33 il ərzində 8 sıçrayış ili 11-ci əsrdə Ömər Xəyyam tərəfindən təklif edilmiş və gündə bir səhvin 4500 ildən çox yığıldığı fars təqviminin əsasını qoymuşdur. (Qriqorianda - 3280 ildən çox) . Dördüncü fraksiya ilə çox dəqiq bir versiya (31/128, gündə səhv yalnız 100.000 il toplanır) Alman astronomu Johann von Medler (1864) tərəfindən irəli sürüldü, lakin o qədər də maraq doğurmadı.

Digər proqramlar

· Rəqəmlərin irrasionallığının sübutu. Məsələn, Riemann zeta funksiyasının irrasionallığı davam edən fraksiyalardan istifadə etməklə sübut edilmişdir.

Pell tənliyinin tam həlli

və Diofant analizinin digər tənlikləri

· Aşkar transsendental ədədin tərifi (bax Liuvil teoreminə)

Faktorizasiya alqoritmləri SQUFOF və CFRAC

· Ortoqonal çoxhədlilərin xarakteristikası

· Sabit çoxhədlilərin xarakteristikası

5. Qızıl nisbətin xüsusiyyətləri

μ üçün davam edən kəsr ifadəsinin 1-dən böyük tam ədədlərdən istifadə etməməsindən irəli gələn maraqlı nəticə odur ki, μ rasional ədədlərdən istifadə etməklə təqribən “ən çətin” real ədədlərdən biridir.

Hurvitz teoremi bildirir ki, istənilən real ədəd k kəsrlə təxmin edilə bilər m/n Belə ki

Demək olar ki, bütün real rəqəmlər olsa da k sonsuz sayda təxminləri var m/n dan əhəmiyyətli dərəcədə kiçik məsafədə yerləşən k, bu yuxarı hədddən daha çox, limitdəki q üçün təxminlər (yəni 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 və s.) q-dan demək olar ki, tam olaraq məsafə saxlayaraq bu həddə çatır, bununla da heç vaxt məsələn, səh üçün 355/113 kimi yaxşı təxminlər yaratmaq. Göstərilə bilər ki, formanın istənilən həqiqi ədədi ( a + b ts)/( c + d c), a,b, c Və d tam ədədlərdir və

reklam ? e.ə= ±1,

qızıl nisbət q ilə eyni xassə malikdir; və həmçinin bütün digər real ədədləri daha yaxşı təxmin etmək olar.

kəsr riyazi ədəd tənliyi

İLƏədəbiyyat siyahısı

1. V.İ. Arnold. Davamlı fraksiyalar. - M.: MTsNMO, 2000. - T. 14. - 40 s. -- (“Riyaziyyat təhsili” kitabxanası).

2. N.M. Beskin Davamlı fraksiyalar // Kvant. -- 1970. -- T. 1. -- S. 16--26.62.

3. N.M. Beskin Sonsuz davamlı fraksiyalar // Kvant. -- 1970. -- T. 8. -- S. 10--20.

4. D.İ. Bodnar Branching fraksiyaları davam etdi. - K.: Elm, 1986. - 174 s.

5. A.A. Mühasibat qərargahı. Say nəzəriyyəsi. - M.: Təhsil, 1966. - 384 s.

6. İ.M. Vinoqradov. Ədədlər nəzəriyyəsinin əsasları. -- M.-L.: Dövlət. red. texniki və nəzəri ədəbiyyat, 1952. - 180 s.

7. S.N. Qladkovski. Şərti dövri davam edən fraksiyaların təhlili, 1-ci hissə. - Nezlobnaya, 2009. - 138 s.

8. İ.Ya. Depman. Arifmetikanın tarixi. Müəllimlər üçün dərslik. -- Ed. ikinci. - M.: Təhsil, 1965. - S. 253--254.

9. G. Davenport. Yüksək arifmetika. - M.: Nauka, 1965.

10. S.V. Boz. Rəqəmlər nəzəriyyəsi üzrə mühazirələr. -- Ekaterinburq: Ural Dövlət Universiteti. A. M. Qorki, 1999.

11. V. Skoroboqatko. Davamlı kəsrlərin budaqlanması nəzəriyyəsi və onun hesablama riyaziyyatında tətbiqi. - M.: Nauka, 1983. - 312 s.

12. A.Ya. Xincin. Davamlı fraksiyalar. - M.: GIFML, 1960.

Allbest.ru saytında yerləşdirilib

Oxşar sənədlər

Əsrlər boyu xalqların dillərində qırıq ədəd kəsr adlanırdı. Fraksiyalara ehtiyac insan inkişafının erkən mərhələsində yaranmışdır. Fraksiyaların növləri. Misirdə, Babildə kəsrlərin yazılması. Roma fraksiya sistemi. Rus dilində kəsrlər "qırıq ədədlər"dir.

təqdimat, 21/01/2011 əlavə edildi


İnsanların Misirdə tanış olduğu ilk fraksiya. Kəsirin say və məxrəci. Düzgün və düzgün kəsrlər. Qarışıq nömrə. Ümumi məxrəcə endirmə. Natamam hissə. Tam və kəsr hissələri. Əks fraksiyalar. Kəsrlərin vurulması və bölünməsi.

təqdimat, 10/11/2011 əlavə edildi


Onluq və adi kəsrlərin tarixindən. Onluq kəsrlərlə əməliyyatlar. Onluq kəsrlərin toplanması (çıxılması). Onluqların vurulması. Onluqların bölünməsi.

mücərrəd, 29/05/2006 əlavə edildi


Qalan arifmetikanın tarixi. Qalıq anlayışı, ən böyük ortaq bölən, genişləndirilmiş Evklid alqoritmi və onun xətti Diofant tənliklərinin həllində tətbiqi. Üzüklərdə bölünməyə və ədədlərin davamlı kəsrlərə parçalanmasına cəbri yanaşma.

dissertasiya, 23/08/2009 əlavə edildi


Natural seriyanın ilk n ədədinin cəmi. Parabolik seqmentin sahəsinin hesablanması. Stern düsturunun sübutu. Natural ədədlərin k-ci dərəcələrinin cəminin müəyyənedici vasitəsilə ifadə edilməsi və Bernulli ədədlərindən istifadə edilməsi. Güclərin cəmi və tək ədədlər.

kurs işi, 09/14/2015 əlavə edildi


8-ci əsrdə rus dilində "kəsir" sözünün yaranması. Kəsrin köhnə adları: yarım, dörd, üçüncü, yarım, üçdə bir yarım. Qədim Roma fraksiya sisteminin xüsusiyyətləri. L.Pizanski kəsrlərin müasir qeydindən istifadə etməyə və yaymağa başlamış alimdir.

təqdimat, 11/18/2013 əlavə edildi


Rasional funksiyalar sinfi. İnteqralların həllinin praktiki nümunəsi. Dəyişənin xətti dəyişməsi. Qeyri-müəyyən əmsallar metodunun mahiyyəti və əsas vəzifələri. Xüsusiyyətlər, inteqranın sadə fraksiyaların cəmi kimi təqdim edilməsi ardıcıllığı.

təqdimat, 18/09/2013 əlavə edildi


Müxtəlif vaxtlarda onluq kəsrlərin qeydi. Qədim Çində onluq ölçü sistemindən istifadə. Onluq sistemdə ədədlərdən istifadə edərək kəsrlərin bir sətirdə yazılması və onlarla işləmə qaydaları. Simon Stevin Flamand alimi, onluqların ixtiraçısı kimi.

təqdimat, 22/04/2010 əlavə edildi


Riyaziyyat dərslərində kəsrlərin riyazi anlayışının formalaşmasının nəzəri və metodoloji əsasları. Riyazi anlayışların formalaşması prosesi və onların tətbiqi metodologiyası. Fraksiyaların riyazi anlayışının tətbiqi və formalaşmasının praktiki tədqiqi.

dissertasiya, 23/02/2009 əlavə edildi


Qədim və Orta əsrlər Çin riyaziyyatı. İki yalançı mövqenin qaydası. Çoxlu bilinməyən xətti tənliklər sistemləri. Triqonometriyanın inkişafının ilkin mərhələləri. Mövqeyli onluq nömrələmənin yaradılması. Natural ədədlərin və kəsrlərin arifmetikası.

Davamlı fraksiya genişlənməsi ilə azalma

Uyğun fraksiyalar. Həqiqi ədədlərin yaxınlaşması

Ədəbiyyat: 1. Vinogradov İ.M. Ali riyaziyyatın elementləri.

Üçüncü hissə. Ədədlər nəzəriyyəsinin əsasları. Universitetlər üçün dərslik.

M .: Daha yüksək. məktəb 1999. – s. 335 – 340.

Qribanov V.U. Ədədlər nəzəriyyəsi üzrə tapşırıqlar toplusu.

– M.: Təhsil, 1964.

Şneperman L.B. Cəbr və nəzəriyyədən məsələlər toplusu

nömrələr: Dərslik. – Sankt-Peterburq: Nəşriyyat. “Lan”, 2008.- 224 s.

Nəzəriyyədən qısa məlumat

Əgər- normal və ya düzgün olmayan adi azalmayan kəsr, onda Evklid alqoritmindən istifadə edərək bu kəsr aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:

a = bq 0 + a 1,

b = a 1 q 1 + a 2,

a 1 = a 2 q 2 + a 3,

…………….

a n-2 = a n-1 q n-1 + a n ,

a n-1 = a n q n .

Budur q 0 , q 1 , q 2 , q 3 ,…, q n- natamam əmsallar;

a 1 , a 2 , a 3 ,...., a n- qalıqlar.

Bu genişlənmənin sağ tərəfi aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:

= q 0 +

…………

+ ,

Sağ tərəfdə yazılan ifadə sonlu davam edən və ya davam edən kəsr adlanır.

Qısaca yazılmış bərabərlik aşağıdakı kimi yazıla bilər:

= (q 0 , q 1 , q 2 , q 3 ,…, q n)

Kəsrlər = , = q 0 + , = q 0 + ,…… uyğun deyilir. Bu fraksiyaların payı və məxrəci təkrarlanma düsturlarından istifadə etməklə hesablana bilər:

P -2 = 0; Q -2 =1: P -1 = 1; Q -1 = 0;

k≥0-da; P k = q k P k -1 + P k -2 ; Q k = q k Q k -1 + Q k -2 . (1)

Tərifinə görə, P n = a, Q n = b.

Hesablama prosesi rahat şəkildə cədvəl şəklində təqdim edilə bilər:

Uyğun kəsrlərlə kəsrin özü arasındakı əlaqələr:

< < < ….. < < …… < < <

Kəsiri əvəz edərkən səhvi qiymətləndirmək uyğun fraksiya , biz aşağıdakı formula tətbiq edəcəyik:

‌‌‌ - .

Misal. Fraksiyanı dəyişdirin = səhvi olan uyğun fraksiya 0,001.

Evklid alqoritmindən istifadə edərək kəsri genişləndirək:

Əvəz etmək üçün kəsri götürsək, dəyişdirmədə səhv olacaq

0,006, göstərilən 0,001-dən çoxdur, buna görə də fraksiya uyğun deyil.

Səhv 0,0003 olan kəsr götürürük< 0,001.

Misal. Sonlu davamlı kəsr verilmişdir, uyğun adi kəsri tapın. Qoy = (2; 1; 1; 3; 1; 2).

Həll. Müvafiq dəyərlərə görə q k, təkrarlanma düsturlarından istifadə edərək, uyğun fraksiyaların payı və məxrəcinin müvafiq dəyərlərini təyin edirik. P k, Q k . k=n üçün alırıq P n = a , Q n = b .

k = 0; P 0 = q 0 P -1 + P -2 = 2×1 + 0 = 2; Q 0 = q 0 Q -1 + Q -2 = 2×0 + 1 = 1;

k = 1; P 1 = q 1 P 0 + P -1 = 1×2 + 1 = 3; Q 1 = q 1 Q 0 + Q -1 = 1×1 + 0 = 1;

k = 2; P 2 = q 2 P 1 + P 0 = 1×3 + 2 = 5; Q 2 = q 2 Q 1 + Q 0 = 1×1 + 1 = 2;

k = 3; P 3 = q 3 P 2 + P 1 = 3×5 + 3 = 18; Q 3 = q 3 Q 2 + Q 1 = 3×2 + 1 = 7;

k = 4; P 4 = q 4 P 3 + P 2 = 1×18 + 5 = 23; Q 4 = q 4 Q 3 + Q 2 = 1×7 + 2 = 9;

k = 5; P 5 = q 5 P 4 + P 3 = 2×23 + 18 = 64; Q 5 = q 5 Q 4 + Q 3 = 2×9 + 7 = 25.

Cavab: = .

Misal. Bir kəsir verilsin . Davamlı kəsr genişləndirilməsi üçün Evklid alqoritmindən istifadə edərək, bu kəsri azaldın.

525 = 231 2 +63 aldıq;

231 = 63 + 42;

63 = 42 1 + 21;

42 = 21 2. Bizdə GCD (525;231) = 21.

Nəticədə parçalanma bizə qısaldılmış not yazmağa imkan verir

= (2; 3; 1; 2). (1) düsturlarından istifadə edərək bu genişlənmə üçün uyğun fraksiyaları tapaq.